CHAPITRE VI

Bija Ganita.

I-Je Bija Ganita, dont il est question plusiéurs fois dans le chapitre précédent, est, comme nous avons dit, un traité d'Algèbre, dont la traduction, imprimée en i8i3, nous est parvenue l'année suivante. Le frère du traducteur a eu la complaisance de m'en adresser un exemplaire, duquel je vais extraire tous les passages qui ont quelque rapport à l'Arithmétique ou à l'Astronomie des Indiens , et dont l'équivalent ne se trouve pas dans le Lilawati. M. Strachey avoue, dans son Introduction, qu'il n'a point étudié le sanscrit. ( .

« Ce qui fait l'incertitude et la difficulté de ces recherches, c'est que les vieux manuscrits des livres de mathématiques en sanscrit sont excessivement rares , et que dans les derniers tems , les idées des Grecs, des Arabes et des Européens modernes ont été introduites dans les livres sanscrits. Il n'est pourtant pas impossible de distinguer ce qui appartient véritablement aux Indiens, d'avec ce qu'ils ont pu emprunter aux autres nations. »

L'Astronomie des Indiens était en partie fondée sur l'Algèbre. Bhascara dit quelque part qu'il serait aussi absurde de vouloir écrire sur l'Astronomie sans connaître l'Algèbre, qu'il le serait de faire des vers sans aucune connaissance de la grammaire.

M. Davis avait extrait un livre moderne d'Astronomie qu'il croit composé du tems du Jy Siny, qui régnait de i6g4 à 1 744* ®n J voyait que Bhascara calculait les sinus et les cosinus d'après les principes des équations indéterminées du second degré; on y trouvait les racines approchées des carrés imparfaits, par des équations indéterminées du premier degré. On cite cette époque comme celle de l'introduction de la science européenne.

« Nous voyons chez les Indiens, dans le 12e siècle, des notions d'Algèbre qui étaient alors totalement ignorées en Europe; nous voyons que les calculs astronomiques des Indiens étaient fondés sur ces règles algébriques. Il n'est donc pas possible de douter que les Indiens n'aient eu fort anciennement des connaissances en Mathématiques. »

Hist. de ÏAst. anc, Tom. I. 70

Notre intention n'a jamais été de nier que les Indiens aient fait d'euxmêmes des progrès assez remarquables dans la science du calcul, ni même qu'ils aient eu fort anciennement quelques notions vagues d'Astronomie ; nous croyons avoir prouvé qu'ils n'avaient ni Trigonométrie j ni Astronomie mathématique, ni instrumens; qu'on ne pouvait citer d'eux aucune observation, aucune méthode exacte, aucune détermination sûre et précise. Bhascara, qui vivait dans le 12* siècle, ne peut en rien infirmer ce qui est établi par tant de preuves pour des tems antérieurs.

On voit au commencement du Bija Ganita que les Indiens, quoiqu'ils n'eussent aucun signe, aucun caractère qui remplaçât le -f- et le — des modernes , connaissaient cependant ces deux règles que le produit de deux quantités positives ou toutes deux négatives, était positif, et que le produit d'une quantité positive par une négative, était négatif; que tout carré était positif; mais que la racine d'un carré pouvait avoir le signe — aussi bien que le signe +, suivant les circonstances , et enfin que la racine d'un carré négatif était une chose absurde.

On ne voit point ici de caractère pour exprimer les inconnues; ils les désignaient par des noms de couleurs. Une seconde iuconnue s'appelait noir, une troisième bleu, une quatrième jaune, une cinquième rouge. 11 en résulterait, ce me semble, que les Indiens avaient le fond de la science algébrique, mais qu'ils n'en possédaient pas véritablement la notalion. Nous n'avons trouvé que des règles et nulle formule dans le Lilawati ; nous n'en trouverons pas davantage dans le Bija.

La multiplication des couleurs se fait comme la multiplication des nombres complexes. M. Strachey ne nous dit pas comment se nommait la première inconnue ; supposons qu'elle s'appelât blanc, on voit un exemple de multiplication de ( 3 blancs -f- i noirs -f- i bleu -f- i ) par ( SIU''CS -\- 2" 2lUus -j- i ) , c'est-à-dire la formation du carré; elle se fait comme celle de 3'2p$"i% dans notre ancien toisé, ou si l'on veut, comme celle de Çùx-\-2j-\- 2z-\- i)% et c'est ainsi que M. Strachey la présente.

On voit ensuite une arithmétique des radicaux; on ne nous dit pas si les Indiens avaient un signe radical ; il y a grande apparence que non. Le traducteur emploie ce signe; il montre comment on faisait l'addition, la soustraction , la réduction, la multiplication, la division ; comment on en trouvait les carrés et les l'acines , et ces méthodes sont celles que nous employons nous-mêmes, soit qu'elles nous soient venues de l'Inde, soit que nous les ayons imaginées de notre côté, ce qui me parait probable.

BIJA GANITA. 555 Les occasions d'employer ces Yègles sont assez rares dans l'analyse moderne; mais il n'est aucun géomètre qui ne puisse trouver toutes ces règles aussitôt qu'elles lui seront nécessaires , sans jamais en avoir fait aucuue étude.

On trouve ensuite des procédés pour obtenir la solution des questions du genre #.r-f-& = nombre carré; on y voit des multiplications en croix. Planude les désigne sous le nom de %ia<jpioi;.

Tout ce que nous venons d'extraire est de l'introduction.

Bija Ganita. Livre I. De légalité de l'inconnue avec un nombre.

On y voit des équations du premier degré ; on enseigne à trouver des nombres dont la somme et la différence sont des carrés, et le produit un cube; deux nombres dont la somme des cubes sera un carré, et la somme des carrés un cube; des problèmes qui se résolvent par le carré de l'hypoténuse ou par la propriété des triangles semblables.

Livre II. De V interposition de l'inconnue. On y résout entre autres l'équation x4 — ^oox — 2^^ = 9999, mais d'une manière indirecte. Ces questions, ajoute l'auteur, dépendent du génie du calculateur et de l'assistance de Dieu. Les Indiens avaient l'équivalent des deux expressions

les grecs les avaient de même.

Livre III. Comment plusieurs couleurs peuvent être égales les unes aux autres. 5x + 8/ -f- 7s -J- 90 = 7x4-9/ + 6s -f-6z.

Livre IV. De V interposition de plusieurs couleurs. Rien que des carrés et des cubes.