CHAPITRE IV

Trigonométrie sphérique.

J'ai démontré dans mon Astronomie , chapitre XII, les théorèmes des Grecs. J'ai fait voir qu'ils se réduisaient aux quatre formules suivantes; d'ailleurs nous en retrouverons les démonstrations en extrayant Ptole'mée et The'on.

(1) . . . sin C = sin A' sin C

, ^, corde 2A' corde 2C / \

ou corde 2C = -, — ^ — (1;,

corde 1800 N ' f

(2) . . . cos C es cos C cos C",

, , 0 . corde (1800— 2C) corde (1800— 2C") , % ou corde (,8o'-?C) = l «Jftffi -'"^>

(3) . . . tangC ss sin C'tang A',

corde 2C corde 2C" corde 2A' /~\

corde (1800 — 2C) corde 1 8o° corde ( 1 8o° — 2 A') ^ '*

(4) • . . tang C" = cos A' tang C ,

corde 2C" corde (1800 — 2 A') corde 2C , »

OU corde (i8o°— 2C") corde 1800 corde (1800— 2C ) ^*/<

Ces formules sont identiques aux nôtres , et les nôtres sont bien plus expéditives; ainsi quand nous trouverons à faire un calcul qui exige l une des quatre formules des Grecs , nous pourrons y substituer la formule correspondante , sûrs d'arriver au même résultat , mais avec un peu plus de précision, et par une voie plus courte, qui partagera moins notre attention et nous laissera plus de facilité pour suivre la marche générale de la solution. Ainsi nous supprimerons tout détail oiseux; par exemple , quand Ptolémée doit calculer un triangle l'eclangle recliligne dont il connaît les angles, il ne manque jamais de donner à ces angles leur véritable valeur, dont la somme est de i8o°;puis inscrivant ce triangle à un cercle , il double tous les angles en disant que la somme des trois angles est de 36o°, en quoi il substitue réellement aux angles les arcs sur lesquels ils s'appuient et dont il faut chercher les cordes dans la Table. Ce soin bien inutile et qui revient à chaque instant, est extrê-

mement fastidieux pour le lecteur , qui s'impatiente de ces angles donne's toujours de deux manières. Nous supprimerons ce fatras inutile , pour nous attacher au fond de la méthode qui ne peut manquer de gagner encore du côté de la brièveté par l'emploi des logarithmes. Si quelques lecteurs voulaient refaire tous les calculs en employant les multiplications et les divisions effectives des fractions sexagésimales, ils en auraient les moyens en suivant les règles que nous avons, suffisamment développées dans notre Arithmétique grecque.

L'usage des deux premières formules était facile et direct , puisqu'elles donnent la corde de l'arc ou celle de l'arc supplémentaire , qui est le double de l'arc cherché. Il n'en est pas de même des deux autres ; le calcul est indirect, puisque la formule présente à-la- fois deux inconnues, c'est-à-dire la corde de Tare et celle de son supplément. Il est incroyable que les Grecs n'aient pas cherché à i*emédier à cet inconvénient, en calculant des Tables de ce rapport de la corde de Tare à la corde de l'arc supplémentaire.

/7N corde aC corde aC corde 2À'

corde (1800— aC) corde 1800 ' corde (1800— 2A')*

Le premier membre = 3 M" ^, = tane C: ainsi le second membre est

1 a cos C & '

évidemment la valeur de tang C ; le carré du second membre sera la valeur de taug2C ; augmenté de l'unité , il sera la valeur de

1 + tang* C = -\r, , 7 * \r> = »anga C cos* C sss sin» C. 1 o cos^G 7 1 -)- tang2C 0

Divisant donc le second membre par (1 -f- carré du second membre)', nous aurons la valeur de corde 2C. Nous ferons la même chose pour la formule (4), et ce procédé nous donnera la solution directe de ces cas embarrassans que les Grecs évitaient autant qu'il leur était possible.

Ces formules servaient aux Grecs à calculer le triangle entre l'écliptique, l'équateur et le cercle de déclinaison.

Supposons l'hypoténuse C=6o°, et l'obliquité 25° 5i' 20", et cherchonsles trois inconnues en commençant par la déclinaison C',, pour laquelle nous emploierons la formule (1) de Ptolémée.