LIVRE XI DE LA SYNTAXE. 377 tang 0*6 = fit + fif coày/if t
cosjc/39... 9.76201 11 sinjc/3ô... 9.9116680 0.06263 8.7967729 CD... 9-96074o(3
£g = 1. 03198 tang = 4°37' *" 8.9071702
êQ = 1.0982 0.0406710
Les mouvemens sont directs de et en /3 et de ji en G. Telle est la seconde inégalité, en donnant à /3s sa véritable valeur; mais supposons avec Ptolémée /3é = 1, il n'y aura que deux logarithmes à changer dans le calcul précédent; D sera 1 .06263.
r. . . 9.0347616 a/39... 9.9116680 CD... 9.9736179
tang g/39 = 4° 45' 197 8.9200475 au lieu de. . . 4* 37« 1 trop forte par conséquent de. . . 8. 18 Mais - e = o . o56g44-
e(B aura pour valeurs extrêmes o.943o56 et 1.05694
ajoutons-y r cos z/3ô 0.06263 0.06263
les valeurs extrêmes du dénominateur seront 1 . 00569 1 . 1 ig57
La valeur moyenne étant 1 .06263, employée ci-dessus dans le calcul exact, faisons le calcul des deux suppositions extrêmes.
r.sin */3ô. . . 8.9464296 8.9464296
C. 1.00569... 9-9975559 c- i.n957--- 9-95o9487 tang£/39=50 i'2o" 8.9439655 493o'5aa 8.8973785
Les valeurs extrêmes de /3é9 , pour notre exemple, seront donc
5°i'2o" et 4°3o'52".
La Table de Ptolémée donne
4° 43' + 19' et — 1# ou 5°2' et 4° 29'. Ilist. de l'A st. anc. Tom. II. 4$
Entre ces nombres il faut intercaler celui qui convient à l'anomalie de l'excentrique 6o° ; car les valeurs extrêmes sont pour 180° et o°.
Je trouve dans la Table, à la dernière colonne, 34p 3o', c'est-à-dire
——^ = 0.575. Ainsi du nombre moyen de la Table 4° 4^'j ^ ^aul re~
trancher 14x0.575 = 8'. L'ëqualion sera donc 4° 45' — 8' =4° 55'. Nous avons trouvé directement 4° ^7 -
L'exactitude de la Table approximative est donc plus que suffisante pour les observations qu'on pouvait faire alors.
Développons la méthode en série.
ir* partie -=-\ esin£.
2<= partie = l- e sin (£ — | e sin £) — 7 ( | e Y sin 2 (£ — { e sin £)
+ sin 5 (Ç — ^ sin Ç)
==|e sin£cos (^esinÇ) — \ecos^s'u\Ç{esïn^) — ^e2sin 2Ç
-f-i-e2cos2^sin (esin'C)-\-~ e3sin 3£ = ^esin£ — esin£sina (^esin£) — ^e4sin £cos£ — ~easin 2^
-{- ^ es sin £cos2£ -h-rr? g3 sin 3£ = iesin £ — i e'siu 2^ + ts ^ sin 3£-f-^ ^ M* Ç + à e3 sin 5£. Eq. totale= e sin £ — ^ ea sin2£ + T8 e3sm 3£ + Te e3 sm £• Ptol.calc.= e sin £ — -j easin 2^-f--j e3 sin 3£.
ïl est trop faible de ,
ï es sin 2£ — ^ e3 sin 3£ + tV e' sin C , ou pour Saturne, de
1 1' 7" sin 2£ — 70" sin 3£ -f- 19" sin £.
Celle équation peut aller à 11' vers 45°, et à 12' vers i33°; et c'est en effet ce qu'on trouve dans la Table de Plolémée , colonne 4 : la colonne 3 donne l'ëqualion pour j2é—i.
On voit donc comment on pourrait mettre en Table l'équation totale , et comment on pourrait calculer la Table de correction par l'inégalité calculée avec la distance moyenne.
Pour l'équation de l'épicycle ou la seconde inégalité,
Soient r le rayon de l'épicycle ;
y la plus grande équation ;
A la plus grande équation à la distance moyenne* B la plus grande équation apogée j C la plus grande périgée ;
LIVPE XI DE LA SYNTAXE. 579 A — B et C — A les différences de ces e'quations ; INous aurons pour les cinq planètes les quantités que présente le tableau suivant.
Plan.
Dist.
inoy.
Distance apogc'e.
Dislance périgée.
5a 59' 3o" io.3S.3o 37. 9.
63° 25' 62 .45 66. 0 Gi . iG 69 . 0
(A — B) donne une idée de la colonne 5 de la Table ds Ptolémée. ( C — A) donne une idée de la colonne 7. A donne une idée de la colonne G.
Ce sont les maxima des différentes colonnes. Plolémée a supprimé les colonnes y, B, C , (A — y). Les trois dernières colonnes de notre tableau donnent les quantités qui ont servi à calculer A, B et C, (A — B) et (G— A).
Si l'on compare nos nombres A, (A — B), (C — A) aux nombres des colonnes 6, 5 et 7 de Ptolémée , on y trouvera de légères différences, qui viennent probablement des petites erreurs de ses calculs ou de fautes de copie.
Ptolémée a donné seulement l'équation A pour la distance moyenne, colonne 6.
Dans la colonne 5 il a mis l'excès sur l'équation apogée , ou ce qu'on doit retrancher de A pour avoir l'équation apogée.
Dans la colonne 7 il a mis ce qu'il fallait ajouter à l'équation A pour avoir l'équation périgée.
Ces différences extrêmes se multiplient, dans les cas particuliers , par la fraction de la colonne 8, dont l'argument est l'anomalie moyenne de l'épicycle.
L'équalion de longitude , qui est dans la seconde colonne , se retranche de la longitude et s'ajoute à l'anomalie dans la première moitié de l'argument : c'est le contraire dans l'autre moitié.
L'anomalie ainsi corrigée sert à trouver la seconde équation, qui est addilive dans la première moitié de l'anomalie, et soustractive dans la deuxième.
58a ASTRONOMIE ANCIENNE.
La correction delà seconde équation, ou le produit de la différence par la fraction de la colonne 8 , se retranche de 270 à go°, parce que celle partie de l'orbite est plus éloignée; elle s'ajoute dans l'autre moitié, de go à 270°, parce que cette moitié est plus voisine.
Le nombre 8, qui sert à corriger la première équation ou celle de la colonne 3, se prend en même tems que la première équation, et avec 1« même argument.
Cette méthode approximative par les Tables, exige plus d'attention, pour être bien comprise, que n'en demande la solution rigoureuse, et je trouve l'usage de nos formules bien préférable à celui des Tables approximatives.
Partout, dans ce Livre, et en général dans notre extrait de la Syntaxe mathématique, en refaisant les figures du Livre de Ptolémée, en tâchant de les rendre plus claires, plus exactes et plus adaptées à la question traitée, nous nous sommes fait une loi de conserver les lettres par lesquelles Ptolémée désigne toutes les parties de la figure ; sans quoi la comparaison de nos calculs avec ceux de l'auteur grec eût été trop difficile , ou pour mieux dire presqu'impossible. Sans la nécessité de cette précaution, nous aurions substitué partout les lettres majuscules de l'alphabet romain aux lettres grecques; nous' aurions pu désigner constamment les centres, soit de l'excentrique, de l'équant, de la Terre ou de l'épicycle , toujours par les mêmes lettres ; ce qui aurait rendu les démonstrations plus claires , et nous aurait permis de diminuer le nombre des figures, car la même pouvait servir à plusieurs démonstrations : mais il semble que Ptolémée se soit fait un jeu de changer les lettres, comme pour ajouter aux embarras de ses longues explications.
