CHAPITRE XV

Planisphère de Ptolémée.

lN"ous n'avons pas le texte grec de cet ouvrage , mais seulement une traduction latine faite sur une traduction arabe dont l'auteur se nommait Màslem, et sur lequel d'ailleurs nous n'avons aucun renseignement. Ptolémée s'adresse au même Syrus à qui il parle en commençant et finissant la composition ou Syntaxe mathématique.

11 est possible, et même nécessaire, de représenter sur un plan tous les cercles de la sphère ; mais pour y parvenir par des moyens exacts et fondés sur les principes de la science, il faut savoir décrire le cercle oblique , l'équaleur et ses parallèles , enfin tous les cercles de la sphère. Le méridien sera représenté par une ligne droite ; l'oblique touchera les deux tropiques. Voici la manière de tracer ces difFérens cercles.

Décrivons le cercle équinoxial ABGD (fig. io3) autour du centre E, avec deux diamètres AG, BD, qui se coupent à angles droits : E représentera le pôle septentrional; le diamètre AG représentera le méridien et le colure des solstices; BD celui des équinoxes (le plan de projection sera le cercle ABGD, et l'œil sera placé au pôle austral du monde, Cette projection a reçu des modernes le nom de projection stéréographique). Cela fait, pour placer les deux tropiques, nous prolongeons le diamètre AG de part et d'autre ; nous prenons de part et d'autre du point G les arcs GN et GH = 23°5i' = &); il en résulte que si l'on fait DZ = DH sa 900 — a>, on aura DZ -f- DH = 180° — 2&>, GH -f- GN = 2co et NDH = \ (2^) =a>; nous menons DN, qui coupe en C le diamètre AG , et DZM , qui coupe en M ce même diamètre.

Du point E , avec le rayon EC, traçons le cercle LOCI, et du même centre, avec le rayon EM, traçons le cercle MQTR; ces deux cercles représenteront les tropiques sur le plan de l'équaleur ABGD.

Partageons en deux parties égales en K la ligne CM, et du rayon KM = RC, décrivons un cercle MDCBM ; il sera la représentation du cercle oblique ou de l'écliptique.

Ptolémée suppose, dans cette construction très-simple, que les deux tropiques et l'équateur seront des cercles, ce qui est facile à démontrer; ffist. de l'A st. anc, Tarn. H. 55

mais il suppose de plus, que l'écliplique sera de même représentée par un cercle, ce qui ne se voit pas aussi facilement. Il ajoute : NGDZ sas NG -f- GDA — AZ = GDA = 1 8o°. Donc Z AN = 1 8o° ; donc ZDN, angle à la circonférence, sera un angle droit; donc un cercle décrit sur le diamètre CM passera par le point D; il passera par les points CBMD, il coupera l'équateur en deux également, il touchera aux deux tropiques; il sera l'écliplique.

Albategnius, dit le traducteur arabe Maslem, a remarqué que celte démonstration de Plolémée laissait beaucoup à désirer: Alchoarism a été du même avis. Le traducteur latin partage ce sentiment; et pour compléter la démonstration , il renvoie à un ouvrage que nous n'avons pas.

Plolémée dit ensuite que Ton marquera sur le cercle CDMB les cornmencemens des signes, et tous les degrés si l'on veut ; mais que ces signes et ces degrés, qui sont égaux sur la sphère, seront très-inégaux sur CDMB. Ici Maslem avait mis une note pour développer la proposition ; mais cette note n'est pas traduite; elle est devenue inutile, car toute cette construction résulte des formules que j'ai données pour la projection stéréographique ( Astron. , XXXVII). Mais il eût été curieux de voir comment les anciens étaient arrivés à reconnaître que tous les cercles de la sphère qu'ils ont voulu mettre sur leur planisphère , y sont en effet représentés par d'autres cercles. Ils virent aisément que toutes les cordes, telles que P'B et P'D (%. io4), menées du pôle austral à tous les points de l'équateur, devaient former un cône droit dont la hauteur serait EP', rayon de la sphère; dont le côté P'B serait la corde de go°, et dont l'angle au sommet BP'D serait de go°. L'équateur serait lui-même la base de ce cône. Ainsi Plolémée commence ( fîg. io3) par décrire son équateur d'un rayon arbitraire, mais qui sera celui de la sphère. Ce rayon BE = tang ^ angle au sommet tang 45° = i .

De même , toutes les cordes menées de P' sur le tropique du Cancer formeront un cône droit dont la hauteur sera GEP' = i -f- sin a> = i -fcos PH = 2 cosa i PH === 2 cosa ^(90° — Où ) = 2 cos* (45* — \ a>) = 2 sin2 (45° -}- 7 (à) ; le côté P'H = corde ( go° -f- co ) = 2 sin

Dans le cône HP'F , imaginons la section hf parallèle à la base; puisqu'elle est dans le plan de l'équateur, il est évident que le cercle décrit sur AE/ comme diamètre, représentera le tropique HGF ; ainsi le tropique sera représente par le cercle dont le rayon sera //E = tang{ PH = tang i ( 900 — a> ) = tang ( 45° —■ î »).

PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE 455 ■ Ptolémée dit : Prenez BH = <» ; menez P'H, qui coupera BD en h, et Eh sera le rayon de votre cercle.

Pour l'autre tropique, vous aurez de même un cône dont la base mny parallèle à MN,aura pour rayon Em = tang \ PM = tang \ ( 90° -{- a> ) = tang (45° + \ a>) ses cot ( 4-5° — \u>).

Ptolëmëe fait prendre BM = HB, et tirer P'Mm, qui va rencontrer EB prolongé en m. Em sera donc le rayou du cercle qui représentera le tropique du Capricorne; et ce cercle sera plus grand que 1 equateur,

puisque ;i,B = tang (45°+ » - tang 45° = ^g^^. +>) , SW-

tilé positive. Tout cela était bien aisé et indépendant du théorème général de cette projection.

L'écliptique touche en H le tropique du Cancer , et en N celui du "Capricorne; HN est le diamètre de l'écliptique dans la sphère; sur la projection, ce diamèlre devient lui; on voit aisément encore que. .....

hn = hE + En = tang (45° — i ®) + tang (45° + » = tang(45° —

. CQ t / / 5, L \ sin(45°— ja.) 008(45°— » sirr(45°— >' -f cos*(45° — j a.)

^ ^ ■ ' coS(45°— sin(45J — 1«) sin(45°— ^)cosC45°— i«)

— — = 2séc <a et Irhn — séc a.

; sin (go° — «) cos « On verrait aisément que le rayon du cercle de la projection de l'écliptique est séc co , si l'on savait que cette projection est un cercle. Mars les Grecs, qui savaient déterminer graphiquement hnt savaient-ils que tout cercle est représenté par un cercle? S'ils ont connu ce théorème, pourquoi Ptolémée ne l'énonce-t-il pas une seule fois? Il dit que tout ce qu'on fait pour les tropiques, on peut le faire pour tous les parallèles que le Soleil paraît décrire, et cela est évident. On pourrait donc décrire par points la projection de l'écliptique, en prenant pour chaque point sa déclinaison , le rayon de son parallèle, et faisant faire à ce rayon un angle égal à sa distance au tropique sur l'équateur. On sait, d'ailleurs, que la projection doit passer par les points B et D de l'équateur, qui appartiennent également h l'écliptique. Ayant ainsi marqué plusieurs points, on se sera aperçu qu'ils étaient dans la circonférence d'un cercle décrit sur CM comme diamètre ( fîg. io3).Mais suivons Ptolémée, qui jusqu'ici ne démontre rien.

On décrira ensuite tout horizon comme on a tracé l'écliptique, car tout horizon coupe l'équateur en deux parties égales ; il coupe aussi à chaque instant l'écliptique en deux arcs égaux en puissance , c'est-à-dire représentant des arcs égaux de lecliplique.

11 aurait pu ajouter que tout horizon touche deux parallèles, l'arctique et l'antarctique", également éloignés de l'équateur, comme l'écliptique touche les tropiques. Dans le fait , l'écliptique est elle-même l'horizon d'un point dont la latitude est = 900 — us.

Après cette remarque, il donne la construction suivante pour la projection de l'écliptique.

Soit donc l'équateur ABGD autour du centre E (fig. 1 o5) , et l'écliptique ZBHD, qui coupe l'équateur en B et en D ; par le centre E nous mènerons le diamètre arbitraire ZAEHG, qui nous représentera un méridien.

Ainsi Ptolémée savait que, dans cette projection, tous les méridiens sont représentés par des diamètres de l'équateur.

Les points ZH seront diamétralement opposés dans la sphère, et ces points retrancheront de l'équateur des arcs égaux BA etDH. Il aurait pu ajouter que le point A marque l'ascension droite du point Z,G celle du point H, et que ces ascensions droites diffèrent de 1800, comme les longitudes des points Z et G de l'écliptique.

Piolémée élève ET perpendiculairement sur AG ; il mène TRZ et TA, THL et TG; ATG = go°, puisque c'est un angle à la circonférence qui est appuyé sur un diamètre. ZE . EH=ED . EB=ED =ETj donc ZE ." ET :: ET : EH ; admettons celle analogie :

ZE : ZE langTZE :: 1 : tangTZE ;: ZE tangTZE : TE tang ETH,: d'où TEtangETH = ZEtangaTZE,

ZF

tang ETH = ~| . tang* TZE = cotTZE. tang* TZE = tang TZE ;

donc TZE = ETH = 90°— EUT; donc TZE -f-EHT = 90*; donc ZTH = 90°; donc ZTH = ATG. Otez la partie commune ATH, il reste ZTA = HTG et AK = GL; or AB = DG; donc BK = DL ; K. et L sont diamétralement opposés. En effet ,

Imaginez le triangle ATH relevé perpendiculairement sur le plan ABG ; T sera le lieu de l'œil, ATH le plan d'un cercle de déclinaison; deux points opposés de l'écliptique ont des déclinaisons égales, mais de signe contraire; les distances polaires sont supplémens l'une de l'autre; ces distances polaires sont celles des points H et Z de l'écliptique ; si A est l'une de ces distances, 180° — A sera l'autre ; EH === tang | A ; EZ =

tang (90° — | A) = cot^A; EZ.EH = lang^ A cot \ A = 1 = ET*; c'est l'équation de Ptolémée. Ce produit est constant, quel que soit le diamètre AG et le diamètre ZH ; tous ces diamètres, tels que ZH, seront donc dea

PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 43; droites qui se couperont réciproquement en segmens dont le produit sera constant; ces lignes seront donc les cordes d'un même cercle; doncl'écliptique aura un cercle pour projection ; donc tous les grands cercles de la sphère auront un cercle pour projection; le diamètre de ce cercle pourra changer suivant l'inclinaison de ce cercle. Pour l'écliptique, nous avons \u que ce diamètre est 2 sec a = 2 séc inclinaison de l'écliptique ; donc ce théorème se démontre pour les grands cercles, sans faire usage du théorème d'Apollonius pour les sections subcontraires. C'est ainsi que Ptolémée l'a démontré , non pas en général, mais en particulier, pour l'écliptique et pour chacun des grands cercles qu'il considère par la suite.

L'horizon est incliné à l'équateur d'une quantité = ( 900 — H). On pourra donc décrire l'horizon comme on a décrit l'écliptique, en traçant le cercle arctique et antarctique au lieu des deux tropiques, et en prenant l'intervalle MC (fig. io3) pour le diamètre de l'horizon. Ptolémée s'y prend d'une manière moins simple, que voici : Soit l'équinoxial ABG ( fig. 106), l'écliptique HBTD, BED l'intersection de l'écliptique et de l'équateur, l'horizon HATG , qui coupe ea deux également l'équinoxial; H et T seront les intersections du zodiaque et de l'horizon, HE un cercle horaire; prolongé en T , il détermine sur l'écliptique le point T diamétralement opposé à H; car dans le cercle HÏG, AG et HT se coupent en E ; on a donc