AE.EG = HE.ET = BE.ED=*BE
ainsi B,D,Hetï sont sur la circonférence d'un même cercle. Mais T est un point de l'horizon, et le zodiaque et l'horizon se coupent en des points diamétralement opposés. Ceci, quoique fort vrai, ne compose pas une démonstration bien claire, et l'on pourrait faire à Ptolémée le reproche d'obscurité que Synesius adresse à Hipparque , premier auteur de celte théorie; cependant on voit clairement que la marche de Ptolémée, pour prouver que l'horizon a un cercle pour projection, est d'établir que dans le cercle de l'écliptique BHD on a BE.ED = HE.ET ; dans le cercle BADG on a BE . ED = AE . EG = HE . ET ; donc H , A , T, G sont dans une même circonférence; donc la courbe de projection HATG est un cercle. C'est par cette propriété du cercle qu'il démontre le théorème, non pas en général, mais dans chacun des cas particuliers dont il a besoin. Après l'avoir démontré pour un horizon quelconque, il pouvait le conclure d'un grand cercle quelconque, car tous les grands cercles de la sphère peuvent être des horizons ; tout
grand cercle qui n'est ni l'équaleur, ni un cercle horaire, est oblique
à l'équaleur; il se décrira comme l'écliplique.
Celle solution de Ptolémée, ou plutôt d'Hipparque, est pénible et entortillée ; mais on peut l'exposer d'une manière très-simple et très-claire.
Tous les diamètres de la sphère s'entrecoupent au centre de la sphère.
Ce centre est en même temps celui de la projection.
Tous les diamètres de la sphère ont pour projection des droites qui s'entrecoupent au centre de la projection. Ces droites sont toutes com-
posées de deux tangentes, c'est -a -dire tang ± A -f- cot^ A = ^Tp^
= 2sécD = 2séc déclinaison des extrémités du diamètre.
cos D
Le produit des deux segmens de chaque droite est tang^ A cot { A =i = constante = carré du rayon de la sphère.
La demi-somme des deux segmens est ^(2sécD) = sécD. La demi-différence est
cotjA — tang^A cos^A sin \ A cos*jA — sin'-jA i — 2sinî^A
2 2sin l A acos^A- 2ainiAcos^ A ' sin A
cosA __ cot^ tan J) sin A o
La demi-différence tang D est la distance du milieu de la projection du diamètre au centre de la projection.
Appliquons à l'écliplique ces théorèmes généraux.
Tous les diamètres de l'écliplique auront pour projection une droite es= 2 séc D.
Toutes les projections de diamètres seront coupées au centre de la projection en deux segmens, tang ^ A et cot | A, dont le produit est constant; c'est la propriété des cordes qui s'entrecoupent dans un cercle. Les extrémités des projections des diamètres de l'écliplique appartiennent donc à un cercle. La plus grande de ces cordes sera celle dont la déclinaison est la plus grande; la plus grande des déclinaisons de l'écliptique est u> ; la plus grande de ces projections sera 2 séc a; ce sera le diamètre du cercle, puisque le diamètre est la plus grande des cordes; ainsi l'écliplique a pour projection le cercle dont le rayon est séc obliquité.
La distance du centre de ce cercle au centre de projection sera tang w. Ce centre sera sur le rayon de l'équaleur qui marque l'ascension droite du point qui a la plus gi'ande déclinaison.
La corde la plus petite sera celle dont la déclinaison est o; le rayon
PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 439 sera i , la tangente o, la distance au centre nulle; toutes les cordes feront au centre de la projection des angles e'gaux aux différences d'ascension droite des diamètres qu'elles représentent.
Tout ce que nous avons dit de récliplique dont l'inclinaison sur l'équateur = co , peut s'appliquer à tout autre grand cercle qui fait avec l'équateur un angle quelconque co. Ce cercle sera représenté par un cercle dont le rayon sera séc co , la distance des centres ±s tang co, cette distance étant prise sur le rayon de l'équateur qui marque l'ascension droite du point dont la déclinaison est la plus grande, ou égale à l'inclinaison co.
Ainsi , nous avons démontré la propriété des grands cercles , sans faire usage des sections subcontraires d'Apollonius. Hipparque aurait pu ignorer ce théorème d'Apollonius; il ne l'a fait entrer pour rien dans ses constructions pour les cercles du planisphère.
Les parallèles à un grand cercle sont les hases circulaires d'un cône dont le prolongement indique sur le plan de l'équateur la projection du parallèle. Celte projection est un cercle comme la base du cône ; elle est seulement plus grande si le parallèle est plus près de l'œil, plus petite s'il est plus loin. Le parallélisme des bases et la similitude de ces bases subsistent toujours, et la propriété générale est démontrée.
Le pôle d'un grand cercle quelconque sera projeté en un point éloigné de lang co du centre de la projection ; l'autre point sera à une distance cot £ co de l'autre côté du centre; cette dislance sera prise sur le rayon de l'équateur qui marque l'ascension droite du pôle, et ce rayon fera un angle droit avec celui qui passe par le nœud du cercle avec l'équateur.
Un horizon quelconque fait avec l'équateur un angle = (go° — H) ; le rayon de la projection sei'a séc (900 — H) = coséc H, la distance des centres est tang ( go° — H ) = cot H.
Le zénit ou le pôle de cet horizon est à une distance du centre qui est tang i ( 900 — H ) = ( 45° — { H ) sur le rayon qui va à 900 du point orient de l'équateur. L'horizon est donc mobile sur la projection, puisque le point orient de l'équateur change à chaque instant.
Le centre de l'horizon varie de même à chaque instant , puisqu'il se prend à chaque instant à la distance 45° — \ H sur le point de l'équateur qui est au méridien ou à go° du point orient.
Plolémée passe ensuite à la description des petits cercles, qu'on peut toujours considérer comme des parallèles au grand cercle, qui a les mêmes pôles. 11 va déterminer les projections des deux tropiques et celles de l'écliptique ( fig. 107).
Soit ABGD le cercle ëquinoxial, c'est-à-dire la projection del'équateur,avec ses deux diamètres perpendiculaires AG etBD qui se croisent à angles droits au centre E, prolongeons indéfiniment AG vers Z; prenons de part et d'autre de G les arcs GH = GT. Menons DKH et BKT et DTZ; DT = 900 — GT = 900 — GH = BH.
L'angle DTB=9o° ; donc DBT -f- BDT == 900 = DBT-f-EBK = EDK ■4-EKD; le triangle EBK est le même que EDK.; ils sont parfaitement égaux ; EDK est semblable à EBK, qui est semblable à KTZ et à DEZ; donc ZE : DE :: DE : EK :: corde 2DKE : corde 2 EDK.
Si T est le tropique d'été, EK en sera le rayon de projection; si H est le tropique d'hiver, EZ en sera le rayon de projection. En continuant cette analogie dePtolémée, nous dirons :: 2sin DKE : 2sin EDK :: asin£(DA+TG) : 2sin{(BH) :: sin^BT : sin^TD :: si»i(9°c-r-TG)
.v:nw nno Tr n .. , . sinè(9°°-TQ) sin(45°-jTG) sin(45°-|TG) A 9° / V " sin|( 9o"+TG) ~* sin (45°+ { TG) ~~ cos(45°— \ TG)
::i :tang(458 — ^TG)::DE : EK::i : donc tang(45° — { TG) = ^ = ^-, et ZE=cot(45° — ^GT); mais la première analogie
UHà dit c*
donne ZE.EK=DE ; donc ZE = ^ =
EK tangiBH tang { ( 90° — GT )
= .a-g^UoT) = col(45° iGT) = tang (45t-KGT). ZE-EK. = cot(45--iGT)- lang(45"-iGT)= gjgljffg
sin (45° — jGT) cos2(45°— 'z GT) — sin*(45°— j GT)
cos (45° — 5 GT) sin (45°— i GT) cos (45° — ?GT)
1 — 2sin2(45°— jGT) cos(9Q°— GT) asin GT
~ isin(9o° — GT) ~~ -icosGT) ~~cosGT ~~ 2tanS01'' |(ZE — EK) = tangGT = {KZ = rayon du cercle projection du parallèle qui est à la distance GT de son pôle G,
7 17 . FK . cos»(45°— ' GT) + sin3(45°- j GT) a
sin(45°— iGT)cos(45°— iGT) sin(go° — GT)
= — -r7?p = 2sécGT, cos G 1 *
i(ZE-f-EK) = séc GT = distance des centres,
KZ = i (ZE -H EK) -f- i (ZE — EK) = séc GT -f - tang GT
1 sin GT 1 sin GT 2sin2(45° — j GT)
cos GT cos GT cos GT~ cos GT 9
I K 7 — 1 +sinGT — 1 + cos DT acos^DT , nT
3iy^ cQsGT — 5inD^— — «jsiniDTcosiDT— 1 >
PLANISPHERE DE PTOLÉMÉE. 441 EK = | (ZE + EK.) — 7 (ZE — ER) = sec GT — tang GT
1 sin GT 1 — sinGT 1 -cosDT
cos GT cos GT cos GT *inDT
asin^DT . j^rp
2S1I1 - D 1 cos jUl 0
Il est e'vident que celle construction de Ptole'me'e donnerait en R la projection du point T, et en Z la projeclion du point H; RZ sera la projection du diamètre TH du cercle dont le pôle est en G , et dont la distance polaire est GT. Les lignes ponctuées TH et BHZ ne sont pas dans la figure de Ploléme'e ; mais ce n'est pas à quoi il en veut venir; et après l'analogie ci-dessus, il donne un exemple de calcul dans lequel il fait. . .
GT=25°5i'2o"=o>, BT= n3° 5i' 20", DT = 66° 8' 4°">
corde 66° 8' 4o" . , . . sin 33° A' 20" sin33°4'2o" „
— 3 a-? — — , ce qui équivaut a . ,..."'7 / " — «= tanff35a4. 20
corde 1 13. 5i .20 ' u ^ sin6b.55.4o cos33.4-20 53 ^
= ER ; c'est ce que la figure nous donnerait immédiatement. Nous en tirerons ZE =3 7-=^= = cot 33° 4' 20".
tang^DT
Dans ce calcul, Ptolémée cite la Syntaxe; ainsi son Planisphère est moins ancien que sa grande composition. EZ est , dit-il , le demi-diamètre du tropique d'hiver, ER celui du tropique d'été ; c'est ce que nous avions trouvé plus simplement ( fig. 104, p. 435).
Il ajoute : Ces deux lignes réunies font le diamètre du zodiaque ou de l'écliptique ;
„„ ,1 . n„ ,t 11 cos33°4'2o" , sin 33° 4' 20"
cot 33°4'2o"H-tang33°4'2o"=-r-w-/ h - , — -
r ' o \ siûoo.4.20 cosoo.4.20
cos*35°4' 20" 4- sin" 53° 4' 20" L 2 — JL.
— sin 35° 4' 2o"cos 33° 4' 20" £ sin 66° 8" 40" cos 25° 5 1' 20" cos »
= aséc Où.
11 ne connaissait pas cette expression ; mais (fig. 104, p. 435) il était aisé de voir que lin = diam. proj. de l'écliptique = hE -f-E/z = demi-diam. du trop, d'été -f- demi-diam. du trop, d'hiver.
Ainsi , le diamètre d'un grand cercle oblique sur la projection = somme des demi-diamètres des parallèles que touche le cercle oblique. Le diamètre de l'horizon sera donc la somme des demi-diamètres des cercles arctique et antarctique, et les demi-diamètres de ces parallèles extrêmes sont faciles h trouver.
Il dit encore que le centre du cercle de projection de l'écliptique est à unedistance de 2G°5i'58".Notre formule Go'' tang a donne Gop tang 25°5i'2o"
Mis t. de l'Ast. anc. Tom. II. 56
44a ASTRONOMIE ANCIENNE.
=26' 3i' Sj" 6. Le calcul de Plole'mée s'accorde donc avec nos formules. Il calcule les rayons des deux tropiques; il en conclut le diamètre de l'écliptique et la distance du centre au centre de la projection, par une formule e'quivalante à lang co , comme il a trouve' le diamètre de projection de 1 écliptique par une formule équivalente à 2sec co.
Il calcule ensuite les demi-diamètres des deux parallèles qui passent à 2S et 8f de longitude, puis ceux qui passent à iJ et js de longitude.
Il cherche ensuite l'horizon de Rhodes, qui est incliné à l'équateur de 54% puisque la latitude est 36°. Nos formules tang(45°db27°) nous donneront de même
diamètre de l'horizon = tang(45"-f-27°) -f- tang(/f5° — 27e)
s= tang72 -f- tangi8 = 2séc54% distance des centres = tang(450-f-27°) — tang(45° — 270) = tang72 — tangi8 = 2tang54°.
Diamètre = 102' 4' 5i" et distance des centres = 82? 34' 5j", Ptolémée = 102.4.42 82.35. 3 ,
les diff. ne sont que de. . . — 9 et -f- 6.
Cette méthode ne vaut certainement pas nos formules séc co = rayon et tang co = dist. des centres, mais elle est singulièrement remarquable.
Voici encore un exemple calculé pour le climat de Rhodes, et emprunté probablement du livre d'Hipparque.
Nous venons de voir comment on trace sur la projection les parallèles à l'équateur et tous les grands cercles qui sont obliques à l'équateur, au moyen des pai'allèles, qu'ils ne font que toucher. Ptolémée passe ensuite au lever et au coucher des signes de l'écliptique , c'est-à-dire au tems que les différens arcs emploient à traverser l'horizon.
Soit ABGD l'équateur (fig. 108), BHDZ, l'écliptique autour du centre T, 2/ATG le méridien, DB le diamètre de l'équateur, GH et AZj = dist. des tropiques à l'équateur. Le méridien ZATEG peut être considéré comme un horizon dans la sphère droite.
ZB et HD, qui sont opposés, sont des arcs de go° en puissance, c'est-à-dire qu'ils représentent des arcs de go° de l'écliptique; ils passeront au méridien en tems égaux. En effet, quand D sera arrivé en H, B sera en Z, car ils sont toujours diamétralement opposés. Us passent au méridien et à l'horizon avec les arcs BA et DG.
LK est parallèle à BD; nous aurons LD = RB.
Menons K.MEN et LCEY; les cercles de déclinaison EK, EL étant
PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 445 également éloignés des points équiuoxiaux, le point R représente un point éloigne de 1800 de N; le point L, un point éloigné de i8o°de Y.
Si BR est le signe des Poissons, LD sera celui de la Balance , BY le signe du Bélier, DN celui de la Vierge. Les triangles RTE et LTE sont parfaitement égaux ; RET = LET , REB = LED ; ces arcs passent donc en même tems. Il sullit donc d'en calculer un seul, BM, par exemple.
Abaissez la perpendiculaire TF ; TE = tang où , TR= séc où.
Ne supposons aucune valeur particulière à BM, mais que BM soit en général une ascension droite comptée de l'équinoxe voisin ; l'angle ETR ne sera plus droit qu'accidentellement. Nous aurons TR : TE :: sin TER : sin TRE, ou séc a> : tang où :: 1 : sin où :: cos yR : sin TRE = sin a> cos yil= sin angle écliptique avec le parallèle = cos angle écliptique avec le méridien = cos TER.
C'est l'expression que donne la Trigonométrie sphérique. Ainsi, l'ecliptique et le méridien font, sur la projection, le même angle que sur la sphère*, propriété générale de cette projection; mais cette propriété paraît avoir été inconnue aux anciens.
Sin TER : TR :: sin ETR : ER == 1K si " ETK = séc * sin(TE* + tke)
sin TEK. cos M.
t gin(90°— A + K) cos ( /il — K)
COS 0) COS Jà. ' C03&>COS.4l
EF = tang ù) sin Â{ = tang déclin, du pointderéclipt.quial'asc. dr. JR; EMR étant un cercle horaire, le point M de l'équaleur et le point R de l'écliplique passent ensemble au méridien; EM représente un arc de 900; MR représente la déclinaison du point de l'écliptique projeté en R; BR représente sa longitude comptée de l'équinoxe le plus voisin ; EF z=z tang où sin À\ = tang D, TF = tang où cos JFx ,
FR s= TR cos R = séc où cosR = == séc D ,
COs a *
car cosD sin angle éclipl. et mérid. = cos<», et cosR = sin angle éclipt. et mérid. = , sin R = sin où cos J\ ;
donc
. rr sin K sin a cos /ît cosD n „ ,
tang R— — -j-jj =tang(iJCOSytlcosD=tangwcosIongit.
Toutes ces valeurs sont celles que donne la Trigonométrie sphérique; on les trouve de même par la projection. Ainsi, les constructions de
Ptolémée sur le planisphère sont en parfaite harmonie avec les formules
connues de la Trigonométrie.
Ptolémée donne ici plusieurs exemples numériques. Je les ai tous calculés par nos formules, et les ai trouvés toujours exacts à très-peu de secondes près.
Il ajoute que RE. EN = EB.ED = ËB*,
EN ~ LK ==ËK = tangi(9o0-4-MK) ^ tang H 9°° + D) ~ cot(45°-}- ï D) ,
EN = col (45e -M D) et ER = tang (45° -f- j D) , NE = ER — zFE ,
FE
■2FE=ER — EN; on aura donc FE, ensuite ^ = sinETF=sinREB
= sinMB; MB sera donc connu. ER == tang ( 45° + ).
On peut donc donner à BR une valeur quelconque , et l'on aura l'arc BM, avec lequel il passe au méridien dans la sphère droite ; c'est-à-dire l'ascension droite du point R.
Il passe ensuite à la sphère oblique ; il prend encore son exemple sur le parallèle de Rhodes, et refait un calcul de la Syntaxe.
ABGD ( fig. 109) est l'équateur ; ZBHD l'écliptique , dont le centre est T; le mouvement de la sphère se fait autour de E, deD en G, de G en B et en A.
ZRHL , l'horizon qui passe par les tropiques Z et H ;
ZMHN , un autre horizon passant par les mêmes points.
Dans la première position, Z et R se lèveront ensemble, H et L se coucheront ; mais dans la position ZMHN, au contraire, H et N se lèveront, M et Z se coucheront.
KL et MN passent par lecentre deprojectionE ; MN=RL, AM=GN; et pour faire AM = AR, nous chercherons les centres C et Y des deux arcs de l'horizon; nous mènerons CT et TY, EC et EY ; CTY ne fera <qu'une seule et même droite; CE sera perpendiculaire à RL, et YE à MN; les triangles ETC, ETY seront parfaitement égaux.
CET = YET , YEM = CER = 90° , AEM = AER, et par conséquent A M = AR, et LG = GN.
' HB se lève avec BN , et BZ avec BR = BN ;
ZD se lève avec RD, et DH avec DN.
On voit d'abord que des arcs égaux de l'oblique , comptés de l'équinoxe, se lèvent dans le même espace de tems; mais que BZ a son ascension droite diminuée de l'arc AR = diff. ascensionnelle ; l'arc opposé DH a l'ascension droite augmentée de GL s= AR ; et qu'ainsi le
PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 443 plus long jour surpasse autant le jour moyen , que le jour moyen surpasse le plus court. Il s'agit de calculer cette différence.
TE = tang obliquité , EC = tang (900 — 36°) = 54° = cot H , sinKA =sin AEK=sin CED = sin ECT = ^=~"fjj = tangatangH = sin différ. ascensionnelle.
C'est la formule que donne la Trigonométrie sphérique.
Pour calculer les durées des levers pour le même climat, soit ABGD l'équateur (fig. 110) et son centre E ; l'écliptique HDZB, et soit l'arc de l'écliptique BT, compté d'un équinoxe; menez TEL, l'arc d'horizon TMLN ; menez le diamètre MEN; soit C le centre de l'horizon, CE sera la dislance des centres et CT le rayon ; menez la perpendiculaire CY sur TL; A M sera la différence ascensionnelle. Vous calculerez ET comme ci-dessus ERdans un triangle rectiligne obliquangle, c'est-à-dire
EK = ^ ^ — ~ ; tangK.= tane a> cos longitude, vous aurez CE =: cot H
cos a> cos Ax ' & b & '
s=3 cot haut, du pôle et CT — cosécH. Ptolémée n'avait pas ces formules, mais nous avons vu qu'il en avait les équivalens. ET = (45° -f- ~ D) , puisque EA = 90" et AT = déclin, du point de l'écliptique.
EY = 1 (TY+Y© -i(TY-YE) ==tang(45-+iD) ~tang(45*— i-D)
sin D sinD
acos(45°+ î D) cos(45°— jD) ~ asin(45°— i D) cos(45°— { D)
sin D sin D • 1
= -—. — - — =r- = — pr = ta 11 £J D , comme ci-dessus. sm(9o° — D) cosD 0 '
sinYCE =~ = t-^> = tangD tang H.
CE cot H ° b
C'est le sinus de la différence ascensionnelle du point dont la déclinaison est D; BT donne le point T ; BA en est l'ascension droite; TBA est l'obliquité de l'écliptique. De ces trois quantités, il n'y a que BT qui soit défigurée sur la projection; TA l est aussi, c'est la distance du point représenté par T à l'équateur; dans TBA considéré comme sphérique, nous aurons tang BA = cos où tang BT ; cot BTA = cos BT tang a> ; sin TA = sin oo sin BT ; ou tang TA = tang co sin BA ; BTA sera le même sur la sphère et sur la projection; TM est un arc de l'horizon, M le point de l'équateur qui se lève, T le point de l'écliptique qui se lève en même tems ; MET sera donc l'angle au pôle E entre les deux points; dans la sphère droite, T se lèverait avec A; mais dans la sphère oblique, il se lève avec M ; CE est perpendiculaire sur MiX, GY sur TL; l'angle
ECY est donc le même que MET ; il sera donc la différence ascensionnelle cherche'e. TME est le triangle entre le pôle, le point levant de l'écliptique et le point levant de l'équateur. EM = go° = dist. équat. au pôle ; ET la distance polaire du point de l'écliptique ; TM l'arc de l'horizon ; l'angle T est l'angle du cercle de déclinaison avec l'horizon ; TME est l'angle de l'horizon avec l'arc de go', mené du pôle à l'horizon au point est; EML est donc la hauteur du pôle; TMA == 180° — H — • go°=go° — H; le triangle TMA donne sinMA tangM = tangDet sinMA = tang D tang H.
Ptoléniée substitue à ce triangle sphérique le triangle rectiligne CEY.
Aucune de ces comparaisons des parties de la projection aux parties correspondantes de la sphère ne se trouve dans Ptolémée, qui s'arrête après le calcul de la différence ascensionnelle YCE. Ptolémée donne quelques exemples numériques que j'ai trouvés bien calculés. Son but, apparenxment, a été, en appliquant la Trigonométrie rectiligne à ses constructions, de montrer que le planisphère pouvait résouàVe avec exactitude les problèmes d'Astronomie sphérique. L'avantage du planisphère est de dispenser des calculs; sans cela, il était plus simple de beaucoup de s'en tenir à la sphère.
La seconde partie a pour objet les cercles parallèles à l'écliptique, et ïa construction de cette pièce du planisphère qui est connue sous le nom
d' 'araignée.
De tous les cercles ci-dessus décrits , dit Ptolémée, prenons celui qui renferme tous les autres (c'est-à-dire le ti*opique du Capricorne), ABGD (fig.in ). Tx'acez les deux diamètres AG, DB qui se coupent à angles droits; prenons un arc GZ obliquité de l'écliptique; menons GH parallèle à DE et qui aille rencontrer la corde DZ prolongée en H; menons HT perpendiculaire à DE; joignons DG qui coupera DH en K; du rayon EL = TK décrivons le cercle MNLC, ce sera l'e'quateur ; joignons GM qui coupera ce cercle en N; MN est semblable à DZ, et NL à ZG ; car DE : EG : : DT : TK ; or DE = EG ; donc DT = TK ; DT — TM = EM — TM; car DT = TK=EL=EM; DM=ET=GH ; donc MG=DH, et ces lignes sont parallèles; EMN =EMG = EDH = EDZ=iBZ = i(9o°-f-GZ) = (/+5°H-^); MGE = (45° — £a>) ; ME = tang (45° — \cù).
Dans la construction ordinaire, eix prenant ME pour unité, DE = ME tang f 45° + »; donc ME=DEcot(45°-(- » = DE tang(45°— ». 11 sciait bien plus simple de prendre DZ' = où , de mener GZ'3 alors ËM = EG tang AZ' = EG tang (45°—
PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 447 Cetle nouvelle construction est donc très-inutilement compliquée,
et ne valait pas celle qui commence par décrire l'équateur. Au reste, en
retournant les formules de la première construction, on peut commencer
à volonté par l'un ou l'autre tropique.
Soit ABGD l'équateur ( fig. 1 1 2), BHDL l'écliptique ; prenez BT = cù ,
et menez DT , qui coupe en K le diamètre AH ; K sera la projection du
pôle de l'écliptique.
(En effet, ER = tang^ BT s=s tang^ cù , ainsi que nous l'avons dit
ci-dessus.)
Tout cercle passant par ce point, passera par deux points diamétralement opposés tant du zodiaque que de l'équateur ; car ce cercle sera un cercle de latitude qui passera par les longitudes L et 1800 + L, dont les ascensions droites seront JR. et 1800 -f-
Ptolémée, daus cette exposition, néglige quelques éclaircissemens qu'il n'a pas jugés indispensables, mais qui n'étaient pourtant pas inutiles.
Soit maintenant ABGD (fig. n5) le cercle méridien ou le colure des solstices passant par les pôles de l'équateur et de l'écliptique ; D le pôle austral ou le lieu de l'œil, AG le diamètre de l'équateur, ZHT le diamètre du petit cercle qu'il s'agit de projeter. Par le point H menez RQHR, puis DMZ qui coupe RR au point Q; menez DR; MN sera la projection de ZT ; car il touchera deux cercles parallèles à l'équateur, passant l'un par Z, et l'autre par T. Tirez BZ et BQ, et les autres lignes que j'ajoute à la figure.
AG équateur, D pôle austral, B pôle boréal , AO cercle oblique incliné de 240. GO = AA = 24°, OT= AZ = 35°; ZT parallèle de 35° à l'oblique, GT=AT'= 1 1°, TT' parallèle à l'équateur touché par le parallèle de l'oblique, ZZ' parallèle à l'équateur à 5g°.
A\ = 24° AZ = 55 AZ = 59 BZ = 5i BDZ = i5 3o'.
KQHR parallèle à l'équateur mené par l'intersection H de ZT avec DB. GEO = 24»= RHT = HEm EHT = 66 = ZHB GT == 11 BT = 7g BDT = iBT == 59 5o' BZ'Z = ^BZ = BRH 5= BDZ.
DZB es 90° = BHQ ; ces deux angles étant droits , la circonférence! du cercle décrit sur BQ passera par Z, H, B et Q ; donc BQH = BZH, puisque ces angles s'appuient sur la même corde BH.
(On aurait de même QBZ = QHZ = inclinaison du diamètre ZT sur celui du parallèle RL , et par conséquent sur Téquateur. Donc QBZ = QHZ = I; donc ZHB = 900 — IesZQB, puisqu'ils s'appuient sur la, même corde BZ.
QZH = QZB — HZB =90°— HZB=9o°— HZZ'— Z'ZB , ou HBQ = 90°— I — { BZ se 900— ( i BZ + I ) ,
ZQB =r ZHB = 900— I ; donc DQB = 1 8o° — (900 — I) = (90°+ 1) , 180° = HQZ+ HBZ =HQB-4- BQZ + HBQ -}- QBZ = HZB-f-(9o0 — I) + (9o°— fBZ — I) + 1 = j BT + 90' — I + 90'— I— { BZ+I s 1 8o°— 1 BT— \ BZ ;
donc
iBT==iBZ4-I, BT = BZ + 2I, ou BT — BZ = 2I = BT — BZ' = TZ';
et en effet soit A la dislance polaire du parallèle , BT s= A -f- 1 et BZ =3 A — I ; donc BT — BZ s= 2I. Plolémée ne donne pas ces développemens, qui éclairciraient cependant sa démonstration.
Il est à remarquer surtout, que BQD = 900 -f- I est un des angles du second quadrilatère BQDR, et que les quatre angles du premier quadrilatère BHQZ sont des fonctions assez simples de A et de I.) II ajoute seulement que BZH = BZT === BDT = BDR s= BQH es BQR ; d'où il conclut que B, Q, D et R sont sur la circonférence d'un même cercle. Cetle dernière conclusion a besoin d'être prouvée.
Pour qu'un quadrilatère soit inscriptible au cercle, il faut que les deux angles, appuyés sur une même diagonale, forment une somme de 1800. Il faudra donc que DQB -f - DRB = 1800, ou que QDR -f- QBR es i8o\ Il suffit de l'une de ces deux conditions; l'autre en sera une conséquence, puisque la somme des quatre angles d'un quadrilatère est toujours de 5Go°.
Nous avons déjà BQD = 9o°-f-I,
DRB = DRR+RRB == ( ± DR — ± TL) + ZZ'B = \ DL— TL+ 7 BZ s= 1 DT + i BZ = K 1 8o° — BT) -f—BZ s= 900— ^BT + \ BZ == 90°- i (BT-BZ) = 90°- i - (BT- BZ') =90°— 1 T Z'= 90° - 1 ;
donc
BQD -f- DRB = 900 H- I -f- 900 — I = 1800.
PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 44g Mais 36o° = DQB + DRB + QDR + QBR ,
i8o' = BQD +DRB
donc 1800 = QDR + QBR ;
donc le quadrilatère BQDR est inseriptible à un cercle, ainsi que l'avance Ptolémée, qui n'a pas tracé ce cercle sur la figure.
Nous connaissons déjà l'un des angles de ce quadrilatère BQD=C)0o-f-I; BRD = 1800— BQD = 1800— (g60+l)=90° — I; c est le second angle, ou
l'angle opposé au premier.
QDR = QDT = 1 ZB -f- £ BT = £(k-JQ + j (A-fl) == A = distance du
parallèle à son pôle.
RBQ = 1 8o° — QDR = 1800 — A.
Nos quatre angles sont donc A , ( 1800 — < A) , ( 900 -f-I ) et (900 — I). Ces fonctions sont d'une simplicité qui méritait que Ptolémée la fil remarquer, s'il l'avait aperçue lui-même. Ce n'est pas tout ; ce cercle auquel le quadrilatère est inseriptible n'est rien autre chose que la projection du grand cercle , auquel est parallèle le petit cercle qu'on veut projeter. C'est ce que nous démontrerons toul-à-lheure.
Faites passer un cercle par les trois points Q, D, R, il passera par le point B.
Ce cercle donnera BH.HD = QH.QR. Le cercle ABGD donne
EH.HD=HlT; donc BH.HD = QH.QR = HlT; mais QR est parallèle à MN. Donc ME : QH : : DE : DPI : : EC : H L ,
