EN :HR :: DE: DH :: EC : HL

donc ME . EN : QH . HR : : DE: DH: : ËC HL-

Or, QH . HR = HL; donc ME . EN = ËC =W=ËY, FCY étant la projection du parallèle KL; donc les points FNYM sont dans un même cercle; ce cercle a pour diamètre MN, projection de ZT ; donc le petit cercle oblique qui a ZT pour diamètre sera projeté en un cercle FNYM. (Donc tout petit cercle oblique a pour projection un cercle; donc aussi, tout grand cercle aura pour projection un autre cercle, car le grand cercle pourra différer aussi peu qu'on voudra d'un du ses parallèles.)

Ptolémée ne tire pas ces deux dernières conséquences ; mais sa démonstration sert à mettre hors de doute la propriété générale et fondamentale, et cette démonstration est tout-ù-fail indépendante du théorème

Ilist. de VA$t. anc. Tom. II. 5j

45o ASTRONOMIE ANCIENNE.

d'ApolloniuS sur les sections subcontraires du cône. C'est ce qui la vend curieuse maigre sa longueur, et c'est ce qui justifiera les détails avec lesquels nous l'avons exposée ; car celle de Ptolémée est difficile à suivre, et nous avons été obligés d'ajouter plusieurs lignes à sa figure.

Maintenant, imaginez que le diamètre du cercle oblique se rapproche continuellement deAO, diamètre du grand cercle auquel il est parallèle, 3a démonstration subsistera ; elle subsistera encore quand ils se confondront ; le grand cercle dont le diamètre est AO aura pour projection un cercle dont le diamètre sera fxv , mais ce cercle est évidemment celui autour duquel le quadrilatère BQDR est inscriptible. Ce cercle sera toujours le même , quel que soit l'éloignement du petit cercle ZT , et tous les cercles parallèles à àO auront pour projection des cercles contenus en entier dans l'intérieur du cercle DuQBRv. Il est d'ailleurs évident que ces projections des différens parallèles auront des centres différens comme des diamètres différens, ce dont Ptolémée a donné ci-devant une démonstration que nous avons omise.

Pour éclaircir ceci par un exemple numérique, soit le grand cercle AO incliné de 24° à l'équateur (nous choisissons ce nombre rond de degrés, au lieu de prendre 23° 5i' 20*, obliquité de l'écliptique ) , nous aurons OG = OEG = AEà = Aà = 24° = I; soit OT = àZ=35% c'est-à-dire cherchons la projection du petit cercle éloigné de 35° de son grand cercle, ou éloigné de son pôle de 55° = A ,

D'après ce que nous avons démontré ci-dessus, nous aurons

QDR = A = 55°, QBR = 1800 — A = i25°,

BQD = 9o°+I = 9o°-f-24° = 114% BRD = 90°— I = 900— 24° = 66*. OT = 35% OG = 24°, GT=OT — OG = 35° — 24°= 11°, BT = 900 — GT = 79% BZ = BÏ — 2l = 79° — 48°=3i°.

BDZ s= iBZ = ^-°=i503o' = BRH = -iBK — iLZ'=iBK-~| KZ

= KB^-K^) = £BZ = ^-°= ,5°5o'.

Dans le quadrilatère BHQZ, nous aurons

HBZ = 90°— BDZ = 9o° — iBZ = 9o0 — i5° 3o'=74° 3o'; donc

HQZ = io5° 3o' = 1800 — HBZ , QHB = 900 == QZB.

Ainsi toutes les parties de notre figure sent déterminées d'après la démonstration générale : voyons si nous trouverons les mêmes choses par une autre voie,

PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 45r Abaissons la perpendiculaire Em = sinAZ = siuOT as sin 35* ;

EH= ~~nrr~ = ™f = ^r|^=o.6278576, DE=i, DH=i .6278576.

COd HLlll COa 1 COà 240 .

HB sa 1— EH= 0.3721424

;«H s= E/«tangHE/« s= sin 35° tang 24* as o. 2552g6 ?»T = mZ= cos55° = o.8igi5a

,„T + /«H = HT = 1.074448 #»T — wH = HZ = o. 565856 HR =5 DH tang H DR s= DH tangHDT=DH tang i BT=DH . tang 3g° 3o' = HD tang a (BT) == DH tang i (A — I -f- A -f- I) = DH tang A tans; A ttt>d HB o.37a 1424 ,

=s — - = tangHRB = ^ as n,{- * , =*= tang 1 5° 3o' as tang \ BZ as tang ( ) ;

ainsi il est clair qué BRH=rBDZ, ainsi que nous l'avons trouve' a priori ; donc HBR = 74° 3o'.

2HBR as 1490 o' = DZ-, donc BZ' = BZ = 1800 — DZ' = 3i% comme ci-dessus GZ' as 5g° ;

QH = DH tang^ BZ = DH tang i5° 3o' = QH = DH^lBZ r = 5q0 q7

HB 0.0721424 » x

HBR = 74.3o.o

QBR aa 125. 0.0 comme ci-dessus =s go" -f- latitude du parallèle.

DQH a= 74° 3o' HDR = 3g° 3o'

BQH = 5g. 5o DR H as 5o.3o

DQB = 114. o m 908+I; HRB as i5.3o

RDH as 3g. 5o BRD = 667~o~

QDH = ^ BZ a= iS'.Zo

RDQ aa 55. o

Voilà nos quatre angles retrouves dans le grand quadrilatère; ce quadrilatère nous fournira le cercle BQ^D.R, et ce cercle sera la projection du grand cercle dont le diamètre est AO; en effet, menons DA et DO.

A mesure que ZT se rapprochera de E, les segmens se rapprocheront de l'égalité , QH et HR augmenteront; enfin en E on aura

45a ASTRONOMIE ANCIENNE.

BH = BE , DH = DE, BH.DH= BE.DE = DË*= i = E/a.Ev

== DË'tang \ D//.tangiDv = L>Ë\ tangi BA tang i BO

= ^!tangK900+I)tangK90°— I) = DË0ang45°+^I)tang(45a-iï)

= DEatang(45°— ^I)cot(45' — {I)=--i.

*L se confondra avec À et T avec O ; Dà et DO passent donc par les points /i et v; les quatre angles du quadrilatère seront D et B = go* chacun ; Q = 90°+I et R=go° — Ij l'arc ^0 = 90° — I et >D=90°+I ; ces angles sont constans, parce que leurs cordes sont constantes.

Cette démonstration de Ptolémée est longue et embarrassée. 11 est évi-. dent qu'il se la serait épargnée, s'il avait connu la propriété générale. 11 l'a démontrée en particulier pour l'équateur et ses parallèles, pour l'éclipiique et ses parallèles; il annonce qu'elle s'étend aux horizons et à leurs parallèles. Il devait en conclure qu'elle est commune à tous les cercles de la sphère; il ne l'a pas fait ; il ne l'a peut-être pas osé, d'après trois cas particuliers , ou bien il aura cru cette proposition inutile. Cependant elle était au moins assez curieuse pour être énoncée. On peut dire que la démonstration de Ptolémée ne peut s'appliquer qu'aux parallèles qui sont à une distance < 900 — l de leur grand cercle; mais les autres parallèles, tels que serait XV, qui n'embrassent pas le lieu opposé à celui de l'œil, ne pouvant être d'aucun usage, il ne s en est pas occupé.

Le traducteur Maslem ajoute qu'on peut décrire de la même manière tous les parallèles à l'horizon , que les Arabes appellent des ponts (pontes}; on les nomme ordinairement almicantarats ; ces deux mots auraientils la même signification?

La figure représente des parallèles septentrionaux; s'ils étaient dans l'autre hémisphère et fort voisins du pôle austral, ils pourraient excéder les bornes du plan; on n'aurait qu'une des limites du diamètre, et la construction deviendrait impossible. Cet inconvénient est beaucoup moindre par nos formules, qui donnent le rayon et le centre du cercle à décrire. Ptolémée, dans ce cas, décrit un parallèle à l'équateur, qui coupe en deux points le parallèle à l'écliptique ; il détermine ces deux points communs, qui lui en donnent un troisième; mais on a toujours la ressource de placer ces points sur la projection, parleurs déclinaisons et leurs ascensions droites ; les ascensions droites donnent les rayons sur lesquels se trouvent ces points, et la distance du point au centre de la projection = tang (45° -f- ~ déclin, australe).

C'est à ces problèmes que se borne Ptolémée. Il enseigne à décrire

PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 453 graphiquement le planisphère ; il y place Pequatéûf et ses parallèles , l'e'cliplique et l'horizon avec leurs parallèles ; il démontre que ce plani-sphère donnera les différences ascensionnelles, les levers et les couchers, aussi bien que la sphère même ; il montre comment on doit placer les e'toiles par leurs longitudes et leurs latitudes, sur un cercle évide' dont il ne conservait que les parties nécessaires pour porter les étoiles. Toutes ses constructions se réduisent à trouver le centre et le diamètre du cercle à décrire; il démontre, dans trois cas particuliers, que la projection est un cercle ; il n'en déduit pas la propriété générale. Ce qui est vraiment remarquable, c'est qu'eu aucun endroit il ne fait usage du théorème d'Apollonius pour les sections subcontraires du cône. Il parait que les Grecs qui ont traité de la projection stéréographique n'ont rienempruuté à Apollonius pour cette théorie; et il n'existe aucun pre'texle pour en faire honneur au grand géomètre.

Ptolémée ne dit pas un mot qui puisse faire soupçonner qu'il ait eu la moindre idée de celte autre propriété générale, que les angles sur la projection sont les mêmes que sur la sphère.

Il est à remarquer encore que Ptolémée ne cite Hipparque en aucun endroit; et cependant Hipparque est le véritable inventeur, ee qui nous est attesté par Synésius et Proclus Diadochus. Le premier dit expressément que le vieil Hipparque s'avisa le premier de cette explication, c'està-dire du problème dans lequel on se propose de représenter sur un plan une surface sphérique. Il ajoute qu'Hipparque en a parlé d'une manière assez obscure, et que la gloire d'en avoir perfectionné la solution lui appartient en propre à lui, Synésius. «Car dans ce grand intervalle qui s'est » écoulé depuis Hipparque jusqu'à nos jours, nous dit-il, personne ne » s'était occupé sérieusement de ces recherches. Le grand Ptolémée et )> ses successeurs dans la divine école d'Alexandrie, s'étaient contentés » d'employer le planisphère à connaître les heures de la nuit, service » qu'on tire aisément des seize étoiles figurées seules sur le planisphère » d'Hipparque. »

On ne voit pas ce qu'on pourrait dire pour infirmer un témoignage aussi positif et aussi détaillé. Synésius était élève de la célèbre Hypatia, fille de Théon , commentateur de la Syntaxe mathématique. Il pouvait savoir par une tradition certaine , ou par quelque ouvrage existant alors et perdu pour nous , quel était l'auteur de cette découverte ; et s'il en fait honneur à Hipparque, il faut l'en croire, car il ne paraît pas disposé à flatter celui qu'il désigne par l'épithète de tout vieux (7ra.fi7rzhcucç')) et à qui

il reproche son obscurité' , tandis qu'il donne à Ptoléme'e le nom de grand,' et celui de divine à l'école d'Alexandrie. Il était élève de cette école ; et, d'après ses expressions, on pourrait croire qu'on y était un peu jaloux de là gloire d'Hipparque, qui était de l'école de Rhodes. Bailly, après avoir cru au témoignage de Synésius, pag. 175, paraît ensuite le révoquer en doute, pag. 565 ; après avoir donné cette invention à Apollonius, pag. 48, il l'attribue successivement à Hipparque et à Ptolémée. Il montre luimême trop d'incertitude, pour que son opinion puisse balancer l'assertion positive de deux auteurs anciens. Proclus, au chapitre V de l'Hypolypose, donne la description et l'usage de l'astrolabe. «Nous allons, dit-il, .» expliquer ce que publièrent jadis Ptolémée après Hipparque, et depuis, » Amonius, Proclus, Philoponus etNicephore, dont les écrits ont grand » besoin d'être éclaircis. » Ce passage, ignoré sans doute de Bailly et de ceux qui ont donné leurs conjectures sur l'inventeur du planisphère, pourrait nous faire penser que l'ouvrage de Ptolémée pourrait bien être une nouvelle édition de l'ouvrage d'Hipparque, avec quelques modifications légères. Proclus, comme on voit, nomme Hipparque comme le premier qui ait traité du planisphère -t mais en lui rendant cette justice, il lui reproche son obscurité, comme avait déjà fait Synésius, auquel ce Proclus Diadochus est postérieur d'une centaine d'années. Remarquons qu'il ne cite nullement Synésius au nombre des auteurs qui ont écrit sur le planisphère. Et en effet, malgré tous les éloges qu'il se donne à lui-même, on ne voit dans la description de son bel astrolabe d'argent, rien qui lui appartienne et qui ne fût dans Ptolémée.

Hipparque avait placé sur son planisphère seize étoiles qui servaient à trouver l'heure pendant la nuit. Il savait donc décrire Téquateur et ses parallèles ; il y avait aussi, sans doute, placé l'écliptique et ses parallèles, l'horizon et les almicantarats , sans quoi il n'eût pas résolu complètement le problème qui sert à trouver l'heure. On ne voit pas clairement ce que Ptolémée aurait ajouté à ces découvertes d'Hipparque.

Quant à Proclus, après avoir promis d'éclaircir tout ce qui avait été publié avant lui , il se borne à donner des détails organiques sur les pièces qui composent l'instrument, sans faire aucune mention de la théorie.

Il est assez extraordinaire que Synésius, en annonçant un nouveau Traité du Planisphère , ou de l'Astrolabe plan , ne fasse aucune mention de celui que Ptolémée avait composé sur celte matière ; au contraire, il nous assure que depuis Hipparque jusqu'à lui, personne ne

PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 455 s'était occupé sérieusement de cette théorie. Supposait-il, comme nous serions tentés de le croire , qu'il fallait rendre l'écrit de Ptolémée à son véritable auteur ?

Synésius, en terminant la description de son astrolabe, dit que les positions des étoiles y sont rapportées à l'équateur, parce que, dans cette construction, il est impossible de les rapporter à l'écliptique. La lettre de Synésius annonce donc beaucoup moins qu'on ne trouve dans l'ouvrage qui porte le nom de Ptolémée ; et cependant il se vante d'avoir ajouté considérablement à ce dont Ptolémée et ses successeurs s'étaient contentés. Nous n'avons aujourd'hui que la lettre qu'il écrivait àPœonius, en lui envoyant un astrolabe d'argent. Si nous ajoutions foi à ses expressions un peu avantageuses , nous regretterions beaucoup la perle de son ouvrage. « Pardonnons, dit-il, à ces personnages, d'avoir négligé » cette matière dans un temps où les connaissances étaient imparfaites , et » la Géométrie encore au berceau. Pour nous, qui avons donné un beau j) corps à la science, nous remercions bien les grands hommes qui nous )) en ont fourni l'idée. Le problème de la projection des corps sphéh riques nous ayant donc paru très-digne d'attention, nous y avons pro- » fondement réfléchi ; et l'écrit que nous avons composé sur ce sujet, » nous l'avons rempli de théorèmes aussi nombreux et variés que né- )) cessaires : fHhify&rl a,: ayzct/ù) /.et) ttoixi^icl nrcov QicofAfJLtzTœv ■/.a.rctiiuy.v xcoTctvTt;. » Ce nombre de théorèmes indique assez que Synésius ignorait le théorème général, qui aurait beaucoup diminué le nombre des propositions nécessaires.

La lettre est terminée par huit vers où Synésius a rassemblé tous les usages et la composition de son astrolabe, lis promettent les lieux des astres par rapport à l'équateur, les ascensions droites des points de l'écliptique et leurs passages au méridien. Il u'y avait aucun besoin, pour tout cela, de cette grande variété de théorèmes nouveaux que Synésius annonçait avec tant d'emphase; les constructions graphiques de Ptolémée étaient plus que suffisantes. Tout l'avantage de cet astrolabe sur celui d'Hipparque, était d'offrir les étoiles de toute grandeur jusqu'à la sixième, c'est-à-dire mille étoiles peut-être au lieu de seize qu'on voyait sur le planisphère d'Hipparque. Ce grand nombre pouvait offrir quelque confusion, si le diamètre n'était pas bien grand.

Le planisphère de Ptolémée n'est pas compris dans la collection des œuvres de Ptolémée , imprimée à Bàle en i54i ; et il n'y a rien d'étonnant, si la traduction latine n'a été terminée qu'en i5/,4, à Toulouse, Celle collée lion porte pour titre : Cl, Piolemœi omma c/uce extant opéra.

Proclus, au chapitre X de son Hypotypose, dit que Ptolémée, cherchant en tout la clarté et la facilité, avait placé les lignes horaires et les parallèles en deux parties différentes de l'instrument, pour éviter la confusion. Il est assez singulier que Plolémée, dans sou ouvrage, ne dise pas un seul mot de ces lignes horaires.

Une autre singularité assez remarquable, c'est que Ptolémée, dans sa Géographie, ne fait aucun usage de la projection d'Hipparque, et que pour la description du méridien et des parallèles , il donne des moyens assez grossiers, qui n'ont pas même l'avantage d'égaler en facilité les procédés qu'il aurait pu emprunter de sa théorie du planisphère, en représentant le globe sur l'horizon de Rhodes, dont il regarde le parallèle comme celui qui divise également la partie habitée de la Tern .

Commandai, qui a commenté le planisphère, nous dit que le texte est perdu, que la traduction latine faite sur l'arabe est si mal écrite, qu'on a peine souvent à saisir le sens de l'auteur. Ptolémée avait omis quelques démonstrations ; il tâche d'y suppléer. Son commentaire commence par un Traité général de Perspective ; il y rapporte le théorème d'Apollonius sur les sections subcontraires ; mais il n'en fait aucune application aux théorèmes de Plolémée; il ne démontre en aucun endroit le théorème général, tout au plus on pourrait croire qu'il le suppose. L'édition de Commandin , quoique sortie des presses des Aides, n'est pourtant exempte ni de fautes ni d'erreurs. Les lettres des figures sont italiques et peu lisibles.

La traduction latine a été terminée à Toulouse , le icr juin i5/t4, par Rodolphe de Bruges (Brughensis ). Le traducteur paraît avoir été aidé par Robert de Calane. Les fautes y sont bien plus nombreuses, mais les figures plus aisées à lire. Ce qu'il y a de singulier, c'est que la traduction, qui n'a été finie qu'en i544> paraît avoir été publiée en i536; c'est ce que porte le frontispice de l'ouvrage, qui a pour titre général : Sphœrœ atqueJs- Irorum cœlestium ratio, natuva et motus , ad totius mundi jabricationis cognitionem fundamenta, i5j6, Valderus. C'est une collection de différens ouvrages dont les principaux sont les Phénomènes d'Aratus avec le commentaire de Théon, le Planisphère de Ptolémée et celui de Jordan. C'est dans ce dernier traité que j'ai vu pour la première fois énoncé le théorème général. Voici les propres termes de l'auteur : Quilibet circulas qui est in spliœrâ, in piano reprœsentatur vel per circulum, vel per lineam rectam. Jordanus, au lieu de projeter la sphère sur l'équateur, la projette sur un plan parallèle h l'équateur, et tangent à la sphère au pôle boréal du monde.

PLANISPHÈRE DE PTOLÉMÉE. 457 Il paraît que cette collection aura été commencée en i53G, mais terminée quelques années plus tard, et que le frontispice aura été imprimé d'abord avec la date de l'année courante, car toutes les signatures des feuilles, tous les chiffres des pages se suivent sans interruption, et aucun des ouvrages particuliers ne commence avec une feuille ; on ne peut donc pas supposer que le traité ait été depuis réuni dans ce volume.

La dénomination qui sert à distinguer cette projection de toute autre, quoique tirée du grec, est cependant assez moderne. Le mot stéréograpluque a été proposé et employé pour la première fois par Aguilon, dans son Optique, Anvers, i6i5, pag. 5j5. Le motif qui l'a déterminé est, comme il le dit lui-même, quod universam corporis objecti profunditatem et peripheriam ipsam unico prospecta explanet. Ce qui est ou trop vague, ou trop inexact: on ne peut représenter les cercles trop voisins de l'œil , et la profondeur a disparu dans la représentation. Cette projection s'est long-tems appelée l'astrolabe ou le planisphère de Ptolémée ; il eût été plus juste dédire le planisphère ou la projection d'Hipparque.

Nous avons dit ci-dessus qu'Amonius, Proclus, Philoponus et Nicephore avaient composé des traités sur l'astrolabe. Aucun de ces ouvrages n'a été publié ; mais nous avons trouvé ceux de Philoponus et de Nicephore Grégoras dans le manuscrit 2397 de la Bibliothèque du Roi. Ces traités ressemblent en un point à celui de Proclus Diadochus ; on n'y parle que delà construction et des usages de l'instrument, et nullement de théorie. Les constructions sont celles de Ptolémée , ou n'en diffèrent que très peu. Les usages ne supposent rien autre chose que les théorèmes démontrés par Ptolémée. On peut donc assurer que cette doctrine, inven-r tée par Hipparque , n'a reçu aucune amélioration entre les mains des Grecs ; elle est toute dans le livre du Planisphère; elle n'y a pas toute la clarté qu'on aurait pu désirer, mais on y voit la marche de l'inventeur, et cette marche ne ressemble en rien à celle qu'ont suivie les modernes; le principe fondamental est tout différent et peut être plus naturel. C'est une production tout-à-fait originale.

Hist. de l'Ast, anc. Tom. II.