CHAPITRE XVI

De V Analemme.

C'est encore un ouvrage de Ptolémée dont l'original est perdu. La traduction latine publiée par Commandin parait avoir été plus défectueuse que celle du Planisphère, car il s'en plaint avec amertume. 11 manquait des mots et des phrases entières; d'autres passages étaient défigurés au point d'être inintelligibles. Il y a grande apparence que cette traduction était comme celle que nous avons de l'Optique ; mais le remède était plus facile. Le mal est que souvent Ptolémée néglige de démontrer ce qui est connu avant lui ; ensorte qu'on se trouve parfois très-embarrassé. Commandin a fait tout son possible pour restituer, compléter et commenter les endroits altérés ou obscurs. Son édition est de Rome, i562, chez Paul Manuce, fils d'Aide. Mon exemplaire vient de la bibliothèque des Jésuites de Paris.

L'ouvrage est adressé à Syrus, comme la Syntaxe mathématique et le Planisphère.

L'analemme est la description de la sphère sur un plan. On y trace les sections des différens cercles, tels que les parallèles diurnes et tout ce qui peut faciliter la science des ombres et des cadrans. Cette description se fait par des perpendiculaires abaissées sur le plan ; ce qui lui a fait donner par les modernes le nom de projection orthographique. Le mot analemme signifie à peu près la même chose que lemme ; l'analemme est pour les constructions graphiques , ce que le lemme est pour les démonstrations géométriques ; c'est une figure subsidiaire où l'on prend ce qui peut abréger et faciliter la construction de la figure principale.

Les cercles principaux de l'analemme sont l'horizon, le premier vertical et le méridien; les trois axes sont la méridienne, axe du premier vertical, la verticale, qui s'appelle aussi gnomon, et le diamètre du premier vertical, qu'on appelle aussi équinoxial, et qui est l'axe du méridien. Voilà la première mention que je trouve de ces trois axes orthogonaux dans les écrits des Grecs.

Quelle que soit la position d'un astre au-dessus de l'horizon, par le lieu qu'il occupe, on peut toujours concevoir trois grands cercles qui

DE L'ANALEMME. 459 s'entrecoupent à son centre , et qui ont chacun un des trois axes pour diamètre. Ainsi, par l'astre Z (fîg. n4)> on Peut mener Tare BZA, qui passe par les points nord et sud de l'horizon; HZE, qui passe par les points est et ouest de l'horizon; enfin le vertical GZL , qui passe par le zënit et le nadir. AZB s'appelle assez improprement cercle horaire ; GZL s'appelait descensif, ou d'ascension et de descension; HZE s'appelait hectëmorie, ou de six parties, parce qu'il peut prendre six positions principales autour de Fhorizon. On ne dit pas quelles sont ces six positions; ce sont probablement les positions relatives aux six heures temporaires, soit du malin, soit du soir.

L'arc AZ s'appelait horaire; au lieu de ZG distance au zënit, on employait plus ordinairement ZL , qu'ils appelaient descensif; AH s'appelait aussi hectëmorie, du moins chez les anciens mathématiciens, qui ne faisaient aucun usage de AZB ; GH s'appelait dans le plan du vertical ; au lieu de EL, on employait le complément AL, qu'on appelait antiscien, parce qu'il était dans le prolongement de la direction de l'ombre.

L'origine des arcs de Thectémorie est en E au point levant ou au point opposé; celle de l'horaire est au sud ou au nord de l'horizon ; celle du descensif au zénit.

Ajoutons à la figure de Ptolémée le pôle P, et menons PZ = distance polaire du Soleil, et PE=go°, de la figure 117.

cosZE = cosZPE sinPZsinPE-f- cosPZ cosPE = cosZPE sinPZ; puisque cosPE = 0 et sin PE = 1 , cos ZE = cosD sin P, d'où il résulte que l'arc ZE change à chaque instant avec l'angle horaire.

L'auteur démontre cette formule très-simple par une figure très-compliquée. Cos D sin P est la hauteur perpendiculaire de l'astre sur le plan du méridien. Pour une même heure du jour, cette hauteur varie avec la déclinaison.

Par une autre figure non moins compliquée, il détermine ensuite cos D cos P = distance au cercle de six heures. Ces préparations longues et incommodes sont destinées à épargner des calculs; mais elles rendent l'opération difficile, et certainement moins exacte. Ptolémée en convient lui-même.

A ces explications en succèdent d'autres plus compliquées, et dont on ne voit pas l'utilité; si bien qu'elles sont tombées dans l'oubli le plus profond , et qu'aucun auteur ne paraît en avoir rien tiré ni avant ni depuis l'édition de Commandin. Ainsi, nous n'en dirons rien, d'autant plus

4Go ASTRONOMIE ANCIENNE.

qu'elles exigeraient un grand nombre de figures difficiles à tracer", et difficiles à suivre quand on lit le texte. Une raison plus décisive encore, c'est que Ptolémëe semble y renoncer lui-même par la construction d'un analemme particulier qui paraît de son invention.

Cet analemme est composé de deux pièces. La principale est une planche de pierre, de bois ou de métal sur laquelle sont tracés plusieurs cercles, dont les uns sont divisés et les autres non. La seconde est une équerre très-mince, dont les deux grands côtés autour de l'angle droit sont au moins de la longueur du îayon du plus grand des cercles de l'analemme. Cette équerre dispensera de tracer réellement les perpendiculaires dont on aura besoin ; on les aura de longueur et de position, en promenant l'équerre sur les lignes droites delà figure. Dans les opérations, on s'aidera aussi d'un compas pour connaître la longueur des lignes et des cordes, et par suite la valeur des angles.

Soit AB (fig. n5)le diamètre du plus grand cercle, G le centre; ce cercle décrit, retranchez du rayon le tiers AD de sa longueur, et avec le reste GD, et du centre G, décrivez le cercle méridien sur le diamètre DGE, que vous prendrez pour le diamètre de Téquateur ; diminuez encore GD de son tiers GZ et du centre Z, et de l'intervalle ZT — GD décrivez l'arc de go° HTK. d'un cercle égal au méridien, ensorte que ce quart de cercle soit divisé en deux arcs de 45° par le diamètre AGB. Ainsi TR = TH = 45°. Divisez cet arc en ses 900 avec soin.

Ensuite du centre G et du rayon GL , L étant le milieu entre les points A et T , décrivez le cercle LMNX , dont vous diviserez un quart seulement en ses go°. Vous y marquerez les latitudes des différens climats, en mettant à côté du chiffre qui indiquera cette latitude, le nombre d'heures du plus long jour. Ainsi, vis-à-vis 36° de latitude de Rhodes, vous mettrez \l± - durée du jour au solstice d'été. Prenez DP =z EQ = 25° 5i', et tracez PQ, diamètre du tropique; prenez de l'autre côté DR= ES = 200 7, et tirez RS, diamètre du parallèle, qui passe par is et 4S de longitude ; prenez DC = EY = ii° 40', et lirez CY ; ce sera le diamètre du parallèle qui passe par iJ" et 5S. Sur ces trois demi-diamètres décrivez les demi-cercles PRQ, RVS, et CZY, que vous ne diviserez pas. Mais pour les demi-cercles du méridien, tracés sur le diamètre de l'équateur, vous les diviserez chacun en i2h égales de i5° chacun. De chacun de ces arcs vous abaisserez sur le diamètre des perpendiculaires occultes qui le diviseront en douze parties , que vous marquerez ; car toutes ces choses

DE L'ANALEMME. 461 sont communes à tous les climats. On voit que les parties du diamètre sont des sinus et des sinus verses.

Si la planche est de cuivre ou de pierre , il ne sera pas nécessaire d'effacer les traits gravés; car les choses qui varient avec les climats, c'est-à-dire les deux diamètres et les divisions des heures, seront sur le vernis qui recouvrira le tout. Si le tambour ou la planche est de bois, il faudra recouvrir tous les traits d'une couleur noire, à l'exception des deux diamètres avec les signes, qu'on peindra en rouge; on étendra sur tout le tambour une cire, comme on le pratique sur les sphères, pour ne pas recouvrir à la fois ce qui doit rester et ce qui doit varier.

Cela fait, il sera facile de prendre sur la figure tout ce qu'elle peut nous donner, quand nous aurons tracé les diamètres comme il convient pour la hauteur du pôle (ces diamètres sont ceux de l'horizon et du. vertical), et ensuite la section qui indique la partie du tropique qui est sur l'horizon et celle qui est sous terre.

La figure 1 15 offre donc tout ce qui est constant; il ne reste plus qu'à y tracer le diamètre de l'horizon, qui doit faire avec l'équateur un angle égal au complément de latitude. On y mettra ensuite le diamètre du vertical perpendiculaire au diamètre de l'horizon. Nous diviserons ces diamètres comme nous avons divisé celui du méridien, en sinus d'arcs croissant uniformément. Ces divisions des diamètres étant faites , nous effacerons les divisions des cercles qui ont servi.

Commandin développe ces règles. Si l'instrument est de cuivre ou de pierre, on y gravera tout ce qui est-invariable ; mais ce qui est propre à une latitude particulière, comme le diamètre de l'horizon et du vertical, et les divisions horaires sur les demi - cercles , sera marqué d'une couleur qu'on pourra effacer au moyen d'une éponge mouillée. Si l'instrument est de bois, on marquera les choses invariables et les variables d'une couleur différente, et l'on recouvrira celle-ci d'une cire qu'on pourra faire disparaître, si l'on veut adapter l'instrument à une autre latitude.

Ptolémée passe alors à l'usage de l'instrument. Soit AGBD le méridien (fig. 1 16) , AB le diamètre de l'horizon, GD celui du vertical, ZEH celui de l'équateur , T le pôle, ZT le quart de cercle au-dessus de la Terre. L'équateur est divisé en sections horaires sur l'analemme. Imaginons ces sections sur ZH. Soit LK la perpendiculaire à l'une de ces divisions ; TK sera l'arc de l'hectémorie qui répond à la division horaire EL. Prenant avec un compas l'arc TK, et le portant sur le quart de cercle divisé de

46a ASTRONOMIE ANCIENNE.

l'analemme, nous aurons sa valeur en degrés (EL sur l'e'quateur serait pour nous le cosinus de l'angle horaire et le sinus de TK).

Pour trouver l'arc horaire, nous ferons glisser sur l'horizon AB une équerre ; et quand le côte' sera en L , il marquera le point M, et AM sera l'arc du cercle horaire (pour nous PE = cos P cos AZ = cos P sinH = sin GM = cos AM ).

Si nous faisons glisser l'équerre sur EG, la branche perpendiculaire, arrivée en L, marquera N sur le méridien. GN sera l'arc du descensif, ou la distance zénitale ( pour nous LP = LE cos H = cos P cos H = sin AN = cos GN = cos dist. zénitale = cos descensif. C'est à cela que se réduit notre formule cosN = cosP cosD cosH-f- sin H sin D quand D= o. AZ serait sans préparation l'arc du méridien).

Plaçons le compas sur les points K et L ; plaçons un des côtés de l'équerre sur L, et l'autre le long de GE (ensorte que notre équerre ait la position NQE) ; portons alors une des pointes sur le point Q , et de l'autre, marquons sur QL le point K' , et donnons à l'un des côtés de notre équerre la position de EK' ; il nous indiquera sur le méridien le point x , et Gx sera l'arc du vertical.

Plaçons de même une branche de l'équerre sur AE, ensorte que l'autre passe par L; portons notre compas de P en K", ensorte que PK" = KL; marquons de même dans la direction EK." le point O; GO sera l'arc de l'horizon. Tous nos arcs seront trouvés ; nous porterons tous ces arcs sur le quart de cercle divisé, pour avoir en degrés la valeur de ces arcs.

Tout cela est tout simplement une construction graphique où l'on trouve les arcs par leurs sinus avec la règle et le compas ; et ce qu'il y a d'extraordinaire, c'est cet emploi des sinus au lieu des cordes; et ce qui donne à l'opération un air étrange, ce sont ces dénominations insolites des trois difFérens arcs.

Pour x nous aurions

EQ . LE cos H cos P cos H TT

-£r = tangEk'Q = lang Ax = LK = — ^-p— = cos H cot P.

Pour O,

PK" K~ sinP îinP tançP

w = tangAO=cotGO=or— H = — — = ^ , et tang GO = sinHcolP.

DE L'ANALEMME. 463 Par notre Trigonométrie , le Soleil e'tant en S dans lJéquateur EQ , à la distance angulaire ZPS du méridien, et SPQ du cercle de 6A, ZPS + SPQ = 900 ( fig. 117).

sînSR = sinSQsinSQR = cosPcosH= cosZS , comme Ptolémée. tangRQ = tangSQ cos SQR = cotPsinH = cotOR, comme Ptolémée. tangSR = sinRQ tangSQR = sinOR tangQOS,

tangQOS = langSQR = tangRQ cotH = cotP sinH cotH

== cosH colP = tang(Ax de Ptolémée), OE = OQE = 90°— H.

CosÔR : cosRQ :: cosOS : cosSQ,

cosOS = p°bQR cosSQ . Sln RQ sjnp — . s;np tangRQ = sinPcolPsinH

cos RQ cos RQ & x

= cosPsinH = sinGM de Ptolémée.

CotQSR = cosSQ tangSQR = sinPcotH = cotZSE, SO' = go° — OS = distance au premier vertical ,

col OSE = cosSOlangEOS = cosSOcolSOR = cosDPrsî"iL

& tangRQ cotH

cosPsinH sin P . Tr

— — , ,y ■ tt — 777 = — rn = sinP tangll, cotPsinHcotH cotH P '

OSE + OSR+RSQ = 180% OSR = 1800 — OSE — SRQ.

Nous avons ainsi tous les côtés et tous les angles des triangles rectangles SQR, RSO, OSE;

L'arc GM de Ptolémée est OS', distance perpendiculaire du Soleil au premier vertical ;

L'arc GO est l'arc de l'horizon compris entre le premier vertical et le vertical du Soleil ;

L'arc GZ est la latitude , l'arc AZ la hauteur de l'équateur ;

L'arc Ax est l'angle que fait avec l'horizon l'arc mené du Soleil au point midi de l'horizon = QOS = QO' (fig. 117);

L'arc GN est la distance zénitale (fig. 116);

L'arc SQ est le complément de l'angle horaire (fig. 117).

Pour toutes ces quantités, nous retrouvons, par notre Trigonométrie sphérique, les mêmes valeurs que parles constructions de Ptolémée. Il est incroyable qu'en faisant cet usage de nos sinus, il n'ait pas songé à les substituer aux cordes de sa Trigonométrie sphérique.

Tout cela était facile, parce que la déclinaison était nulle.

Soit maintenant un parallèle austral du Soleil, ZTR (fig. 118), et sur

ce parallèle, le demi-cercle ZLR ; ZL la portion au-dessus de la Terre, LR la par lie au-dessous ; L se trouve en plaçant Féquerre sur ZR, de sorte que l'angle droit soit à l'horizon en H.

Divisez ce demi-cercle en i2h, et par les points de division, en promenant l'equerre, divisez ZKen sinus horaires. Supposez le Soleil en M ; la perpendiculaire MN marquera l'heure sur ZR ; vous aurez MN = sinZM s= cos D sin P ; ZN = cos D ( i — cos P ) = 2 sin* | P cos D.

On voit que l'heure étant donnée ainsi que la déclinaison, on aura ZM, MN et ZN, le sinus NQ de la hauteur du Soleil, et par suite toutes les parties de la figure; ou que M étant pris à volonté, on connaîtrait l'heure, MZ et tout le reste.

Du centre N et de l'intervalle MN, marquez sur le méridien un point X, et menez ENO, c'est-à-dire marquez le point O , XO sera le complé ment de l'hectémorie; portez donc un quart de cercle de X en x, Ox sera l'hectémorie.

Vous pourrez faire cette opération, en mettant en E l'angle de l'équerre et une branche en X; l'autre branche marquera le point x.

Toute cette opération est bien simple ; et l'on voit qu'elle n'emploie encore que des sinus , quoique ce mot ne soit pas dans l'original. Mais pour mieux comprendre toutes les pratiques de Ptolémée , cherchons d'abord par notre Trigonométrie , les quantités qu'il cherche par Tanalemme ; et pour plus de généralité , supposons la déclinaison boréale.

Soit donc SS' la déclinaison boréale =D ( fig. 119); OSV devient OS'V, ZS devient ZS', QSE devient QS'E', OE devient OE'.

(1) cosS'Q = cosQS cosSS' = cosD sinP, qui se réduit h sin P si D=o, cos VS' = cosVPS'sinP VsinPS'-f cosPVcosPS'=— - cosPsinHcosD

-f- cos H sin D ;

(2) cosOS' = — cosVS' =-f-cosP sinH cosD — cosHsinD, qui se

réduit à cosP sin H , si D = o , cosOS' : cosS'Q :: eosOR' : cosR'Q :: sinR'QicosR'Q :: 1 :cotR'Q

cos S'Q cos OS' '

✓ r-\ . nu / -r» i ,-\ cos OS' cos P sin II cos D — cosHsinD

(3) cotOR = tangR'Q = ^7: = ^ — 5

v J » >>. cos b Q cosD-inP

taiigDcosII

cotP sin II —

sinP '

(4) cos7;S'= cosP cosIIcosD -j- sinH sinD = sin SR';

DE L'ANALEMME. 465

re\ .«ti-o/ ,nno/ oirw tangD sinH — cosH cos (1809 — P )

,5) cotPVS/=cotPOS'=tangS'OV=-^ ^ôo^^Pj 1

tang D sinD -{-cos H cos P sinP 9 sinR'Q : sin OR' :: tangS'OR' : tangS'QR', sinR'Q : cosR'Q :: tai/gR'Q : i :: tangS'OR' : tangS'QR'

tangS'OR' tang L) sin H + cos H cos P sin P

tangR'C^ " sinP * cos P sin H — tangD cos H'

tangD sin H -(-cos H cosP tangD tang H + cos P

(6) tangS'QR' =

cos P sin H — tang D cos H cos P tang II — tang D

sin D sin H -f- cos H cos Dcos P tang II -|- cotDcosP

~ cosDsinHcosP — sinDcosH cot D tangH cos P — 1 '

tangS'QR' = Uogft^-H+S'QS) - '^XTS

TT , tang SS' TT , tang D

cot H -f- cot H -{ ^5- . -, -r, . . ~

siniQ 1 cosP cot H cos P -f- tang D

— tangSS? 7T fang D cosP — tangD cot H

î— cot II-, ° - i— cotH — S & sinby) cos r

cos P -f- tangD tangH cosPcosD cos H -f- sin D sin H

' cos P tangH — tangD "~~ ' cos P cos D sin H — sin Dcos H

cos ZS' sin S'R' j

cos OS' sinO'S' '

(7) tang EE' = lanS SQS' = = S? > <îui devient 0 avec D y cosOS'Q — cosOQ sinQOS' sinOQS' — cosQOS' cosOQS'

— cos QOS' cosOQS' = — cos VOS' cos S'QR' ;

(8) sinZS' : sinPVS' :: sinZV : sin ZS'V = 8-£|J sinPVS' = ^^

v ' sinZS sinZS

= sîn ZS'O == sin OS'R' ;

(9) cotOS'R'=cosOS'tangS'OV; (10) cotQS'R'=cosQS'.tangS'QO; (11) S'QO = SQO + EQE'.

Dans la figure de Ptolémée, le triangle rectiligne NXE donne NXa= NÉ' -h XË*— . aNE.XEcosE, cos'D sinaP = sin'QS' + 1 — 2sinQS'cosE , car NE, de la figure 118 est le sinus de QS' de la figure 1 ig ,

F sin'QS' + i— • cos'Dsin'P sintt QS'+ i -—cosa QS'

COS Lu — — . : ^} : 7^7.7

2sin OS 2sin (^i>

sin2 QS' + 1 — 1 -j-sin'QS' 2sins QS' . ^

2sinQS' 2sinQS' ^

E=90°— QS'=E'S'=NEX=XOz=9o0— Ox; donc 0-r=QS'=ç)o0— E'S'; ainsi la construction de Ptoleme'e donnera S'E, ou Tare de distance du Bist. de l'Ast. anc. Tom. II. 59

Soleil au méridien. Mais sans cette construction , prenez avec un compas Jhypothénuse NE, qui est le sinus de QS', ou le cosinus de S'E, vous connaîtrez cette distance; ou bien doublez NE, vous aurez la corde de 2QS'; vous porterez cette corde sur le quart de cercle divisé, vous aurez 2QS' et QS'.

Du centre H (fig. 118) et de l'intervalle HM, marquez le point P' sur le méridien ; menez P'E = i .

HP = HM, HM = MN + ]NH = cosaDsinaP + (JSu — «H)a = cos2DsinaP -f-(cosD cos P — sinDtangH)2,

HP'* = cosaDsin2P + cos2Dcos*P + sinaDtang3H

— 2CosDcosP sinDtangH = cos*D +sinaD tang'H

— 2sin D cosD cosPlangH;

mais le triangle HP'E donne

HPr== P'ïf + HE — aP'E.HE cosP'EH= i + HE — aHEcosP'EH, HP' == cos2D -f- sin2 D lang2 H — 2sinD cosDcosP tangH

, sin1 D 2sinD tvitit

— i ~\ -p, rr cos P EU;

1 cos-1 H cos H

d'où

cosaD cos2H -f- sin2D sin'H — 2sinD cosD cosPsinH cosH= cos'H-f-sin'D

— 2sinD cosH cosP'EH , 2sinDcosHcosP'EH= cosaH + sinaD — cosaH cosaD — sinaD sinaH

+ 2sinD cosD cosP sinH cosH =cosaHsin2D4-sinaDcos!iH-|-2sinDcosDsinHcosHcosP = 2Cos2H sinaD -4- 2sinD cosD sinH cosH cosP,

t-wt-itt 2cos2II nn2 D -f- 2sin D cos D sin H cosH cos P

COS P EH = -t— pr u

2sin JJ cos H

= sinDcosH-|-cosDsinHcosP pour la déclin, australe ,. et = cosPsinlIcosD — cosIIsinD pour la déclin, boréale.

C'est notre valeur pour cos OS' (form.2); ainsi celte seconde pratique de Plolémée s'accorde aussi bien que la première avec nos formules.. Le triangle ETM donnera

TM = EM + ET — 2EM.ET cos MET

sin2D sinD MPT

1 sin* H sin H

mais

DE L'ANALEMME. 467

TM* = MN*-J- NT4= cos4Dsin*P -{-(Nk+mT)1 = cosaDsinaP -f- (cosD cosP -f- sinD cotH) = cos^Dsia^P+cos^cos'P+si^Dcot^H+asinDcosDcosPcolH:

= cos1 D -f- sinaD coVR -f- 2sinDcosD cosP cotH

. sin"D sinD Ti/rirT-

= 1 + ~T-rïï — 2 -t-t= cos ME T ;

sina H sin H *

d'où

cos*DsinaH-f- sin*D cos'H + 2sinD cosDcosPcosH sinH = sinaH + sinaD — 2sinDsinHcosMET , 2sinDsinHcosMET=sin1 H + sinaD — cos' D sin* H — sin1 D cos* II — 2sinDcosDsinHcosH cosP ==siniHsin1D-f-sin1Hsin1D — 2sinDcosDsinHcosHcosP = 2sin1Dsin1H — 2sinD cosD sinH cosHcosP, -.-.^ sin2D sin2 H — sin D cos D sin II cos H cosP

cos MET = . „

sin D sin li

= sinD sinH — cosD cosH cosP;

MET est la distance au nadir ; cos dist. zénitale = cos P cosD cos H — sin D sin H , la déclinaison étant australe ; si elle est boréale, cos dist. zén. = cos P cos D cos H -f- sin D sin H.

C'est notre formule (4) ci-dessus ; c'estle théorème fondamental de notre Trigonométrie moderne. Il était donc dans la construction de Ptolémée, qui aurait pu le découvrir, puisque sa construction n'emploie que des sinus; mais il aurait fallu mettre le problème en équations et développer, ce que les anciens n'ont jamais su pratiquer, et ce qui a mis un obstacle presque insurmontable à leurs progrès.

Jusqu'ici , Ptolémée a résolu graphiquement ENM, EHM , ETM, qui lui ont donné la distance QS' du Soleil au point levant de l'équateur, ou S'E' au méridien; la distance OS' au point sud de l'horizon, et ZS', distance au zénit. Sa construction lui donne directement AO, ou l'angle que fait avec l'horizon le cercle qu'il appelle horaire, et qui est mené du point est de l'horizon au méridien, en passant par le centre du soleil. C'est notre arc OE' ; nous le trouvons par notre formule, qui donne EE' à ajouter à la hauteur de l'équateur, en supposant la déclinaison boréale, et à retrancher si elle est australe. Nous avons donc déjà quatre des six quantités qui étaient à déterminer. Ptolémée continue (fig. 118).

Placez l'équerre le long de GE, ensorte que l'équerre ait la position ISFE ; portez la distance NM de F vers N en «; par le point n menez la droite E/eS. Le point S sera au-dessus ou au-dessous de O, selon que MN

sera plus court ou plus long que FN; Tare GS sera l'arc du vertical , ou la moindre distance zénitale de l'hectémorie, ou l'arc ZO' = 90° — VOS'.

Représentez- vous MN relevé perpendiculairement sur le plan de la figure ; MN sera parallèle au plan de l'horizon ; soit H'Q l'horizon (fig. 120), la droite MN qui lui est parallèle; menez les perpendiculaires NQ = MH' et la diagonale MQ;

TT,AM IIM NO sin hauteur cos dist. zénit. tangHQM = = SA=M= ,

,. . cosPcosHcosD-fsinDsinH lT> TT , tangDsinH tane inclinaison = ^ . =cotrcosHH ^-5 — •

b cos D sin P smP

C'est notre formule (5) ci-dessus, ou tangS'OV, qui donne un angle

du triangle par deux côtés et le supplément de l'angle compris; en

remettant l'angle intérieur,

/~vT»/nvr tansrDsinH , t. TT

tangQMN = — s^— ^ cot P cos H;

c'est noire formule (5), ou le troisième de nos théorèmes fondamentaux. Voilà donc la cinquième des quantités et deux de nos théorèmes généraux; il en est un autre, celui des sinus des angles proportionnels aux sinus des côtés opposés, qui est aussi le même pour les quatre cordes. Les Grecs le connaissaient sans doute, mais ne l'employaient jamais, parce qu'ils ne résolvaient que des triangles rectangles.

Ptolémée cherche enfin S'ZO, ou l'angle au zénit PZS', ou son supplément OR'; il le trouve en prenant QE au lieu de NF; il porte MN de Q en x' , il tire Ex', il a le triangle QEx' et

sin D TJ1VT . j

„ ,„ QE EH+HQ œTH4" tangQ^E = àr, = — = — —

Qx' MN cos D sin P

sinD'

cosH

-j- sin H (cos D cos P — sin D tang H)

cos D sin P

sinD+cosDcosPsinHcosII— sinDsin'H sinDcos2H-f-cosDcosPsinHcosH

tangD cos H

cos D cos H sin P cos D cos H sin P

— \- cot P sinH, en supposant la déclinais, australe, tt tani

sinP

= cotPsinII— ^2^2=tangR'Q=colOR/, formule (3),

«Tn-70 tang D cos H . T, . TT

cotPZS = — fV-b cotP smH =; — cot OR

sinP

DE L'ANALEMME. 463 C'est encore noire troisième théorème moderne, mais appliqué à l'angle au zénit. Il résulte encore de cette construction de Ptolémée , qu'il a manqué cette seconde occasion de le découvrir. 11 y avait, à la vérité, les mêmes difficultés que la première fois.

Ptolémée terminait toute cette doctrine par des tables où il donnait toutes ces six quantités pour le commencement de chaque signe, pour les sept climats principaux, et enfin pour chaque heure. Il n'en reste qu'un échantillon pour le commencement du signe du Cancer et le climat de i3\

Pour ce climat , le demi-jour est de 6h 3o' = 97e 3o' ; la différence ascensionnelle = 70 3o'; sin 70 3o'= tang 00 tang H et tang H = sin 70 5o' cot co = 16° 26' 4°"- Ptolémée a dit plus haut 16° 26', en supposant û) = 25° 5o'.

— - — = ih 5'; c'est l'heure temporaire; car Ptolémée, quoiqu'il n'en

dise rien, a calculé sa Table pour les heures temporaires, les seules qui fussent en usage dans la Gnomonique.

L'angle horaire au lever est de 97° 3o', dont le sixième est 160 5'. C'est ainsi que j'ai formé les trois premières colonnes de la table suivante; elles serviront au calcul de nos formules.

La colonne suivante donne les hectémories ou les distances aux pôles du méridien , c'est-à-dire aux points est et ouest de l'horizon. La formule est cos QS = cos D sin P ( fig. 117).

h tang QS est la longueur de l'ombre sur le cadran oriental ou occidental , h étant la hauteur du gnomon.

La colonne des horaires ou distances aux pôles du premier vertical, c'est-à-dire aux points nord et sud de l'horizon , se calcule en faisant cos VS = cos H sin D — sin H cos D cos P.

h tang VS est la longueur de l'ombre pour le cadran du nord ou du sud.

La colonne des descensifs ou distances au zénit ou au pôle de l'horizon se calcule par la formule

cosZS = sin H sinD -f- cos H cosD cosP;

h tang ZS est la longueur de l'ombre sur le cadran horizontal. La colonne des arcs du méridien VE ou OE se calcule en faisant

cot PE = tang <p=^°, el OE = 9o°— H-f-<?>.

On donne à <p son signe algébrique. Si OE passe 90% le point E est entre le zénit et le nord , et l'on en prend le supplément VE. Cet angle est celui que fait l'ombre avec l'horizontale dans les cadrans orientaux et occidentaux.

Les colonnes des arcs verticaux ZO' = ZVO' = angle de l'heclémorie VS avec le méridien j c'est l'angle de l'ombre avec la verticale dans les cadrans du nord et du sud. La formule est cot 1,0' x ou tang angle de

l'ombre avec l'horizontale = ta"g p H 1 cos H cot P.

sinP

Enfin, la colonne des horizontales ou complémens d'azimut QR, dont

la tangente = cotP siu H — — — ; ce sont les angles des ombres

avec la ligne est et ouest sur le cadran horizontal.

Ainsi, pour les cadrans verticaux du sud et du nord, de l'est et de l'ouest, et pour les cadrans horizontaux, nous avons les longueurs de l'ombre et les angles que font les ombres avec des lignes déterminées ; nous avons, par conséquent, tout ce qui est nécessaire pour la construction de tous ces cadrans.

C'est ainsi que j'ai calculé ma table, pour m'assurer que j'avais bien saisi le sens de l'auteur. En la comparant à celle qui termine son livre, on voit une conformité assez grande, pour qu'il soit permis d'attribuer les différences à la différence des méthodes, et surtout à l'imperfection des opérations graphiques. Il peut y avoir des fautes de copie et des fautes de calcul. Nous attribuerons à la méthode les erreurs ordinaires et moins considérables. Mais à la colonne verticale à 1* on lit 690 5o' où j'ai 79° io'. L'erreur est environ de io° ; ce ne peut être qu'une faute de copie. Les autres ne sont que de quelques minutes , excepté dans la colonne des horizontales, qui vers la fin varie avec autant d'irrégularité que de rapidité.

Ce qu'il y a de plus extraordinaire , c'est la colonne des heures depuis l'horizon; il n'y a qu'un seul nombre qui soit juste, et ils augmentent avec une irrégularité dont on ne peut imaginer la cause, si elle n'est pas une erreur de copiste. Voici les deux tables.

DE L'ANALEMME; 471

Table pour le commencement du Cancer 3 climat de 10 heures.

| He u res temporair.

depuis le lever.

Heures équinox.

depuis le lever.

Angles horaires de midi.

Hectémor.

Dist. au pôle du

méridien.

Horaires.

Distance au

pôle du ier vertical.

Descensif.

Distance au pôle de l'horizon.

Arcs du méridien comptes du sud.

Arcs vert.

Angle au pôle du méridien.

Horizontaux.

Complément d'azimut.

fi5° /f'

r\rt° n' j

■Ail <J\J

Table de Ptolémée.

Heures depuis l'horizon.

Hectémorie.

Horaires.

Descensifs

Arcs du méridien.

Verticaux.

Horizontaux.

oh 0' 1.11 2. 10 3. 9

qo° 0' 69 . Ôo 60. 0 45. 5

midi.