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Sx. 0 17.30 7.25

Le reste des tables est perdu; et probablement le traité est incomplet, car il y manque les applications à la pratique. Peut-être aussi Ptolémée a-t-il cru qu'il était inutile d'en dire davantage, parce que cette théorie était établie avant lui, et peut-être par Hipparque. C'est, du moins, l'idée de Commandin , qui a suppléé à ce qui manque aujourd'hui au livre de Ptolémée, et à cette partie de la science mathématique; car il ne nous reste d'ailleurs aucun ouvrage de Gnomonique, ni des Grecs ni des Latins. Nous n'extrairons du Commentaire de Commandin que ce qui indique l'usage des tables pour la description des cadrans réguliers, les seuls dont Ptolémée nous ait donné la théorie.

Voulez-vous un cadran horizontal, vous vous servirez des deux colonnes descensifs et horizontaux. On sait que l'ombre d'un gnomon perpendiculaire à un plan a pour longueur la tangente de la distance du Soleil

au zénit du plan, quand la hauteur du gnomon est prise pour unîtë. Il ne reste donc plus qu'à trouver la direction de l'ombre dont cette tangente nous donne la longueur, et dont l'origine est au pied même du gnomon ; or, l'horizontal vous donnera l'amplitude de cette ombre, ou l'angle qu'elle fait avec la ligne est et ouest. La Table donnait ces deux quantités pour chacun des cadrans réguliers : on avait pour chaque heure et pour le commencement de chaque signe, les points qui appartenaient à la fois et à la ligne horaire et à l'arc du signe ; on n'avait que le point extrême de chaque ligne horaire, mais tous ces points étaient sensiblement en lignes droites, ainsi que nous le démontrerons bientôt; ces lignes droites se terminaient à Tare du Cancer et à celui du Capricorne. On n'avait qu'un certain nombre de ces points; on les joignait par une courbe ; l'ombre dans toute sa longueur était une ligne azimutale.

Voulez-vous un cadran vertical non déclinant, c'est-à-dire sur l'une des faces d'un mur bâti verticalement dans la direction est et ouest, prenez dans la table les horaires qui sont les distances au zénit du plan , et \esverticaiiXj c'est-à-dire les angles que fait l'ombre avec la méridienne, qui, dans ces cadrans, est toujours verticale.

Voulez-vous un cadran oriental ou occidental, vous prendrez l'hectémorie ouïes distances au zénit du plan, et les arcs méridionaux ou les angles de l'ombre avec l'horizontale.

Tout cela est d'une grande simplicité ; mais cette forme de cadran est tombée en désuétude , depuis qu'on a cessé de diviser le jour en heures temporaires. La théorie de Plolémée nous serait donc aujourd'hui parfaitement inutile, si ses constructions ne pouvaient s'adapter également au système nouveau ; mais le Traité de l'Analemme sera toujours curieux, soit pour l'histoire de la science dont il nous a conservé une partie, dont il ne reste aucun autre monument, et qu'on croyait entièrement perdue; soit par cette autre considération, qu'il contient le germe de notre Trigonométrie actuelle et des sinus substitués aux cordes.

Quand le livre de l'Analemme fut publié pour la première fois par Commandin, en i5Ô2, la Gnomonique était déjà fondée sur des principes tout différens. Voyez l'Horologiographie de Munster , dont la première édition est de 1 53 1 , et la seconde de 1 53 3 , Bâle.

Les anciens faisaient marquer l'heure par l'extrémité de l'ombre d'un gnomon ; leui'S cadrans n'avaient ni centres ni axes, et à quelques égards c'était un avantage. L'usage des heures variables suivant la saison, leur imposait la nécessité de donner une autre direction aux lignes horaires,

DE L'ANALEMME. 473 qui ne pouvaient plus concourir en un point unique. Ils se contentaient d'en déterminer trois points ; deux auraient sufii, car ces lignes étaient sensiblement des droites dans tous les cadrans plans; les points d'un même jour formaient des hyperboles dont les intersections avec l'horizontale étaient les points de lever et de coucher. Rien n'aurait empêché de multiplier ces courbes ; on les traçait quelquefois, comme aujourd'hui, pour l'entrée en chaque signe ; on se bornait le plus souvent aux arcs du Cancer et du Capricorne. La ligne T et tétait toujours une ligne droite, et fournissait un troisième point vers le milieu de la ligne horaire. En multipliant les arcs des signes, on n'avait plus besoin de supposer les lignes parfaitement droites , ce qui n'était vrai qu'à peu près.

Les constructions de Ptolémée , et les formules que nous y avons substituées, suffisent pour les cadrans réguliers; il est aisé d'en déduire les formules de tous les autres cadrans donlPlolémée n'a rien dit. Il est certain, cependant, que les anciens construisaient des verticaux déclinans; il en existe encore huit à Athèues, à la Tour des Vents. Cette omission de Ptolémée, et la manière brusque dont se termine son livre de l'Analemme, autorisent à penser que nous ne possédons pas cet ouvrage en entier. Il est bien singulier, en effet , qu'après avoir annoncé en commençant qu'il se proposait de faciliter la description des cadrans, il ne dise pas un seul mot des applications qu'on peut faire de ces méthodes obscures et de ces opérations graphiques, dont on a peine à reconnaître le but et à retrouver les principes.

Soit RZV (fig. 121 ) le plan du méridien, ZNL celui du cadran déclinant, qui fait avec le premier vertical l'angle QZL = D== déclinaison du plan; prenez LO=go°; le point O sera le pôle du plan ZNL, le point de l'horizon où se dirigera le gnomon perpendiculaire au mur ; P le pôle de l'équateur; S le lieu du Soleil ; PS la distance polaire = go° — cT, eP étant la déclinaison boréale ; l'ombre du gnomon sera dans le plan OSM, perpendiculaire en M au plan ZNL ; la longueur de cette ombre sera a tangOS, a désignant la hauteur du gnomon; prenez OS'= OS sur le prolongement de MSO ; a tangOS' indiquera la longueur et la direction de l'ombre, qui fera un angle ROS' avec l'horizontale du plan et au-dessous de cette ligne. Le problème se réduit donc à chercher l'angle ROS' = VOS et l'arc OS distance du soleil au zénit du plan. ROS'=: MOV= SOP -f- POV= n + 4; ONP est l'arc mené du pôle O au pôle du monde P; OM = ON = OL = go°. Tous ces arcs égaux sont perpendiculaires au plan ZMNL.

Hist. de l'Ast. anc. Tom. IL 60

OP = PN -f- NO = PN + 900 = 900 + hauteur du pôle sur le pian, cosPO = cosPVcosVO = cosHcos(90° — D+900)

= + cos H cos ( 1 8o° — D) = cos <p , carVL =s= 900 — D et LO = 90°; vous ferez donc

coscp =3 cosHcos(i8o° — D), sinPN =: + cosHcos(i8o° — D),

tan-POV= *5l*ïcs =teîîBH = tan„ 1

ld 51UV sinYO sin(i8o° — D) sinD 8Y

Par le pied du gnomon menez dans le plan ONP une droite indéfinie a tangOP = «. tang;p, la projection du pôle serait sur cette ligne, mais <p > 90% la tangente est négative ; prolongez donc PO jusqu'à 1800 en P', P' sera le pôle austral, et tangP'0 = a tang(i8o° — <p) marquera par son extrémité le lieu du pôle P'. Cette ligne fait avec l'horizontale du plan un angle ROP'= POV = 4- Cette ligne nous sera utile; les anciens n'en faisaient aucun usage.

Nous avons déjà l'horizontale qui passe par le pied du style; la ligne

polaire , qui passera aussi par le pied du style, et formera l'angle 4 avec

l'horizontale ; nous aurons

, „npv — tanSvo tangQ8o° — D) tangD .

tanç Ol V == — — rr,,- = -~t>\t = — 1 j — tang Xi

o sinPV sinPV smH p-#v#

jgo» — Scra la différence des méridiens = ZPO =

Cos OS = cosPS cos PO ~f sinPSsinPO cosSPO

= sin<T cos<p + coscTsincp cos(SPV — OPV),

cos N = sin eT cos <p + cos cT sin <p cos ( 1 8o° — P — %)

s=s sin cT cos <p + coseP sin <p cos (%' — P) (A)

= sin cos<p — cosj" sin (p cosP cosX + coscfsin<p sinP sin%

= — sincTcosH cosD — cos cT sin <p cos P sin% cot%

-f- cos eT sin <D sin Psin % ;

mais sin <p s'm% = sin YO = sinD ,

cosN = — sin cos II cos D — coscTcosPsinDcotx + coscTsinDsinP = coscTsinDsinP — sin/cosHcosD — coscfcosPsinDx — sinHcotD = coscTsinDsinP-f-cosJ^cosDsinHcosP — sincf cosHcosD (B) ;

c'est la formule que j'ai donnée dans mon Astronomie, tom. I, p. 279.

^ r. cotPSsinPO — cosPOcosOPS tane f sin cp

COI FI = COtPOS = r—r— = -r-fr?

sin UPS sin(x — r)

— cos<pcot(x' — P) (C);

n est l'angle P'OS' que fait l'ombre avec la ligne polaire OP'.

DE L'ANALEMME. 475

Au lieu de la formule cotn = ^^.^rjr^ — cos^col(i8o* — P — %),,. on peut employer

cosPS — cosOPcosOS sin^ — cospcosOS sin «F1 .„,

COSn — . , — = : r^rrs ~ -. COl0COtOS

smUrsinOS sin <p sin OS sinipsinOa

sin /'-{-cos H cos P (cos^sinD sinP + cos /" cos D sinHcosP — sin^cosïIcosD)

sin<p sinOS

sin<^4- cos'^cosHsinDsinP-f-sinH cosHcos^cosP — sin^cos'H cos^cosD

sin <p sin OS

sin^ — sin^cos<^cos2H cosD -f- cosa<J"cosfï (sinH cosP cosHsinP)

sin<psinOS

sin ^— sin ^cos <^cosa PI cos D 4- cosa ^cos H sin ( H -f P) m

sin p sin OS '

on a, de plus,

sinST = cosZS = cos<f cosH cosP + sîncT sinll,

sinROS' " - SinSOT sin TS sin <î" sin H -f- cos S" cos H cos P^

— sin OS sin OS '

le problème se réduit doue aux formules suivantes :

(1) cos <p = cosHcos(i8o° — D) = — cosHcosD,

/ \ t tangH tangH

(2) tang 4 - siD(,8o°D) = ,

(5) tangx = ï^^=^)

(4) cosN = sin cT cos <p-f- cos cT sin <p cos (i8o°—% — P)

= sin cT cos <p + cos <T sin <p cos (%' — P),

(5) cotn = . /"S*81"»-- — cos <p cot (i8o° — x — P)

v ' sin(i8o° — x — p) '

tang à sin <p e . y\ \

= Sin^-P) - C°S? ^01 (X' ~ P) ,

(6) angle = 4 "+" n »

(7) ombre = a tang N ,

,„> „ sin<^

(8) cosn = r-r; — cotcp cotIN ,

v ' sinip sin IN T *

t \ • 1 sin<^sinH + cos «^cosHcos P

(q) sin angle = ;

vw b sinN '

cet angle sera droit quand le Soleil sera dans le vertical du lieu de l'œil ou du pôle du cadran. On a de plus (fîg. ,122)

cot ZPx = cosZP tangPZx== sin H tangRO = sin H langD, tangPx sa tang PZ cos ZPx = tang PS cos SPx , cosSPx sa tangPZcotPScosZP,r=cotHtangJv cosSP^, SPZ = SP.r — ZP.r.

Soit cot v' == sin H tang D , cos v" = cotH tang ef cos e', P == v" — u'.

Au moyen de ces formules, on déterminerait autant de points qu'on jugerait à propos sur les lignes horaires, sur l'équinoxiale et sur les arcs des signes ; mais on peut abréger, par la considération que l'équinoxiale et les lignes horaires sont toujours des lignes droites; il suffirait donc de tracer deux points de chacune, et de faire passer par tous ces points deux courbes, c'est-à-dire les arcs du Cancer et de l'Ecrevisse.

Voyons maintenant s'il est vrai que les lignes des heures temporaires sont toujours des lignes droites, ou, ce qui revient au même, si les courbes horaires sur la sphère sont toujours des arcs du grand cercle, ainsi que tous les auteurs le supposent tacitement.

Soient PS et PS' ( fîg. ia5) deux distances polaires correspondantes, c'est-à-dire soit PS = 900 — JN et PS' = 900 + «T, QS = QS' seront les amplitudes du Soleil levant pour ces deux déclinaisons.

sin in ^

Sin OS =r —n. et sin OS' = rrî ainsi les deux amplitudes sont

^ cos H 7 ^- cos H 1

e'gales et ne diffèrent que par le signe. Le point Q de l'équateur sera le point Est de l'horizon.

EPQ = 90° =QPV; EPS = EPQ+QPS = 9o' + u

= go° -f- différence ascensionnelle," EPS = EPQ — QPS' = 90° — u ,

sin m == tang H tangeT.

* / • • QO°

L'angle d'une heure équinoxiale sera -q- — i5°. L'angle d'une heure temporaire d'été sera ^--f*g-

L'angle d'une heure temporaire d'hiver sera g.

Les angles d'un nombre n d'heures, comptées du méridien, seront

r„ r. , nu vu

m.i5°, «.i5°-r--g et«.i5° — -g-.

Quelle que soit la déclinaison, PQV— H et PQR = 1800 — H;

sm PSV = — -,-rr.- = — k-, smPS'V = -~^, = ainsi PS'V=PSV.

sin PS cos <r7 sinPS cos d-

Si «T = « = 23° ^, l'arc S'QS sera la' double amplitude solstitiale; il sera le lieu du lever pour toute l'année. Il est bien évident que l'arc S'QS est un arc de grand cercle, puisqu'il fait partie de l'horizon ; ainsi , la ligne du lever et celle du coucher seront évidemment des lignes droites.

DE L'ANALEMME. 4-7 L'arc de 6h ou de midi est évidemment tout entier dans le méridien;

il est la différence des distances solstitiales du Soleil au zénit ; la ligne

de G* sur le cadran sera donc aussi une ligne droite.

Supposons maintenant que la sphère ait tourné, que le Soleil se soit

approché du méridien, de sorte que l'angle horaire équinoxial soit de

n heures ou de n . i5° ( fig. 124).

Menez d'un côté le cercle horaire PS = 900 — cT, et de l'autre le

cercle PS' = 90° + cT, de manière que Q'PS = Q'PS'= alors

EPS = n . 1 5° -f- ~ sera l'angle temporaire d'été ; EPS' =n . 1 5* — — sera

l'angle temporaire d'hiver. Menez enfin les arcs de grand cercle Q'S et Q'S', vous aurez

cosQ'S =fc cos(w6")sinPSsinPQ'-{-cosPScosPQ'= cos (y) cos cf,

cos Q'S' = cos (^)sinPS'sinPQ' -f cosPS'cosPQ'= cos ^)cos<T; donc Q'S' = Q'S ;

tans; Sa tang^ iriA,c tang^

tang SQ'« = = —A- , ou col PQ S = — f- ,

ou enfin

tangPQ'S = sin cot cT = tangPx ;

Px est la hauteur du pôle sur le cercle Q'ST.

On aura de même tangS'QV = tang^ ; donc S'QV = SQ'a ; les

sin (?)

angles sont égaux et opposés au sommet, l'arc S'Q'S est tout entier dans un même plan ; S'Q'ST est un horizon sur lequel le pôle est élevé de P.r = PQT.

Ainsi, pour deux déclinaisons égales et de signe contraire, un même

arc renferme les points horaires «,i5°, «,i5°rfc (jf) ; et sur le cadran,

ces trois points, qui appartiennent à la même heure, seront sur une même droite; mais cette droite et cet arc de grand cercle passent-ils également par les points de la même heure pour les autres déclinaisons ? Sufïira-t-il de prolonger cet arc ou cette ligne pour avoir la ligne horaire toute entière? Il faudrait pour cela que l'angle PQ'S fût le même pour toutes les déclinaisons. Or, c'est ce qui est au moins fort

douteux, car tangPQ'S= sin^y^ cotcT; cotcf variant, ce serait un

grand hasard que sin variât de la même quantité en sens contraire.

Ce hasard n'a pas lieu; en effet,

tt . ^ j (WtangH j c^tangH sin u = tang H tang à , au cos u = --r- , du s== .

b o ' COS2 eT 7 cos u cos2 <T '

tangPQ'S = tangA == sin cotJN= sin^wcotcTj

donc

e?A , - d^sinpu j ; * d^sinpu

— — - = cospu cotcT — ■ — ; — ~-=pdu cos »m cotd ■ a V ■ ,

cos2 A " ~ sin'J1 ' r sin2<f 7

rfA ptW tan g H cos pu cot«^ c7^sinpu pc^tangïl tang <J"cospucot2<î" t/^ sin pu

cos2A — cos u cos2 ^ sin2^ cosucos2^ sLaV

d^.p sin ucospu d^sinpu cW\p tang u cospu — di" sin pu cos u sin2 ^ sin2<^ sin2^ '

dA cos2 A ,

rf? = shFT (P tanS " eos^" ~~ sinPuJ-

cos2 A cos pu ^ s = — sh?I~~ (P taQS « — tang/w).

/> est une fraction, ainsi /?tang;4>> tang u. L'angle A ou PQ'S croît ou décroît avec la déclinaison J\

Pour que dA =o, il faut donc que l'on ait p tang u = tangpu, ce qui ne peut arriver qu'à l'horizon ou au méridien.

Si p = i, p tangw — \angpu = tangw — tangw=o; c'est ce qui arrive à l'horizon.

Si p=.of p tang u — tang^w =o— - o = o ; c'est ce qui arrive au méridien.

TangA = sin^^cotcT = sin pu cot = = (t[~) tangA.

A sera donc variable , puisque tang A varie comme f~^~~J

pu — | pV -+- etc. p — g p3ua

u — \ u3 -f- etcT" 1 — -* ûF

= P + £ + Tê Pu* + etc. — | p3w» — — etc.

^f + îK'- + ieP^^— P%) +etc, quantité nécessairement variable ; A sera donc variable.

DE L'ANALEMME. 47g Pour nous en assurer par le fait, soit H = 66° 32' = 90° — a>. C'est la plus grande valeur qui soit possible; car clans la zone glaciale il n'y a plus d'heures temporaires - et cherchons PQ'S pour toutes les heures et différentes déclinaisons ; nous formerons le tableau suivant.

Latitude 6G° Sa', valeurs de PQ'S pour les heures et les diverses

déclinaisons.

Déclin.

qo° 0' 0"

iq. 0

si.5o. 9

ai . 23 . 54

On voit donc, a toutes les heures quelconques , que PQ'S diminue avec la déclinaison, rapidement d'abord, mais la variation devient ensuite de plus en plus lente ; les variations les plus sensibles sont à la ligne de trois heures. Il est donc clair que PQ'S n'est rien moins que constant pour une même heure, si ce n'est pour l'horizon et pour midi.

A oh l'angle = H , ainsi qu'il est démontré ci-dessus.

Supposons maintenant H = 6o°, nous aurons la table suivante.

Déclii

L'angle diminue toujours avec la déclinaison, et à mesure que le Soleil

48o ASTRONOMIE ANCIENNE.'

approche du méridien ; mais les variations diminuent avec la latitude.

Soit H =5o°.

Déclin.

iO. 0

Rien de remarquable, sinon que les variations sont beaucoup moindres. H = 400.

Déclin.

oft

21°ll' 16" 21. 7.24

Ici les variations sont si faibles, qu'il serait inutile de pousser plus loin les calculs. Quand la latitude est élevée, les différences ascension-»

nelles u sont fortes; les sin (^f) varient plus sensiblement, et en raison

différente de sin u. Quand les latitudes sont faibles, les u sont petits,

les sinus sonl proportionnels aux arcs, et par conséquent à sin m,

et les variations de l'angle deviennent insensibles. Ce raisonnement aurait suffi, mais le calcul a mis la chose en évidence.

DE L'ANAL EMME. 481 Il est donc invinciblement prouvé que les arcs horaires ne sont pas toujours des arcs de grand cercle , et que les lignes horaires ne sont pas exactement des lignes droites. 11 reste à voir si la différence est assez grande pour nuire à l'exactitude du cadran.

Soient (fig. 12 5) PS et PS' deux dist. polaires telles, quePS+PS'=i8o° ;

PO et PO' des distances intermédiaires, moins inégales par conséquent, mais telles, que PO'-j-PO= 180°. L'arc de grand cercle OO', qui joint les trois points O', Q', 0,fera avec PQ' un angle moindre que PQ'S.

Prenez sur Q'S un point R tel que PR = PO, et prolongez PO et PR jusqu'à l'équateur en a et b.

En augmentant l'angle PQ'O et le faisant égal à PQ'S, on a porté le point O et R , car on n'a pas changé la déclinaison ;

QVa = Q> = (^) , et Q'6 = Q'PR = Q'Fb ;

ab sera l'erreur du cadran,

sin Q'6 = tang 06 cot 6Q'R = tang<T tangPQ'S* = tangcT tang A', sin Q'a = tangOa cot «Q'O = tang«T tangPQ'O = tang cT tang A , sinQ'6— sinQ>=2sin^(Q'è— Q'«)cosi(Q'6 + Q'a)

= lang^(tangA'-«angA)='i^^,

cos^(Q'£+Q'a)== cos sans erreur sensible; donc

• 1 rr\n r\i \ tans;^sin(A' — A) • j 1 x

2smj(Q'Z> — Q a) = 2 b — j- = 2 sm|(erreur du cadran).

cos A' cos A cos ( -g- J

Nous connaissons cT, nous connaissons A', l'angle trop fort supposé dans la construction du cadran. Nous connaissons l'angle véritable A

que devait faire l'arc PQ'O'; nous connaissons (jf) "> nous avons donc

ce qu'il faut pour estimer l'erreur. Pour en trouver le maximum à peu près , il faut choisir dans la ligne de 5h, où les variations sont plus sensibles; il faut faire ensorte que tangcT sin (A' — A) soit le plus grand possible. Nous ne choisirons donc pas une déclinaison trop petite. Les A varient, surtout vers le commencement de la Table, comme de 23° 28' à i5°.

Supposons donc qu'on ait pris, comme faisaient les Grecs, l'angle solstitial PQ'S , et voyons ce que nous donnera le parallèle de 5o°. Hist. de rjst. anc. Tom. H. 61

48a ASTRONOMIE ANCIENNE.

La première ligne det-- 5* nous donne A'— 3i°4o' 387 la même colonne, à 1 5° de déclin., donne A=3i. 7.30

sin(A'— A)= 35. 87 7.98398