C. eos^^ = 9°i

2sini(Q'&— Q«) = sin(Q'Â — Q'a) = vâ^ 7^55553 ou en tems de l'équaleur = 49"2^"-

Ainsi, à 5o° de latitude, l'erreur ne va pas à une minute de tems équinoxial; elle serait beaucoup moindre à 40% et surtout à 3o°, qui était à peu près la latitude d'Alexandrie.

Table des erreurs du cadran rectiligne^ pour 5o° de latitude.

Déclinais.

fc»

l ' pL »

jo,8

On yerra,par ce tableau , qu'on a pu sans scrupule supposer, jusqu'à 5o° de latitude, que les arcs horaires étaient toujours des arcs de grand cercle, et que toutes les lignes horaires étaient des lignes droites.

C'est ce qu'ont supposé les Grecs, au moins tacitement, autant qu'on en peut juger par les monumens qui nous restent d'eux -, c'est ce qu'ont supposé tous les auteurs de Gnomonique. Commandin et Clavius ont essayé de démontrer qu'en effet les arcs horaires appartiennent à des grands cercles. Clavius s'est réformé au lemme 39 de son Astrolabe. Montucla a dit, et Laîande a répété d'après lui, que les lignes horaires sont des courbes assez bizarres, et qu'on ne peut décrire exactement qu'en déterminant un grand nombre de points. On voit qu'il n'en faut que deux. Par exemple, on pourrait joindre ensemble les points de i5' de déclinaison australe et boréale, et prolonger les droites indéfiniment. En tout cas, arec les sept arcs des signes on aurait sept points de chaque

DE L^ANALEMME. 483 ligne, et l'on ferait passer par tous ces points une courbe qui ne serait nullement bizarre, puisqu'elle différerait très-peu d'une ligue droite. Nous supposons qu'on n'a jamais tracé de cadran pour le cercle polaire, et qu'on n'en tracera jamais de ce genre , c'est-à-dire pour les heures temporaires. La question de la ligne droite ou courbe est donc de pure spéculation; elle n'entre pour rien dans les méthodes de ces cadrans, qui se déterminent par des points. Si l'on s'aperçoit que la courbe se contourne, on multipliera les points selon les cas. Le triangle quadrantal Q'PT donne

. fnu\ .

sin ( -g- Jcot^

car PQ'T est le même que PQ'S ci-dessus, et Q'PT = (i8o° — n. 1 53) ;

Sin^j^ •< sin(/z.i5°) diminue plus rapidement; ainsi PT ira toujours

en diminuant depuis l'horizon, où PT = H; PT ne peut devenir négatif; ainsi l'arc QST coupe toujours le méridien entre le pôle boréal et l'horizon; et à 1800 de là, entre l'horizon et le pôle austral. Jamais PT n'est o; au méridien tï = o, T est indéterminé. De l'autre côté du méridien, les PT reviennent les mêmes avec les angles horaires ; ainsi des heures également éloignées de midi coupent la méridienne en un point commua; mais ce point varie pour chaque heure différemment éloignée de midi. Ces cadrans n'avaient pas de centre unique, ils en avaient autant que d'heures différentes.

Nous avons déterminé l'erreur du cadran et les angles des arcs Q'O 6ur Q'S ; nous pouvons déterminer sur la sphère la position du point O relativement à Q'S.

Du point O abaissons sur Q'S l'arc perpendiculaire Ox, nous aurons

tangQ'x == tang Q'O cosOQ'x, et sinOx = sin Q'O sinOQ'x j mais

smPO : sinPQ'O :: sinOPQ' : smQ'O = ^= ^ ■ -,

Donc

d'ailleurs

cosQ'O t=r cosQacosOrt = cos^^coscf1,

TjsmA ta"<6->sinA xang V w = ^ = ■ = — — >

v cos<Tcos f -g- lcos«r

tàng( ~ jsinAcos (A' — A)

(2) tangQ'* = Wcos,, , À'=PQ'S, A = PQ'O

cos

. /nu\ sin

(f)sinASin(A'-A)cot(A'-A) . aîn0j. cot(V A) eos Ç-^y cos ^ cos ^ cos (jf) cos ^

Au moyen des formules (i) et (2), nous aurons la position du point O sur l'horizon QST. Nous avons eu l'erreur horaire par la formule

/~\ 1 / 1 j i> „ \ tang ^sin (A' — A)

(ù) 2sm± (angle de terreur) = 2 — ■-- ,

COS A' COS A COb ( -g- J

4 tane;^sin(A'— A)

(4) erreur en tems = ^ -

cos A' cos A cos

Tout dépend donc des angles A', A,(^J, que nous connaissons

par cT et H; avec les Tables précédentes , nous aurons u et (jf).i la première ligne de la colonne donne A', les lignes suivantes donnent A.

Après cette digression, revenons à la construction du cadran. On pourra toujours déterminer l'angle qu'une ligne horaire , supposée droite, fera avec l'horizontale du cadran. Soit S'S une ligne quelconque (fîg. 126), OS' et OS les deux distances zénitaîes extrêmes, Ox la perpendiculaire. L'arc S'S, prolongé jusqu'à l'horizon, ira le couper en a. Je suppose connus les arcs OS et OS' avec les angles j OS etjrOS'.

Le triangle sphérique OS'S donne

. y\cci , sinS'OS

° ~~ cot OS' sin US — cos OS cos SOS' y

cotSOx = cos OS tangOSS' = -1— — ^J?- 57=57;

b cot OS' tang OS — cos SOS *

cr\ cot OS' tanfr OS „A„,

tangSOx = — — cot SOS'

0 sinSOS *

tangOx = ta*ngOS cosSO.r ,

uOx = uQS 4- SOx = 1800 — jrOS -f- SOjt.

DE L'ANALEMME. /,85 uOx est donc l'angle au pôleO du cadran entre lare perpendiculaire au cercle horaire et l'horizon ; le triangle rectangle uOx sera représenté sur le cadran par un triangle reeliligne rectangle dont les côtés seront a. taugOo: et et tangOu, l'angle oblique compris sera uOx, comme dans le ciel ; le second angle oblique, ou l'angle u} sera sur le cadran u = 90° — uOx=i go° i8oc+jOS— .SOx=j/OS — SOx — go°.

On aura donc sur le cadran la distance Ou du point d'intersection sur l'horizontale, l'angle en u, les droites OS, Ox, OS', dont les extrémités z< , S, x, S' sont sur la même ligne horaire. On déterminera la position de cette ligne par deux de ces quatre points les mieux placés, c'est- à-dire par ceux d'entre les quatre qui ne sont ni à des distances trop grandes, ni à des distances trop petites. Au lieu de calculer l'angle au pôle SOjc par le côté OS, nous aurions pu de même calculer l'angle S'Ox par le côté OS'. Les formules seraient toutes pareilles, à quelques signes près.-

Nos formules générales pour la description des cadrans, pour les intersections des cercles horaires avec la méridienne et l'horizontale, mettent au plus grand jour la théorie pénible et obscure des anciens. Ces notions précises n'ont été données nulle part; elles ont été entrevues par les anciens, qu'elles ont guidés; mais ils n'ont pas su les présenter d'une manière assez claire; c'est ce qui les a fait tomber dans un oubli siprofond, que Montucla n'a pas balancé à dire qu'on n'avait plus aucune idée de la Gnomonique des anciens. Il résulte cependant de nos recherches, que les Grecs avaient imaginé et réduit en pratique les trois espèces de projectious usitées en Astronomie, et qu'ils ont eu l'idée de rapporter un point quelconque de la sphère céleste à trois axes orthogonaux. Ce but est celui que se propose Ptolémée en commençant son Analemme; il y emploie véritablement les sinus au lieu des cordes ; il y enseigne à diviser un diamètre en sinus et en sinus verses ; au moyen de ces sinus , il apprend à trouver la situation de l'astre sur son parallèle; les constructions lui donnent la solution graphique du problème qui sert à déterminer les angles que le rayon mené du centre de la sphère au point occupé par l'astre fait avec trois cercles ou trois plans orthogonaux.

Les ti'ois espèces de projections connues des Grecs sont donc : i°. La projection orthographique , où tout arc est représenté par son sinus ou son sinus verse , selon qu'il a pour origine le milieu ou le nœud de ee cercle avec le plan de projection. Ces deux propriétés générales

sont supposées partout dans le Traité de l'Analemme, sans être formellement énoncées nulle part. Ii est donc certain que les Grecs avaient deux espèces de Trigonométrie, l'une simplement graphique, et qui se servait des sinus; l'autre pour le calcul, et celle-là ne se servait que des cordes des angles ou arcs doubles.

La projection gnomonique, où chaque distance au pôle, ou tous les arcs de grand cercle qui ont leur origine au pôle, sont représentés par leurs tangentes, qui font entre eux des angles égaux à ceux sous lesquels les arcs s'entrecoupent au pôle. Ces deux propriétés sont également supposées dans le Traité de l'Analemme; celle des angles y est trèsvisible; l'autre est moins apparente, parce que les Grecs n'ayant aucune idée des tangentes, étaient obligés de les remplacer par leur équivalent, c'est-à-dire le rapport du sinus au cosinus.

3*. La projection stéréographique , où tous les cercles de la sphère, grands ou petits, sont représentés par des cercles qui s'y entrecoupent sous les mêmes angles qu'à la surface de la sphère. La première de ces propriétés est démontrée dans le planisphère pour tous les cas particuliers, et d'une manière assez uniforme, qui ne fait aucun usage du théorème d'Apollonius. Le théorème général n'est énoncé nulle part ; mais on doit croire qu'il a été au moins entrevu ; et s'ils n'ont pas osé tirer la conclusion générale des cas particuliers qu'ils ont considérés, on doit l'attribuer d'abord à la rigueur géométrique dont ils se faisaient une loi impérieuse, et ensuite à ce que jamais ils ne mettaient un théorème ni une solution en formules ou en équations , ce qui les a empêchés de tirer des corollaires souvent très-importans et qui s'offraient comme d'eux-mêmes. Quant à la propriété des angles de la projection égaux à ceux de la sphère, elle résulte bien de leurs constructions, mais elle n'est énoncée nulle part, et l'on peut croire qu'ils ne l'ont pas même entrevue.

Ce que nous avons dit de l'angle que fait avec l'horizon une ligne horaire quelconque, et de la perpendiculaire Ox , qui est l'ombre la plus courte de cette heure , s'applique tout naturellement à la ligne équinoxiale sur laquelleOx donne l'ombre la plus courte ou l'ombre méridienne du plan. Cette ombre fait toujours avec l'horizontale l'angle que nous avons nommé <\. Cette ombre donne donc la soustylaire, la projection des deux pôles rfca tang<p, et par conséquent le centre du cadran des heures équinoxiales.

En effet, remarquez que l'équinoxiale étant divisée eu heures équi-»

DË L'ANALÈMME. 487 noxiales et toujours égales, telles qu'on les compte aujourd'hui , celte ligne est la même que sur les cadrans modernes ; d'ailleurs F étant le centre, pour avoir un cadran moderne, il suffira de mener des lignes droites de ce centre à tous les pointsde division del'équinoxiale; ce seront les lignes horaires modernes. On peut donc avoir sur le même cadran les heures antiques et modernes ; mais au lieu du simple gnomon, il vaudrait mieux planter sur la soustylairc, comme base, un triangle dont le gnomon serait la perpendiculaire, et dont l'hypole'nuse serait Taxe. Le sommelde ce triangle donnerait les heures temporaires ; l'hypoténuse marquerait les heures uniformes.

Pour essayer ces méthodes et ces formules, j'ai calculé un cadran pour la latitude 3j° et la déclinaison — 94° et le gnomon ci === 1 id , et j'ai retrouvé toutes les dimensions d'un cadran trouvé à Délos , dont j'ai donné tous les détails dans l'Histoire de la Classe des Sciences mathématiques de l'Institut pour 1814.

Un monument Lien plus vaste, plus varié, plus intéressant de Tancienne Gnomonique,etquele savant M.Visconti m'a indiqué à l'occasion du travail dont je viens de parler, est la Tour des Vents, qui existe encore à Athènes, et dont tous les plans se trouvent dans les Antiquités d'Athènes de Stuard , nouvellement traduites en français ; Paris, Firmiu- Didot, 1808. Ce monument est connu sous le nom de Tour des Vents; c'est on octogone régulier, sur les faces duquel sont représentés les huit vcnls principaux, au-dessous desquels se voient huit cadrans différens, quatre réguliers, qui sont les verticaux du midi, du nord, de l'est et de l'ouest; les quatre autres sont sur les faces intermédiaires, c'est-à-dire qu'ils ont 45°, i55°, 225° et 3i5° de déclinaison.

Les noms des huit vents sont: Borée ou le nord, Crecias le nord-est, Apeliotes l'est, Eurus le sud-esl,Nolus le sud, Lips le sud-ouest, Zéphire l'ouest, et Skiron le nord-ouest. Vitruve, qui a décrit celle Tour des Vents au chapitre VI de son premier livre , ne dit pas un mot de ces huit cadrans; ce qu'il y a de singulier, c'est qu'à l'endroit de son ouvrage où il parle de tous les cadrans connus de son temps, il garde le même silence sur les huit cadrans d'Athènes, quoique plus importans à tous égards que ceux dont il nomme les inventeurs. On serait, ce me semble, en droit de conclure de ce silence, que ces cadrans ont été ajoutés après coup; qu'ils seraient par conséquent d'une date postérieure à l'âge de Vitruve, el surtout au temps d'Andronicus Cyrresthes, auteur de ce 1110numenl,

Stuard, qui se fait lui-même cette objection , tâche d'y répondre par un passage de Varron, qui, parlant de cette tour, la désigne par les mots Tour de l'Horloge. Cette réponse, qui n'est rien moins que péremploire, le devient encore moins par les efforts que fait Stuard pour prouver que la tour renfermait une horloge d'eau, dont les vestiges existent encore dans des conduits qu'il a décrits avec soin, et dont il a donné les figures dans deux de ses planches.

Si la tour renfermait une clepsydre, Varron a pu la nommer la Tour de l'Horloge; il l'eût nommée Tour des Horloges, si, outre cette clepsydre, elle eût offert huit autres horloges ou cadrans solaires; et cette clepsydre même pour laquelle on aurait construit la tour, aurait pu donner depuis l'idée d'ajouter encore à l'utilité du monument, en y traçant des cadrans propres à donner bien plus exactement toutes les heures de la journée en toutes saisons.

Cette particularité, si curieuse pour l'histoire de la Gnomonique, était une chose assez remarquable pour Varron et Vitruve ; et Ton ne conçoit guère plus l'expression incomplète de l'un , que la réticence absolue de Tautre.

Les auteurs du Dictionnaire historique, en parlant de l'architecte Andronicus , ne disent rien du temps ou il a vécu. Ceux de la Biographie universelle disent qu'on juge par le style déjà corrompu de l'architecture de ce monument , et par la médiocrité des bas-reliefs , qu'il est postérieur au temps de Périclès.

Du temps de Périclès et d'Anaxagore, la science gnomonique était trop peu avancée chez les Grecs, pour qu'on eût tracé ces huit cadrans à Athènes. Les historiens en auraient parlé comme ils l'ont fait du gnomon établi par Anaximandre à Lacédémone.Ily avaitloin encore de ce gnomon, qui peutêtre ne donnait que le midi, aux cadrans déclinans de diverses figures que nous offre la Tour des Vents. Il paraît donc très-probable que cet Andronicus, ou l'auteur des huit cadrans, quel qu'il soit, vivait assez long-temps après Périclès, mort l'an 429 avant notre ère. M. Visconti pense qu'il devait être un macédonien plus moderne qu'Alexandre. Rien ne s'oppose à ce qu'on le regarde comme contemporain d'Hipparque j et alors les cadrans d'Athènes ne supposeront rien qui ne pût être connu par les ouvrages des anciens mathématiciens dont Ptolémée a rédigé et complété la doctrine dans son livre de l'Analemme. S'il n'y a pas de preuves contraires, j'inclinerais fort pour l'opinion qui lui assignerait pour époque l'un des premiers siècles de notre ère. La question paraît de.

DE L/ANALEMME. 489 nature à n'être jamais parfaitement re'solue ; ce qui est certain, ou du moins très-probable, c'est que ces huit cadrans supposent des principes de Gnomonique, et par conséquent une Trigonométrie, à moins qu'on ne dise qu'ils ont été tracés empiriquement, à l'aide de l'hémisphère concave de Bérose.

Ces cadrans sont d'une forme pareille à ceux qu'on trouve dans le Commentaire de Commandin sur l'Analemme. La théorie en est parfaitement connue par ce qui précède ; il restait à savoir avec quelle précision ils avaient été tracés.

Partout le style manque; on voit seulement dans le marbre les trous où il avait été enfoncé, mais son sommet était rarement dans l'axe de ces trous, pas même dans les cadrans réguliers, qui sont ici au nombre de quatre. Au reste, la hauteur et le pied da style ne sont pas des données indispensables ; on peut les conclure d'après les dimensions principales du cadran. Stuart a eu soin de marquer sur ses planches les longueurs en pouces anglais, d'un assez grand nombre de ces lignes. Le choix qu'il a fait n'est pas toujours heureux ; et une fois ou deux j'ai douté si ses chiffres avaient été transcrits ou gravés avec toute l'exactitude requise.

L'exposition du cadran étant connue, comme elle l'est sans aucune ambiguïté dans les cadrans d'Athènes, rien de plus facile que de calculer par nos formules toutes les parties du cadran, en prenant la hauteur du gnomon pour unité; d'en comparer toutes les distances réciproques avec les parties analogues des planches de Stuart ; chacune de ces comparaisons fournit un moyen simple pour trouver la hauteur du style ; en multipliant ensuite toutes nos lignes par cette hauteur, on aura la longueur véritable de toutes les distances au pied du style, et tous les points, pris deux à deux, formeront autant de combinaisons qui, par des intersections d'arcs, donneront le pied du style.

Par ces moyens réunis et différemment combinés, nous avons pu nous assurer d'abord que le cadran du midi, le plus important de tous, était dans toutes ses parties d'une exactitude remarquable, et que la hauteur du style était de 10 ^ pouces anglais. Les heures n'y sont point numérotées, mais elles sont temporaires; elles sont d'heure en heure depuis le lever jusqu'à midi , et depuis midi jusqu'au coucher.

Le cadran boréal n'est qu'un supplément du premier; il est sur la même échelle, et il avait le même style. On n'y voit que deux lignes du poir et deux du matin; et même ces lignes,au lieu d'être horaires, ne sont

ffist. de l'A st. anc. Tom. II, 62

4go ASTRONOMIE ANCIENNE.

véritablement qu'azimutales, elles n'indiquent que la direction des ombres: Deux de ces quatre lignes sont même un peu trop longues, parce qu'au lieu de l'arc hyperbolique qui devait les terminer, on s'est contenté de tracer une ligne droite. Ces légers défauts ne sont de nulle importance réelle.

Xe cadran de l'est n'est pas moins exact que celui du midi ; il est assez étroit, quoiqu'on ait donné au style une longueur presque double, c'està-dire de 193 pouces anglais. Cette longueur a été vérifiée par nombre d'épreuves particulières, et par tout l'ensemble du cadran.

Le cadran de l'Eurus, ou du sud-ouest, offre le même accord dans toutes ses parties. La hauteur du style devait être de 25 ^ pouces ; l'inclinaison de l'équinoxiale avec l'horizontale y est de 420 4°'» le^e cIue *a donne le calcul.

Le cadran de Cœcias, ou du nord-est, ne paraît pas avoir été tracé avec autant de soin, ou, du moins, de succès. Le style n'était que de 6 i pouces; les lignes horaires, qui sont au nombre de trois seulement, sont très-obliques. La moindre erreur dans les opérations graphiques pouvait altérer sensiblement les longueurs, et ces considérations excusent l'artiste. D'ailleurs, ce cadran est le moins important de tous; on n'y voit rien qu'on ne pût observer avec plus de sûreté sur l'un des cadrans voisins.

Les trois autres cadrans, ceux du sud-ouest, de l'ouest et du nordouest , n'auraient offert que la contre-épreuve des cadrans opposés. L'auteur des Antiquités ne les a point figurés sur les planches; il avait fait tout ce qu'on pouvait exiger de lui, en nous donnant les dimensions exactes des cinq cadrans qui offraient quelque chose de particulier. Ces cadrans ne nous apprennent réellement rien qu'on n'eût pu conclure tout aussi bien du cadran de Délos ; mais ils sont plus grands, mieux exécutés ; ils sont en place; et à tous les égards, ils forment le monument le plus curieux et le plus complet de la Gnomonique pratique des anciens.

Quoique nos formules , substituées aux constructions toujours un peu incertaines des Grecs, aient répandu sur cette théorie une clarté qu'on chercherait inutilement dans l'écrit de Plolémée, dans le Commentaire de Commandin, dans Rirker, Clavîus, et dans tous les auteurs qui ont parlé des heures temporaires, nous croyons qu'il ne sera pas inutile d'appliquer nos formules à la construction des cinq cadrans d'Athènes.

La latitude du lieu nous est donnée directement par le cadran oriental (Apéliotes, subsolanus) ; on y voit que l'équinoxiale fait avec l'horizon*

DE I/ANALEMME. 491 taie un angle de 52° 3o'; c'est la hauteur de l'e'quateur, d'où résulte une latitude de 5j° 3o'. Suivant les observations modernes, la latitude d'Athènes serait de 58', plus forte de 28'. Hipparque l'estimait de 5j° ; mais quelques minutes d'incertitude ne produisent pas un effet Lien sensible sur la figure du cadran. On sait qu'en général les latitudes anciennes déterminées an gnomon sont trop faibles d'un quart de degré; il ne serait donc pas bien étonnant que l'artiste eût pris un nombre rond 67° * ; et nous nous en tiendrons à cette latitude, qui, d'après plusieurs essais, a paru donner plus exactement les dimensions des cadrans gravés.

Avec la latitude, on a l'amplitude du Soleil levant aux deux solstices, par la formule

sin amplitude = — r = r = — = — =-— = sin oo° ùo 00 .

cos haut, du pôle cos 07 . 00

Pour trouver les angles des heures temporaires, on fera

sin m = tangcT tangH = tangœ tangH = tang 23° 5i' tang 5f 3o'

= sin 190 49' 5o"; l'angle d'une heure au solstice d'été = i5°-f-|i* = i5°-f- 3° 18' 18"

l'angle d'une heure au solstice d'hiver === i5° — £u= l$ — 5. 18. 18

On forme ainsi la table suivante des angles horaires, pour les six heures comptées du lever au méridien, et du méridien au coucher.

Heures.

Angles d'été.

Angles d hiver.

Angl. d'été. Cadran boréal.

Angle équin.

L'heure o est le lever du Soleil, l'heure 6* est midi, l'heure 12e est celle du coucher. Les angles horaires sont ceux du cercle de déclinaison avec le méridien supérieur ; mais pour le cadran boréal , on prend les

49a ASTRONOMIE ANCIENNE,

angles comptes du me'ridien inférieur, en été seulement, car en hiver ce cadran ne marque jamais j et il n'y a que les trois derniers angles qui' peuvent servir.

On aurait de la même manière les u et les

(¥) Pour l0Ute aUlrG

déclinaison «P.

Pour achever nos préparatifs, il faut déterminer les trois constantes <P 4 y P0Uï> nos huit cadrans.

Dans la formule (i) cos<p = cosH cos( i8o°—D) supposons D== o°, 45°, 900, i35°, 180% 225°, 2700 et 3i5° ; nous aurons, pour nos huit cadrans, les angles, les cosinus et les sinus que nous avons réunis dans Je tableau suivant.

La formule (2) tang 4 = ^-/t"g0H ^ nous donnera la colonne

^ J b T sin(i8o° — D)

des 4 dans les mêmes suppositions.

La formule (5) tang v = ^IliiL8-^^ nous donnera de même les %.

Tableau préparatoire des arcs subsidiaires pour les huit cadrans.

cos <p

sin ç

142° 3o' 0" 124. 7.28 qo. 0. 0 55.52.3p.

zéro . . .

o.ocooo

1800 0' 0" 1 2 1 . 1 9 . 53 qo. 0. 0 58. 40: 7

o° 0' 0" 58-. 40. 7 go. 0. 0 121 . 19.53

qo. 0. 0 124. 7.28

zéro . . .