oi . îg

Commençons nos calculs par le cadran du midi ou Notos. Dans ce cadran, nous pouvons déterminer directement la hauteur et le pied du style.

Ombre mérid. au solstice d'été = atangfgo0— H-{-û>)=acot(.H — a). Ombre mérid. au solstice d'hiver = atang(go-9 — H — «)=acol(H+^)- La différence de ces deux ombres = J=a[cot(H — a>) — col (H-f-ct))]

a, sin 2ai 1 sin (H — »)sin(H + *) '

d'où

<7sin (H — a>)sin(H+a) 37 ,59.5 sin i5° 5q'sin 61 "a/ > ^ ^Q

sin 2« sin47°4a' 9

DE L'ANALEMME. 495 car ce cadran nous donne, sur la planche de Stuart , d = Zf°i525; nous avons H = 27° 5o' et <y = 23° 5i'.

Ombre d'été =*= 10. 507 cot 1 5° 3ç/ = 43>V65 Ombre d'hiver = 10.507 cot6i.2i = 5 ,740

La différence est en effet y... == 5j ,525

Ombre équinoxiale = 10.507 cot57.5o = j3 ,693.

Nous avons donc sur la- méridienne trois distances au pied du style ; ce pied sera donc bien déterminé.

En portant dans les formules générales les différentes valeurs de cf, c'est-à-dire -f a, o et — a, on aura les distances OS = N,les ombres cl tangN, et les angles que ces ombres font avec l'horizontale du cadran au pied du style.

Cadran du midi, ou NOTOS.-

Heures depuis le lever.

Ligne équinoxiale.

Courbe d'biver.

Courbe d'e'te'.

Ombr.

Angle.

Ombr.

Angle.

Ombre.

Anç,Ie.

qo° 0' 0" 80. 56. 5 72.16.44 ('4- 3o. 20

16 fq& xS ,p i3 ,6»,

Pour tracer le cadran d'après ces nombres, tirez (fig. 127) deux lignes AM et QER à angles droits ; QER sera l'équinoxiale, A AI la méridienne. Prenez ES = i3,G9 sur la méridienne , S sera le pied du style. Parle point S menez BSG parallèle à l'équinoxiale, BSC sera l'horizontale. Au point S concevez ST relevé perpendiculairement sur le plan de la figure, et que ST = iop°,5o7, ST sera le style,

Du centre S et du rayon SB = SG , décrivez un cercle occulte sur lequel vous prendrez avec un compas et une ligne des cordes, les angles que l'ombre doit faire avec l'horizontale. De l'extrémité de l'un de ces arcs comme D, menez une ligne occulte DS qui divisera l'équinoxiale ety marquera le point horaire. Marquez ainsi les points i,2,3. ... 12.

Faites une opération pareille pour chaque point de la courbe d'été. Tracez, au moyen de l'angle , une ligne occulte sur laquelle vous prendrez la longueur de l'ombre. Par les points correspondais de l'équinoxiale et

<Ie !a courbe d'été, menez des lignes droites qui seront les lignes ho~ raires ; sur le prolongement de ces lignes, tous prendrez les longueurs des ombres d'hiver, à partir du pied du style, et vous aurez tous les points horaires de la courbe .d'hiver, elle cadran sera construit.

Les N font voir qu'au printemps et en hiver l'ombre sera sur le cadran depuis le lever jusqu'au coucher; mais en été, au solstice, depuis g'1 jusjusqu'à \2h, la distance N surpasse go°, ce qui prouve que le soleil est derrière le plan. Ces heures serviront pour le cadran opposé B0PEA2 ou du nord (fig. 129).

En effet, soit CA ( fig. 128 ) le plan du cadran ; O le pôle de ce plan ; O' le pôle opposé, et S le lieu du Soleil. Le Soleil sera visible, et jettera son ombre sur la surface antérieure du cadran ; cette ombre sera et tangOS; elle fera avec l'horizontale un angle SOAO'.

Si le cadran était diaphane, le pôle O' verrait le Soleil dans le plan O'SO, qui fait avec l'horizon l'angle SO'AO == SOAO'; l'ombre serait a, tangO'S — — et tang OS ; les ombres seront égales, et feront des angles égaux; mais la direction étant opposée à cause du signe — , l'ombre du cadran nord fera véritablement l'angle SO'CO= 1800 — SOAO'. Ainsi, pour un même instant, les distances OS et O'S sont supplémens l'une de l'autre; les angles à l'horizon sont supplémens l'un de l'autre, et les ombres sont égales ; mais l'ombre visible sur un plan est invisible sur l'autre, et réciproquement. Ce qui nous serait inutile sur le cadran du midi, nous servira pour le cadran du nord. Pour construire ce dernier, nous diviserons l'horizontale comme pour le cadran du midi; ou, pour plus de facilité, nous piquerons sur le papier tous les points de l'équinoxiale et de l'arc d'hiver, qui deviendra l'arc d'été du cadran boréal. En effet, les points O' et O sont éloignés de 1800 dans le ciel; si l'un est le zénit d'un point de l'hémisphère boréal, l'autre sera le zénit du point opposé dans l'hémisphère austral ; l'été de l'un sera l'hiver de l'autre.

Ce que nous disons des cadrans du midi et du nord, s'applique également à deux cadrans opposés quelconques, comme ceux de l'est et de l'ouest, et, en général , du cadran dont la déclinaison est D, et de son. opposé, dont la déclinaison est 180° -f- D.

A 5 4 et gA, le Soleil est à go° 2' 36" de l'un des pôles ; ainsi, il ne s'en faut que de 2' ~ que le centre du Soleil ne soit dans le plan du cadran. Les deux cadrans marqueront donc S* et gfc le jour du solstice, car l'un des bords sera levé sur un cadran , et l'autre bord sur l'autre cadran. On marquera donc les là* sur le cadran du midi; mais sur le cadran du îiordon ne marquera que les heures o, 1, 2, 3; 9, 10, 11 et 12 (fig. 129).

DE L'ANALEMME. 495 Les nombres du Tableau précédent s'accordent aussi bien qu'on puisse le désirer avec les longueurs et les angles du cadran notus d'Athènes. Seulement il m'a paru , par un grand nombre de comparaisons, que l'accord serait encore plus grand si l'on faisait la hauteur du style 10.557 au lieu de 10.507; c'est-à-dire si l'on augmentait toutes les

ombres e'quinoxiales de °'°5 ou — ^—-.environ — ^- de chacune, ce

qui est presque insensible, et c'est avec ce dernier style que j'ai calculé les courbes d'hiver et d'été; la correction du 200e ne sera sensible que sur la plus grande des ombres, qu'elle augmentera de op°,3; cette ombre sera donc 66,i5 au lieu de G5po,85; la suivante serait 33,o3 au lieu de 62,88. Les autres Ambres e'quinoxiales peuvent rester comme elles sont.

On peut remarquer que les lignes horaires convergent vers differens points de la méridienne; que le point de concours est au-dessus du style, et qu'elles concourrent deux à. deux sur le prolongement de la méridienne. En effet, les heures horaires correspondantes du malin et du soir sont des obliques égales formant des angles égaux avec l'horizontale, et à égales distances de la méridienne; elles doivent concourir en un point commun , qui sera le sommet d'un triangle isoscèle. Nous avons donné la formule qui sert à trouver ce point de concours T (fîg. 124).

Prenez au-dessus du style, sur la méridienne, une ombre a tang H; elle vous fera trouver en K la projection du pôle , ou le centre du cadran moderne. De ce centre menez des droites à toutes les divisions de l'équinoxiale, ce seront les lignes horaires du cadran moderne du midi.

Dans le cadran du nord, le centre est au-dessous de l'horizontale, voilà toute la différence.

Dans le cadran du midi, les ombres de quelques heures sont trop longues pour que le cadran marque en tout temps ; elles sortiront des bornes du plan, dont la largeur ne pouvait excéder celle d'uu des pans de la tour. Les cadrans est et ouest suppléeront à ce défaut.

Dans le cadran boréal d'Athènes, on n'a marqué que deux lignes du soir et deux lignes du matin; ces lignes même ne sont qu'azimutales ; elles partent toutes également du pied du style; mais l'inexactitude n'est pas bien grande. Ce cadran a le même style et le même pied que le cadran du midi (fig. 12g).

Après ces deux cadrans, dont la construction ne coûte pas plus que celle d'un seul, et dont il suffit même de décrire la moitié orientale,

puisque l'occidentale en est le simple renversement, les plus simples; parmi les autres, sont l'oriental et l'occidental, qui se servent de complément l'un à l'autre, et ne sont que le même cadran vu successivement de deux faces opposées, et comme en transparent.

On voit en effet, dans le tableau préparatoire, que toutes les données sont les mêmes pour le calcul des deux cadrans; et d'ailleurs leurs déclinaisons sont D et i8o°-f-D, c'est-à-dire go et 2jo°; ainsi, il nous suffira de tracer l'un des deux, et de retourner le papier.

Nous avons déjà dit que sur le cadran oriental, l'équînoxiale fait avec l'horizontale un angle égal à la hauteur de l'équateur ou au complément de latitude. Cet angle, dans les c . h ans d'Athènes, est en effet de 5a° 3o'. Ces cadrans sont Anéiiotes et Zéuhire (fig. i3o et 1 3 1 ).

Les distances dis points horaires sur l'équînoxiale sont et cotP. Ainsi, à 5% à cause de cot P == i , l'ombre sera égale à la longueur du style et. Soit g l'ombre, nous aurons a = et cotP et et == <7 tangP. Ainsi, chacune des Avisions de l'équinoxiale nous donnera une valeur de la hauteur du

Heures.

et

Milieu. . . .

D'après les longueurs marquées sur la planche de Stuart, j'ai trouvé, par les cinq heures du cadran oriental, les cinq valeurs ci-dessus, dont la moyenne ne diffère pas sensiblement de 19,20, que la troisième heure donne sans aucun calcul. La première et la cinquième donneraient environ op0,4 de moins; la seconde donne opo,4 de P^us > on peut en inférer que les longueurs des ombres sur ces cadrans ne sont pas sûres à op°,4 ou 4 lignes | près, ou cinq lignes environ. Soit que l'artiste grec n'y ail pas mis plus de précision, soit que l'état actuel du monument n'ait permis de mesurer les distances qu'avec ces petites erreurs. Ce cadran, d'ailleurs, est le seul où le pied du style soit réellement marqué , puisqu'il est l'intersection de l'équinoxiale avec l'horizontale. Ainsi, tout point horaire doit donner un moyen assez sûr de trouver la hauteur du style. Nous lat supposerons igp", 2.

DE L'ANALEMME. 5o3 temps, et cinq en été. Pour la cinquième, ou la ligne de 4 heures, nous n'aurons qu'un point ; il y a plusieurs moyens de s'en procurer d'autres.

Ce cadran est, comme on voit, fort oblique et fort borné; il est impossible d'y conserver toute leur longueur aux lignes horaires. Au reste, il s'accorde assez bien avec celui d'Athènes, et avec celui que nous avons tiré du tableau d'Eurus; mais celui d'Eurus supposait un style plus grand.

Maintenant , le supplément de Cœcias va nous donner Lips, mais dans des dimensions assez petites et proportionnelles au style, ce qui en rend la description difficile. En quadruplant les dimensions, on aurait Lips tel , à fort peu près , qu'il nous a été donné par le tableau d'Eurus.

On peut tracer sur une seule figure le cadran Eurus avec son complément C.iecias, avec les angles des 12 heures, en observant de donner aux ombres le signe — quaud elles sont à côté d'un arc N plus grand que 900. Tout ce qui sera au-dessous de l'horizontale appartiendra au cadran Eurus; le reste formera Cœcias; il suffira de retourner le papier de haut en bas. Les heures du premier seront o, 1,2, 3, 4, etc., en partant du lever; les heures du second , o, 1, 2, 3, etc., en partant du coucher, en rétrogradant.

Eurus, vu en transparent, donnera Lips; mais les heures seront 12, 11, 10,9, e*c' » en rétrogradant depuis le coucher. Le complément, vu de même en transparent , donnera Skiron , dont les heures seront 12, 11, 10, 9, etc.

Un avantage marqué de cette construction des quatre cadrans d'après un seul tableau, c'est qu'on a toujours deux points de chaque ligne. Ainsi, la huitième heure équinoxiale d'Eurus ne pouvait se marquer, à cause de la longueur 1327,70 de l'ombre ; mais le point d'hiver est déterminé; le point d'été l'est également par son angle 1 190 49' et son ombre — 82° 24' ; la ligne qui passe par les deux points est la ligne cherchée, dont on ne décrira que les deux parties extérieures à Tare hyperbolique.

La ligne 10* ne peut se marquer sur la courbe d'hiver ; mais on a deux points déterminés par les ombres — 58° 98' et — i3° jZ' de printemps et d'été.

La ligne jh ne peut se marquer sur l'hyperbole d'été; mais on a deux points, l'un de printemps et l'autre d'été. Ainsi, les quatre cadrans sont complets, sans recourir aux intersections avec l'horizontale, qui deviendraient nécessaires pour un cadran isolé.