CHAPITRE XVII

Cadrans de Phœdre à jlthènes.

C'est à M. Visconti que je dois la connaissance et les dessins de ces cadrans. Ils sont au nombre de quatre, et sont trace's sur un même blo« de marbre penlélique. On lit au bas l'inscription suivante : <bu,i£fo<; fûùtXov 7rctict\iejç i7roiéi. A la forme des caractères, M. Visconti estime que ce monument peut être du second ou troisième siècle de l'ère vulgaire.

ACFGHBDMNA (fig. 1 3g) représente la surface supérieure du marbre. La partie antérieure, désignée par les droites CE,EF,FG,GH a été taillée de manière à recevoir quatre cadrans, deux pour les heures du matin , et les deux autres pour les heures du soir; mais pour ne pas trop affaiblir le marbre vers le milieu F, on a laissé en arrière une épaisseur semi-circulaire DMN de V" Vig environ de rayon. L'épaisseur AC = J3H = 3P" environ.

Les partiesyèg, pqr, mno, ont été creusées pour recevoir les styles ou leurs supports. Le même style était commun aux deux cadrans intérieurs; il devait être perpendiculaire à la méridienne, qui était marquée à la commune intersection des deux plans. Il s'ensuit que ce style était oblique aux deux cadrans, et que le style particulier à chacun des deux était la perpendiculaire abaissée du sommet du style oblique.

Le style du cadran extérieur CE ne pouvait être dans la direction RS de l'excavation pratiquée pour le recevoir; car alors le style droit eût été la perpendiculaire SV, et le pied V eût tombé hors du plan. Il fallait qu'il fût replié en équerre comme /XT; alors le style droit était CT. C'est ce dernier qui doit servir au calcul du cadran; et nous verrons qu'il n'était pas même CT, mais une parallèle CT', dont le pied tombait en C' à 4p0 environ de C ou du bord du plan. Il faut en dire autant du style du cadran HG.

Les quatre faces des cadrans sont représentées par les quatre plans qui sont dans le prolongement de la figure ; c'est-à-dire le cadran CE par le plan Cy, FE par F/, FG par Yg\ HG par K'g'. On voit que la méridienne no n'a que i5pc de hauteur - «F' est de ip'0iB. Ainsi, au-dessous de F' il reste un espace F'« de ipo. 6fiff,

CADRANS DE PH/EDRE. 5o5 La hauteur totale est de i8l"=onh.

La ligne CH est de 50"; elle est divise'e également au point F et CF = FH = i8''9.

Les cadrans extérieurs CE et HO ont chacun i2p0 &'s de largeur. Les cadrans intérieurs FE = FG ont chacun i4p0. En supposant ces dimensions exactes , les deux triangles CFE , HFG sont parfaitement égaux et semblables. Les angles en E et en G sont de 85° 22' 14" Les angles en C et en H sont de 5o.49.36 Les angles intérieurs en F sont de 4^ . 4^ - 10

11 est assez singulier qu'on n'ait pas fait les deux triangles isoscèles et rectangles, à moins qu'il n'y eût dans l'intérieur du marbre un défaut qui ait forcé de s'arrêter en F , et d'augmenter par là l'angle GFE aux dépens des angles adjacens ; mais rien n'empêchait de conserver aux angles C et H leur valeur de 45°. Cette disposition peu naturelle a de beaucoup augmenté le travail des cadrans. Peut-être aussi l'artiste a-t-il recherché tout exprès celte variété; ou bien, enfin, que le marbre avait été ainsi taillé pour d'autres usages difficiles à imaginer.

L'idée qui se présente naturellement, c'est que la ligne GH, ou la longueur du bloc, était exactement placée dans le premier vertical; il en résultera que l'angle GFE sera partagé en deux également par le plan du méridien; que les cadrans FG et FE, qui ont la même méridienne, auront aussi la même déclinaison; qu'ils seront parfaitement égaux; qu'ils pourront se superposer, et qu'ils seront la contre-épreuve l'un de l'autre.

Les cadrans CE et HG seront égaux ; ils pourront de même se superposer. Ainsi, on n'aura véritablement que deux cadrans à calculer. La déclinaison du plan FE seia de 1 1' 5o"a droite delà méridienne.

sou azim., compté du pointnord, 1 33 .48 . 10

l'azimut de son style droit. . . . 223.48. 10 La déclin, du cadran FG seraaussi de 46 • ' 1 • 5o, mais à gauche de la mérid.

son azimut sera 226.ii.5o

et l'azimut de son style i3G.ii.5o

La somme de ces azimuts est de.. 56o. o

leur différence, de 87.56.20

La déclin, du plan CE = go* — C= 39.10.24 du midi vers l'ouest;

son azimut, compté du nord ... . 21g. 10. 24

et l'azimut de son style 12g. 10.24

Hist. de l'A st. anc. Tom. II, 64

5o6 ASTRONOMIE ANCIENNE.

Ladéclîn.du planGH de go9 — H= 5g° 10' 24" du sud à l'est;

son azimut 140. 49* 36

et l'azimut de son style 23o-49-36

Les sommes sont encore de.... 56o

et les différences 10 1.39. 12.

L'angle GFE des deux plans intérieurs = 180° — 2F = 92° 23' 4°'- Cet angle ne dépend nullement des azimuts que nous venons de déterminer hypoihéliquement; il résulte des dimensions primitives.

La ligne méridienne, qui a son sommet en F, est en effet coupée aux mêmes points par les deux arcs d'hiver et par les deux équinoxiales ; mais les deux arcs d'été n'arrivent pas jusqu'à la méridienne. Ainsi, dans ces deux cadrans, ce n'était pas l'extrémité du style qui marquait midi toute l'anne'e, l'ombre eût été trop longue, et serait sortie du plan vers le solstice; mais le style étant tout entier dans le plan du méridien, devenait une espèce d'axe, et montrait le midi par son ombre toute entière. C'est comme si le style s'était raccourci à mesure que l'ombre augmentait.

Ces cadrans n'ont point de ligne horizontale, ou de ligne de lever, ou de ligne 6*. Les arêtes supérieures CE, FE, FG, HG pouvaient servir d'horizontales; mais comme ni les hyperboles, ni l'équinoxiale ne sont prolongées jusqu'au haut dans aucun de ces cadrans, ces horizontales ne peuvent nous servir à trouver ni la longueur, ni le pied du style droit, ni Ja déclinaison enfin, s'il y en a une.

Pour le style commun des deux plans intérieurs , nous avons du moins l'intervalle entre l'équinoxiale et l'hyperbole d'hiver sur la méridienne. Cet intervalle est de 52!,g,yo, et le style oblique sera

52'^,7C COS 52°3o'cOS 280 2q' „ .

= tiïmr' — = 69,629 >

en supposant, comme pour la Tour des Vents, H = 37"3o', et ta = 23° 5i'. L'ombre à l'équinoxe sera 90^,74 L'ombre d'hiver 58 ,04

L'intervalle 52 ,70.

L'ombre d'été serait 286^,72 = 25p0 10^,72, tandis que la hauteur n'est que de 216 lignes; l'ombre 216 répond à une déclinaison de 17° 52', qui avait lieu 4° jours avant et après le solstice. La partie utile du style oblique diminuait de jour en jour jusqu'au solstice , où elle se réduisait à 52,46.

CADRANS DE PILEDRE. 5o7 Le style 69^,629 est droit sur la méridienne , mais oblique sur les cadrans; le style droit sera 69^,629 sin 460 1 1' 5o"= 5o%255 ; le pied de ce style sera à une distance de la me'ridienne de 48^,196, mesurée sur l'horizontale. Tout cela suppose que la déclinaison de CH soit nulle; mais ces valeurs seront au moins approchées.

Il ne faut pas oublier que nous ne sommes pas sûrs à un demi-degré près, de la latitude que Phœdre a pu supposer dans la construction de ses cadrans ; que nous ne sommes pas certains de l'obliquité qu'il a adoptée ; que sur ces cadrans, on ne peut mesurer aucune distance à une ligne près. On peut douter encore que les deux arcs hyperboliques aient été décrits avec une extrême précision; et l'équinoxiale même, quoique plus facile à tracer, n'est peut-être pas exempte de défauts. Enfin, on se rappellera que les Grecs n'avaient, pour décrire les cadrans, que l'analemme et des constructions graphiques , qui ne peuvent jamais donner la même précision que le calcul. On ne peut donc, avec les données que nous avons, se flatter de retrouver exactement toutes les dimensions des cadrans de Phœdre.

Pour ne rien négliger, j'avais voulu me servir, pour trouver la déclinaison , ou en général l'azimut des styles, de l'angle que l'équinoxiale fait avec la méridienne. Nous avons vu que cet angle se trouve par la formule suivante :

langangl.=cotHsinZ', d'où sinZ'=tangH. tangangl. deréquin.àlamérid. Mais cet angle est fort difficile à mesurer exactement; les valeurs qu'il m'a données pour la différence d'azimut entre deux cadrans voisins, ne s'accordent nullement avec la différence de ces azimuts, telle que nous l'avons déterminée ci-dessus, d'après les dimensions du marbre, et j'en, suis revenu à supposer la déclinaison nulle. Les calculs faits dans celle hypothèse s'accordent en général avec le style trouvé, autant qu'on peut l'espérer; mais pour vérifier encore ce résultat, j'ai cherché à vérifier isolément chaque ligne et chaque partie du cadran, les lignes horaires et leurs parties, l'équinoxiale et ses divisions, enfin les cordes des arcs hyperboliques. Pour y parvenir plus aisément, j'ai renoncé aux formules données ci-dessus.

Soit ZL le plan du cadran ( fig. 140), O son pôle, VO l'azimut de ce pôle, et VO = Z' ; soit S le Soleil et PZS = Z = azimut du Soleil ; OT = OV — VT == (Z'— Z); calculez l'angle Z parla formule . ry tang^cosH . TT , „

colZ = — smHcotP;

sin v '

5o8 ASTRONOMIE ANCIENNE,

la hauteur ST par la formule

. . . TT • n 7 cos ^ sin P

sinST = sm /i = cosPcosH coseT-f-smH sine), ou cos/î= — ,. - :

' sin ii

OS est la distance du Soleil au zénit du plan, et l'ombre =<x tangOS.

Cette ombre fera sur le plan, avec la ligne horizontale, un angle égal à SOT.

De l'extrémité de cette ombre, abaissez sur l'horizontale une droitej-, vous aurez

AP . c,Arr «sin OS sin SOT «sinST a. tang ST

r = et tang Uî> . sin bU 1 = -.7, — — ^ = — — 7^-

J o cosOS cosOlcosSI cosOl

«tang/z

~ cos (Z'— Z)»

la distance de cette perpendiculaire au pied du style sur l'horizontale, sera

xz= et tang OS cos SOT = a tang OT = a tang ( Z' — Z) ,

enfin

crirp .y « tang h îaJ2S^ tangST

tang &U l — - — cos ^ — Z) * tang (Z' — Z) sin (Z' — Z) — 4 sinOT*

Ces formules serviront également pour les cadrans des heures équinoxiales ou modernes, et pour les cadrans des heures antiques ou temporaires; elles ont un grand avantage, c'est que si l'on a calculé d'avance pour chaque heure l'azimut Z et la hauteur h du Soleil, il ne reste que deux formules bien simples pour avoir tous les x et les y d'un cadran quelconque, quand on a l'azimut Z' du style droit. On est ainsi dispensé des trois constantes du plan et du calcul de l'angle 17; mais dans le cas où l'ombre est trop longue, et qu'on veut au moins en marquer la direction, on peut trouver SOT = (0-f-n) par la formule ci-dessus.

Maintenant, pour vérifier une ligne quelconque du cadran, soient x et x' les abscisses de ses deux extrémités, j" et^' les ordonnées ;

•^7 = tangcp = ^|, (7— y')cos<p = (x — x')ùn<p-f yz^L — 0C~~x — longueur delà ligne droite ou de la corde qu'on veut

sin <p cos <p 0 0 *

vérifier; avec (y — y') et {x — x') on aura donc lang<p, après quoi on aura deux formules pour la longueur cherchée.

CADRANS DE PHEDRE. 5o$ C'est ainsi que j'ai vérifié toutes les parties des quatre cadrans de Phœdre; et j'ai trouvé partout , sinon toute la conformité que j'aurais de* sirée, toute celle au moins que je pouvais espérer.

Ces cadrans, par eux-mêmes, ne nous apprennent rien de nouveau; nous savions déjà, par la Tour des Vents et l'Analemme de Ptolémée, que les Grecs avaient des méthodes géométriques pour les cadrans verticaux, même déclinans. Ce qu'il y avait de curieux, c'est que l'horizontale manquant sur tous ces cadrans, et la méridienne sur les deux cadrans extérieurs, nous n'avions aucun moyen de vérifier ni les x ni lesj- dont les axes nous manquaient; nous ne pouvions donc vérifier que les distances réciproques des divers points. Pour cela, calculez x et y, en supposant le style = i et la déclinaison nulle; vous aurez <p, qui est indépendant du style. Les x et lesj- y seront exprimés en parties du rayon ; pour les avoir en parties du style, il faudrait les multiplier par a., qui est inconnu. Mais soit L la longueur de la ligne;