CHAPITRE PREMIER
Commentaire sur la composition mathématique de Ptolêmée, par Tlièon d! Alexandrie.
Après les livres de Ptolémée, ce Commentaire est l'ouvrage le plus important et le plus curieux qui nous reste des Grecs, et c'est le dernier qui soit sorti de l'école d'Alexandrie; à ces titres, il mérite un extrait détaillé. Théon était moins ancien que Théodose , qu'il cite en plusieurs endroits.
Théon commence par annoncer qu'il ne suivra pas l'exemple des commentateurs ordinaires, qui se montrent fort diserts sur les passages qui n'offrent aucune difficulté, et passent sous silence tout ce qui peut donner quelque peine à entendre ou à éclaircir. 11 n'a pas toujours été bien fidèle à cette promesse: j'ai souvent cherché des éclaircissemens , et je n'ai trouvé que les expressions de Plolémée ou fidèlement copiées ou légèrement modifiées, et ce Commentaire est le plus souvent une paraphrase qui peut bien rendre les méthodes un peu plus intelligibles, mais qui au fond ne présente rien qu'on ne puisse, avec un peu d'attention, trouver dans le texte même. On n'y voit aucune des traditions aujourd'hui perdues, et qui auraient dû se conserver à l'observatoire d'Alexandrie; aucun détail nouveau sur les inslrumens et la mauièrede s'en servir. Théon a trop souvent l'air de ne connaître que Plolémée, et de n'avoir lu que la Syntaxe qu'il commente. Ce que nous lui devons, ce sont d'abord quelquelques théorèmes élémentaires, et quelques exemples figurés de calculs. Au reste, nous apprécierons successivement toutes les parties de ce commentaire, qui n'est pas tout ce qu'on aurait pû faire, ni dans ces tems éloignés, ni aujourd'hui même.
Théon reconnaît d'abord qu'on ne peut assigner d'autre cause que la volonté d'un Dieu au premier mouvement qui entraîne tout le ciel d'orient en occident. Selon lui, le mouvement circulaire est propre aux substances incorruptibles; les autres ne peuvent aller qu'en ligne droite, de la cir-
COMMENTAIRE DE THÉON. 55i conférence au centre, si elles sont pesantes, et du centre à la circonférence, si elles sont légères.
Ptole'me'e n'a compris ni le Soleil ni la Lune parmi les planètes : la raison qu'en donne The'on , c'est que ces deux astres n'ont ni stations ni rétrogradations. La véritable raison, c'est que Ptolémée en avait traité séparément, parce que leurs théories étaient plus simples , au lieu que celle des planètes est compliquée d'une seconde inégalité et suppose la théorie du Soleil.
Ptolémée a bien dit que le mouvement du ciel est celui d'une sphère; mais il n'a pas dit expressément que le ciel soit spherique; et en effet, l'Astronomie moderne, qui donne à chaque astre son lieu, sa dislance et son mouvement particulier, ne détermine, en aucune manière, la figure du tout; etla sphéricité, supposée au moins tacitement par les astronomes anciens, n'est nullement nécessaire à l'explication des phénomènes.
Si les astres ont un mouvement propre dans un cercle incliné à l'équateur, le mouvement diurne ne se fera pas dans un cercle parallèle à l'équateur, mais les astres décriront des hélices.
C'est au moyen des clepsydres qu'on a pu mesurer le tems que les astres passent soit au-dessus , soit au-dessous de l'horizon. A dire vrai, elles pouvaient prouver que la même étoile emploie toujours le même tems à traverser la partie soit visible, soit invisible du ciel, mais elles ne pouvaient mesurer avec exactitude les rapports des durées pour différentes étoiles.
Les épicuriens pensaient que le mouvement des astres se faisait en ligne droite ; Théon les réfute ; et il est bien singulier que ces philosophes aient pu soutenir une opinion si contraire à tous les phénomènes.
Héraclite prétendait que les astres s'éteignaient à l'occident et se rallumaient à l'orient ; cette idée est plus ridicule encore que la précédente. Pour nos antipodes, l'orient devient l'occident, et réciproquement : les astres se rallumeraient donc pour eux à l'instant où ils s'éteignent pour nous, et s'éteindraient pour eux quand ils se rallument pour nous. Théon croyait donc fermement aux antipodes; il avait raison par le fait, mais il manquait de preuves directes et positives.
Théon se donne la peine de prouver rigoureusement, elpar des figures, que la Terre n'est ni cylindrique ni conique.
Les astres à l'horizon nous paraissent plus grands par un effet des vapeurs à travers lesquelles nous les voyons, et qui font subir aux rayons une réfraction qui en augmente le diamètre; il cite le témoignage d'Archimède, dans saCatoptrique, tv roi; 7r>fi Ka,rc7rTfi-&w. C'est par la même
raison que les corps plongés dans l'eau paraissent d'autant plus grands,1 qu'ils y sont plongés plus profondément.
Il est singulier que Théon dans cet endroit ni dans aucun autre, ne fasse aucune mention de l'Optique de Ploléméenide sa théorie de la réfraction, et qu'il n'en fasse aucune application à l'Astronomie.
Soient (fig. 149) deux corps inégaux AB , CD , vus de l'œil E sous le même angle AEB.= CED; ils paraissent égaux si on les voit dans l'air. Versez de l'eau et que la surface de cette eau soit Z.H; menez les rayons visuels ETA , EKB , ces rayons se briseront à la surface de l'eau , ensorte que AB sera vu comme LM.
Menez d'autres rayons EX, EN , ils se briseront à la surface pour arriver en D et en C ; le corps CD sera vu en OP, car nous jugeons les objets sur la ligne droite; AB vu comme LM, paraîtra augmenté, mais moins que CD, qui paraîtra OP; OP sera plus grand que LM: ainsi, les astres inégaux qui, dans l'air, nous paraissent égaux, nous paraîtront inégaux dans un air plus épais. Cette démonstration de Théon n'a ni la justesse ni la généralité qu'on peut désirer; mais quoique mal présentée, elle prouverait que tous les astres vus à travers un air plus épais paraissent augmentés; AB devient LM, CD devient OP.
Soit (fig. i5o) a/3 la Terre autour du centre y, e^n la sphère des corps célestes, SzcT l'atmosphère, en l'horizon du point et , y&xÇ le vertical; nous aurons Qct=:a,J"^> ctx; une oblique quelconque aÀ sera plus grande que ctx et plus petite que clB ; elle augmentera toujours en approchant de B ; il en sera de même de toute autre oblique, comme ctfx entre x et cT; l'astre à l'horizon en e ou en n aura plus de vapeurs à traverser qu'un astre vu dans les directions ct\ ou aju,; ainsi les astres paraîtront d'autant plus grands, qu'ils seront plus voisins de l'horizon.
L'explication paraît spécieuse ; elle n'en était pas plus vraie. Un jour que la Lune à l'horizon paraissait excessivement grande, je l'enfermai entre les deux fils parallèles d'un micromètre , et à mesure qu'elle s'élevait plus haut sur l'horizon, elle débordait les fils ; le diamètre apparent dans la lunette augmentait donc réellement à mesure qu'à l'œil nu il paraissait diminuer. L'augmentation de la Lune à l'horizon est donc une illusion optique dont il faut chercher une autre explication. On ne peut pas tenter la même expérience sur les étoiles, dont le diamètre échappe à toutes nos mesures.
En preuve du mouvement sphérique du Soleil, Théon cite les cadrans solaires construits dans cette hypothèse, et qui montrent l'heure exacte-
COMMENTAIRE DE THÉON 553 ment. Cela prouverait encore que la Terre n'est guère qu'un point en comparaison de la distance du Soleil, puisqu'on prend le sommet du gnomon pour le centre de la sphère ; mais cette preuve n'a pas toute la valeur que suppose Théon : le lever du Soleil est accéléré de quelques minutes par la réfraction, elle coucher retardé d'autant. Les cadrans sont donc nécessairement fauxal'horizon; Théon parait l'ignorer; et de plus, on peut dire que les cadrans anciens n'étaient jamais justes à la minute, et il était impossible de s'en apercevoir, puisqu'on n'avait aucun moyen meilleur pour mesurer le tems.
La forme sphérique est d'ailleurs la plus propre au mouvement. Zénodore avait fait un traité des isomètres et des isopérimètres. Théon en donne un extrait. Cet auteur avait prouvé que de toutes les figures isopérimètres, la plus grande était celle qui avait un plus grand nombre d'angles et de côtés; que le cercle était par conséquent la plus grande de toutes. Qu'il en était de même de la sphère comparée aux autres solides. La démonstration de Zénodore est trop longue pour la rapporter ici; d'ailleurs elle ressemble à des choses que nous avons vues dans Ptolémée. Il démontre ensuite que de toutes les figures isopérimètres d'un même nombre de côtés, la plus grande est celle qui a tous ses côtés égaux.
Il démontre encore ce théorème : soient deux triangles rectangles semblables ; si les trois côtés du premier sont a , b , c , ceux du second seront na , nb , ne, on aura les deux équations
a* + b1 = ca ; n'a* -f- n*b* = ra*c' = r? (V £2 ) ; ajoutez ("'-f- i ) «a+ («2+ i)b2z= («a4- i ) c\
Au lieu de deux triangles, supposez que le nombre en soit indéfini, vous aurez de même
(/n'-J-^-f-^-j-elc.-f- 1 )(«*■+• £2) = (m1-f-7ïl-f-<7I-r-elc.4- ifô*.
Théon démontre synlhétiquement et d'une manière assez simple, ce qu'il suffit d'écrire algébriquement pour en apercevoir la vérité.
Si vous avez deux triangles isoscèles semblables sur des bases inégales , et sur les deux mêmes bases deux triangles isoscèles non semblables, mais isopérimètres, la somme des deux triangles isoscèles sera plus grande que celle des deux autres.
On peut démontrer ce théorème de Zénodore par une considération bien simple. Soit 2e la base d'un triangle, et ia la somme des deux autres .côtés; ce triangle aura nécessairement son sommet à la périphérie d'une
Bist. de VAst. anc. Tom. II. 70
ellipse dont e sera l'excentricité, et 2a le grand axe. Soit / l'ordonnée menée du sommet sur le grand axe; ey sera la surface, et cette surface augmentera avec/ ; le maximum sera donc eZ», b étant le demi-petit axe , ensorle que b% = aa — ee; ainsi, tout triangle dont la base et le périmètre entier sont constans appartient à une ellipse.
Soit un autre triangle dont la base soit 2ne, et la somme des deux autres côtés z=2na , il appartiendra à une ellipse semblable à la première ; l'aire sera ne.ny et le maximum ne.nb, et ce triangle maximum sera isoscèle. On aura ne.nb + eb > ne.ny -f- ey ou ab ( i ) > ey(n%-\- i ), car b~> y : c'est le théorème de Zénodore.
Une sphère qui a sa surface égale à celle d'un solide dont toutes les surfaces sont coniques, a un volume plus grand que celui du solide.
La sphère est plus grande que chacun des cinq polyèdres de Platon.
Après ces théorèmes, qui paraissent aujourd'hui assez étrangersà l'Astronomie, Théon entreprend de prouver la sphéricité de la Terre par les différences des lems où les phases des éclipses de la Lune sont observées en différens pays. Les distances, nous dit-il, sont ce qu'elles doivent être sur une sphère. On peut douter que de son tems les distances terrestres et célestes fussent assez bien connues pour fournir une démonstration bien sûre. Tous ces raisonnemens supposent deux choses qui sont en question : d'abord, la sphéricité même qu'on veutprouver, et ensuite l'uniformité invariable du mouvement diurne, dont on n'a guère encore aujourd'hui que des preuves négatives. En lui passant toutes ses suppositions , la démonstration ne sera bonne que pour l'équaleur et ses parallèles. Théon ne dit rien des méridiens, qui fourniraient une preuve bien plus facile par les hauteurs solsliciales comparées aux distances itinéraires; il est assez étrange qu'il n'en dise pas un mot. Quant aux grands cercles qui ne seraient ni l'équateur ni des méridiens, la preuve serait plus difficile ; il n'en parle pas. 11 est vrai que cette dernière preuve serait superflue s'il avait démontré la circularité des méridiens et celle des parallèles. De toutes les expériences supposées par Théon , il n'y avait que celle des méridiens qui eût été tentée parla mesure des j° | entre Alexandrie et Syène , et ensuite entre Syène et Méroé. Si l'on eût en effet mesuré deux arcs du méridien de 5ooo stades chacun, et répondant chacun à un arc de méridien de 70 12', la circularité des méridien eût été démontrée autant qu'elle peut l'être par les observations. Théon imite en cet endroit le silence de Plolémée; il en fait de même partout : quand on regrette dans Ptolémée une omission importante, on a de même à la regretter dans le Commen-
COMMENTAIRE DE THÉON. 555 taire. Ne serait-on pas en droit d'en conclure qu'à Alexandrie même on ne faisait pas un grand cas de ces prétendues mesures que les modernes ont voulu nous donner comme si exactes. Théon revient encore sur sa preuve; il applique à un grand cercle quelconque ce qu'il a dit de l'équateur, et prouve fort bien que si la Terre est sphérique , en avançant le long d'un grand cercle, on gagnera d'un côté ce qu'on perdra de l'autre, et qu'on verra toujours une partie égale du ciel. Cette nouvelle démonstration est encore une pétition de principe ; elle pose à faux si la Terre est un sphéroïde, soit applati, soit allongé ou irrégulier.
Les montagnes n'empêchent pas que la Terre ne soit sensiblement sphérique. On a trouvé que la circonférence de la Terre est de 180,000 stades; c'est ce que Ptolémée nous dit dans sa Géographie, sans ajouter aucun éclaircissement ni sur l'espèce des stades, ni sur la mesure en elle-même, et Théon montre la même discrétion. Ce rapport si simple de 180,000 stades à 56o* n'est-il pas une raison de penser que le stade est purement astronomique, et qu'ainsi il ne signifie rien pour nous tant qu'il ne sera pas comparé avec une mesure linéaire bien connue.
Théon ajoute qu'Eralosthène après avoir mesuré avec le dioptre l'angle de hauteur des différentes montagnes dont il avait déterminé les distances, avait prouvé que la plus haute n'avait pas dix stades; mais les stades d'Eratosthène étaient de 700 au degré, 10 stades valaient
— de degré = — ^Z£2 = 8i4 toises environ. Suivant la mesure de
de Ptolémée, 10 stades feraient -Ar- = 1 140'; cela revient à peu près au
même pour la conclusion qu'il en veut déduire. Il calcule la solidité de la Terre par les théorèmes d'Archimède ; il trouve 98mmm 4o65mm 6446™ 9497 stades.
Imaginez, nous dit-il, une montagne de 10 stades sur une pareille masse, vous verrez qu'elle n'y fera aucun effet sensible. Il eut été plus juste de comparer les dix stades au rayon de la Terre , ou 10 à 3oooo, ou 1 à 3ooo, ou bien de calculer la masse de la montagne pour la comparer au nombre de 98,4 myriades triples de stades.
Théon prouve ensuite que le carré du diamètre est au cercle comme le cube est au cylindre de même hauteur.
Da : cercle :: Da.D : cercle. D :: cube du diamètre : cylindre.
La surface de la mer est courbe ; Théon le prouve par l'expérience des navigateurs, qui, ne voyant ni terre, ni montagne, ni vaisseau quand ils
se tiennent au pied du mât, en aperçoivent du sommet ; il ajoute quéTeau cherchant toujours le lieu le plus bas, ne peut prendre que la forme sphérique; il n'y a en effet que la surface sphérique dont tous les points soient à égale distance du centre. Il développe les raisons données par Ptolémée pour démontrer que la Terre est au centre; il en allègue des preuves qui tombent d'elles-mêmes dès qu'on admet, avec Copernic, que le cercle décrit par la Terre, dans son mouvement annuel, n'a aucune proportion assignable avec la sphère des fixes. Il le prouve par l'écliptique, dont on voit toujours la moitié, sans nous dire sur quelles observations il fonde son assertion, qui n'est même pas vraie, puisque, par l'effet de la réfraction, nous voyons toujours i8i° de l'écliptique; il s'appuie encore sur les éclipses de Lune, qui n'auraient pas toujours lieu dans les oppositions si la Terre n'était pas au centre; mais il suffit que la Terre soit au centre de l'orbite lunaire.
Le Soleil est 170 fois gros comme la Terre, et il nous paraît de la grandeur d'un pied; la Terre, vue du Soleil, paraîtrait de
1 , . j iâA ,. 170 — 26 ,. 26 ,. i3
— de pied = — — lignes = = 1 ligne — — = 1 ligne — t? ;
ainsi elle paraîtrait moindre que la plus petite étoile.
Les graves abandonnés à eux-mêmes tombent suivant une direction perpendiculaire à la surface de la Terre , ce qui prouve , dit The'on qu'elle est le centre du ciel sphérique. On le voit encore parles niveaux et les fils à plomb. Sans la résistance de la Terre, les graves descendraient jusqu'au centre. La Terre est immobile à ce centre, parce qu'elle est également pressée de toute part : lïoaQîvcaç TrctvxciyJ^iv avTuQoufjievov $1 àvreféi-
Dans l'univers ou dans le tout sphérique il n'y a ni haut ni bas; les efforts sont égaux de tout côté; la Terre doit donc être immobile. Dans les différens climats on voit le Soleil à différentes hauteurs; il n'y a donc ni haut ni bas; c'est par préjugé que nous appelons haut ce qui est au-dessus de nos têtes, bas ce qui est à nos pieds; cela ne peut être vrai que par rapport à la Terre.
Il examine ensuite la question de la rotation de la Terre autour de soit axe. 11 expose longuement comment on satisferait aux phénomènes diurnes par le mouvement de la Terre au centre du ciel immobile , oubien encore en donnant à la Terre et au ciel des mouvemens contraires; il convient que quant aux étoiles tout reviendrait au même ; mais il répète les objections de Ptolémée. Il ajoute que les combles et les nuages plus épais que
l'air, ne pourraient jamais se mouvoir en sens contraire. On peut remarquer que le mot comète ne se trouve pas une seule fois dans la Syntaxe mathématique, et que The'on a l'air ici de les regarder comme des amas de vapeurs, puisqu'il les assimile aux nuages.
Dans le chapitre sur les deux mouvemens du ciel, The'on nous donne d'avance les inclinaisons des orbites des planètes. Pour le Soleil, 23° 5 1' 20"; pour la Lune, 5°; pour Mercure, 4° ^2' ; pour Véuus , ç/o'; pour Mars, 70 5o'; pour Jupiter, 20; enfin pour Saturne, 3°i5'. Voyez le dernier livre de Ptole'mëe; il suppose la pre'cession de i° en cent ans.
On reconnaît que l'écliplique est un grand cercle, en ce qu'elle est également inclinée au-dessus et au-dessous de l'équateur. Si le mouvement propre des astres s'ope'rait autour des pôles de l'équateur, par un simple retardement, et non par un mouvement re'el , le Soleil décrirait en un seul jour 55c)0 de son cercle oblique; s'étantlevé au tropique d'été, il se coucherait au tropique d'hiver. Cet argument singulier est de Théon; on n'en voit rien dans Ptolémée.
Hipparque avait composé douze livres sur le calcul des cordes du cercle; Ménélaùs avait traité le môme sujet en six livres ; Ptolémée a le mérite d'avoir réduit toute cette théorie à un petit nombre de lemmes et de théorèmes faciles. Théon ne dit pas si Ptolémée est véritablement l'auteur de ces propositions, ou s'il a simplement extrait des ouvrages de ses devanciers ce qui lui a paru suffire à la construction de la table. Il est possible qu'un auteur qui compose un traité tout entier ex professo sur un sujet, y mette beaucoup de choses qui n'ont pas d'applications fréquentes ou qui ne servent que de vérifications, et que l'auteur qui vient après s'occuper en passant du même objet, pour en faire un chapitre d'un ouvrage où cet objet n'est plus qu'un accessoire , fasse un choix parmi un grand nombre de propositions et de méthodes. Son but était non de calculer la table par les moyens les plus expéditifs, mais de montrer comment elle a pu être construite, afin qu'on puisse l'employer sans scrupule. Mais, d'un autre côté, on peut dire que si Ptolémée n'a composé qu'un extrait, il n'y avait pas lieu à cette admiration que témoigne Théon ; QcLv/iicîorcu d'êVr) tov a,v$fu,. On pourra cependant répliquer que Synésius se sert à peu près des mêmes termes à l'occasion du planisphère que Ptolémée avait rédigé d'après le vieil Hipparque.
Théon développe ensuite les principes du calcul sexagésimal; il montre quel estl'ordre des quantités qui proviennent de la multiplication et de la division d'un nombre sexagésimal par un autre. i° est ici l'unité et ne
change pas l'ordre de la quantité' qu'il multiplie ou divise; mais quand une fraction en multiplie une autre, le produit change d'espèce.
Pour l'exprimer d'une manière abrégée, représentons les fractions sexa-
gesimales comme il suit : 1 j g^r j g^r > g^r etc. , nous aurons
i i ii i i 'i i i
^ ' i K ^ TFTZ »
60^60 602 ' 60 bV 603 » 6om 6o" 6om+n*
11 démontre tout cela comme on démontre en géométrie la multiplication des lignes.
Vous trouverez les démonstrations de Théon dans l'ouvrage intitulé : Mauricii Bressii Grationopolitani Regii et Rami, mathematicarum Lutetiœ professons , metrices astronomicœ libri quatuor. Paris i58i. Théon est obscur et prolixe. J'ai simplifié tout cet endroit dans mon Arithmétique des Grecs; on y trouvera toutes les opérations que fait ici Théon.
A la démonstration donnée par Ptolémée du théorème des diagonales du quadrilatère inscrit au cercle, Théon ajoute la démonstration parti-* culière du cas où les côtés sont égaux, et par conséquent aussi les diagonales. Il a pris en cela une peine assez superflue. Nous ne le suivrons pas dans ce qu'il dit de la construction , de la vérification et de l'usage de la table des cordes. Voyez notre Trigonométrie des Grecs. Il prouve ensuite que l'arc qui joint les pôles de deux grands cercles est égal à leur inclinaison.
Soit TQ^ l'équateur, TC — l'écliptique, QCPEle colure des solstices;
(«g. PQ = 9û°; CE=9o;
PE = CE— CP = CE— (PQ—CQ)=CE — PQ+CQ=9o°— 9o0-fCQ;
donc PE = CQ : celte démonstration est simple et naturelle, celle de Théon est obscure et la figure mal faite.
Dans la description de l'instrument propre à mesurer cet angle, Théon répète l'expression vague de Ptolémée : ua otra, eveTg^gra/. Nous avons déjà fait nos remarques sur ces mots , et Théon n'éclaircit rien. On ne sait si l'armille équatoriale subsistait encore de son tems. Il parle ensuite des deux petits gnomons dont l'un devait couvrir ljautre de son ombre. Voyea Proclus qui en a donné la figure , qu'il aura composée sans doute d'après le texte de Ptolémée; le fil à plomb portait un poids conique. Dans la longue explication qu'il donne de la manière dont on observait les deux solstices pour en déduire l'obliquité et la hauteur du pôle, il ne dit rien qui ne soit tout aussi clair dans Ptolémée, et pas un mot de ce que Ptolémée s'est permis de passer sous silence.
COMMENTAIRE DE THÉON. 559 Dans la description de l'autre instrument ou du quart de cercle que j'ai donne'e dans mon Astronomie, Théon nous parle d'un instrument qui servait à reconnaître l'horizontalité d'un plan ; il l'appelle diabète ou alpharion; èTTi Si o «TiajSwrwç vitoi ro aXQafiov Ihtpç ra> Xu>fo$ctxx\ iccLfTrcp. Un autre moyen , c'est de répandre de l'eau et de mettre des cales sous le plan pour que l'eau ne coule pas d'un côté plus que de l'autre. Il dit, comme Ptolémée, que l'intervalle solstitial a toujours paru 47% un Peu Plus que \ et moins que f , ce qui est presque le rapport d'Eratosthène, dont Hipparque s'est servi comme d'une quantité bien déterminée , car Eratosthène avait trouvé ^ qui valent 47° 42' 4°"> ou mieux 47° 42' 39">4 '> ams' > l'obliquité serait 23°5i' i9",7. Nous n'avons ni les deux distances" ni la hauteur du pôle. Voyez notre article d'Eratosthène. Si Théon ne nous apprend rien de ce qu'il nous importait de savoir, c'est qu'il n'en savait pas davantage suivant toute apparence; c'est qu'il ne restait nulle trace de l'observation de Ptolémée , et peut-être aussi que Ptolémée n'avait rien observé. Théon, qui s'appesantit avec tant de complaisance sur les démonstrations et les développemens les plus inutiles, n'aurait pas manqué de rapporter ce qui aurait pu donner un tout autre prix à son Commentaire; il passe aux fondemens de la Trigonométrie sphérique.
Pour établir sa démonstration, il donne celte définition de la raison composée , qu'il a fait entrer dans son édition d'Euclide , et qui a été si amèrement chiquée par Robert Simson; il reproduit, en les développant, les démonstrations de Ptolémée. Dans notre Trigonométrie des Grecs, en démontrant ces théorèmes anciens, pour abréger et en même lems épargner les figures, nous avons tout ramené à la règle des sinus des angles et des côtés opposés : ici nous croyons devoir donner les démonstrations de Théon.
Supposons (fig. i52) que l'on ait deux droites a/3, cty formant un angle a , et que l'on mène les droites /3e, ^cT, qui se coupent en je dis que la raison de cty \ ae sera composée des raisons de y£ à cT£ et de £j@ à
/3e , c'est-à-dire que l'on aura ^ = ~ • ^ ; pour le prouver, menons ex parallèle à y<P; à cause de ces deux parallèles , nous aurons
cty : ea, :: y cT : en ; mais y£ \ ex :: y£ . cT£ : ex .
donc cty : «e :: yj" . cT£ : ex . cT£; or, : ex :: £/3 : /3e ; 4£ = |£ ;
i cr lpmrnp
donc "94^£.&=-$.£s i«lemme.
56o ASTRONOMIE ANCIENNE.
On en conclut ^-=- |. — ; lemme qui n'est qu'une transposition du ier. Menons £»' parallèle à /3a; jSg : eÇ :: /3a : £Y :: /Sa . a^T : £V . a^;
iL—t: ±—*± ^ou ^= - . ^- 2'lemme
Soient (fig. i55) a/S et a^ ; menons fie et >cT qui se coupent en £; menons a»' parallèle à /3c, et prolongeons ^cT jusqu'en »';
^. 3e lemme
Menons av\ parallèle à y£y et prolongeons fie jusqu'en »,
K : Ç, :: ftf : J>« » ç, mV. = <> . tf. flemme.
£n : £e :: a^ J /3Ç M. «y «y /sç c)*
Nous nous sommes écartés, dans celte dernière démonstration, de la marche de The'on , pour n'avoir pas à multiplier un rapport par une arbitraire prise en dehors , comme disent les Grecs, telle que cT£ dans la première démonstration, acT dans la seconde, et £cT dans la troisième.
Ces théorèmes ainsi présentés se démontrent facilement et s'oublient de même; ils ne laissent aucune idée dans l'esprit; en les traduisant, on aura :
ierseg. 2eligne 2° seg. rie la 4e ligne ier+ 2e seg. 3e lig. jer Jemm
ie,'seg. +2e seg. 2eseg. + iers. 4e lig- * ierseg. 3e lig. ' ' ier ses. 3S ligne 2eseg. 4e ligne ier 2e seg. 2e lig. ,
— ; — £rv— = -7-i — 7T~ — ttt — • — 77 tt- — — j renversem. du ier;
iei-j-2eseg. 3ehg. 2e 4- 1er seg. 4e li g. ier seg. 2e ligne ' '
2e seg. 5e ligne i"seg. i" ligne Ier de 4e ligne ,
a«-f-i«seg. ier4-2eseg. irelig. * 1er 2e 4e ligne > '
1er de 2e ligne a8 de 4e ligne ier + 2e delà T8 ligne -( j
2e de 2e ligne ' 1er de4e ligne ' 2e de la ire ligne 3 *
2e de 2e ligne 2e de 3e ligne 2e de ire ligne /e .
î" de 2e ligne î" de3e ligne * ierde ire ligne » ^ emme »
en nommant, comme on voit, ligne la droite a/5, 2« ligne la droite ayy 5e ligne celle qui est menée de la ire sur la 2e, et 4e celle qui va de la 2e à la ire; malgré cette traduction, les quatre théorèmes sont encore Lien difficiles à retenir. En voici un 5e.
Soient (fig. 1 54 ) a/3 et @y 9 deux arcs moindres chacun que la demicirconférence, la corde ety de leur somme sera coupée parle diamètre G'Ç en deux segmens, tels que
ae : ey :: ctÇ : y>] :: 2 z'Ç : 2yy\ :: «Q : yx :: corde 2ct/3 : corde 2@y (5) ;
ou si l'on veut , comme sin a/3 : sin fiy ; rapport qui se présente le premier.
The'on passe eu revue les suppositions qu'on peut faire sur les espèces des deux arcs ; nous aurions encore
Cette figure nous donnerait, dans notre Trigonome'lrie moderne,
ay cos a = eu ou 2 sin £ (a-ft-\-fiy) cos j (a/3 — (èy)
= ctÇ-{-Çt = s'm ctfi-{-s'm fiy ; cty sin a = yt ou 2 sin | (a/3-|-/3}<) sin^(a/3 — /3^)
= ^4-^= cos js^-f-cos ( i8o°— a/3) = cos/3>— cos a/3.
Ces deux formules sont très-connues; et par un simple changement du signe de jBy ou des arcs a/3 et fiy en (900 — a/3) et (90° — /3>),
on aurait sin a/3 — sin (èy = 2 sin 4 (a/3 — jS>) cos^ (a/3 + /3^);
cos/3^ + cosa/3 = 2 cos^ (a/3 -f-/3j0 cos | (a/3 — /3^).
S- i>„ j> « . -i . -i corde 2«/3
1 1 on a 1 arc ctpy , aussi bien que le rapport cor(je 2<8y" > on en pourra
déduire les valeurs des arcs partiels a/3 et @y; soit (fig. i55) le centre du cercle, menez le diamètre a^rf et la perpendiculaire <T£ sur cty; vous connaissez l'arc a/3^ et sa corde cty; vous aurez sa moitié qui mesurera l'angle ctJ"Ç ; vous connaîtrez donc ct<PÇ et son complément cTaÇj vous
aurez a£ et acT, corde de 60% vous aurez cT^ = acT — a£ ;
mais as : :: corde 2 a/3 : corde 2 fiy :: m : n ;
ae-j- ey : ce :: m -f- : m ; cty '.ctg'.\ m -\-n : ni) ag= cty ( - — — — j ;
/ 2m — (ni -f- n) \ / m.-— n \
Ensuite (cTe)* = (e^)s +" («T?)' ; on aura les trois côtés du triangle ^tTê; on aura donc l'angle £Je, demi-différence des arcs a/3 et /3^, dont oa connaît la demi-somme ; on aura donc les deux arcs.
^ 1 iÇ corde 1800 it • 120" On aura corde 2iàe = r- = -S— r .
, « «s "Se ...
Celte solution est un peu longue; nous aurions bien plutôt fait avec les tangentes ; mais les Grecs ne les connaissaient pas.
Soient deux arcs a/3, fïy, dont la somme soit moindre que deux droits ; Ilist. de VAst. anc. Tom. II. 7 1
prolongez la corde fiy jusqu'à sa rencontre avec le rayon acT aussi prolongé; abaissez les perpendiculaires fit, et yvi ( fig. i56 ).
yy\ : fit, :: y s. : fie :: 2>>i : 2/3£ :: corde 2a, fiy : corde 2a/3.
Si l'on connaît l'arc fiy et le rapport des cordes 2/3£ et 2yy\} on aura les deux arcs a/3 et ajS^; car fie — ye-^fiy^
donc ye ye -j- fiy :: corde 2ctfiy : corde 2a/3 ;
d'où yi =
corde citxfi
corde 2«/3y '
sera connu , donc aussi fie ; on aura donc, comme ci-dessus, les deuxarcs dont les cordes yy et fiÇ sont telles, que — 3 qui sont maintenant connus.
11 est à remarquer que ni Ptolémée, ni Théon , ni même Euclide, parmi tant de combinaisons , souvent peu naturelles , n'ont jamais fait le moindre usage de fiÇ-hyy fiK — y* /3e-f->€ • fie — ye, dont les modernes ont tiré si bon parti.
De cette même figure, en menant yv parallèle à ea, nous tirerions
fii>=fiÇ — yv\z=.(ùx\a.fi — sin^/a)=^/3sinj'5/jS=:^/3sinagjS=5//3sin-|: (et fi — yix)
= 2sini(i8o° — y.fi — y/u)smj(a.fi — yjx) = 2 sin i (a/3 — yjx) cos | (a/3 -f- yfx) ,
et cT^-f-cT>i=cos a/3-f-cos >jW=> /3 cos é/3^=2 cos \ (a/3-f-^) cos | (a/S — y/u) ;
les deux constructions de Théon mènent donc à nos quatre formules modernes.
Voyons maintenant les démonstrations des théorèmes de Trigonométrie suivant Ptolémée et Théon.
Soient deux arcs de grand cercle a fi , ay, moindres chacun que la demicirconférence et formant un angle en a (fig. i57).
Soient menés deux autres arcs fiÇe et yÇS qui s'entrecoupent en £. Soit» le centre de la sphère, et les rayons mfi , »£ et m menés aux intersections. Menez les cordes ya,., y S et etcT indéfiniment prolongées; prolongez de même le rayon >i/3, qui rencontrera en ô la corde ctcT, car ctSel r,fi sont dans le plan du cercle aef/3. La corde S'y coupera le rayon en je, car cette corde et ce rayon sont dans le plan du cercle SÇy.
La corde ety coupera le rayon y\e, car les deux lignes sont dans le plan
COMMENTAIRE DE THÉON. 565 a&y. Soit A l'intersection; les trois intersections 8 , x, A 6ont dans une même droite, car elles sont dans un plan qui passe par a, eT et y; elles sont de plus dans le plan du cercle /3£e ; elles sont donc dans la commune intersection de ces deux plans, et par conséquent dans une même droite; tirez cette droite, qui sera 6xA; elle sera une transversale qui coupera les trois côtés du triangle ctfy ; on aura donc, par ce qui précède ,
yX : Act :: yx . cTÔ : ac«T. 6a; or yX : Aa :: corde 2ye : corde 2ai ci-dessus ( lemme 5) ;
donc corde 2ys : corde 22 e :: yx. cT9 : x£ . fia-
On a encore par le même lemme ,
yx : xS" :: corde 2yÇ : corde 2£<T;
6cT : 6a :: corde 2cT/3 : corde 2/3a;
et yx.Bj" : xJ\6a :: corde 2^. corde 2^/3 : corde 2£<T corde 2/3ct ; ou corde 2ye : corde 2ae :: corde zyÇ corde 2cT/3 : corde 2£cP corde 2/3a.
Soit a/3 le ier arc, cty le 2% j3* le 3e, 3,^ le 4% et ier segment celui qui est à l'origine de l'arc ;
corde zyt corde 2yÇ corde
corde 2«e corde 2^ ' corde 2/3<e*
OU
corde 2 (2e seg. 2e arc) corde 2 ( ierseg. du4" arc) corde 2 ( 2eseg. du ierarc)
corde 2 ( ier seg. 2e arc) "—" corde 2 ( 2e seg. du 4e arc) ' corde (ierarc entier )
Nous simplifierons cette expression en mettant les sinus des arcs simples au lieu des cordes des arcs doubles.
Cette démonstration, facile à comprendre, n'a pas dû être aisée à trouver.
Joignez yi et m qui se rencontreront eu x (fig. i58);
é£ et >i/3 qui se rencontreront en fx\ yÇ et »<T qui se rencontreront en A :
x, A, seront dans le plan du triangle yÇe, et dans le plan du cercle Ces trois points seront sur la commune intersection xXfx. Vous aurez entre les droites xy et xja, deux droites menées |tts et y A, qui
se couperont en £; et par conséquent par les lemmes 1 et 5 ci-dessus :
yx xi \: y\ .£fA\ . pi corde 2yct : corde 2x1, yX : A£ :: corde 2y<P : corde 2%£ , £#. :/uî :: corde 2^/3 : corde 2/Sî.
yX.ÇplXÇ . (xz : : corde 2y$ . corde 2Ç/S : corde 2^cT . corde 2/3g :: corde 2^a : corde 2ae;
corde 2y* corde 2y^ corde 2^/3
corde 2«t çorde 2^ * corde 2/3e corde 2 ( 2e arc ) corde 2 (4e arc) corde 2 ( 1" seg. 5e arc)
corde 2(1" seg. 2e arc) corde 2 ( 2e seg. 4e arc) ' corde 2 (3e arc)
On voit que la démonstration marche tout de même et repose sur les mêmes principes. Ptolémée n'en a donné que deux- Théon considère encore deux cas diflerens.
Dans la fig. i5g menez ye. et m qui se rencontreront en x ,
£e et /3n qui se rencontreront en À, X^y et cT>i qui se rencontreront en y.
Menez jcA^qui joindra ces trois points, puisqu'ils sont en droite ligne. Dans les droites jxx et vous aurez les droites xy et ÇA qui se couperont en g.
Vous aurez par les lemmes 1 renversé et 5 ;
yx : x£ :: yju . Ça : yùC, . Aé :: corde 2y& : corde 2ctet y/A l ynÇ :: corde zyS* : corde 2cfÇ; Ça : Ae :: corde 2Ç/3 : corde 2/3é;
77* . Ça IjttÇ . A« :: corde 2>cT corde 2Ç/3 : corde 2cTÇ . corde 2/3» :: corde zya. : corde 2«ê;
corde 2«e corde 2<JÇ corde 2/3e
corde 2y<* ' corde 2yi^ ' corde 2Ç/3 '
corde 2 ( icr seg. 2e arc) corde 2 ( 2e seg. 4e arc) corde 2 (3e arc )
corde 2 ( 2e arc ) corde 2 ( 4e arc ) * corde 2 (ierseg. 3e arc)"
Enfin, dans la fig. 160 tirez y& et »a qui se couperont en x,
>Ç et »cT qui se couperont en /uf eÇ et vry qui se couperont en A.
Joignez x, fx, A qui sont sur une même droite, vous aurez entre xyel x?. les droites yfx et Aé, qui se couperont en Ç; vous aurez donc par les lemmes '2 et 5 :
yx '.xè'.'.yy. ÇA ." fiÇ . Ae :: corde iya, \ corde 2ct,e y y y, ijuÇ :: corde 2y'( : corde 2cfÇ; Ç^ : As :: corde 2Ç/3 : corde 2/Sê.
Corde 2^a : corde 20U :: >ft,.ÇA : /*,Ç.Ae :: corde 25/Ç. corde 2Ç/3 : corde 2cTÇ. corde 2/3ê ;
corde 2«£ corde 2<J"Ç corde 2/3t
corde 2y« "~ ~~ corde 2yÇ * corde 2Ç/3 *
corde 2 ( ier seg. 1er arc ) corde 2 ( 2e seg. 3e arc) corde 2 (4e arc )
corde ier arc ' corde 2 ( ie' seg. 3e arc) ' corde 2 (ae seg. 4e arc )"
COMMENTAIRE DE THÉON. 565 C'est ainsi que Théon démontre ces théorèmes obscurs qui se déduisent
si facilement de notre théorème des quatre sinus; maisles démonstrations
anciennes ne sont pas sans intérêt pour l'histoire de la science.
Nous avons dit que deux de ces théorèmes étant connus, les deux autres
se trouvaient par un simple renversement; ïhéon le démontre à l'aide du
lerame suivant.
Soit ( fig. 161 ) le cercle ctfiy sur le diamètre cty ; prenez un point quelconque fi, vous aurez corde ict$ = corde 2@y • nous disons de môme, sin A = sin ( 1800 — A ).
Achevez les demi-cercles yccn, y&n ( fig. 162 ).
Dans les arcs e», e@y vous avez deux arcs HcTÇet /3cT«i, qui se coupent en <T; donc
corde 2m : corde 2st£ :: corde 2»cT. corde 2^/3: corde 2cP£. corde 2(èt; donc en mettant pour nu. et n£ leurs supplémens cty et S'y corde 2xy : corde 2cte :: corde n£y. corde 2^/3 : corde 2cT£. corde 2/3?.
Théon donne un second exemple de ces conversions ; ce sont les mêmes principes et la même marche.
Dans le chapitre suivant, Théon donne, sans aucun éclaircissement, J'obliquité 23° 5i' 20", et passe au calcul des déclinaisons du Soleil.
Nous allons redresser sa figure pour le rendre plus intelligible, fig. i65.
ct&y est l'équateur, l'écliptique , aÇy le colure des solstices, en la longitude du Soleil ; on demande la déclinaison >;9; £est le pôle de l'équateur et >îô la déclinaison.
Dans les cercles a£ et cte qui font un angle droit en a, nous avons les arcs Ç6 et e/3 qui se coupent en n.
corde 2^0. : corde 2x/3 :: corde 2ÇO . corde 2n& : corde 26n . corde 2<-/3;
corde 1 8o° : corde2obliq. : : corde 1 8o° . corde2long. : corde2décl. corde 1 8o°;
corde 1 8o° : corde 2 oblique :: corde 2 longit.: corde 2 déclin. ;
singo0 *. sin obliquité :: sinlongit. : sin déclin. = sin co sin L.
Théon devait dire :
, i / *■ corde 2 obliq. corde 2 longit. • 1
corde 2 dechn. = 3 — ^ —2— ce qU] était bien simple.
corde 1800 = 120 p 1 r
t j . corde2obliq. T 1 corde 1800
Il nous dit : du rapport -, — 5—2- retranchons le rapport ■. =
rr corde 1800 rr corde 2 longit.
c'est-à-dire divisons la première fraction par la seconde, nous aurons
corde 2 obliq. corde 2 longit. corde 2 déclin, corde 1800 corde 1800 corde 180° '
, . , /corde 2obliq.\ ,
ce qui est moins simple et moins naturel. ( - cQrde ^q0' ) est une quantité
constante pour toute la table ; il n'y avait donc qu'à déterminer cette constante , et la multiplier successivement par toutes les cordes de double longitude. Pour L = 3o°, exemple qu'il choisit d'après Ptolémée, corde 2 longit. = corde 2 fois 3o° = corde 6o° = rayon == \ diamètre ; il suffisait de prendre la moitié de corde 2 obliq. pour avoir corde 2 déclin. Théon multiplie 48° 5i' 55" par 60; il a 48"* 31' 55' = 291 i? 55'; il divise ensuite par 120= 2 . 60 ; il nous dit que dans ce problème il faut connaître cinq quantités pour obtenir la sixième; mais trois de ces quantités sont la corde de 180% et deux se détruisent; il n'en reste que deux, nous en concluons la troisième.
L'opération que fait Théon est donc inutilement compliquée ; mais ses calculs numériques nous donnent des exemples curieux de l'Arithmétique sexagésimale des Grecs ; nous allons les présenter à nos lecteurs dans toute leur étendue. Il s'agit de trouver la déclinaison pour 6o° de longitude. Corde 2 . 60 = corde 120°= io3° 55' 23"; on a donc
i2op : io5p55'23" :: 48' 3 1' 55* : 42? i'48": ce dernier terme est l'inconnue qu'il s'agit de trouver. Il est évident que 48? 5i 55 £.5/ ^„ gera ja Ya]eur l'inconnue — ; x .
ASp 3i'55" io3p 55' s3" l , , x
sera la valeur de :
io3p x 48p = 4944p 4944p
io3 x 5i' = 3ig5' 53. i3'
23" x 55" = i265lv . 21. 5"
Produit total 5o43° 35' 16" Sg'"!^
Divisez par 60 84. 3.35. 16. 3g. 5r
Divisez par 2 42. 1 .47-38. ig. 32. 3oT1.
Il exécute les opérations partielles qu'on voit dans le tableau précédent, il les réduit et les additionne. La division par 120 se fait plus commode-
COMMENTAIRE DE THÉON. 567 ment par Go et puis par 2. Vous remarquerez que malgré son annonce il
OC
cherche véritablement x. et non — .
II prouve ensuite de plusieurs manières que les déclinaisons du ier quart servent également pour les trois autres; il cherche ensuite pourquoi les différences entre les déclinaisons sont plus fortes au commencement de la table que vers le milieu ou la fin; il renvoyé pour la démonstration au théorème 5 du 5e livre des Sphériques de Théodose. Cette démonstration singulièrement longue , n'offre d'ailleurs rien de remarquable. Le théorème n'est lui-même qu'une spéculation vague, qui ne donne pas la loi de la diminution pour ces différences. Cette loi inconnue aux Grecs paraît avoir été connue dans l'Inde. Celle loi est bien simple : sin D = sin où sin L,
d'où dD cos D = sin a> cos LdL ; dD i= dL s'" ^ °S L = dh sin a> cos J\.
? cos D
z=.dLi cos angle de l'écliptique avec le méridien = dh sin angle de l'écliptique avec le parallèle. Cette dernière expression met la chose en évidence; l'écliptique inclinée de a3° 5i' à l'équateur aux deux points équinoxiaux lui devient parallèle aux points solstiliaux ; l'angle de l'écliptique avec le parallèle va donc diminuant sans cesse depuis 25° 5i' jusqu'à o. La différence doit diminuer suivant la même loi que le sinus : l'expression dL sin où cos ascension droite peint également bien la chose , mais elle parle plus à l'esprit qu'aux yeux.
Des Ascensions dans la Sphère droite.
SoitPEP'(fig.i64) le méridien, EQ l'équateur, PQP'rhorizon;EPQ=9o°| les deux pôles seront dans l'horizon, la sphère sera droite. Soit BtH l'écliptique , le point T de l'écliptique ne fait qu'un avec le point correspondant de l'équateur, les deux points se lèvent ensemble ; le point H de l'écliptique se lève avec le point Q de l'équateur. Ainsi, l'arc TH de l'éditique emploie à se lever le même tems que l'arc TQ de l'équateur ; l'arc TQ mesure le tems du lever pour l'arc TH dans la sphère droile; il marque le tems de l'ascension dans la sphère droite ; il est ce qu'on appelle aujourd'hui par abréviation , Yascension droite de cet arc.
Le méridien PEP' est l'horizon d'un point de l'équateur , qui est à goe du point E; PQP' est le méridien de ce lieu; ainsi les ascensions droites ou les tems des levers dans la sphère droite indiquent aussi les tems des passages au méridien, et cela non-seulement dans la sphère droite, mais à toutes les inclinaisons possibles de la sphère, car l'équateur est
cor
toujours perpendiculaire au méridien, au lieu qu'il n'est perpendiculaire
à l'horizon que dans la sphère droite.
La formule de l'ascension droite, ainsi que nous l'avons vu dans Ptolémée , est
dc.JDl- C°rde2P 22HÊ^=?JÙt ousinJl = S-^.^ = tansDcot.. u ^ (corde i8o°—2D)' corde cosD sin«
Celte formule prouverait seule que les Grecs ignoraient la formule plus directe tang M = cosa tangL.
11 est bien singulier que cette formule, qui employait à la fois
corde aP et corde(l8o°~2^ , n'ait pas engagé Ptolémée à calculer
corde (i8o°— -aD) corde 2a ' 1 ° &
des Tables de ces rapports entre les cordes des arcs et les cordes de leurs supplémens; ces Tables auraient abrégé considérablement les calculs trigonométriques, dont la prolixité est vraiment effrayante, ainsi qu'on peut en juger par le calcul de la déclinaison rapportée page précédente.
Ces cordes AB, BD ( fîg. i65) forment toujours un angle droit à la circonférence. Ce rapport indiquait nécessairement la valeur de l'angle A, puisqu'il change continuellement avec l'angle. Du rayon AB décrivez un
iangBF rangBAF BD arc BF , BD en sera la tangente; = — BÀ~~ = AB'
Du rayon BD décrivez l'arc BE, AB en sera la tangente; et
tangBDE BA BDE = 9o°-BAD5 tangD^-^, et tang A = . BD BD BD' 3 5 tang A' b tangD
. 11 i '. • i ... corde (180 — Qa>) Théon aurait dû tout au moins déterminer la constante ~ — ,
COI Cl G 2.CD
pour la multiplier ensuite par corde 2D, et diviser le produit par
corde (1800 — 2D); la constante eût été 4P 3 1 '21 "48"', ainsi qu'on le trouvera plus facilement par les logarithmes. Au lieu de ce calcul, Théon fait 48°5i'55" : 2^ i5'5f :: 1 or/44' 5 5" : 5^52' 26", 5 ; il multiplie ce quatrième terme par 120° et le divise par 1 jjp 3i' i5", et trouve 50 \ ,2&' trop faible de 3o"; c'est peut-être une faute d'impression. Avec, celte corde il cherche dans la Table à quel arc elle appartient. La moitié de cet arc est l'ascension droite demandée. Ces calculs sont horriblement longs; et avec les connaissances qu'ils avaient ils auraient pu les abréger des trois quarts.
Théon prouve ensuite que les ascensions droites des trois autres quarts de l'écliptique sont les mêmes que celles du premier; il ne faut pour s'en convaincre que considérer la formule dont il se servait : la même
COMMENTAIRE DE THÉON. 5Cg chose se voit par notre formule langui = coset) tangL, qui a pris nécessairement toutes les valeurs possibles entre o où elle est o, et go° où elle est infinie.
Dans le second livre , The'on explique longuement de quelle manière on a reconnu que la partie de la Terre visitée par les voyageurs est toute au nord de l'équateur, et que la plus grande différence de longitude ne surpasse pas une demi-circonférence. On ne trouve en effet, dans la Géographie de Ptolémée, que trois points dont la longitude soit de 1800; l'un est 0i?ra;, métropole des Sines; le second est Saraga; le troisième est la source du fleuve Cotliarios, dans le même pays. On y trouve quelques autres points à 179°, aucun par delà 180°; d'un autre coté, il place à o° de longitude quatre des six îles des Fortunées , toûv juctzctfav ; ce sont Pile Inaccessible : l'île Plouïtala, l'île Caspiria, enfin Pile Centurie : Canarie est à i° de longitude.
A l'occasion du problème dans lequel on détermine les amplitudes par la durée du plus long jour, il nous apprend que celte durée se déterminait par les horloges d'eau.
Il ajoute que Ptolémée choisit dans tous ses exemples le parallèle de Rhodes, dont la latitude est de 36°, et ce choix est fondé sur trois raisons : la première est le nombre rond de 36°; mais la latitude d'Alexandrie était de 3i°, nombre tout aussi commode pour les calculs; la deuxième est qu'IIipparque a fait sous ce parallèle une longue suite d'observations. Il en résulte au moins qu'Hipparque n'a pas observé à Alexandrie autant qu'à Rhodes; on ne voit pas même bien incontestablement qu'il ait jamais observé ailleurs qu'en Bithynie, où il avait pris naissance, et à Rhodes, où il a passé la plus grande partie de sa vie. La troisième enfin, est que le climat de Rhodes tient le milieu à très-peu près entre tous les climats les plus connus. La liaison serait meilleure pour la composition de Tables qu'on voudrait rendre plus utiles ; elle est assez futile pour un exemple dans lequel il ne s'agit que de présenter clairement la marche du calcul. Je soupçonne une quatrième raison qui pourrait bien être la véritable, c'est que Ptolémée trouvait ces exemples tout calculés dans les ouvrages d'Hipparque.
Pour en revenir à l'amplitude solsticiale, on demande EB ; il est évident que (fig. 166)
cosEB = cosJ3A cosEA = cosD cos(QPA — QPE) = cos D cos ( arc semi-diurne — 900 ) = cosD cos i5 ( j durée du jour — 6k) ; Ilist. de l'A st. anc. Tom.. II. 72
57o ASTRONOMIE ANCIENNE,
la formule de Ptolémée est
corde ( 1 8o° — 2EB) = corde ( 1 8o° — 2 AB) corde ( 1 8o° — 2E A). Les mêmes choses donne'es, on a
sinEA = tangw tangH, d'où tangH = sinEA cota;. Les Grecs faisaient
, , , » . corde 20 corde aH
corde 2E A = corde 5o (7 durée — &) == (— ^^-^-^ . ^-^^--^
Cette équation n'était pas trop incommode pour trouver EA; mais en
, . corde 2H corde 2EA corde ( 1 8o° — za) Ja renversant , pour avoir ; — -, — = r ? on
7 1 (corde 1 80 — 2H) corde 2a 7
a une équation du second degré à résoudre. Ptolémée se sert de EB, ,., , ., ~ . , T, corde 2BA • , ,
qu il vient de trouver; il lait corde 2L = TordêaBË' ce revien
cos H = - — — r. Théon s'y prend d'une manière moins simple, que
sin amplitude J r 1
nous avons déjà exposée.
Sur le chapitre où Ptolémée cherche le rapport du gnomon aux ombres solstitiales et équinoxiales , le Commentaire n'offre rien de remarquable, sinon qu'il n'y est question ni des réfractions, ni du demi-diamètre du Soleil.
Rien à remarquer non plus au chapitre des climats. Quand on arrive aux latitudes plus hautes, Théon prouve que la même augmentation dans la durée du jour en apporte de décroissantes dans la hauteur du pôle-, ce qui est évident par la formule tangH = sin dAX cot 00 , d'où dH = (sin dAX cot a>) cos'H; [sin dAX cot&>), dans ce cas, est une constante, et dH. diminue comme le carré du cosinus de H. Cette preuve si simple ne pouvait être connue de Théon; il la remplace par une autre qui est beaucoup plus longue; il y suppose que sinaA < 2 sin A; la preuve en est bien simple, c'est que sin 2A = 2 sin A cos A; les Grecs avaientl'équivalent de cette formule ; au reste, la démonstration de Théon est très-élémentaire, et prouve généralement que les augmentations des cordes vont en diminuant, quoique celle des arcs soit constante.
Soient ( fig. 167) deux arcs égaux en et nÀ ; les trois cordes An, ne et eÀ ; evf vi% , Ao perpendiculaires au diamètre.
yfç divise le triangle ânA en deux triangles en/ et /»A , qui ont un côté commun np; en = nA; l'angle en/ > An/; donce/> /A, donc 7Tfi > fxX, donc v% >> %o; zv , xo sont les sinus de a.z y an, aÀ; donc les sinus augmentent moins quand les arcs sont plus grands.
COMMENTAIRE DE THÉON. 57i
Autre lemme.
Soit (fig. 168) un triangle rectangle ow; prenez v% >£o, vous aurez
> 07r£ ; menez parallèle à ott.
v£ : £0 :: vf : />7r; donc vf > /tf j mais £/» > y/>; à plus forte raison > /tt; de sorte que tyrf > 7T£/> ; or -tt^ = 07rç ; donc vttç > 07r£. Prenant à la suite de y?, £0 des quanlite's toujours décroissantes, les angles opposés, qui viendraient à la suite de vttç , ^7ro , iraient toujours en décroissant. On pourrait rendre le principe plus général, car il n'est pas nécessaire que £0 soit plus petit que il suffit qu'il soit égal. En effet, soit
7rv = 1 , %v = tang>7r^, vo = tangyTTo,
sin (Wo — «""i)
? = vo — v£ = tangwo — tang =
sin (>7ro — = o£ cos vrfo cos ctt^ ;
ainsi supposant constante l'augmentation o£ de la base, le sinus de ( vito — »"7r£) diminuerait à mesure que les angles en tt augmenteraient.
Une démonstration fort longue et fort inutile d'un principe fort évident, est celle par laquelle Théon prouve qu'il suffit de calculer pour le premier quart les ascensions obliques, parce que les autres s'en déduisent aisément. En effet,
asc. oblique ==^41 + dÂ{ = Jl + arc sin = tangH tang D = JR.-f~arcsin = tangH tang œ sin XI;
les différences ascensionnelles dÂ{ reviendront donc les mêmes avec les sinXl; il n'y a de différence que pour le signe, qui sera négatif dans la dernière moitié.
Cet endroit nous offre cependant une remarque : c'est que Théon emploie le mot balance bien plus souvent que Ptolémée; ainsi, l'usage de cette dénomination s'étendait et devenait plus commun. On voit, page 101, les douze signes indiquées par les caractères dont nous nous servons encore; mais c'est-là une preuve très-équivoque de l'ancienneté de ces caractères.
A la fin du chapitre, page io5, on voit que Théon habitait le climat d'Alexandrie.
Il expose ensuite, avec beaucoup de clarté, toute la théorie des heures temporaires et équinoxiales. ctfèyS' est l'écliptique (fig. 169); /?eJv l'horizon oriental 5 supposons que le Soleil se lève en /3, le mouvement de la
sphère le portera de @ en cT, où le Soleil se couchera; réciproquement, le point «T aura de'crit l'arc inférieur cT>/3 et sera arrivé à l'orient; la durée du jour sera égale au tems que l'arc fly<P mettra à traverser l'horizon. Or, par les Tables, on connaît l'ascension oblique de /S et de cT; la différence de ces ascensions obliques est l'arc de l'équateur , qui passe au méridien entre le lever et le coucher. C'est arc, divisé par i5, donne les heures équatoriales ; divisé par 12, il donne les heures temporaires.
D'un autre côté , le tems employé par le Soleil à venir de «T en (3 , mesure le tems de la nuit , qui sera égal au tems employé par l'arc «Ta/3 à descendre sous l'horizon; et ce tems est égal à celui que cet arc mettrait à se lever. Nous avons les ascensions obliques de cT et de /3, la différence sera l'arc de l'équateur, qui passera au méridien; nous aurons les heures de la nuit, soit équinoxiales, soit temporaires, parle même procédé qui nous a donné celles du jour.
Tout cela est fort clair, sans être parfaitement exact. On y suppose que le Soleil reste immobile au même point de Técliptique.
Prenez donc les ascensions des points de l'écliptique dans la Table du premier climat; prenez les ascensions obliques de ces mêmes points dans celle du climat pour lequel vous calculez. La différence , divisée par 6, s'ajoutera, dans les signes supérieurs à l'équateur, à l'heure équinoxiale pour avoir la valeur de l'heure temporaire ; elle se retranchera dans les signes inférieurs. Tout cela est vrai; mais pour l'hémisphère austral, ce serait le contraire.
Pour convertir les heures temporaires en équinoxiales, multipliez le nombre des heures temporaires du jour ou de la nuit, pour le climat donné, par la valeur de l'heure temporaire ; le produit, divisé par i5, donnera les heures équinoxiales.
Si les heures équinoxiales sont données, mullipliez-les par i5, et divisez le produit par la valeur de l'heure temporaire, vous aurez converti les heures équinoxiales en temporaires. Connaissant le nombre de degrés qui répond à une heure temporaire, pour un climat donné, voulezvous trouver, pour une heure temporaire donnée, le point de l'écliptique ? multipliez le nombre d'heures données par le nombre de degrés de l'heure, vous aurez la différence des ascensions obliques du Soleil et du point orient; ajoutez cette différence à l'ascension oblique du Soleil, vous aurez le point orient de l'équateur. Vous chercherez dans la Table du climat à quel point de l'écliptique répond ce point de l'équateur, vous aurez le point orient de l'écliptique. Vous pourrez avoir le
COMMENTAIRE DE THÉON. 573 point de l'équateur , qui est au me'ridien , soit supérieur soit inférieur; alors la Table des ascensions droites vous donnera le point culminant de l'écliptique.
Théon donne l'exemple suivant pour le climat d'Alexandrie. Soit le Soleil au 10e degré du Taureau, à 2\h du méridien, on demande le point culminant £ de l'écliptique.
Pour io° du Taureau , la table du climat donne. . 28° 26' Pour io° du Scorpion , diamétralement opposé. . . 226. 54
Différence ou durée du jour 198. 8
Supplément à 56o°, durée de la nuit 161. 52
= 160 5o' 40". Théon dit 160 5i' presque.
iSi°52' , , , ,
— — — = 10. 29. 20. Theou dit 15.29. a peu près.
Ce dernier nombre, qui est l'angle d'une heure pour la nuit, se trouve en prenant le complément à 3o° du nombre précédent.
9" de jour multipliant 169 5o' 40", font 148° 56' o".
Théon dit 1480 5i'; mais 9 x 160 3i'font 1480 59'; ainsi il y a faute de copie.
Ajoutez pour la nuit i2h, ou 161 0 52'
vous aurez 510.28 Théon dit 27'.
Ajoutez ascension droite deio0 du Taureau, 57.50
vous aurez 547.58 ou )( i7°58'.
Les heures sont comptées du coucher du Soleil, puisqu'aux 12'1 de la nuit on ajoute 9* de jour; pendant ce lems , 5io° 28' de l'équateur ont passé par le méridien ; le 10e degré du Taureau passe au méridien avec le point 57° 5o' de l'équateur; ainsi le point de l'équateur au méridien sera 347° 58'. Théon dit 170 des Poissons; mais plus loin il dit 348* presque. C'est l'ascension droite du point culminant, qui sera par conséquent i6°47' X , dit Théon. Le calcul donne 160 52' 48" )( ; mais Théon calcule ainsi la partie proportionnelle d'après la Table :
X io3
no .ér . mo .. k . >°° X 6° 23' io° 383' 6oo x 385 229800
9 ID . IO .. O 20 . --^ — —555- — 555 -555- = 45,96oo 45â£o == , g, 5 ,
nio ni ^ 7
ainsi, à )(.io°, ou 34o°
ajoutez 6.54'
point culminant 346.54
au lieu de 346°52'487 ; la différence n'est que de 1' 12"; mais les Tables ne sont qu'en minutes; ainsi on ne peut compter à i' près sur la partie proportionnelle.
A partir de ce chapitre, je ne trouve rien qui mérite notre attention jusqu'à la page (a 10), où l'on trouve ce théorème :
Soient a , /3, y trois quantités quelconques ; on aura a. : y :: a/3 : y(Z ; car le produit des extrêmes et des moyens sera
ctyfi = a.yfi, d'où, et : /S :: cty : fiy.
Il démontre un théorème analogue pour la Trigonométrie sphérique ; mais ce théoi'ème est identique à l'un de ceux qu'il a démontrés plus haut. J'ai d'ailleurs réuni en formules générales tout ce qu'on voit à ce sujet dans Plolémée et Théon; il n'y avait de curieux que leurs démonstrations et leur manière d'opérer, et ce que j'ai donné là dessus est plus que suffisant.
Il entre ensuite dans de très-longs détails sur la manière de calculer la hauteur du Soleil et l'angle de Técliplique avec le vertical. J'ai expliqué ces méthodes dans ma Trigonométrie des Grecs, et j'ai montré comment ils auraient pu les abréger beaucoup avec les connaissances qu'ils possédaient.
Les commentaires de Théon, sur le troisième livre, n'ont point été imprimés ; l'éditeur dit qu'on n'en a rien retrouvé. On assure cependant que ce troisième livre est dans un manuscrit de l'une des bibliothèques d'Italie. En attendant que nous ayons pu nous les procurer, suivons Nicolas Cabasillas, qui a rempli la lacune. Cet auteur était archevêque de Thessalonique en 1 55o. Il commence par la description de l'instrument d'Hipparque , qui a depuis été celui de plusieurs autres astronomes. Suivant Cabasillas , cet instrument était composé d'un équateur, d'un méridien et de deux tropiques. On ne voit pas bien l'avantage de ces deux tropiques, qui auraient été fort gènans en beaucoup d'occasions; cet instrument aurait donné les ascensions droites et les déclinaisons; et c'est en effet ainsi qu'Hipparque
COMMENTAIRE DE THÉON. 575 observait d'abord. Cabasillas dit plus loin qu'Hipparque avait aussi un astrolabe pour mesurer la différence de longitude entre la Lune éclipsée et les e'toiles. Il n'était pas nécessaire que la Lune fût éclipsée ; et il existe encore des observations d'Hipparque qui sont des différences de longitude entre les étoiles et la Lune au nonagésime ou en d'autres points du ciel. Ce passage paraît prouver qu'Hipparque est l'inventeur de l'astrolabe.
U époque est le lieu d'un astre; il y en a de deux espèces : l'époque moyenne sur le cercle de l'astre, et l'époque apparente et inégale dans le zodiaque. Il remarque que dans l'hypothèse de l'excentrique il n'y a qu'un mouvement moyen, au lieu qu'il y en a deux dans l'hypothèse de lépicycle.
Pour que le mouvement apogée soit plus lent, et le mouvement périgée plus rapide, il faut que l'astre se meuve sur son épicycle en sens contraire de celui où se meut le centre de Lépicycle, sans quoi le mouvement apogée sera plus rapide et le mouvement périgée plus lent. La remarque n'est pas neuve; Cabasillas la démontre bien clairement, mais bien longuement.
Hipparque est le premier auteur de la méthode pour trouver l'excentricité et l'apogée du Soleil. Cabasillas le dit en deux endroits de la page (166); Ptolémée venant ensuite, et trouvant pour l'apogée la même position par rapport aux équinoxes, il en conclut que cette position était invariable , et que l'excentrique n'avait aucun mouvement; il avait dù cependant avancer de | de minute par chaque année , ou de ~- = 53' entre Hipparque et Ptolémée. J'ai bien peur que Ptolémée n'ait pas fait cette observation , et qu'il l'ait supposée pour donner un exemple de calcul. Le commentateur ajoute qu'Hipparque divisait le cercle en 83 parties; il cite pour garant Ptolémée, qui n'a pas dit cette sottise; c'est Eratosthène qui a donné lieu à la méprise , en disant que la double obliquité est de -g-j, non que son cercle fût divisé en 83 parties, mais parce
qu'il avait réduit à ses moindres termes la fraction pour qu'elle fût
plus aisée à retenir, ou pour montrer qu'il ne la donnait pas comme une quantité bien précise ou bien sûre.
Cabasillas montre comment Ptolémée a trouvé les nombres qui lui ont donné l'excentricité et l'apogée.
Il a trouvé l'équinoxe d'automne le 9 d'athyr , après le lever ;
L'équinoxe du printemps le 7 de de pachon, après midi 5
576 ASTRONOMIE ANCIENNE. Le solstice d'ële' le n messori , après minuit; Les intervalles sont l7$' i
Il reste pour compléter l'anne'e entière 92-z
Somme 365. |
Dépareilles observations, dont le tems est marqué en quarts de jour, ne sont difficiles ni à faire ni à supposer. 11 est assez mal aisé de croire que Plolémée ait pu trouver si précisément les mêmes intervalles qu'Hipparque ; ces intervalles supposés, il devait trouver les mêmes valeurs pour l'excentricité et l'apogée; je ne vois dans tout cela qu'un exemple numérique de calcul et aucune observation réelle, d'autant plus que les intervalles sont nécessairement inexacts, et qu'ils donnent un excentricité beaucoup trop forte. On peut absolument trouver la même quantité qu'un autre a déjà observée, si cette quantité est vraie à fort peu près; mais si le premier astronome s'est trompé sensiblement, la difficulté de se rencontrer avec lui devient plus grande, et suppose une conformité d'erreurs qui n'est nullement vraisemblable.
Dans le chapitre suivant, page 171, il donne la définition du mot Sictxf/vctv , qui se rencontre si souvent dans Ptolémée. To yàf ryv cf/atyofciv m; 0[XdXv\ç xivv\7£coç zcù tvç uvccf^aXou Xctfxfèctvetv, rtiv of/.zXw ètrri JVae^iax/ivéïv rti; ctv&juctXou. Prendre la différence du mouvement égal au mouvement inégal , c'est distinguer le mouvement uniforme d'avec le mouvement inégal.
A la page 175, il donne la définition du mol proslaphérèse. Elle est évidente.
A la fin du chapitre il donne deux Tables de la proslaphérèse du Soleil; l'une a pour argument l'anomalie vraie , et l'autre l'anomalie moyenne.
Cabasillas , plus moderne que Théon, emploie toujours ai XiTfcti pour les Serres. Il définit les termes époque et apoque • ce dernier marque la dislance angulaire à un point donné; mais toute époque est apoque; l'époque est la longitude ou la distance au point o de longitude.
Il enseigne à calculer le lieu du Soleil pour un instant donné ; à tenir compte de la différence des méridiens enfin, à trouver le tems par un lieu vrai donné; avec le lieu vrai vous calculez l'anomalie vraie, l'équation , l'anomalie moyenne, qui vous donnera le tems; mais il faut connaître l'année, car les mêmes lieux reviennent tous les ans.
Soient trois nombres donnés a, y, cP; | et j = '( ; si cF> y, on aura
e > £, ce qui n'est pas difficile à démontrer. En général ce commentaire, un peu prolixe, du troisième livre delà Syntaxe, n'offre rien de bien curieux; quelques détails sur lesquels il ne faut pas trop compter, quelques lemmes d'une si grande simplicité qu'il suffit de les écrire pour se les démontrer, et dont il est inutile de se charger la mémoire, parce qu'on est sûr qu'ils se présenteront d'eux-mêmes aussitôt qu'on en aura besoin.
Le Commentaire de Théon reprend au quatrième livre , qui traite de la Lune. On y voit que c'était au moyen d'une horloge d'eau qu'on mesurait la durée de l'éclipsé , et qu'on trouvait le temps du milieu. Nous l'aurions bien imaginé ainsi , sans le témoignage de Théon , et peut-être Théon l'a-t-il conjecturé comme nous. 11 fait ensuite de longs raisonnemens sur les parallaxes qui font que les phases d'une éclipse de Soleil ne sont pas les mêmes pour tous les pays.
La Lune a une lumière qui lui est propre, mais trop faible pour être aperçue; mais en ce cas comment a-t-il pu s'en assurer? Mais quand la lumière du Soleil se joint à cette faible lumière elle a assez de force pour éclairer la Terre ; la partie éclairée par le Soleil est toujours un peu plus grande qu'un hémisphère. Aristarque l'avait démontré long-temps avant lui. Il passe aux effets de la différence des méridiens sur le tems des éclipses, et fait un petit traité des éclipses, pour expliquer l'usage que Ptolémée se propose d'en tirer pour déterminer les mouvemens moyens; il fait une longue exposition des apocatastases de latitude et d'anomalie.
Le chapitre suivant, pag. 217, nous présente un modèle de division d'un nombre de degrés par le nombre de jours : 7412' io'44'5iw4°'T' H réduit ce nombre en sexagésimales d'un ordre supérieur, en divisant le ier terme par 60, ce qui lui donne d'abord i23s"32J 1 io'44"5i"'4o,t ; il divise de nouveau le ier terme par 60, et il trouve 2"3S3^ io'44*5i"'4oIT. Il calcule la Table des multiples de ce diviseur.
Table des Multiples.
Quotient. . . i3° 3' 53" 56" 29,v 38v 37" 5ov"
i8"3iJ49>'36'43"45"' o' 20 . 35 . 2 1 . 47 . 28 . 36 . 40 41 . 10.43.34.57. 1 3. 20 61 .46. 5 .22 . 25 . 5o . o
Hist. de l'A st. anc, Tom. II.
Il traite de même le nombre 96840e;
il divise par 60, et trouve 1614"1;
puis par 60 , et trouve 26" 54"* ;
c'est-là le nombre qu'il s'agit de diviser.
Au-dessous de 26"54' il place le multiple immédiatement inférieur;
c'est celui de 10 ou de io°. 20. 35. 21 .47-28.36 .40
il reste 6. 18 .38 . 12. 3 î .23. 20 (Pour avoir le quotient total, on
puis celui de 3°. . . 6. 10. 36. 32. 14. 35. o réunira tous les quotiens partiels.)
il reste 8. 1.40.16.48.20
il retranche le mult. 3'. 6. 10. 36. 32. 14. 35. o
il reste * i.5i. 3.44-33.45. o
le multiple 5o" 1.42.56.48.57.23. 3. 20
il reste 8. 6.55.36.21 .56. 40
le multiple 3" 6. 10. 36. 32. 14. 55. o
il reste i.56.iy. 4- 7.21.40
il reste i3.22.i5. 9. 58. 36. 40
ig.5i.2i .54.29.26.40 9,T 18.31.49.36.43.45. o
3ûv 1. I.46. 5.22.25.5o. O
3ûVl 1. 1.46. 5.22.25.5o o
