CHAPITRE II

Ou Livre II de la Syntaxe mathématique.

Ptolémée , dans son second Livre , parle de la partie habite'e de la Terre dans l'he'misphère nord. Il divise la Terre en qualre parties par l'équateur et un méridien. La partie de la Terre habitée est comprise dans l'un des deux quarts qui fait partie de l'hémisphère nord. En effet partout, à midi, les ombres se projettent vers le nord^ et quant à la différence de longitude ou le chemin de l'est à l'ouest, elle n'est jamais de plus de 12 heures équinoxiales , c'est-à-dire , qu'elle ne passe pas 1800. 11 est à regretter qu'il n'ait pas rapporté les preuves de cette assertion qui ne pouvait être fondée que sur des éclipses de Lune tout au plus ; mais ces éclipses seraient encore aujourd'hui foit intéressantes.

Il divise cette moitié d'hémisphère en différentes portions , selon les hauteurs du pôle , et les rapports du gnomon aux ombres équinoxiales ou solsticiales , enfin selon la durée inégale des jours.

Pour exemple de ces calculs , il choisit le parallèle de Rhodes , sans nous dire pourquoi il n'a pas choisi de préférence le parallèle d'Alexandrie. Théon nous en donne deux raisons. La hauteur du pôle à Rhodes élait de 36°, nombre rond, au lieu qu'à Alexandrie il la croyait de 5o° 58'. En outre Hipparque avait fait à Rhodes un grand nombre d'observations; il s'ensuivrait qu'Hipparque n'en aurait fait que très-peu ou point du tout à Alexandrie. J'en soupçonne une troisième raison, qui pourrait bien être la véritable ; il aura pris ses exemples tout calculés dans Hipparque, qui ayant observé à Rhodes, a dù nécessairement faire ses calculs pour le lieu qu'il habitait.

Plolémée cherche d'abord l'amplitude du point orient de l'écliptique ; il suppose connue la durée du jour. Soit celte durée celle du jour le plus long ou le plus court. Par exemple, à Rhodes, la demi-durée du plus long jour était de 6* -f- 1* \ ; l'angle semi-diurne était de go°rfc 18° 45'. Dans le triangle CPO, rectangle en O ( fig. 17) , nous aurons l'angle semi-nocturne CPO et la distance polaire PC = 900 — 23° 5i' 20".

Nous aurons donc

sin CO = sin P sin PC.

C'est la première formule , celle qui se rencontre le plus fréquemment et qui est la plus facile à calculer. Ptolémée emploie ici le théorème général tout brut, ce qu'il fait en toute occasion, se réservant à faire chaque fois les modifications fournies par les données , au lieu de disposer d'avance le théorème pour les triangles rectangles , ce qui était d'autant plus naturel , que dans le fait on n'en calculait pas d'autre. Le premier inventeur a pu ne pas prendre ce soin ; mais Ptolémée venant plus de 260 ans après Hipparque , aurait dû faire une fois pour toutes cette réduction si facile et si utile , qui lui eût épargné bien des longueurs. Nous aurions donc ici

cos amplitude = cos 180 45' cos 23° 5i' 20" = cos 29/ 56' Ptolémée trouve, par ses longues méthodes , 3o° o' o", ce qui est suffisamment exact. Telle est la valeur de CE ou de EL aux solstices, pour le parallèle de 56°. Mais ce parallèle était-il bien réellement celui de PJiodes ? Je n'en connais point d'observation moderne. Cette île ne se trouve ni dans la Table géographique de la Connaissance des Teras , ni dans celle de M. Mendoza. La géographie ancienne de l'Encyclopédie méthodique la place entre 56 et 56° 5o' de latitude. Le milieu serait 36° i5', ensorte que nous aurions pour la latitude d'Hipparque la même incertitude que pour celle de Ptolémée. C'est une chose incroyable que la négligence avec laquelle Ptolémée a traité ce point fondamental de toute astronomie , et qui a dû vicier sensiblement toutes les déclinaisons et toutes les latitudes des étoiles.

Dans les mêmes suppositions , Ptolémée cherche la hauteur du pôle. Nous ferions

tang PO es cos P tang PC ,

formule dont l'équivalente était trop incommode pour les Grecs. Nous pourrions faire

cos PC

cos PO = - — ,

cos OC *

formule beaucoup plus commode pour eux que la précédente, et dont ils avaient encore l'équivalente. Nous ferions enfin

sin PO

= tang CO colOPC ;

LIVRE ï[ DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 79 c'est celle que Ptolémée emploie. Elle lui fait trouver 36° o' 3o" environ. L'erreur est peu considérable, car nous trouverions 36° o' 48"; mais le calcul des Grecs était moins simple de toute manière.

Pour le problème inverse nous ferions cos P =. tang PO cot PC = tang H cos A = tang H tang D = sin EPC ; cette formule est identique à celle de Ptolémée, qui trouve EPC=i8° 45' à peu près. Nous trouverions i8°44'2^"- Remarquons en passant que cette formule donne la différence ascensionnelle dont il sera question plus tard, et quTIipparque savait aussi calculer.

Enfin pour EC les Grecs faisaient l'équivalent de

-i cos PC cosA sin D

sin LL = cos LU = — 7777 = rr — — w

cos rO cos H cos ri

Nous trouverions 290 58' 20" ; nous avons trouvé ci-dessus 29* 5g' 57" } mais c'était en partant du plus long jour ; ici nous supposons la latitude connue , et les deux données ne s'accordent pas parfaitement.

En place du point solsticial , si l'on en prenait un autre, on commencerait par en calculer la déclinaison et l'ascension droite; on se servirait des mêmes formules ; il n'y aurait que les données qui seraient différentes. 11 suit de ces formules que les points qui sont à égale distance du tropique , ayant même déclinaison , auront même durée du jour et même ampli "ude ; que les points qui sont à égale distance d'un équinoxe, ont des amplitudes égales, mais de signe contraire ; le jour de l'un est égal à la nuit de l'autre, et réciproquement.

Tout cela est fort simple et fort clair. Nous avons une Trigonométrie plus expéditive, nous la devons à nos logarithmes, à notre rayon que nous prenons pour unité , au calcul décimal ; enfin à la multitude de nos formules. Les Grecs n'avaient que des théorèmes généraux , ils en tiraient péniblement toutes leurs solutions particulières. Nous avons aussi des théorèmes généraux; mais nous en avons déduit des théorèmes particuliers pour tous les cas qui admettent des simplifications , et le calcul numérique est réduit à ses moindres termes. Les Anciens auraient pu faire une partie de ce que nous avons fait, et l'on peut être surpris qu'ils ne s'en soient jamais avisés.

Le chapitre IV de ce Livre a pour objet la recherche des lieux qui peuvent avoir le Soleil à leur zénit, xarcc x.cf^(pw. 11 est évident que si la hauteur du pôle surpasse l'obliquité ou la plus grande déclinaison , jamais le Soleil n'arrive au zénit. Si la hauteur du pôle est égale à l'obli-

quité, le Soleil sera au zénit du point qui aura midi à l'instant du solstice. Il n'y aura donc qu'un lieu du parallèle qui chaque année sera sans ombre à midi ; mais le changement de déclinaison est alors si peu de chose en un jour, qu'on peut étendre à tout le parallèle ce qui n'est rigoureusement vrai que pour un de ses points. Si la hauteur du pôle est moindre que l'obliquité , deux fois chaque aimée le parallèle aura l'un de ses points sans ombre à midi. A l'équaleur où la hauteur du pôle est nulle, il y a a chaque équinoxe un point qui est sans ombre à midi.

Nous n'avons fait en tout ceci aucune attention au diamètre du Soleil, qui est de 3i' environ; le mouvement du Soleil n'est pas de 24' par jour à l'équinoxe; ainsi il est vrai de dire qu'à chacun des deux équinoxes, tous les points de l'équateur ont à midi un point du disque solaire à leur zénit, et cela est également vrai de tous les parallèles par lesquels le Soleil passe successivement.

La latitude étant donnée , on trouvera dans la Table des déclinaisons à quel degré de longitude répond la déclinaison égale à la latitude , et l'on saura le jour où le Soleil doit être au zénit - la déclinaison étant donnée, on aura le parallèle qui aura le Soleil au zénit ; enfin l'instant étant donné , on aura le lieu dont la latitude égale la déclinaison et qui compte midi.

Tout cela se fait encore aujourd'hui de la même manière.

Dans le chapitre V., Plolémée parle du rapport des ombres au gnomon, le gnomon étant pris pour rayon ; les Arabes trouvèrent depuis que les ombres étaient les tangentes des distances au zénit.

■ D'après cette remarque , nous aurions

O = tang (H — D) , O' = tang (H — D' ) , % = tang (H ~ P> \ bV Ji 5V ' ' O tang (II — D)

Soit D' = — où et D = -{-&> ,

O' : O :: tang (H+«) : tang (H — m), O'+O : O'— O : : tang (H+û>) + tang (H — où) : tang (H+w) — tang (K—x) :: sin (H-f- où + H — où) : sin (H+w — :: sin 2H : sin 20) ,

et sin .II = (Cy JQ) ;

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. Si ou bien en nommant O'' l'ombre équinoxiale quand D = o , O'-f-O" : O'— O" :: tang(H+») + tang H : tang ( H + co ) — tang H

sin (2H -(-&) I sin

sin (2H -f- co) =

O") sin »

et

tang II -f-tang (H — co) : tang II sin ( 2H — co) : sin co ,

• / tt x (O" + O ) sin»

sin ( 2H — co ) = K—{ ô„— JQ -— .

tang (H — co)

Ces formules sont d'une grande simplicité; les préceptes des Grecs seront nécessairement beaucoup plus compliqués. Suivons Ptolémée.

Soit EG le gnomon ( fîg. 18), GR l'ombre d'été, GZ celle de l'équinoxe, GN celle d'hiver.

GD = hauteur du pôle = H, DT = DM =

co

co

REG === GT = 12. 8.40 NEG- = GM = 5g.5i.ao ZEG = GD = 56. o. o Nous vérifierons tous les nombres de Ptolémée en faisant, comme lui, successivement ER , EZ; EN égal à 120',

Ptolémée.

corde 2KEG = i2o'sinREG= zfr 14' 45"= GR. . . 2 5" 1 4' 33" corde (1 0V—2KEG) == 1 2o'cos REG = 117. 18. 52 =GE. . . 1 17. i8.5i

corde 2ZEG = 120' sin ZEG = 70.52. 3 = GZ. . . 70.32. 4 corde ( 1 8o°— 2ZEG) = i2o'cos ZEG = 97. 4.55=GE/.. 97. 4.56

corde 2NEG = 1 20' sinNEG == 103.46.17 = GN. . . 103.46. 16 corde (1800— 2NEG) = i2o'cosNEG = 60. 15.43 = GE" . . 6o.i5.4a Ensuite *"