A'E'=AE, B'E' = BE

donc

TB' — B'E' = TB — BE ou TE' = TE ; donc >es tems sont égaux. En effet les formules qui serviront à calculer

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE 85 AB et A 'IV , TB et TB', AE et A'E', BE et BE' ne pourront fumais donner que des résultats identiques, puisque toutes les données sont identiques. Ainsi les formules rendent ce premier théorème inutile; il en sera de même du second.

Si deux arcs ont pour origine commune le même tropique , et qu'ils s'étendent également l'un en avant l'autre en arrière , ils se lèvent en des tems dont la somme est égale à celles de leurs ascensions droites. Soient les deux arcs (900 — et) et ( 900 -j- et ), l'ascension du premier yR se trouvera en faisant

tang A{ = cos a) tang ( 900 — et) ;

On aura aussi

tang Ai' ■= cos où tang (90° -f- et ) ; donc ^R 4- M! = 1 8o°.

Les déclinaisons de ces arcs seront les mêmes, les amplitudes seront les mêmes , les différences ascensionnelles seront les mêmes ; elles se retrancheront toutes deux des ascensions droites; dJH = dÂ\! '. Les ascensions obliques seront A\! — dAi! et Ai — dAi ;

AM — dM'= 1 8o° — Ai — dM ;

donc

'AM — dM!-\- — dJR. = 1800 — M —dM-{-A, — dÂ{=i 8o° — zdJR.

Mais si l'on compte les ascensions droites del'équinoxe le plus voisin , on aura

AM = M et dAx! = — dsR , 'Ai + dfc -i-M'^-dM' = M + dAiï. + M! — dM = A{ -f- JR! =

Tout cela pour prouver qu'il suffit de calculer les ascensions par un quart de l'équateur, ce que le calcul aurait fait voir tout naturellement sans ces deux théorèmes , dont la démonstration chez Ptolémée n'offre d'ailleurs rien de remarquable. Mais pour faciliter ces calculs, il donne un moyen qu'il est bon de connaître et qu'on peut simplifier encore.

Soit OR l'horizon (fîg. ai ), P le pôle , QE l'équateur, H le point de l'horizon où se lève le point solsticial , ou EH l'amplitude au jour du solstice , EK l'amplitude à un autre jour , TH et KL seront les deux déclinaisons , et TH ^= où y ET et EL les deux différences ascensionnelles ;, nous aurions

tang HT = tang E .sin ET , tang LK. = tang E sin EL; tang HT : tang LK. :: sin ET: sinEL=sinET tang LKcotHT = sin ET tang D cot ut = sin ET cot co tang D.

Ainsi pour avoir une différence ascensionnelle quelconque EL, il suffit de multiplier le sinus de la plus grande ET par cot &> tangD, D elant la déclinaison du point dont on cherche la différence ascensionnelle. Ov

sin ET = tang El lang u> ;

donc

sin EL = tang H tang ut cot co tang D = tang H tang D. C'est l'expression ancienne et moderne de la différence ascensionnelle. Mais pour un point quelconque de l'écliptique,

tang D = tang ut sin JR. ,

donc

sin EL === tang H tang u> sin M. = sin ( JyR maximum) sin A\.

Cette expression avait pour les Grecs un avantage particulier , la formule est du genre le plus simple , au lieu que

corde aH corde 2D jj

corde (i8Ô° — 2H ) * corde (1809— 2D) — S 11 l3nS U

employait deux diviseurs de plus.

Par sa formule qui rendait ses deux théorèmes inutiles, Ptoleme'e calcule des Tables pour différens climats, et de dix en dix degrés de longitude sur l'écliptique. La première partie donne la différence ascensionnelle EL, la seconde l'ascension oblique (vïl — EL). Nous calculerions cette Table par les formules

tang J\. = cqsû) tang L , sinD = sinasinL et sin dÂi= tang H tangD, ou bien au lieu des deux dernières , nous mettrions

sin dM. = ( lang El tang co) sin ^Ru

C'est ainsi que j'ai calculé la Table suivante pour le climat de Rhodes, .Hauteur du pôle 5G°.