LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE

ou 3o

3oo

3io

Ascens. droite,

ioo.54-45 1 i 1 .42. 4 122. 16.10

DifF. ascens.

Asc. oblique.

Tems de io°.

L'inspection seule de la dernière colonne fait voir la vérité du premier théorème de Plolémée. A partir de l'un ou de l'autre équinoxe, les différences des ascensions obliques sont les mêmes.

Le second théorème n'est pas moins vrai; mais il est moins simple.- Ainsi ,

à 80% l'ascension oblique est. . . 60.41 .53

Somme i43. i3. 16

Moi lié 7i.36.38

dont le complément est dvïl. . .= i8.a3.22

à no0 94.19.58

Somme i45.i5.48

Moi lié 72.37.54

Compl. ou dA\. = 17.22. 6

Ces théorèmes ne sont pas même d'un usage commode. La vraie manière de construire la Table est de calculer les ascensions droites pour les 90 premiers degrés, d'en prendre les complémens en ordre. inverse pour le second quart, d'y ajouter 1800 pour le troisième, et d'en prendre le supplément à 36o° pour le quatrième ; ensuite on calcule dÀ\. pour le premier quart ; on le répète en ordre inverse pour le second. On répète dans le même ordre pour la seconde moitié, ce qu'on a eu pour la première; on retranche de l'ascension droite la différence ascensionnelle dans la première moitié; on l'ajoute pour la seconde; ou bien la première moitié étant achevée, on en prend les supplémensà 36o% en rétrogradant pour la seconde ; ensorte que pour L et 36o° — L , on aura

ascens. obi. = 36o° — asc. obliq. ;

ou bien faites J\ — dAi pour le premier quart; 1 8o° -f- ( Ai -f- dA\ ) pour le troisième; 36o° — (Ai — dA\) pour le quatrième, et 1800 — (A\-\-dAi) pour le second.

La dernière colonne donne les tems ou les degrés de l'équateur pour ■ toutes les dixaines successives de degré. Ainsi les dix premiers degrés monlenlavec6° i5'55'' degrés de l'équateur; les dix suivans avec 6°2 1^4 ", et ainsi des autres.

En comparant cette Table à celle de la Syntaxe , on voit que les erreurs de Ptolémée ne passent jamais 1 ou 2'. Si Ton compare ce procédé à celui d'Hypsiclès, dans son Anaphorique on verra combien la méthode de ce géomètre était loin de celte précision. Tome I, page 246.

Nous pouvons ajouter à ce qu'a dit Ptolémée , qu'une de ces Tables étant construite , il suiïit pour en couslruire une autre, de changer

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 39 tang H dans le calcul de sin JyR , et qu'ainsi, pour la latitude H', il suffirait d'ajouter au logsin.dyR ci-dessus , la constante log (tangH' colU). Les Grecs auraient pu de même multiplier corde (dÂ\.) par une constante corde (p.HQ corde (i8ou— 21I) corde (1800— ail') corde (aïï)*

On trouvera dans ce chapitre dePtole'mée, un grand nombre de calculs qu'où pourra faire dans tous leurs détails par nos méthodes. Il y détermine les ascensions obliques de 3o en 3o° par la méthode générale. 11 étend ensuite ses calculs aux arcs de 10° par la seconde méthode qui détermine EL par ET.

Remarquons enfin qu'Hipparque savait calculer les différences ascensionnelles , et qu'il a fait des calculs tout semblables à ceux de Ptolémée, à qui peut-être il les a fournis tout faits. Mais pour ne pas tout ôter à celui-ci , on peut lui laisser la dernière des deux méthodes, celle qui calcule EL par ET.

Dans le chapitre IX, Ptolémée passe aux conséquences qui se déduisent des ascensions droites et obliques. Il cherche d'abord la durée du jour par le point de l'oblique qui se lève avec le Soleil. Prenez l'ascension oblique de ce point, et celle du point opposé de l'oblique; la différence sera l'arc de l'équateur qui passera par l'horizon et par le méridien pendant la durée du jour. En effet c'était une connaissance acquise dès longtems, qu'en négligeant le mouvement propre du Soleil dans l'intervalle , le jour ayan" commencé quand le Soleil était à l'horizon oriental avec un degré de l'oblique , le jour devait finir quand ce même point de l'oblique se trouvait à l'horizon occidental, et que le point opposé l'avait remplacé à l'horizon oriental; d'où il suit que l'arc qui avait passé par l'horizon était l'ascension oblique du point opposé au Soleil moins l'ascension oblique du point occupé par le Soleil, et cette différence convertie en tems était la durée du jour.

Par la même raison , pour avoir la durée de la nuit , il faut faire la soustraction en sens inverse , et retrancher de l'ascension occidentale du Soleil, celle du point opposé de l'oblique.

Le jour comme la nuit se divisait toujours en 12 heures égales qu'on appelait temporaires. Elles étaient toujours égales entr'elles -, mais leur durée réelle changeait d'un jour à l'autre.

Soit, par exemple , VA la longitude du Soleil ( fig. 22) , TE l'ascension oblique, EB la différence ascensionnelle, et dans la (fig. 23), A' le point opposé qui sera austral, puisque le premier est boréal.

Ilist. de l'Ast. anc. Tom. II. 12

L'ascension oblique de A' sera

E' = JR' + dJK.

Celle de A était J\. — dÂi.

La différence sera

Ai'— Ai -f- dJ&!+ dAi = 1 8o°+ Ai— Ai -{-dAi -\-dAM = 1 8o°+ a dAi ;

car les points opposés de l'écliptique ayant même déclinaison , au signe près, la différence ascensionnelle est aussi la même, au signe près. La durée du jour sera

et la durée de la nuit,

C,:> - Ta-)'

l'heure temporaire du jour sera

i / . , zdM\ h , . . zdM . , . , dM 13 V12 . ■+"Tr;Œ 1 ecluin' + TF^5 = 1 e(îuin- + ^ '>

la durée de l'heure temporaire de la nuit ,

i" equinox. — ■ — .

On en conclut

i* équinoxiale = ih tempor. du jour -,

ih équinoxiale = i* temp. de la nuit -\ — ~ } et cela en tout lems , quand on a calculé

sin dÂk. = tang H tang ro sin JÊi,

ce qui fait voir que dAi change de signe dans la seconde moitié de l'écliptique, que l'heure temporaire du jour y devient moindre, et celle de la nuit plus grande.

Ces formules serviront à transformer en heures équinoxiales , seules usitées en Astronomie , les heures temporaires qui étaient seules employées dans les usages civils , et qui ont servi souvent aux anciens astronomes à marquer le tems des phénomènes. Ils avaient apparemment fait ces observations en mesurant la quantité d'eau tombée d'une clepsydre,

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. gt depuis le coucher du Soleil jusqu'à l'instant du phénomène , et en la comparant à ce qui en avait coule' pendant la nuit toute entière. Pendant le jour, ils auraient pu marquer le tems indique par un cadran solaire. Mais toutes ces observations sont de nuit ; elles ne devaient pas donner le tems avec une grande exactitude. Les passages des étoiles au méridien auraient donné le tems sidéral, d'où l'on eût facilement conclu le tems vrai , et l'on aurait eu plus facilement une plus grande précision. Nous verrons p'us loin que Ptolémée réprouve l'usage des clepsydres par la raison que l'écoulement de l'eau est fort inégal.

Si le tems est donné en heures temporaires , nous en conclurons le nombre correspondant d'heures équinoxiales ; nous aurons ainsi l'arc de l'équateur qui aura passé à l'horizon depuis le lever du Soleil. Ajoutons cet arc à l'ascension oblique du Soleil, prise dans la Table du climat , nous aurons le point de l'équateur qui est à l'horizon ; avec ce point qui indique l'ascension oblique du point orient, nous aurons le point orient en cherchant dans la Table celui qui répond à l'ascension oblique.

Si l'heure donnée est de nuit, nous convertirons les heures de nuit en heures équinoxiales , par la seconde formule ; nous aurons l'arc de l'équateur qui aura passé par l'horizon depuis le commencement de la nuit ; ajoutons cet arc à l'ascension oblique du point opposé au Soleil , nous aurons le point de l'équateur qui se levait alors j avec ce point la Table du climat nous donnera le point de l'oblique qui était alors à l'horizon oriental.

Voulons-nous le point qui est au méridien supérieur ? Convertissons en degrés les hedfles écoulées depuis le passage au méridien (après les avoir converties en équinoxiales et en degrés si elles sont temporaires ) ; ajoutons l'arc ainsi trouvé à l'ascension droite du Soleil, nous aurons le point de l'équateur au méridien, et la Table des ascensions droites nous donnera le point culminant du cercle oblique.

Le point de l'écliptique qui est à l'horizon étant donné ou trouvé par ce qui précède, on en pourra conclure celui qui est au méridien. On cherchera l'ascension oblique de ce point , on en retranchera go% et l'on aura le point de l'équateur qui est au méridien, et par suite le point culminant de l'oblique.

Réciproquement le point culminant de l'oblique étant donné, on en conclura le point culminant de l'équateur., ou le milieu du ciel ; nous y ajouterons go* pour avoir le point orient de l'équateur, c'est-à-dire l'ascension oblique du point orient de l'oblique, et la Table nous donnera ce point de l'oblique qui est à l'horizon.

Les lieux qui sont sous le même méridien comptent la même heure î pour ceux qui sont en différens points d'un même parallèle , la différence de longitude est proportionnelle à l'arc du parallèle ou de l'équateur qui est compris entre les deux méridiens.

Nous ferions aujourd'hui les mêmes choses par nos Tables de nonagésime. Nous aurions de moins la conversion des heures temporaires en heures éqninoxiales. Le lieu de l'écliptique à l'orient nous donnerait le nonagésime en retranchant 90°; le nonagésime nous donnerait l'ascension droite du milieu du ciel et le point culminant.

Réciproquement l'ascension droite du milieu du ciel nous donnerait le nonagésime; nous ajouterions go° pour avoir le point orient ; nous les retrancherions pour avoir le point couchant. Les mêmes Tables nous donneraient l'angle de Fécliplique avec l'horizon.

Ptolémée passe ensuite aux angles que l'écliptique forme avec le cercle de déclinaison et avec le vertical. 11 définit l'angle droit sphérique celui qu'on obtient lorsqti'ayant décrit du point d'intersection de deux grands cercles , comme pôle , et d'une dislance quelconque un cercle grand ou petit , l'arc de ce cercle compris dans l'angle est de go°. En général l'arc compris de ce cercle sera la mesure de l'angle au pôle, il annonce que les angles qu'il va considérer sont utiles au calcul des parallaxes.

Autour d'un même point, l'intersection de deux cercles forme toujours quatre angles égaux, deux à deux , et dont la somme totale est de 36o°. 11 annonce qu'il considère toujours l'angle vers le pôle nord en suivant l'ordre des signes.

De tous ces angles les plus faciles à calculer sont ceux de l'écliptique avec le cercle horaire ou de déclinaison. 11 commence par prouver , i°. qu'à distance égale du point équinoxial , les angles de l'écliptique avec le cercle de déclinaison sont toujours égaux quand on les prend, comme il a dit, vers le nord et suivant l'ordre des signes. La formule

cot A == lang où cos © ,

qui pour le point également éloigoé de l'équinoxe devient

cot A' == tang où cos ( 3Go° — O) ,

donne en effet la même valeur aux angles A et A'; 2°. qu'à distance

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. gS égale du même tropique, ils forment une somme de i8o°.Les formules

cot A= tang ce cos (900 — O) et cot A' = tang co cos (90°+ O)

prouvent de même son second théorème.

Nous avons déjà remarqué que les Grecs n'avaient pas de solution directe pour ce cas ; mais ils pouvaient calculer

cos A" = tang C cot C ,

, j „ .... corde 2D corde (1800 — 2©)

corde (16V — 2 A") = — w H „ ^ ~ — tt-— •

K ' corde (100 — 2D) corde 2©

Ils auraient pu se servir de l'ascension droite comme auxiliaire au lieu de la déclinaison, et faire

•» . „ corde . corde 2 A = — , — , corde 2(J '

formule qui était plus simple. Ils s'étaient arrêtés à la première, quoique plus compliquée, apparemment parce qu'ils commençaient par la déclinaison avant d'arriver à l'ascension droite.

Par ce qui précède, nous avons TCB ( fig. 24); dans le triangle EBC, nous avons BC , EB et E ; il s'agit de trouver EGB , d'où nous conclurons

TCE = TCB — ECB.

Nous avons appris ci-dessus la manière de calculer l'amplitude EG ï nous pouvons faire

sin EB = sin EC sin ECB ou sin ECB === s'n^ ;

sinEC 7

les Grecs auraient pu faire

i t-z-'t» corde sEB corde 2EGB = — 3 — ^ :

corde 2EC 7

nous pourrions faire

t-/-.ti tanç EB tang djfo tang EGB = . ■ , = — :

b sin BC sin D 7

les Grecs en avaient l'équivalent [Trigonom. , form. (3) , pag. 61].

Les problèmes précédens nous ont encore appris à trouver les points C et D de l'écliplique qui sont à l'horizon et au méridien. Nous connaissons donc l'hypoténuse CD et la hauteur HD du point culminant.

Nous aurons

corde 2HD

corde 2ECD =

corde 2CD"

Nous avons vu ce calcul dans les Commentaires d'Hipparque sur Aralus. Hipparque avait donc toutes les connaissances nécessaires pour ce problème des angles de l'éclip tique avec l'horizon ; nous avons la preuve qu'il les a calculés et qu'il a démontré géométriquement ses méthodes. Voyons celles de Ptolémée, qui pourraient bien aussi lui appartenir.

Ptolémée remarque d'abord que pour la sphère droite , les angles de Técliplique avec l'horizon, sont les mêmes que les angles de l'éclip tique avec le méridien. En effet le méridien , dans la sphère droite, est l'horizon d'un lieu éloigné de go° en longitude.

Il prouve ensuite que pour deux points également éloignés du même équinoxe, les angles du cercle oblique avec l'horizon seront les mêmes. Notre formule

cos angle = cos co sin H — sin co cos H sin M

= cos co sin H — sin co cos H sin ( E — 900),

E étant le point orient de l'équateur : on aura

M = (E — 900) , cos angle == cos co sin H -f- sin co cos PI cos E ;

que E devienne — E = E', la formule ne changera pas ; donc les angles sont les mêmes. Ptolémée le prouve par l'égalité des triangles. Nous avons donné'plus haut cette même démonstration, par les triangles parfaitement égaux.

Pour les points diamétralement l'un à l'orient , l'autre à l'occident, les angles sont les mêmes. Et en effet l'horizon et Técliplique forment alors deux fuseaux qui ont les angles au sommet égaux , puisqu'ils sont les angles des deux plans; mais si l'on considère ces angles, tous deux ouverts vers le nord et suivant l'ordre des signes, ils seront supplément l'un de l'autre.

Les points également éloignés d'un même tropique auront des angles supplémens l'un de l'autre , l'un à l'est et l'autre à l'ouest. En effet on peut voir que cela doit être ainsi. Placez le tropique au méridien , les deux points en seront également éloignés, l'un à l'est et l'autre à l'ouest; conduisez - les successivement, l'un à l'horizon orientai et l'autre à l'horizon occidental, vous douuerçz à la sphère deux

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. $5 Ynouvemens égaux en sens contraire : la position de la sphère qui était symétrique auparavant, aura reçu des changemens égaux ; l'angle de l'écliptique avec les deux points, aura varié de la même manière des deux cotés ; les deux angles se retrouveront égaux. Ces angles étaient (H' d= a>) , ils deviendront ( H'db a>-\-y) , H' étant la hauteur del'équatcur. Cet aperçu deviendra une démonstration rigoureuse si nous considérons que dans le cas où le tropique est au méridien, on a

cos angle = cos où sin H — sin &> cos H sin go° ;

si la distance au tropique sur l'équateur est a , la formule devient

cos angle = cos a> sin H — sin œ cos H sin (900 — a). et cos a> sin H — sin où cos H sin ( 900 -{-«),

ce qui est précisément la même chose : ainsi le théorème est sûr, Ptolémée le démontre encore par des triangles parfaitement égaux -} mais ses démonstrations sont pénibles et obscures.

Pour les points équinoxinux , les angles sont (900 — H db a>) ou (H'rfco)), en mettant pour abréger PI' en place de go° — H.

La méthode de Ptolémée pour ces angles , est la suivante. SoitE (fig. 25) l'angle à calculer ; prolongez les côtés ED et EG jusqu'à 90% et du pôle E décrivez le quart de cercle HT, vous aurez deux arcs EH et ZD qui se couperont en G dans l'angle T ; marquez les segmens des lettres A, A', A", A'"; B, B', B", B'" pour ramener ces constructions aux théorèmes généraux. On demande E , ou sa valeur B , ou son complément A. On connaît A" et B", A' et B' ; (A" -f- B") et (A' + B'), le théorème 2 nous donne

corde 2B - - corde sB' cnrde 3 (A + B ) corde 2 ( A" + B" )

corde 2A" corde ( A' -f- E' ) '

corde 2E corde sB' corde 1800 corde 1800 corde p.B' corde 180

ou sin E =

corde 2 A" corde 1800 corde 2 A" '

sin B' sin GD

sin A" "~~ sin EG '

Cette solution ne nous apprend rien , sinon que pour trouver un angle, les Grecs prolongeaient jusqu'à 900 les côtés qui le renferment, et qu'ils cherchaient l'arc de grand cercle qui était la mesure de l'angle.

Pour les angles entre le vertical et l'écliptique, il commence par prou-

ver que si deux points de l'écliptique sont e'galement éloignés du même tropique ( ce qui rend leurs déclinaisons égales ) , et que ces deux points soient e'galement éloignés du méridien, l'un à l'orient et l'autre à l'occident , les angles horaires seront égaux: ainsi les deux triangles seront parfaitement égaux , car l'angle horaire sera le même , la distance polaire du point de l'ëcliptique sera la même , la distance polaire du zénit sera aussi la même; donc la dislance au zénit sera la même, les deux autres angles seront aussi respectivement égaux, et les angles entre le vertical et le cercle de déclinaison seront donc égaux ; et si on les compte suivant l'ordre des signes, ils seront supplément l'un de l'autre.

Après ce théorème peu nécessaire, il détermine les distances zénitales et les angles.

Soit ABGD le méridien (fig. 26), BED l'horizon , ZEH l'écliptique , Z le point culminant. La distance zénitale AZ de ce point sera (H — D) = haut, pôle — déclin, du point culminant. La distance zénitale AE du point de l'ëcliptique à l'horizon sera de 900. L'angle A EB=go°. AEZ = 900 — BEZ = complément de l'angle du cercle oblique avec l'horizon. Alors il donne un exemple, toujours pour le parallèle de 5G°; cet exemple est curieux. ABGD ( fig. 27 ) est le méridien, BED l'horizon, ZHTN l'oblique ; il fait

corde 2ZB corde 2ZT corde 2HE

corde 2BÀ ' corde aTH ' corde 2EA '

! 2B corde 2 (A"-}- B") corde 2B' , x N

corde , . , „ . = ^—rn — • — â tt^t~tvT ( théorème 2 ) ,

2(A-f-B) corde 2A corde 2 (A + B ) ^

et dans ce cas particulier,

corde 2 (haut, point culmin.) corde 2 ( point orient — point culm.) corde 2 hauteur

corde 1800 corde 2 ( point orient — point donné )' corde 1800 '

1 , corde 2 (haut, point culmin. ) corde 2(point orient — point donné)

corde 2 hauteur = !: ^ -, — -. -. —. j — : ^ ■ — - ,

corde 2 (point orient — point culminant)

ce qui revient à

• r»p sinZBsinHT . TTrri . m sin HE = — — — = sin HT sm T.

sm ZI

Le point culminant suppose ou donne l'ascension droite du milieu du ciel j la hauteur du point culminant suppose la hauteur du pôle et la

LIVRE II DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 07 déclinaison du point culminant ; le lieu donné du cercle oblique donne l'ascension droite de ce même point et sa déclinaison. Ainsi les données sont la déclinaison du point et son angle horaire , avec la hauteur du pôle, qui nous serviraient à résoudre ce problème plus directement et plus brièvement.

J'ai donné dans mon Astronomie (XVIII, 47 el 49) ^eS formules analytiques pour les problèmes de ce chapitre. Voici comme Ptolémée résout celui de l'angle.

Du point H comme pôle, il décrit l'arc de grand cercle KLM , KL sera la mesure de l'angle , on a

corde 9.HE corde 2HT corde 2LM

corde 2EK corde 2TL " corde 2KM '

corde 2A ■ corde 2 A' corde 2 À'"

corde 2B corde aB' ' corde 2 ( A'+B") '

c'est le troisième théorème général. Ici en particulier ,

corde 2 haut. corde 2 (point or. — point donné ) corde (1 8o° — 2 ang. cherché)

corde(i 8o°- ahaut.) corde [i 8c° — 2 (pl or. — pl donné)] ' ' corde 1800 ' '

enfin ,

, , „ , , corde ahaut. corde i8o°corderi 8o° — 2(p'or. — p' donné)"!

corde (1 8o° — 2 ang. cherche) = . , n 5 r 3 — — : r1- r — ; ~

corde (ibo° — 2 haut.) corde 2 (point orient — point donne),

cos angle cherché = corde 1809 tanghaut.cot (point or. — point donné) ce qui revient à

tang HE = cos H tang HT.

Il résout donc enfin le triangle AZH, mais on voit par quel détour il arrive à celte solution.

C'est ainsi qu'il calcule ses Tables pour les différens climats. L'argument est l'angle horaire d'heure en heure ; on trouve d'abord les distances zénitales en degrés et minutes ; puis les angles de l'écliptique avec le vertical avant et après le passage au méridien. Ces Tables ne sont calculées que pour le commencement de chaque signe; elles ne pouvaient donner que bien peu de précision , et l'usage en devait être bien incommode.

Hist. de l'Ast. une. Tom. II. i3

J'ai calcule une de ces Tables dans mes Notes sur le Ptolémée de M.Halma. On pourrait les calculer par mes formules analytiques (XVIII, 47 et 49) J mais elles supposent pour argument l'ascension droite du milieu du ciel au lieu de l'angle horaire. Ainsi pour l'usage de ces formules , il faudrait avec l'angle horaire, calculer cette ascension droite , ensuite il faudrait la déclinaison du point donné.

Ptolémée annonce ensuite une Table des longitudes et des latitudes des pi'incipales villes; elle est nécessaire pour l'usage des Tables de climats. Il a donné celte Table dans sa Géographie.

L'expression de Ptolémée est remarquable. Taç i^oyjtç tm xaô

X'j.) x,XTa. 7rXctroç. Il promet donc , pour les villes les plus remarquables de chaque contrée, une Table où l'on trouvera leurs époques en longitude et en latitude ; c'est-à-dire qu'il y marquera leurs positions, tant par leurs distances perpendiculaires à l'équateur, que par les points de l'équateur sur lesquels aboutissent ces perpendiculaires. Quelques personnes ont traduit le mot époque par différence des méridiens , et cette traduction pourrait se défendre, si Ptolémée ne parlait que de longitude , mais il y joint la latitude; ainsi le mot époque est pris ici dans son acception naturelle. Ptolémée dit Y époque d'une ville, comme il dit l'époque d'un astre , c'est-à-dire la position de la ville ou de l'astre, le lieu que l'astre et la ville occupent dans leurs sphères.