LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. n

plus grand que DEC Dans l'hypothèse de l'épicycle , les deux contraires

seront également possibles , selon que le mouvement sur l'epicycle se

fera en sens contraire ou dans le même sens que le mouvement du

centre de l'écliptique. Ainsi le centre allant de A en B, le mouvement

sera plus lent si l'astre s'est avancé de Z enK., et plus rapide s'il s'est

avancé de Z en H.

Pour un astre qui aurait deux inégalités différentes, on peut réunir

ces deux hypothèses; pour un astre qui n'aurait qu'une inégalité simple,

on peut à son choix préférer l'une des hypothèses, pourvu qu'on observe

de faire le rayon de l'épicycle AZ, égal à l'excentricité EZ , c'est-à-dire

« i <i. . r, AZ EZ

en même rapport avec la distance moyenne AL ; ensorte que = ^ :

les phénomènes seront également bien représentés.

Parle lieu delà Terre, menons la droite BZD à angles droits sur AG (fig. 3i ) , l'apogée étant A, l'astre en D ou en B sera à go° de dislance apparente à l'apogée.

ZBE = AEB — AZB = AEB — 900 ;

-pZ

cet angle aura sou sinus ^ = — EZ , si nous faisons AE= 1 ; AEB

est le moyen mouvement; l'angle B est l'excès du moyen mouvement sur le mouvement apparent , et cet excès sera le plus grand possible ; car CD T , par exemple, l'angle ZET étant aussi de 900,

. ™ EZ EZ EZ sin T = — = „ , = r ;

( AE -f- EZ )a

AE[i+(S)'J

en tout autre point, comme K, on aurait EK : sin EZK : : EZ : sin EKZ = (^j sin EZK = jS) sin AZK ;

expression qui sera au maximum quand l'axe EZK sera droit , c'esî-àdire EZB.

La démonstration de Ptolémée est plus longue , et se fonde sur ces deux principes : i°. que dans tout triangle le plus grand angle est opposé au p us grand côté ; 20. que de toutes les lignes que l'on peut mener dans le cercle, d'un point Z qui n'est pas le centre, la droite ZEA qui passe par le centre est la plus longue , son prolongement ZG la plus courte , et que les lignes ZA, ZT, ZB, Zli, ZG vont toujours en diminuant à

îi6 ASTRONOMIE ANCIENNE.

mesure qu'elles s'éloignent de la plus grande el s'approchent de la plus courte. Ce théorème est dans Euclide.

En changeant la démonstration de Ptolémée , nous n'avons employé aucun principe qui fût ignoré des Grecs ; nous avons mis partout sin A au lieu de corde 2A , et nous avons fait le rayon = 1 au lieu de 6op. Ces changemens ne font autre chose que de simplifier. Les Grecs avaient donc

corde 2 (inégalité) = (x£)cor(^e 2 (dist. appar. à l'apogée). Dans l'épicycle nous aurions généralement (fig. 3o)

AE : AH :: sin H : sin HEA = (^|) sin H.

Ainsi la plus grande équation aura lieu quand sin H sera sin 900 et H = 900 ; c'est-à-dire quand l'astre se trouvera sur la tangente à son épicycle, car alors on aura H = 900.

On démontrera sans peine l'identité des deux hypothèses (fig. 32).

Soit ABG un cercle concentrique à l'écliptique autour du centre D , el un cercle excentrique EZH , égal au cercle ABG , et décrit autour de Tj EATDIIG leur diamètre commun , TD l'excentricité.

Prenez un arc quelconque AB de l'homocentrique, etdu point B comme centre , avec l'intervalle BK. = DT , décrivez l'épicycle KZ , joignez KBD, ZT , BD et DZ ; dans le quadrilatère ZBDT\ les côtés opposés sont égaux ; donc ils sont parallèles, et les deux triangles formés par la diagonale sont parfaitement semblables; donc TZD = BDZ : or TZD est l'inégalité produite par l'excentrique, BDZ est celle qui est produite par l'épicycle, l'effet sera le même; ADZ sera la distance apparente à l'apogée, dans l'épicycle comme dans l'excentrique ; la distance de l'astre à la Terre sera DZ, et le point réellement occupé par l'astre sera le point Z; on aura

KBZ = BDA ou RZ — AB.

Mais l'égalité parfaite n'est pas nécessaire, il suffit de la similitude. Prolongez indéfiniment DK. et DZ, et par un point B' pris arbitrairement, menez B'Z' parallèle à BZ ; vous éloignerez l'astre de Z eh Z'; le rayon de l'épicycle B'Z' sera augmenté dans la même proportion ; l'astre sera toujours vu dans la même direction DZZ' , l'angle ADZ' toujours

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 117 le même , et l'astre sera vu à la même distance angulaire de son apogée.

De l'expression ci-dessus (fig. 3i) , pag. n5

siu ERZ = (||) sin AZK ,

il résulte que l'équation sera quatre fois la même , c'est-à-dire pour les angles AZK, (1800 — AZR), (180°+ AZK ) et (36o° — AZK) ; mais elle sera soustraclive pour les deux premiers , et additive pour les deux autres.

Ptolémée le prouve en détail pour les deux hypothèses.

De l'anomalie ou inégalité appareille du Soleil.

L'inégalité du Soleil est simple ; on a donc le choix des hypothèses, Ptolémée choisit l'excentrique; il s'agit donc de trouver l'excentricité. 11 faut aussi déterminer le lieu de l'apogée , c'est-à-dire le diamètre qui passe par l'apogée, les deux centres et le périgée , avec la distance des deux centres sur ce diamètre. Nous avons déjà vu une idée de ce système dans Géminus , postérieur à Hipparque; mais Géminus n'était pas géomètre et ne rapporte point la solution qu'Hipparque avait donnée de ce problème ; Ptolémée va la copier. C'est, dit-il , un point qu'Hipparque a\ait traité avec beaucoup de soin.

Il a trouvé de l'équinoxe du printems au solstice d'été. . . g4/ 12* du tropique d'été à l'équinoxe d'automne. ... 92. 12

Avec ces données seules, il trouve l'excentricité = environ du rayon de l'excentrique; le lieu de l'apogée était, selon lui^ moins avancé en longitude que le solstice d'été, de 24° 3o', et par conséquent en 2S 5° 3o' de longitude.

Quant à Ptolémée, il a trouvé , pour les deux intervalles et l'excentricité, à très-peu près les mêmes nombres. Pour le lieu de l'apogée, il a trouvé qu'il avait gardé la même position par rapport aux équinoxes et aux solstices ; mais pour exposer la méthode (qui est incontestablement celle d'Hipparque) il va nous en donner le calcul.

En l'an 4^3, il a trouvé que l'équinoxe d'automne était arrivé le 9 d'alhyr , après le lever du Soleil, et l'équinoxe du printems, le 7 pachou après midi, ensorle que l'intervalle est de 378-' 6ft; le solstice d'été

n8 ASTRONOMIE ANCIENNE,

était arrivé il de mésore à minuit, ou le 11 à 12''; ensorle que l'inlervalle du printems à l'e'té est de q4; et que pour l'intervalle de l'été à l'automne, il reste 3G5,25 — 272,75=92,50 ou 92-* 12*. Eu effet, aux i78; 6*, ajoutez les q4j 12>l du printems à l'été, la somme sera 272; iS*; ensorte que pour compléter l'année de 365; —, il faudra g2; 12'1; sur quoi l'on remarquera que Ptolémée néglige de retrancher le 3ooe de jour, qui n'est en effet que de 4' 4$"» pendant lesquelles le Soleil n'avance pas d'une demi-minute.

Mais il est bien étonnant qu'il retrouve toujours les mêmes nombres que ses prédécesseurs.

Soit E la Terre et le centre du zodiaque (fig. 33), A le point du printems , B celui de l'été, G l'équinoxe d'automne. Il est évident que le centre de l'excentrique est dans le segment ABG, puisqu'il est plus grand qu'un demi-cercle , ce qui se voit à ce que l'arc A/G n'est pas la moitié de l'année; ce centre doit être dans l'angle AEB, puisque AB est plus grand que BG. Soit donc Z- le centre de l'excentrique , et menons la ligne de l'apogée IEZH et du rayon arbitraire ZH, décrivons le cercle AHBGI. Par le centre Z , menons les parallèles bd et e/"les cordes perpendiculaires Aa , Gc, BA et im.

AB mouvement de g4; 12'' sera de 93° 9' environ.

BG mouvement de 92.12 91.11.

L'arc ABG sera de 184.20;

mais bBd est de 180. o;

donc Ab -j- cIG est de 4-2°>

donc Ab=dG est de 2.10.

£ Art = Z,B=EX sera donc le sinus de 20 10', puisque Aa est la

corde de 4°

Mais