CHAPITRE IL
Construction de la Table des Cordes.
Les notions précédentes e'taient indispensables pour bien comprendre les calculs qui vont nous servir à exposer la construction de la Table des cordes, sans laquelle on ne pourrait exécuter aucune des opérations ti igonomélriques, qui se rencontrent à chaque instant dans la pratique de l'Astronomie.
Nous avons déjà dit que les Grecs divisaient le rayon en 60 parties, et le diamètre par conséquent en 120. Pour résoudre un triangle ils le supposaient inscrit dans un cercle, ce qui est toujours possible. Par cette inscription les côtés en conservant leurs valeurs premières, absolues et linéaires acquéraient de nouvelles valeurs , relatives au rayon ducercle ; ils devenaient les cordes de trois arcs dont la somme était toujours de 36o°. Les trois angles à la circonférence ne valaient que i8o°etils étaient appuyés sur des arcs dont ils n'étaient que les moitiés. En comparant les doubles valeurs des côtés, on avait (fig. 1 ) les analogies suivantes t
AB : corde 2C : AG : corde 2B :: BC : corde 2 A. D'ailleurs A + B + C = 1800 , 2A -f- 2B + 2C = 56o\
Supposez connues trois de ces six quantités^ le calcul vous donnera les trois autres.
Mais il ne suffit pas d'avoir une Table de toutes les cordes possibles, qui ont nécessairement toutes les valeurs imaginables entre op o' o" et i20? o' o"; il faut connaître l'arc auquel chacune de ces cordes appartient. De cette manière la corde AB étant donnée , par exemple, on aura l'angle ARB ou l'arc AB = 2 anglê ACB; ou bien l'angle ACB étant donné, on connaîtra son double ARB = arc AB, et l'on aura la corde AB. C'est ce que l'on apprend par la Table de Ptolémée qui offre, pour tous les arcs AB de demi - degré en demi - degré , les cordes exprimées en parties sexagésimales du rayon.
Théodose et Ménélaus, l'un dans ses Sphériques, et l'autre dans son ouvrage sur les Triangles, ont gardé le silence le plus absolu sur cette
TABLE DES CORDES. 57 Table, et sur la résolution des triangles. Hipparque avait cependant composé un ouvrage en douze livres sur la construction delà Table, et sans doute aussi sur les usages auxquels elle devait servir. Malheureusement cet ouvrage est perdu.
Ménélaus, au rapport de Théon, avait aussi composé sur le même sujet un Traité en six livres, qui ne nous est point parvenu. A la fin de son livre des triangles, il rapporte les théorèmes sur lesquels Plolémée a fondé toute sa Trigonométrie. Peut-être ces théorèmes sont-ils d'Hipparque qui devait en avoir au moins quelque équivalent, pour les calculs trigonométriques qu'il a certainement exécutés, comme il paraît par son Commentaire sur Aratus (ci-dessus , tome I, pag. i45). Théon ne nous donne aucun renseignement à ce sujet, il développe les règles données par Ménélaus et Ptolémée sans assigner leur véritable auteur; et il se borne à louer Ptolémée d'avoir réduit la construction de la Table des cordes à un très-petit nombre de propositions , soit qu'il fût véritablement l'auteur de ces théorèmes, soit qu'il n'eût fait que les extraire des livres d'Hipparque et de Ménélaus.
Ptolémée rappelle d'abord quelques propositions connues. La corde de 6o° est égale au rayon , elle sera donc de 6op o' o". La corde de 1800 est égale au diamètre, elle sera de i20p o' o".
La corde de 36° qui est le côté du décagone, est égale au plus grand segment du rayon divisé en moyenne et extrême raison. Soit 1 le rayon, x le grand segment, 1 — x le petit segment 1 : x :: x : 1 — a;; ce qui
nous donne x"= 1 — x , x* -\- xz= 1 , .r1 -f- x ~f- ^ = f , x-{-~— y | ,
x = - i =fc I y/5.
Soit BD = perpendiculaire sur le diamètre, DC == 1 , DE = \ (fig. 2) ,
ËT= BÏT-f- DT= 1 +i = %.
Soit EF = EB = \A) ^ T , ,
DE = EC =3 i FD =EF — DE= yf «sa;g==cètë du
décagone.
Mais soit BD = 6op, DE = 3o% BD^ 36oo%
BE = 45oo.
Nous avons trouvé ci-dessus BE = (45oo)* = 67' 4' 55"
DE = = 3o
donc corde 36°= côté du décagone = 37. 4. 55 = FD
Nous avons trouvé ci-dessus FD = 1375. 4 • x4
BD = 36oo
fb'= 4975. 4.14 ;
d'où FB = 70.32. 3.
C'est la corde de 72', ou le côté du pentagone.
corde 900 = ( 36oo -f-36oo)* = (7200)1 = 84p 5i' 10",
corde 120* = côté du triangle équilatéral inscrit = 2(6o-|-3o. 3o)*
= 2(90. 3of = (180.60/ es i3op 55' 23".
Toutes ces quantités sont conformes à celles de la Table de Ptolémée.
On peut abréger ces calculs au moyen des Tables logarithmiques et surtout par celles de Callet dernière édition, où les nombres sexagésimaux sont à côté des décimaux.
En général
corde (180* — A) = (corde. 180° — corde A)*
= [(i2op+cordeA)(i2op — corde A)] * .
Ainsi quand on a une corde quelconque on en déduit aussitôt celle de son supplément.
Pour continuer, Ptolémée se sert de cette propriété du quadrilatère inscrit, que le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. Il démontre ce théorème comme on le fait encore aujourd'hui. Nous aurons donc généralement ( fig. 3)
AC.BD = AB.CD -f- AD.BC.
Celle formule qui exprime la relation entre six cordes différentes , serait d'une utilité médiocre, il faudrait connaître cinq de ces cordes pour en conclure la sixième, mais elle admet dans des cas particuliers des simplifications qui la rendent précieuse.
