CHAPITRE III

Trigonométrie rectiligne.

Voyons maintenant comment avec ces théorèmes et leur Table des cordes, les Grecs pouvaient résoudre les triangles rectilignes.

Triangles rectilignes rectangles.

Si les deux côtés étaient donnés on en déduisait l'hypoténuse par son carré. Le même théorème servait pour trouver l'un des deux côtés par l'autre et par l'hypoténuse.

, , hypoténuse. corde 2 angle opposé j -, lacf.côté .

côté = — , „ ■ — — — , et corde i angle = , -, ,

120' o o " 0 hypoténuse'

ou corde 2A = , ou 2sinA=-ç-, ou sinA = ç ;

la formule des Grecs était donc identique à la nôtre.

Les Grecs ne connaissaient pas d'autres formules pour les triangles rectilignes rectangles.

Triangles rectilignes obliquangles.

Les Grecs les partageaient en deux triangles rectangles, par une perpendiculaire abaissée sur l'un des côtés. Alors les formules ci-dessus leur suffisaient encore, excepté pour le cas des trois côtés connus. Ils auraient pu faire (fîg. 9)

B(f = BD -f- CDa= ÂB* — AD -f- (AC — AD)a = AB* — Â~D + Âcf + AD — 2 AC . AD

= AB + AC — 2AC.AD (ce qui est un théorème d'Euclide) = ÂB + ÂC2~2AC.ABcordesABD

Tî.a . 77=r* AT, 1 corde (1800 — 2BAD)

corde (i 8o° - 2BAD) ÂB*+ AC— BC corde(i 80° — 2BAD) ÂB+ÂC— BC*

aABTBC 9 °U 604 AB.BlT- *

■DA*- Âb'+ÂC1— BC1 /• 1 1 .

ce qui revient a cos BAL = 2AJj EC , formule moderne.

Mais nous verrons tout à l'heure que Ptolémée dans ce cas, avait des formules qu'il n'a pas démontrées et qui sont équivalentes à l'une de no* méthodes modernes.

L'angle A étant ainsi connu, on avait

BC : AB :: corde2A : corde 2C — (j^) corde 2A, BC : AC :: corde2A : corde 2B = fj^jjcorde 2A,

et le triangle est résolu.

Pour exemple de l'emploi de tous ces moyens , choisissons un exemple qui les exige tous et que Ptolémée met en usage pour déterminer l'excentricité de la Lune. Il nous dit lui-même qu'Hipparque avait résolu le même problème avant lui , il ne dit pas expressément qu'il emploie les mêmes règles quTIipparque, mais cela paraît fort probable, car s'il eût employé des moyens nouveaux , il n'eût pas manqué de nous en avertir. Mais si ces règles ne sont pas d'Hipparque, il fallait au moins qu'il en eût d'équivalentes ; Hipparque était donc en possession de la Trigonométrie recliligne. Nous avons déjà vu qu'ilavait la Trigonométrie sphérique.

Soit DB = 49" 4i'; DE = EF = io? 19', ADB = 36' ( fïg. 10).

Prolongeons BD en G à la rencontre de la perpendiculaire EG et BE en H jusqu'à la perpendiculaire FH.

Dans le triangle rectangle DGE, nous avons l'hypoténuse iop 19', et l'angle D = 30°,

hyp. rorde 2D io^ 19' corde 720

r hyp. corde (180° — 2D) iof 19' corde 1080

(j,JL) — — — .

Nous avons montré dans l'Arithmétique comment les Grecs calculaient numériquement les quantités de cette espèce. Sans prendre ici une peine inutile , employons nos logarithmes en prenant seulement dans les Tables de Ptolémée les deux cordes ,

TRIGONOMÉTRIE RECTILICNE. 47 corde 72*=: 70p3'2 3"= 70p 52'o5; corde 108 = 97^4' 56"=97p.4' ,93553.

Pour plus de facilité encore, au rapport je substitue 10

et j'emploie les Tables de Callet. Je divise ainsi les deux cordes par 60, et toutes les quantités seront descendues d'un ordre de sexagésimales.