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Traité d'Optique sur la gradation de la lumière, 1 vol in-tf , ouvrago posthume de Bougucr, publié par M. de La Caille, Paris, i;Go.

« L'essai de cet ouvrage parut en 1739 en un volume in-ia. Il fut accueilli par les géomètres et les physiciens a\ec un applaudissement général. Obli«é par état de résider dans une petite ville de Bretagne, l'auteur ne pouvait se procurer presque aucune des commodités nécessaires pour réussir dans des expériences délicates. . . L'Académie s'était hâtée d'acquérir un sujet si capable de lui faire honneur. M. Bouguer avait passé duCroisic au Havrc-de-Grâce... 11 n'en était guère plus à portée de retoucher son ouvrige favori. Le voyage du Pérou, la commission dont le ministre le chargea, de travailler sur le détail de toutes les parties de la marine, tout cela l'occupa vingt ans... Rendu à lui-même, il s'empressa de reprendre le fil de ses anciennes idées sur la gra~

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BOIGLER. 3fo dation de la lumière... Après avoir fait toutes les expériences et les calcul*... il s'occupait à les rédiger, lorsqu'il fut attaqué d'une maladie qui le lit languir plusieurs mois.. . 11 eut la satisfaction d'en voir les dernières pages mises au net, quelques jours avant de mourir... 11 mourut le i;Taoùt i^'tJ.... On pourra remarquer dans la seconde section du premier livre de petites lacunes que je n'ai pu(rcmplir... Les papiers et les instruinens dcBouguer avaient été vendus ou dissipés pendant les vacances de l'Académie, temps où j'étais absent... J'ai tout revu avec attention et j'ai vérifié à mesure tous les calculs. Je devais ce soin à l'amitié dont l'auteur m'honorait et îi la confiance qu'il m'a témoignée au sujet de cet ouvrage. »

Tous ces passages sont extraits de l'a\ erlissemcnt <p\ie La Caille a mis en tète de l'ouvrage.

La multiplicité d'expériences curieuses (jue renferme cet ouvrage rendrait extrêmement long l'extrait que nous pourrions en faire; nous noiw bornerons aux résultats qu'il importe le plus à l'astronome de connaître.

A la page 37, il parle de Fhéliomètrc qu'il axait publié en Instrument que la Société royale de Londres a reproduit en 1 753, presque sous la même forme , en assurant qu'on le lui avait proposé plusieurs années auparavant. Je m'applaudis encore moins de métré ainsi rencontré avec un habile opticien anglais , que it avoir été cause qu'on lui ait à la fin rendu justice : car il parait qu'on négligeait sa découverte... et elle serait restée vraisemblablement ensevelie dans le plus profond oubli ,si la proposhion de mon héliomètre ne len eût fait tirer. Il est arrivé à peu près la même chose dans celte rencontre que clans l'autre siècle à l'égard du micromètre. On y avait pensé en Angleterre, niais tout ce qu'on y avait fait ayant été parfaitement ignoré du public, lorsqu'il en était encore temps, dut être regardé comme absolument inutile, ou comme non avenu. Ainsi on se trouva réellement redevable de celte invention à MM. Auzout et Picard, et uniquement à eux seuls; de même que je crois qu'on m'aura l'obligation de r héliomètre , puisque je n'ai rien emprunté sur cela de nos savons voisins , cl qu'ils avaient eux-mêmes perdu entièrement de vue ou même méprisé l'idée presque semblable qu'on leur en avait communiquée (*).

(*) Bouguer Et connaître à l'Académie des Sciences, le avril 1748, la description et les usages de son héliomitre ou astromètre. 11 prend deux objectifs de même foyer; il Us place à côlé l'un de l'autre , du manière à répondre à un seul oculaire : par cette disposition, i! obtient ileux images distinctes au foyer commun des objectifs et de l'oculaire. V<>and elles sont en contact, la distance de 1 objectif mobile à l'objectif fixe , donne la

35o ASTRONOMIE AU DIX-HUITIEME SIECLE.

Ces raisons nous semblent solides et déduites avec toute la modération convenable. Nous voudrions voir les mômes égards et la même tranquillité dans sa dispute avec La Condamine; mais comme il n'avait pas de raisons aussi valables à alléguer , le plus sage aurait été de ne pas attaquer celui auquel il n'avait à reprocher que ce qu'il regardait comme des indiscrétions , et que nous regardons comme un devoir dont rien ne pouvait le dispenser.

La plus grande différence entre Phéliomètre de Bouguer et le micromètre objectif de Dollond, est que l'héliomèlre est composé de deux objectifs, et que le micromètre objectif est composé d'un objectif coupé en deux, selon un de ses diamètres , et que l'on peut écarter de manière à faire coïncider les deux extrémités d'un même diamètre du Soleil ou de la Lune, ou les deux pointes des cornes dans une éclipse, ou deux étoiles, ou généralement deux points quelconques. La construction de Dollond a obtenu la préférence, et elle la méritait (*).

mesure de leur distance angulaire. Bouguer parle de différentes mesures que l'on peut obtenir avec cet instrument : cependant , lorsqu'il voulut le construire , il crut devoir se borner à la mesure des diamètres du Soleil et de la Lune. Il Et travailler huit objectifs de 18 pieds de foyer dans le même bassin; il en choisit deux de même foyer, et il les combina avec ua oculaire convenable. C'est avec cet héliometre qu'il commença à mesurer le diamètre du Soleil dans le mois d'octobre 1 747. Le Mémoire de Bouguer se trouve dans le volume de l'Académie pour l'année 1748, qui ne parut qu'en 175a. Le

10 mai de l'année suivante, Short écrit au président de la Société royale de Londres (Phiios. trans., vol. 48), pour revendiquer en faveur de Servington Savery ( d'Exeter ) , l'invention du micromètre , composé de deux objectifs. Il produit, à l'appui de sa réclamation, an Mémoire de Savery, contenant la description d'un nouveau moyen de mesurer la différence des diamètres périgée et apogée du Soleil. Ce Mémoire , présenté par Graham, fut lu à la Société royale le 37 octobre «743. Depuis cette époque,

11 était resté dans les mains de Bradley , qui avait été chargé d'en rendre compte. Le même jour 10 mai 1753, Short communique à la Société royale , au nom de John Dollond, la description d'un appareil (les demi-objectifs) pour mesurer |« petits angles. On voit par cet exposé des faits que Bouguer avait imaginé et publié son héliometre cinq ans avant que l'on songeât, en Angleterre , à publier les idées de Savery. ( Note de [Editeur. )

(*) La construction de Bouguer exige deux objectifs de même foyer , ce qui est difficile à rencontrer. Dollond emploie les deux moitiés d'un objectif : ces demi-objectifs sont bien d'un même foyer ; mais ils donnent des images qui ne sont jamais bien nettes, parce que les deux moitiés d'un objectif achromatique ne soct presque jamais achromatiques séparément. De là vient l'incertitude que l'on trouve généralement dans les mesures faites avec le micromètre objectif. Ainsi, Dollond, en substituant des demi-objectifs aux objectifs entiers, a plutôt gâté qu'amélioré l'béliomètre de Bouguer. ( A'o/e de t Editeur.)

BOLGLER. 35 r

On voit, page 83, que lorsqu'un astre est à ig°i6' de hauteur apparente, sa lumière éteinte en traversant une plus grande étendue de l'atmosphère , n'est que les deux tiers de ce qu'elle est a G&n' de hauteur. C'étaient au Croisic les deux hauteurs solsticiales.

On voit , page 87 , que par un milieu entre plusieurs expériences différentes, le Soleil nous éclaire environ 3oo mille fois plus que la pleine Lune.

11 est certain , page 9a, que le Soleil est moins lumineux dans les endroits de son disque qui sont plus éloignés du centre (*).

Nouveau Traité de navigation par M. Bouguer, revu et abrégé 'par

M. La Caille , Paris, 1769.

a Le Traité de navigation de feu M. Bouguer, compose par l'ordre du ministre, fut publié en 1753... Je me crois obligé de rendre compte des raisons qui m'ont engagé à en retoucher plusieurs endroits et à supprimer plusieurs méthodes pour en substituer d'autres. »

Nous regrettons que La Caille n'ait pas indiqué par quelque marque les endroits ainsi retouchés ou changés. Il faudrait avoir sous les yeux Fédition de 1753, que nous n'avions pas encore rencontrée. Nous l'avons vue depuis, et nous en parlerons à l'article La Caille. « On ne met pas les navigateurs assez au lait des calculs familiers aux astronomes... Bouguer, plus accoutumé au calcul analytique qu'à tout autre , ne me parait pas avoir lait assez d'attention à cet article} il n'a donné presque aucune règle de Trigonométrie ni

(*) M. Aragn a fait usage d'une manière fort ingénieuse de la polarisation colorée qu'il a découverte, pour s'assurer que le Soleil est également lumineux dans toute* les parties de son disque. Si l'on place devant l'objectif d'une lunette prismatique une plaque de cristal de roche dont les faces soient perpendiculaires à l'axe de cristallisation, et qu'on regarde l'image du Soleil réfléchie sous l'angle de 55» i, la lumière polarisée par la réflexion sera modifiée en traversant perpendiculairement la plaque de cristal , de manière que le prisme à double réfraction , placé dans la lunette , donnera constamment au foyer deux images du Soleil , de couleurs complémentaires. Quand on fait glisser le prisme, une image empiète sur l'autre, et le segment commun est toujours blanc. Si la lumière était plus forte au centre, on n'obtiendrait pas du blanc quand le bord du disque vert, par exemple, tomberait au centre du disque rouge; on aurait une teinte rongefirre, puisque les rayons verts ne pourraient neutraliser qu'une partie des rayons rouges qui seraient en plus grande abondance. Pour que la superposition des deux nuages donne toujours un segment blanc, il faut donc nécessairement que le disque solaire soit aussi lumineux sur les bords que vers le centre. ( Note de PEditcur.)

3j3 ASTRONOMIE AL DIX-HUITIEME SIÈCLE,

de calcul astronomique... U se sert le plus souvent des sinus et des tangentes, en nombres naturels, méthode que sa longueur a fait abolir. »

On a pu remarquer ces défauts dans ses méthodes nautiques, et ses pièces de prix. 11 paraîtrait avoir écrit pour les académiciens, qui devaient le juger , et nullement pour les pilotes, qu'il avait à instruire. Les académiciens, en voyant son Algèbre ou sa synthèse, auront cru à ses démonstrations sans les vérifier; et, dans le fait, sa synthèse analytique est pénible, obscure et prolixe; on aurait pu être plus court, plus clair et plus exact tout-à-la-fois, ainsi que nous l'avons montré ci -dessus, page 34 1, par des exemples. Au reste , il n'entre pas dans nos vues de faire l'extrait d'un traité de navigatiou , et nous n'avons parcouru celui de lîouguer , revu par La Caille, que pour voir s'il ne renfermerait pas quelques remarques nouvelles dont un astronome pourrait faire son profit. Cet ouvrage est fort bon pour ceux auxquels U est destiné, dumoins avec les changemens de La Caille. Nous n'y avons remarqué de nouveau que le moyen de trouver la longitude sur mer; mais cet article est tout entier de l'éditeur. Nous en parlerons à l'article La Caille.

Maupertuis.

Ce géomètre, célèbre, comme Bouguer, parla mesure d'un arc du méridien , fut chargé comme lui par un ministre de travailler pour l'instruction des marins. 11 composa une Astronomie nautique. Cet ouvrage fut vanté; on se flatta que la Géométrie allait porter la lumière sur toutes les questions de la navigation; elle ne fit que tout obscurcir, et l'ouvrage est à peu près tombé dans l'oubli. L'auteur annonce des recherches utiles même à l'astronome le plus exercé. U admire l'art des premiers géomètres, qui nous ont donné la Trigonométrie sphérique (ces géomètres sont Hipparque tout seul), il croit cjue les esprits géométriques préfèrent pour les problèmes d'Astronomie des solutions immédiates, à celles qu'on emprunte d'une autre science, comme si la Trigonométrie sphérique n'était pas une partie de la Géométrie , aussi bien que la Trigonométrie recliligue , à laquelle les géomètres aiment à donner la préférence. Il a voulu délivrer l'Astronomie du besoin de cette science secondaire, et la faire dépendre immédiatement de l'analyse. U avoue pourtant que sa metbode aura l'inconvénient de donner des solutions moins simples et moins commodes, et c'est là ce qui l'a fait rejeter par tous les calculateurs, qui aiment surtout ce qui est facile, court et commode, et , par une suite nécessaire, pins exact.

L'ouvrage fut imprimé au Louvre en 1743 et 1 701 . On l'envoya dans tous

MALPEUTU1S. 353 les ports, où l'on n'eu lit aucun usage. L'auteur Ta reproduit daus la collection complète de ses œuvres, et c'est là ce qui l'empêchera d'être oublié tout-à-fait. C'est sur cette édition que nous allons faire notre extrait.

Si l'on conçoit un triangle au pôle, au zénit et à un astre, et que l'on désigne par N la distance au zénit , par D la déclinaison , et par H la hauteur du pôle , on aura cos N sa cos P cos D cos H -f- sin D sin H. C'est le théorème fondamental de la Trigonométrie sphérique : il est dû à l'astronome arabe Albategnius. Maupertuis le rajeunit en écrivant rrh sas cyu-\- r.vx, ce qui est déjà moins clair. 11 n'emploie que des sinus et des cosinus; r est le rayon.

Sa seconde formule, qu'il écrit rrx -f- ckn = hrs , est

sin D = cos Z cos H sin N -f- sin H cos N.

C'est le théorème fondamental appliqué à l'angle en Z.

Pour trouver l'azimut, la Trigonométrie nous donne la relation

cot Z sin P = taug D cos H — sin H cos P,

ou cos Z cos D sin P= sin Z sin D cos H — sin Z cos D sin H cos P.

C'est sa troisième formule nrtjr -f- rcmx = msuj.

Ainsi, tout se réduit à éliminer les tangentes pour compliquer l'expression.

Pour sa quatrième formule, il fait les mêmes changemens à la formule de la Trigonométrie, qui donne la relation entre l'azimut, l'angle horaire, la distance au zénit et la hauteur du pôle.

Mais dans le triangle au pôle , au zénit et à l'astre, la règle des sinus donne

sin N : sin P II cos D : sin Z, ou siu N sin Z = sin P cos D.

Maupertuis n'y fait d'autre changement que d'écrire km = ly ; c'est sa cinquième équation.

Voilà les cinq propositions fondamentales de l'ouvrage. Pas une n'appartient à Maupertuis, à la réserve de la notation. 11 passe en revue tous les changemens de signe qui peuvent arriver. 11 est donc obligé d'écrire autant de fois ces formules qu'il y a de combinaisons de signes. C'est un des inconvéniens de sa notation; car dans la nôtre, le calculateur voit de luimême tous les changemens de signe.

Au lieu de la formule cos P = tang H tang D, qui sert à calculer l'arc semi-diurne, il nous donne rsx as cuj , expression qui , d'après sa notation , revient à sin H sin D = cos H cos P cos D , parce qu'il n'y a pas de tangente.

J'ai été obligé de lire plusieurs fois le problème Vlll pour le comprendre. Àstr. au i8« siècle. \5

Il suppose qu'où ait observé deux hauteurs égales, avant et après midi.

L'intervalle des temps donnera l'angle au pôle P, et sin î P co» D ta sin \ arc ,

qui joindra les deux lieux du Soleil; d'où cos D = "f*^. La formule est

aussi vieille que la Trigonométrie; mais employée pour trouver la déclinaison, elle fait un problème tout nouveau. Pour le rendre plus utile, il aurait dû nous dire comment il observe l'arc dont il faut prendre la moitié. Maupertuis néglige la réfraction comme il a négligé le mouvement en déclinaison.

Pour l'azimut du point de contact du parallèle avec le vertical , l'angle à l'astre étant droit, nous faisons sin Z = ^^. Maupertuis aime mieux faire

cosZ=( co?H ) =( côs*~ïï ) =(i-sm*Z)».Umdiquece

moyen pour trouver la réfraction.

Pour ~, la formule fondamentale donne ^ = "nP<^"— — j U n'y ebange rien. Mais à l'horizon sin N = i , et cos P = tang H tang D ; alors

g£ = cos H cos D (i — Ung' H tang* D)*aa (cos' H cos' D— sin* II sin'D)-1. Ces transformations sont faciles , mais on n'en voit pas l'usage.

On aurait cos H = ~ ûnVco» D' ^ mo)'en ne serait Pas ^en exact Pour trouver la hauteur du pôle; il en avertit; après quoi, il démontre longuement la formule de correction des hauteurs correspondantes, et comme la formule dP sa dD ( tang D cot P — tang H coséc P ) contient cinq quantités différentes, il nous dit que quatre quelconques étant données, on aura la cinquième.

Pour trouver la hauteur du pôle par deux liauteurs d'une même étoile , il donne la formule

(poxx-\-rrpp)s% — (?rrox)(h-{-h')s=t4pm-\- 2>*qkh' — i*h% — r*h'* — rrppxx;

équation aussi facile à trouver qu'insupportable à calculer. Il oublie de nous avertir de l'incertitude où l'on est sur la latitude , qui est donnée ici par son sinus s, puisqu'il faut faire un eboix entre les deux racines; il ne fait aucune des remarques faciles qui pourraient le plus souvent lever le doute.

Ce qu'il vient de faire par l'intervalle des lemps écoulés entre les deux hauteurs, il le fait ensuite avec la même brièveté et la même clarté par la différence d'azimut.

MALPFRTLIS. 35o Le problème XIV pour trouver la hauteur du pôle et la décliuaison , est plus neuf; c'est dommage qu'on ne puisse en avoir les données. On a

tang D cos H sa sin H cos P -f- sin P cot Z = sia II cos P' *f- sin P* cot U ;

d'où cos P sin H -f* sin P cot Z sa cos sin II -f- sin F cot Z'

(cos P— cos V ) sin H sa sin P' cot Z'— sin P cot Z;

. u sin F cot Z'— ainPcotZ el s,nH= oosP C0lr •

On aura donc la hauteur H du pôle, si l'on connaît les deux angles horaires P et P', et les deux angles azimutaux Z, Z' correspûridans d'un même astre; et ensuite , on aura la déclinaison par l'une ou l'autre dés valeurs de tnng D. Notre formule trigonométrique est aussi celle de Mauper luis, à la notation près.

Le problème XV qui vient ensuite, est de même genre à tous égards. Il suppose deux astres connus, observés dans un même vertical , et de plus les deux angles horaires et les deux déclinaisons. La Trigonométrie nous donne

. 2 tang D cos H — • gin HcosP tang D' coa H — *in H cos ï"

sin P «in F '

d'où

sin P* tang Dcos H — sin P' sin H cos P=s si n P tang D' cos II — sin P sin H cos F,

u lin P tang Tï — sin F tangD ginPMflgiy — sinFtaiigt)

et tangtl — co» F ^lûTF COâ P ~~ sw (P— F) ■

Maupertuis s'arrête à la première expression de tang H; la seconde est plus expéditive. Dans le problème XVI, il suppose connue la hauteur du pôle, et deux étoiles connues observées au même instant dans un même vertical, et il demande l'heure de l'observation. La science secondaire résout ce problême par quatre analogies fort simples. L'analyse fait

A —rps, B = /rX — cyX', C = <pX', et alors on a ,

ce qui forme aussi quatre opération», mais beaucoup plus longues.

L'analyse trigonométrique nous conduirait facilement à une équation de ce genre ; mais elle va nous eu fournir une beaucoup plus commode même quel» solution trigonométrique qui se présente an premier coup d'oeil)*»*

les solutions trigonométriques de ces problèmes ont sur celles de Maupertuis l'avantage qu'on n'y fait usage que des règles qui sont dans la mémoire - de tous les «Iculateu», au lieu qu;aucun d'eux jamais ne pourra reten.r une seule des formules de Maupertuis. «da — ^

Si l'on fait (6g.40PA=9o'-D, PB=9o--D', ZPB=o? et BPA a, les triangles ZPA, ZPB donnent, comme nous venons de le trouver pour le problème XV,

tangD'.inZPA-tançDMnZPB^U^^ tangH = — &-"Hî^zPÂ^'ZPB) ~~ sinB d'où tangD'siua:cosa+UngD'sinacosaC-tangD8in*=UngHsin«,

tangiycosa— tangD — ~t<*-taneDcotD' coséert. Maintenant,^! cot<p=- * tangDw ë

Il viendra sm (*+ <p) = tang H cot sin <p.

Mais si l'on fait ZPA = r+ia, ZPB = 7-i*> h Première formulC pour tang H donnera

tang iy sin (/ -f- i«) - tang D sin ( r - i - ) = H sin a >

d'où

(UngD'-UngD)c0sWn/+(UnBD'+tangD)sini«osr=3tangHsm-;ucos^, et ^+^^-g^eoS^-ggE^)

ou

Soit tang4=^(D^D)t*n8'fl'

a tang H co»Dc<w D'co»^»'"*0 on aura enfin , sin (7 + 4) = 3ô (D" — »)

Tout se réduit donc auxdeu* formules , tang 4, 1* ™& quatre logarithmes ,

et sin (r + 4) , <lui eQ exiSe ^ , . . ^ v + 4 peut être tout

LWiaire 4 ne peut avmr ^^^^J^^ les

MALPERTL1S. > ZPA etZPB seront donc donnés par leur demi-somme^ et leur demi-différence connue \ a, et l'on eu déduira l'heure de l'observation.

Remarquez que les angles ZAP, ZBP sont les angles du cercle de déclinaison avec le vertical , et que ces angles ne peuvent être obtus , à moins que les distances polaires PA et PB ne soient plus courtes que PZ, ou que les décUnaisons ne surpassent la latitude; ainsi, le plus souvent, le problème n'aura qu'une solution astronomique.

INous avons résolu ce problème avec plus de généralité (Astr., tome 1, page 5 27, art. 63) , sans exiger que les deux passages au même vertical soient simultanés; et dans l'article suivant nous avons donné deux solutions pour les étoiles circompolaires , qui peuvent s'observer dans un même vertical , tant à l'ouest qu'à l'est du méridien.

Problèmes XVII et XVIII. Nous les avons résolus d'une manière bien plus simple ( Ast. , tome 1, page 5 18 , n" 53). L'une des formules de Maupertui» est de même forme que celle qu'il donne pour le problème XV, par conséquent aussi peu maniable.

Problème XIX. Dans tous ces problèmes, l'auteur est obligé d'en revenir aux tangentes, qu'il avait fort mal à propos éliminées dans le commencement. Ici, sa formule définitive est une fractioa dont le numérateur est composé de quatre termes, composés eux-mêmes de quatre facteurs , et le dénominateur, de cinq termes de même ordre. L'auteur prétend que son problème est fort utile. 11 serait plus vrai de dire qu'il n'a jamais servi et ne servira jamais.

Problème XX. Connaissant trois hauteurs d'une étoile avec l'intervalle des observations , trouver la déclinaison et la hauteur du pôle. Cest ce fameux problème auquel les géomètres et les astronomes de Pétersbourg se sont tant appliqués, et dont ils ont donné plusieurs belles solutions ; je le crois, cependant plus curieux qu'utile. Nous sommes ici de l'avis île Mauperluis , et cependant nous en avons donné une solution ( Astr. , tome 1, page 5 [ j , n° 84), et nous avons pris pour exemple celui qu'Euler avait calculé.

Problème XXI. Deux étoiles ont été observées lorsqu'elles passaient au même vertical, et encore lorsqu'elles passaient au même alraicantarat. On demande les deux déclinaisons et la hauteur du pôle. On suppose connus les huit angles horaires , c'est-à-dire d'abord les deux ascensions droites, puis les deux passages au méridien; en outre, une montre excellente; il faut que le vaisseau n'ait pas changé de place dans l'intervalle des observations, et que l'on connaisse la longitude géographique. Cest tout ce que l'on pourrait tout au plus attendre à terre et dans l'observatoire le mieux, monté. On voit que ce

problème sera eucore une de ces curiosités géométriques dont les astronomes ne font aucun cas; mais comme curiosité trigonométriqne , il est assez singulier pour que nous nous y arrêtions quelques instans. Nous allons voir qu'il n'a rien de difficile, et que rien ne le recommande que son étrangeté.

Les étoile» A et B ont été observées (fig. 4a) à lenr passage an vertical Z A B. SoitD = 9o*— PA; D==9o° — PB; P=ZPA; P'= APB=ZPB— ZPA; D et D' sont boréales, et D > D'. Le triangle ZPA donne

cot ZAP = '«»gH«»P-»»P«»P

un P

ïa; triangle APB donne

cot ZAP = - cot PAB = - ^P'^D-^DcoP: .

donc, eu égalant ces valeurs de cot ZAP, en faisant disparaître les dénominateurs et en divisant tout par cas D,

tang H sin P'— sin FcosP tang D = sin P cos P' tang D— sin P tang ET, „ ainP , , sin (P 4. F). ^

Le passage au second vertical ZA'B' donnera de même

et, par soustraction, on obtiendra