CD

.A DF CDsinC AC Sl

Un6 /A = AT = âcTcd-^Tc = ~7 CD— J

,+Âcco,c

donc

fcl /CD\ »in C /CD y iinaC , /CD\J ain 3C

/A==vxc; îT*-? — vie; tût.' + \âc) - ete-

Maintenant, l'angle C extérieur au triangle ACD donne C = <TA-f-D; d'où efA == C — D = — <TC. Ainsi, cette série prise en signe contraire représente aussi <JC, tandis que Cotes , dans son théorème 111 , dit que

cfBC

dC : CD :: sin C : AC ou dC = -jg sin C; ainsi , il néglige encore les puis- ,

de <*BC ou de CD. Puisqu'U suppose /BC os CD connu, il aurait 4û . par calculer /A, et il aurait pu avoir exactement «TAC. Dans son théorème Il , il prend AE e=s AC r. -et décrit l'arc CE, qu'il se permet de prendre pour une droite perpendiculaire sur AD.

Alors DE = AD — AC = <*AC, et il faitUng CAD = ~ = —

n.i :i fit t - :.

tang C; d'où il tire dX : <*AC :: tangC : AC.

MaLsavec la môme construction, on aura corde CE I tjuiD : i DE: siuECD;

or,cordeŒs==2ÀCsinfCAE==aACsin£<?A; D=C— <TA; DE=«TAC, et ECD = 9o'— (C— { /A); doue

ïACsiniiTA :sin(C-.«fA) :: J*AC : cos(C—±/A);

On voit tout ce qu'il faut négliger pour retomber sur l'analogie de Cotes.

Cotes passe à un autre cas ; il suppose constans l'angle A et le côté opposé BC. Nous aurons alors

sin A : BC '.: sin B : AC

sin A : BC :: sin (B-+- «TB) : AC -f» J\ACj

d'où l'on tire

±L+™Ç m + (Ë) = , a sill. i jvB + cot B sin /B , et / AC =s AC cot B sin <TB — 3 AC sin* { SV>

Négligez sin^/B, vous aurez </AC=ACcotB</B,ou«fB îdACtt tang B : AC. Cette analogie est l'expression du théorème IV de Cotes.

L'angle A et le côté opposé BC étant toujours constans, le même triangle donne ABsinB = AC sin C, équation dans laquelle tout est variable, et qui deviendra

( AB -f- «TAB ) sin (B+ /B) = ( AC -f- «TAC) sin (C -f- SC); mais sin A : BC :: sin (B + /B) : AC + /AC= BC !Bg±ffi , «in A : BC :: sin (C -f- /C) : AB -f. «TAB = *£™-f£+i£ï.

Mettant successivement ces valeurs de AC-h/AC, et AB+t/AB dans l'équation précédente, elle donnera

AB -f- <f AB = sin (C-f-«JC),

AC +MC= 4-|% sin (B + «TB ).

En substituant dans ces expressions

li-rr.-Dîgnized by Gopg[e

COTES. 453 /AB = I * (C-MC)-* C] = ^ ifa*/CeOi(C+*/C), /AC= ~ [sin (BH-«TB)— rin B] s=^j sini/B co» (B+i/B);

divisant l'une par l'autre, on aura enfin

MB sini/Cco»(C + j/C) JÂC ~~«ini« coi (B + i y

Néglige* ±/B et 5/C, et vous aurez «MB : «iAC : : cos C : cos B; c'est précisément le théorème Y de Cotes.

Soient maintenant ( fig. 48 ) deux côtés constans AB et AC. Si l'angle BAC devient BAD = A -f J A , nous aurons successivement

BC = AB -f- ÂC — 3AB.AC.c0s A, BD== ÂB + ÂD — a AB . AD . cos ( A -j- cTA ) ; et , en remarquant que dans le triangle ABD le côté AD = AC , BD-BO==—aAB . Aqcos(A+/A)— cosA]=4AB . ACsin(A-H^A>sini/Ai

mais BD— BC==(BD4-BC) (BD — BC)= (aBC-f-/BC) /BC; donc ( BC-t-i«TBC) *TBC = aAB.AC sin (A + i<TA) sin I /A;

dou enfin "W = ÂB7AC.«in (A+i/A)* Négligez les petits termes de cette eipression rigoureuse, en écrivant dk BC BC oosécB

dâc = âbTâcIÏôa = ÂXIclbB = ~Xb~ »

et vous aurez d\ : dhC II coséc B : AB, qui est le théorème VII de Cotes.

Des rayons AC et BC, décrivons les arcs CD et CE, et menons leurs cordes, nous aurons CD : sin DBC :: BD : sin CCD; mais à cause de CD wm aAC sin£/A, et sin BCD = sin (C 4- 90*— i /A) =cos (C— ΫTA) , cette propoiiion devient

aAC sin i /A : sin /B :: BC-f-<TBC : cos(C — £ J\A).

En multipliant les deux premiers termes par cos 7 /A, et en remplaçant a sin i «TA cos £ /A par sin /A , elle donnera

AC sin <TA cos ( C— • £ /A) = (BC -f" (f BC) sin /B cos £ J*A$

„ , ain /B ACcos(C— i/A.) AC , ~. , .

d oà = (Fc TWctlTÂ: = Bc + WC («.C+sm C tang /A ).

Négligez les di(Térences dans le second membre, et vous aurez le théorème VI de Cotes, qui est dk : d& :: BC : AC cos C.

Le petit triangle DEC donne CE : sin EDC :: DE : sin ECD; mais on a CE = aBC sin - <TB ; sin EDC = sin ( i8o«— ;BCD — /B) = sin (BCD-f- «TB ) m sin (go'-f- C — T M H- ^B) = cos (C — g M+ ^B); et sin ECD = sin(BCD — BCE) = sin (C -f- 90° — £ /A — • 90* -f- ^ <TB) = siu (C — 7 tTA-f-ï J^B). La proportion deviendra donc

aBC sin i <TB : cos (C — i «TA + cTB) :: <PBC : sin (C — J JW. -t-fcTB);

A>nt\ l'on I in. aBCsinî W CM ( C — t M + >B )

d ou 1 on lire JbG ~ ^C-* 7*+* W) '

Négligez dans le second membre «TA et <f B, vous aurez d\\ : d6C :: cot C : BC , ou le théorème VIII de Cotes.

Les côtés AB et AC étant toujours constans , on aura AB sin B = AC sin C , et encore AB siu ( B ^B ) =a AC sin ( C -f- <TC). Développant , remplaçant cos <TB et cos <TC par leurs valeurs 1 — a sin'Î^B, et 1 — a sin' J <TC, et supprimant les produits égaux AB sin B et AC sin C, il viendra

AB (cos B sin <TB— »sia«7«PB sin B)=a AC (cosC sin «TC— asin'gcTCsin C);

d'où l'on tire, en chassant AB et AC par la relation AB sin B = ACsin C,

cos B i\n /B — a sin» ; JB ain B gin B

cosCsin tC — a sin» i tC sin C ain C

. ain M — a *in* i /fl tang B tang B

et enfin iin /C — a BF| RS tang G """"ung C

Négligez les termes du second ordre, vous aurez <7B : dC :: tang B : tang C. Cest le théorème IX de Cotes.

Enfin si deux angles sont constans , le troisième le sera nécessairement. Les sinus des trois angles seront constans; le rapport des côtés opposés ne changera pas, et Ton aura

AC + «TAC : AB-f» J*AB : BC + ^BC :: AC : AB : BC, d'où «TAC : <f AB : «TBC :: AC : AB : BC.

Ainsi, les variations des côtés »pnt entre elles comme les côtés. Cest le théorème % de Cotes, le seul des dix qui soit rigoureusement vrai. Oa voit qu'il était facile de donner à tous la rigueur géométrique, en laissant

COTES. 455 au calculateur la liberté de négliger les quantités du second ordre.

Les théorèmes suivans, au nombre de 18, concernent la Trigonométrie sphérique. Cotes les démontre par des constructions comme les précédens. Je les ai tous démontres au chapitre X de mon Astronomie , pages 2$g— *5g. Je me suis borné aux différentielles, en me contentant d'indiquer les moyens qui serviraient à trouver des expressions exactes, et j'ai donné moi-même ces expressions toutes les fois que les problèmes m'ont paru en valoir la peine. J'avais omis les théorèmes de la Trigonométrie plane, parce que les formules de la Trigonométrie sphérique peuvent s'y appliquer, en substituant les côtés à leurs sinus et à leurs tangentes, et en mettant l'unité pour leurs cosinus. En effet, un triangle recliligne peut toujours être considéré comme un triangle très petit sur une surface sphérique très grande; les côtés sont de très petits arcs qui se confondent avec leurs cordes, leurs sinus et leurs tangentes.

En finissant, Cotes fait remarquer que ses théorèmes indiquent les cas où les erreurs sont les plus grandes, et par conséquent les circonstances qu'il faut choisir ou éviter pour avoir des résultats plus sûrs par les observations. En cela , il a parfaitement raison ; car ici, les formules différentielles ont à peu près le même avantage que les formules rigoureuses.

Pour trouver le résultat le plus probable d'un certain nombre de mesures de la même quantité qui chacune ont leur petite erreur, il représente les écarts plus ou moins grands par des lignes , au bout desquelles il suspend des poids réciproquement proportionnels à ces écarts. 11 cherche ensuite le centre de gravité du système. Ce centre est le lieu de la moyenne la plus probable. Ce moyen a été employé de nos jours par plusieurs géomètres , qui ont pu le trouver d'eux-mêmes; il n'en est pas moins juste d'en faire honneur à Cotes, qui paraît en avoir eu la première idée. (*)

C) Voici comment Cotes s'exprime, page sa du Traité jEêtimalio errorum : ce SU ( fïg. 49) P objtcli alicuju* ex observation* prima definitutj q, r, s ejusdemtobjeetà loca ex observa tionibus tubsequentibus ; tint insuper P, Q, R, S pondéra reciprod proportionalia spatiis e\>agationumJ per quee te dijfundere pont il U errort» tx obstryationibut tinguli* prcdeunles, quœqite dantur ex dit lu errorum limitibu* ; et ad puncta p, q, r , s posita inteUigantur pondéra P, Q, R, S, et inveniatur eorum gravitatif centtrum s : dico pttnctum 1 fore bxum objecti maxime probabilem , qui pro vero ejut loco tuùtsimè haberi potest. » Désignons par e, e' , e" , em les écarts des points observés ; par * ,y, s les coordonnées du centre de gravilé z,ct par a , b,c,a' , b', c' etc.], les coordonnées

Te P* P#

des points p, q, r, a. Les poids P, Q = -r , R= -è , S = étant considérés comme

U mtae géomètre t*.u.«rdun.^» diffé„nce, de ptoieur. ordre.. Se. règles non. ont pera obture., S

p««r. P« le — " * - '"'"^"T»! trei. pl.» «-*■** . •« —

Ton preed le. ■">=» P" ri~ ~ + (4 ,y + (e -.)'.

Zr = P»+Q4,+»i* + f'.' d'.Uleer. ..,„.,).+ Qf-ft+V—#>

drl " « «opposant dan, nos prendre, équations P = Q ~ * ~f * * * Ainsi , dire en suppôt ^^^SÏ^ Tce^e de^r pour des pou.. LTSd^rStTXece pour des poids f P^^^!

Le. équations de condition imaginées ^T^*^£™ aV|11|, d'observUion s a U tibrationde la Lune, en permetUnt de faire con <v,trlblie ^ l» perfection des

létermination des élémens inconnus, ont pu.ssamment contribué u TO . „ . i ..Jîn.lwment ramenée) a un pciu noiuu. ir-

ions finales

détermination des élémens inconnus, ont puissamment eu»»- r

l'in«4ei™»m«l>odede.plu.6r.»d.c<ieœc.cn>.iiu»r » - —

Jd ë . dW.oe*. par U néthode de. mo.edre. e«r«. de M. '

dans les recherches physique» et astronomiques les pius ox v

La caille. 45*

ont, avec celles de Briggs, cette ressemblance, que jamais les différences paires ne se rencontrent avec les impaires dans une même formule. Il cherche les demi-sommes et les demi-différences des termes intermédiaires; cette remarque et la persuasion où nous sommes que nous avons donné des formules plus commodes pour toute espèce d'interpolation f font que nous nous bornerons à indiquer ce traité aux géomètres qui pourront le trouver curieux , mais qui nous a paru peu commode pour l'astronome.

Cotes est encore auteur de quelques théorèmes dont Gauss a fait usage dans sa théorie des planètes , pour diviser un secteur elliptique en plusieurs parties. Nous les avons démontrés d'une manière fort simple et toute différente dans notre Astronomie, tome H, page i ^3.

11 a laissé imparfaites des recherches sur l'Optique, à l'occasiou desquelles Newton disait : Si Cotes eût vécu, nous saurions quelque chose. On a de lui un théorème qui porte son nom, et qui exprimeune propriété curicusedu cercle.

La Caille.

Avant d'entreprendre l'analyse des grands travaux de cet illustre astronome , nous allons parcourir les Mémoires qu'il a insérés dans le recueil de l'Académie des Sciences. Le premier de tous, aunée 1 74 1 > avait pour objet l'ouvrage de Cotes, qui nous a fourni l'article précédent. En commentant cet écrit , La Caille se propose de lui donner une forme plus appropriée aux usages astronomiques, et de marquer les précautions qu'il faut prendre lorsqu'on s en sert, et de faire voir jusqu'à quel point on peut supposer que des quantités sensibles sont infiniment petites. Aux dix-huit théorèmes que Cotes a donnés sur la Trigonométrie spbérique, sans faire ni indiquer aucune application, La Caille en a ajouté beaucoup d'autres, qui ont pour objet de simplifier et de diversifier les rapports, pour mettre le calculateur à portée de choisir les données qu'il connaîtra le mieux.

Pour premier exemple, La Caille choisit la correction du midi, donnée par les hauteurs correspondantes, que Picard, Roêmer et La Hirc trouvaient graphiquement par des échelles. Sa formule est

Différence des angles horaires = — — cot A.

La correction n'aurait donc qu'un seul terme, et ce serait un avantage, ri l'angle A au Soleil compris entre le vertical et le cercle de déclinaison n'était pas toujours inconnu. D'ailleurs, cette formule n'est qu'approximative} mais la différence est toujours si petite, que l'on peut, sans scrupuje, A sir. au 18* siècle. 58

négliger les quantité» du second ordre. Pour connaître A, il propose cette autre approximation : sin A = ^^pj l5t est l'angle horaire traversé pendant le temps employé par le Soleil à monter de la quantité dh. Le

rapport ^ est donné immédiatement par l'observation; et /:'est une attention que l'auteur n'a jamais négligée, que celle de ramener ses calculs aux données les plus directes. 11 nous assure que ces formules lui ont toujours réussi en voyage; mais nous préférons la méthode actuelle. Il est vrai qu'elle exige la connaissance approchée de la hauteur du pôle; mais elle est toujours connue autant que le peut être l'angle A par la formule approximative. Malgré ces observations, la méthode est simple et curieuse.

Au reste , voici une démonstration synthétique des deux formules de La Caille. ZA et ZB sont (fig. 5o) les complémcns des deux hauteurs égales ; AB un arc de l'almicantarat , PA ctPRlescomplémens des deux déclinaisons; la perpendiculaire BC donnera le changement de déclinaison AC=</D ; l'angle A PB ou dP sera la différence des deux angles horaires MPB ctMPA=MPA' ; nous aurons PC = PB , et BE sera la différence de hauteur des points C et E ou dh. OBC = AC tang CAB= dD cot ZAP = cft> cot A ; et , de plus , = sin BPC sin BP = dP cos 1). Donc dD cot A = dP cm D; d'où

dP — ■ <iï* cot A. C'est la première formule. Ensuite BE ou dh cos O 1

=» BC cos QBE s» dP cos D m ZBP dP cos D sin A ; d'où

__ dh dh

sin A = tït R = —. — ît; c'est la seconde formule. On voit que

tout ceci on néglige les termes du second ordre, et que l'équation est purement différentielle ; mais elle est d'une exactitude suffisante pour la correction du midi; elle serait moins bonne pour la correction du minuit.

Pour second exemple, U se propose de réduire à la distance vraie une distance apparente observée entre la Lune et une étoile. Dans le triangle formé par le «mt et.les lieux appareils de la Lune et de l'étoile } il a les trois côtés qui lui servent à calculer l'angle à la Lune, puis l'angle à l'étoile. U applique à la distance apparente observée deux corrections, qu'il obtient comme il suit :

Parallaxe — réfraction C par cos. angle à la Lune = i" correction; Réfraction étoile par <w. angle à l'étoile. a* correction.

L'opération n'est pas longue; elle pouvait paraître d'une exactitude suffitante à l'époque où il la proposait , c'est-à-dire avant ses voyages sur

LA CAILLE. 45p aujourd'hui, elle est abandonnée, parce que k différence entre la parallaxe

et la réfraction de la Lune, est parfois trop forte pour qu'il soit permis de négliger les quantités du second ordre; enfin, il n'est pas exact de dire que ce* deux corrections constituent la correction tou* entière. J'ai démontré ( Astr., tome 111, page 62a) qu'il faut un troisième terme.

Si l'on désigne par p la précession en longitude, et par A l'angle à un astre entre les cercles de latitude et de déclinaisofr, La Caille donne pour la précession en ascension droite,

d yft ■xl ^ coa A CfH ^ P coi j| cos A p cos yft tin m

Ces substitutions étaient faciles; il n'a pas aperçu les suivantes, qui sont plus heureuses. En éliminant tang A de la dernière valeur, on a

. « p»»,!» sin ce» D -f- »inD«inA\ . . .

aAX co.D V, ^i~A J = /> cos « -f-nsm etsmÂL tang D.

Cette dernière expression est la formule actuelle : elle a dcu\ termes; mais le premier /?cosa=5o"eosa»=46"est constant et commun à tdtites les étoiles; le second, 20" sin A tang D, est d'une grande simplicité, au lieil que par les formules équivalentes de La Caille, il fallait connaître l'angle A. Ou arriverait au même résultat en éliminant A et A de la première valeur de La Caille.

Pour la déclinaison, il trouve, comme nous, iDmpth » cos/rl, et l'on voit , par les remarques dont il accompagne cette valeur, qu'elle était alors inconnue en France et peut-être partout.

Il se propose ensuite de trouver l'effet que produit un changement d'obliquité sur les formules qui expriment les relations entre les ascensions droite» et les déclinaisons d'une part, et de l'autre, les longitudes et les latitude*.

Soit (fig. 5i) E une étoile, DA l'éeliptique , A il et A, sera lu latitude, DA ==L, la longitude, et que l'obliquité diminue de Al Mi ; prolonges EA en B, vous aurez cos B = cos DA sin ADB =r cos L sin J « , et B = 90* — <P* cos L à fort peu près. Ensuite, tang AB= sin DA tang ADB sc= sin L tangcTai, ou sans erreur sensible , AB = «Ta, «m L, et BE =b A + «fa» «n L. Abaisser, l'arc perpendiculaire EC =X'=b latitude nouvelle , vous afirei darls le triangle BCE, en remarquant que B diffère très peu de 90*,

sin A'= sin EB sin B = sin (A -f- itt sin L) sin B = sin A cos («Ta sin L) -f- cos A sin «f « sin L = sin A — 2 sin A sin'H^ sin L) -f- dos A sin Lslii U sin A'— sin A = eos A sin L sin & — 2 sin A sin*| {fàà sitt L>,

46o ASTRONOMIE AL DIX-HUITIEME SIECLE.

mais rinA'— 6inA=asini(A'— X)cosi(A'+^)=asini/Aco8(A-K«rA) ; donc

2 »n^A=5in .TWiiiiLjg^pgjj-a sin- ^ L) ^7^)-

La Caille lait </A = <fo sin L, en négligeant les termes du second ordre. Pour la longitude, BC = <TL, et le triangle BCE, donnera

taug «fL = tang BEcos D = Ung(A.4-<r«smL) sin «TacoaL

- J^ÇI^) . sin cos L.

t — tan g a taog ( /> un L )

La Caille fait dh = det tang A cos L; on voit ce qu'il a négligé, mais <T* n'étant que de quelques secondes, l'erreur doit être insensible.

11 dit que ses analogies peuvent servir à corriger les longitudes et les latitudes du catalogue de Flamstecd, déterminées d'après une obliquité trop forte; mais la seule menière de corriger les longitudes et les latitudes de Flamsteed, serait de recommencer en entier le calcul de ses observations, en employant les lieux des étoiles fondamentales d'après les nouveaux catalogues, en tenant compte aussi de l'aberration et de la natation; travail immense, que personne ne sera tenté d'entreprendre. On pourrait trouver des formules plus exactes que celles que propose La Caille; mais elles seraient encore plus incommodes.

Ici La Caille nous dit qu'il serait bon d'ajouter à ses formules différentielles les termes qui leur manquent; c'est ce que nous avons tenté; mais les formules se compliquent au point de n'être d'aucune utilité réelle. Cependant , il est des problèmes où ces termes à ajouter peuvent se séparer des autres, de manière à pouvoir se calculer quand on le trouve nécessaire, ou les négliger tout-à-fait quand ils sont superflus. {Voyez Aslr., tomel, chapitre XVI , page \:\? et suivantes , et chapitre XVIII, en grande partie.)

Dans le même volume des Mémoires de 1741» La Caille, en rendant compte d'une écbpsc de Lune observée par lui le 1 5 janvier 1740 à l'ermitage de Sainte-Victoire, près d'Aix en Provence, renvoie au livre de la Méridienne vérifiée, que IL Cassini de Thury vient de publier. On verra plus loin pourquoi nous soulignons ces derniers mots. ( V oy ez aussi la Base du Système métrique, tome III, page 483 et suivantes.)

Dans le volume de 174»» il donne sa méthode pour trouver le lieu de l'apogée du Soleil par deux observations éloignées de 180* l'une de l'autre, et dont l'intervalle serait à peu près égal à la demi révolution anomalistique. U y a grande apparence que La Caille n'avait pas encore lu Kepler , ou qu'il l'avait lu avec trop peu d'attention; car jamais auteur ne lui

LA CAILLE. 46i moins disposé à s'attribuer le travail d'un autre; et cette méthode est précisément celle de Kepler, ainsi que Lalande l'a remarqué avant nous. J'ai mis cette méthode en formules qui la rendent plus facile et plus claire. ( Astr. , tome II, page i58.)

Plus loin, il rapporte les observations qu'il a faites d'une comète au collège Mazarin, depuis le 5 mars jusqu'au 6 mai 174a, et dont il avait déterminé 3ç) positions en 63 jours. 11 n'avait point encore de machine parallactique; sa lunette n'était garnie que d'un micromètre de 45°. Pour en corriger )'in>clinaison , il se sert des deux formules que Zanotti avait données sans démonstration. 11 les démontre; nous les avons nous-mëme démontrées d'une manière encore plus simple. ( Astr. , tome I, page 97. )

Il tire du journal de Trévoux des observations de la même comète faites par des alignemens , et il y fait remarquer des erreurs de 4 « 5* en ascension droite et en déclinaison. 11 lui est arrivé deux fois de ne pouvoir se servir d'aucun réticule; il emploie le diaphragme en guise de réticule circulaire, et il indique en peu de mots la théorie facile de cet instrument , que , de nos jours, M. Olbers a su rendre intéressant. C'est une chose curieuse que la peine qu'il se donne pour reconnaître et déterminer, avec un quart de cercle non encore vérifié, les petites étoiles circompolaires , auxquelles il avait été réduit à comparer la comète; il donne enfin les 39 positionsen longitude et en latitude, qu'il avait tirées de ces observations.

En 1743, il faisait construire un quart de cercle de 3 pieds, qu'il dit d'une grande solidité. Occupé de celte construction et de l'arrangement de l'observatoire qu'on venait de lui bâtir au collège Mazarin , près du dôme, et sur l'un des massifs qui le supportent , il ne donne qu'un petit nombre d'observations choisies, et dit à ce sujet une vérité trop négligée : L 'Astronomie aurait fait encore de plus grands progrès qu'elle n'en a jaitr si les observateurs avaient communiqué plus souvent et plus en détail leurs observations, et s'ils ne s'étaient pas contentés d'en publier les résultats. 11 est vrai que tous les astronomes n'ont pas les moyens de publier comme ils le voudraient leurs observations, et La Caille lui-même a senti cette difficulté. Mais il a eu le courage de calculer dix années de ses Éphémérides pour obtenir d'un libraire la publication de son livre des Fondemens de l'Astronomie. Toutes les observations ne méritent pas non plus que l'on fasse les frais de l'impression ; mais il y a des observations rares et difficiles qu'on serait bien aise de retrouver , pour vérifier les résultats que l'auteur en a déduits. Ainsi, l'on regrette encore que Cassini n'ait rien publié ni même rien lai&sé de ce qu'il a observé pour la libration de la Lune.

La Caille donne ici sept observations de la comète de 1743 ; les observations et les calculs de la conjonction de Mars avec Saturne , celle de Mars avec Jupiter , les observations et les calculs d'un passage de Mercure. Par uu milieu entre huit comparaisons différentes , il trouve que Mercure a décrit une corde de a6'58" sur le Soleil ; que la plus courte distance a été de 9' a",5; après quinze déterminations de la conjonction, il trouve le noeud en ij'i5* 16' 5", et l'inclinaison, 7* a'. Les passages donnent fort bien le noeud ; l'inclinaison ne peut s'en déduire avec la même certitude.

Dans le volume de 1744 , on voit d'abord une occultation de Vénus, des hauteurs solsticiales, qui présentent un grand accord ; des comparaisons du Soleil apogée à Arcturus; des occultations des étoiles ♦ le passage du Soleil par les parallèles de deux étoiles du Baudrier d'Orion; des comparaisons de Procyon au Soleil dans ses moyennes distances ; des hauteurs solsticiales d'hiver ; le diamètre périgée du Soleil , de 3a' 43">5> de 6" pins grand que celui de Lou ville, que Le Monnier croyait trop petit, et qui parait effectivement un peu trop grand. La Caille l'avait ainsi déterminé par le passage au méridien à deux jours d'intervalle, ce qui n'est pas suffisant pour une mesure aussi délicate.

Plus loin, un grand Mémoire sur les projections en général, avec l'application au calcul des éclipses du Soleil et des étoiles. Il fait sentir les défauts palpables des projections graphiques , dans tous les cas qui exigent de la précision , comme lorsqu'il s'agit de déterminer les erreurs des tables ou la différence des méridiens. Tous les élémens nécessaires pour ces recherches étaient dès lors connus avec une précision suffisante , si ce n'est la parallaxe de la Lune et le rapport de cette parallaie au diamètre. Une meilleure détermination de cet élément essentiel a été, quelques années après, un des fruits les plus importans du voyage qu'il fit au cap de Bon ne- Espérance.

Étant donné de position un œil, un point visible et un plan, déterminer sur ce plan V apparence de ce point. C'est le problème général de la perspective. Il y emploie la méthode des trois coordonnées rectangulaires, et c'est ainsi que Lagran»c a depuis commencé son beau Mémoire sur les éclipses sujettes à la parallaxe. Comme lui, La Caille essaie les projections sur dlflcrcns plans, pour lesquels il enseigne à calculer les trois coordonnées; mais pour chaque plan, il recommence le calcul en entier, au lieu que Lagrange lait tout découler de ses premières formules.

La Caille choisit d'abord Péquateur, puis le cercle de 6* et le premier vertical 3 il se décide enfin pour un plan tangent au point de l'édiptique où doit se faire la conjonction vraie. Parla, il se rapproche de li méthode

LA CAILLE. 463 »; mais au lieu de tracer sur son plan l'orbite relative, il y place par leurs coordonnées les points qui représentent le centre de la Lune et le lieu de l'observation, Paris, par exemple. Avec ces points et les formules d'interpolation que Chr. Mayer a données, tome II de Pélersbourg, p. 180, il trouve les instans du commencement et de la fin , l'instant et la quantité de la plus grande éclipse. Si la latitude est plus considérable, comme dans les occultations d'étoiles, il enseigne les modifications à faire à sa méthode.

La seconde partie ofiire les applications numériques de cette théorie. 11 prend pour exemple l'éclipsé de Soleil du 13 mai 1706. La durée avait été observée de Il fait ses calculs pour un intervalle de , j\ qu il partage

en six autres de >.\' chacun. Pour chacun des sept instans, il cherche le heu du Soleil, sa déclinaison , son angle de position , son diamètre et sa parallaxe, le lieu de la Lune, sa latitude, sa parallaxe horizontale et son diamètre. Il ne calcule réellement qu'un lieu du Soleil el trois de la Lune. 11 en conclut les autres par interpolation. Aujourd'hui, que nous avons des tables dt m ou venu n s horaires beaucoup plus précises, noua pourrions nom contenter d'un seul lieu de la Lune. Dans l'exemple que j'ai calculé ( A str . , tome H, pages 407 ot 433), j'ai fait les intervalles de 10' au lieu de â4'.

11 donne le tableau de toutes ces quantités, indispensables méthodes ; il en conclut l'instant de la conjonction vraie e le lien du Soleil, qui sera le même que celui de la Lune.

Soient or et K les parallaxes de la Lune et du Soleil , X la latitude de la Lune, L la différence de longitude entre la Lune et le point do la conjonction ,

L = distance de la Lune à la ligne verticale de la projection; — K 5= distance do la Lune à la ligne horizontale.

Il calcule pour les sept instans ces distances de la Lune, ensuite la hau«* teur vraie h du Soleil, l'angle du vertical avec le cercle de décUnaiso* ; il combine cet angle vnec l'angle de position pour avoir l'angle À du vertical et du cercle de latitude. Aujourd'hui, nous calculons le oouagésime et m hauteur, et les parallaxes de longitude et de latitude. Dans les calcul* du nonagésime, nous pouvons nous contenter des dixaines de seconde; Ua le même avantage pour la hauteur du Soleil et l'angle A, qu'il suffit de connaît** à 10 ou i5" près. Mais il fait en dixièmes de seconde les calculs qui l'exigent.

par somme demi-diamètres Lune et Soleil = rayon pénombre. .

m cos h sin A = E =r distance du zénit de Paris au plan du cercle de latitude, qui passe actuellement par le centre de la Terre.

E -f- mouvcmept du 0 de l'instant du calcul à celui de la conjonction = distance du zénit de Paris à la ligne verticale de la projection.

4r cos h cos A =3 distance de Paris à la ligne horizontale de la projection. 11 prend pour chaque instant la différence des distances de Paris et de la Lune aux lignes horizontale et verticale de la projection. Ces deux différences sont les côtés d'un triangle rectangle ; il en cherche l'hypoténuse , qui sera la distance de Paris au centre de la pénombre de la Lune sur la projection.

Quand il a les distances du centre de la pénombre au zénit de Paris, il trouve, par son interpolation empruntée à F. C. Mayer, les temps où ces distances seront d'une quantité donnée, c'est-à-dire les temps des différentes phases; car la quantité de l'éclipsé = rayon pénombre — distance de Paris à son centre. Le diamètre du Soleil est sensiblement constant; celui de la Lune augmente avec la hauteur, suivant une loi connue. Cependant , par une distraction sans doute, La Caille nous dit, page ai3, a qu'il n'est pas nécessaire de diminuer la somme des demi-diamètres de la quantité dont le demi-diamètre de la Lune parait augmenté par son élévation. ■ C'était alors une opinion reçue que le diamètre delà Lune vu sur le Soleil parait plus petit de ia à i j" que si elle était brillante, il retranche i5" et dit que cette correction équivaut à peu près à l'autre. 11 est vrai qu'il y aura compensation à peu prés dans cette hypothèse , si la Lune a une certaine hauteur ; mais il est des cas où cette correction sera trop forte ou trop faible , puisqu'elle sera constamment de 7", 5 sur le demi-diamètre. 11 commet donc une erreur. On peut voir dans la Connaissance des Te ma de 1819, pages 349 et 353, les réflexions de Lagrange à ce sujet; mais quand il les a faites, La Caille ne vivait plus, et long-temps avant sa mort, il avait abandonné toute espèce de projection pour en revenir à la méthode de Kepler par le nonagésime.

De tous ces calculs , il conclut que sa méthode est plus géométrique et plus directe que la projection de Cassini et de La Hire, et il a raison, puisque Cassini et La Hire prenaient pour des quantités constantes la déclinaison, et l'angle du cercle de latitude avec l'arc du méridien. Il ajoute que sa méthode est la seule de laquelle on puisse obtenir la correction des tables d'après les observations. 11 excepte pourtant la correction dont la parallaxe pourrait avoir besoin ; car si cette correction était sensible , elle pourrait rendre impossible l'intersection de quelques lignes , qu'il est obligé de calculer. Aujourd'hui , quand nous cherchons l'erreur des tables par de»

LA CAILLE. 465 équations de condition, nous employons autant d'équations qu'il y a d'éléroens douteux; et nous y introduisons un terme pour la parallaxe, comme pour la longitude et la latitude, et à cet égard il a encore raison.

Il indique ensuite les moyens trigonometriques pour obtenir la distance apparente des centres, indépendamment de toute projection quelconque. De la paralluxe de hauteur, il déduit les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison, à la manière de Ptolémée; ce qui n'est pas assez exact pour la déclinaison.

11 enseigne à faire les mêmes calculs par les parallaxes de longitude et de latitude; mais quelque méthode qu'on suive, Je puis bien assurer, dit-il , pour les avoir essayées toutes plusieurs fois, quil n'jr en a aucune qui soit préférable aux autres par sa brièveté. Nous pouvons assurer , comme lui , qu'après les avoir de même essayées, nous avons reconnu que la différence réelle est peu importante, mais que tout considéré, nous donnons la préférence à la méthode du nonagésime. Quand l'avantage n'est pas évident, il vaut mieux s'en tenir à la méthode le plus universellement reçue. Dans toutes ces méthodes , il reconnaît la nécessité d'avoir égard à l'augmentation du demi-diamètre de la Lune; mais il excepte toujours sa méthode de projection par la raison à laquelle nous avons répondu.

11 montre que l'orbite apparente ne peut être supposée rectiligne, et nous pensons de même. Nous avons dit qu'il faudrait supposer une orbite apparente pour les dix minutes entre lesquelles doit se trouver le commencement ; une autre pour les dix minutes de la lin ; enfin , une troisième pour les dix minutes du milieu. Les inégalités devaient être plus sensibles avec ses intervalles de a4', et si elles l'étaient encore pour io', on prendrait des intervalles de 4, 5 ou 6' suivant les circonstances.

Pour déterminer la différence des méridiens, il fait le calcul dans deux hypothèses, entre lesquelles on a lieu de croire que se trouvera la différence véritable. Le progrès des erreurs fournira les moyens de former une troisième hypothèse, sinon exacte, au moins considérablement plus approchée qu'aucune des deux premières. 11 indique enfin les modifications nécessaires pour appliquer les méthodes aux éclipses d'étoiles.

A une inadvertence près, dont la correction serait très facile , ce Mémoire indique un calculateur, ami de l'exactitude, et qu'aucun travail n'effraie; son Mémoire précédent montrait un observateur adroit et scrupuleux, qui lutte contre les obstacles et parvient à les surmonter, quand la chose n'est pus impossible. Telles sont les qualités principales qui le distinguent, et que *ious admirerons en lui dans tous les temps et dans toutes les circonstances AsV. au 18* siècle. 5g

Le volume suivant nous offre un extrait de ses observations en 1745; des recherches sur la plus grande équation du Soleil , qu'U trouve pour cette Ibis de i" 55' 43'',a5 et 46'',5 un peu trop furie, et nous verrons daus la suite pour quelle raison. Enfin il rapporte une occultation de l'Epi de la Vierge.

Dans le volume de 17*6, il donne quelques observations et un extrait du voyage de Feuillée aux Canaries en 1734. U a refait soigneusement tous les calculs de ce voyageur.

Longitude de Cadix, o»33'a5"= 8* ai 'i5w; latitude, 36*3 1' 70. Longitude de Laguna, 1» i4'38"= i8*39'3ow; latitude, iU'a&'of.

Hauteur de Ténériffc mesurée trigonométriquement, aai3T. L'Annuaire du Bureau des Lougitudes ne lui donne que 3170 mètres. U y a donc grande apparence que la hauteur de Feuillée est fort exagérée. La Caille objecte la petitesse de la base mesurée de aioT, et les erreurs qu'on peut supposer dans les deux hauteurs observées du sommet de la montagne. Par ces raisons, il ne croit au résultat qu'à 6oT près; enlin, la base mesurée, qu'on a supposée horizontale, pouvait s'élever à mesure qu'on approchait de la montagne.

Longitude de l'Orotava, 1* i5' i",75 = i8°4y 36"; latitude, a8'a3' a";

du Pic de Ténériffe 18. 5s. 3 a8.i3.54,

du milieu de Pîle de Palma . . . . tg.46.a8 a8.36.3o.

Dans le même volume de 1746, on trouve un premier Mémoire de La Caille , sur les observations et la théorie des combles qui ont paru depuis le commencement de ce siècle.

« En examinant ce qui a été écrit sur cette matière depuis l'édition des Principes de Newton jusque vers 1743, on voit que Halley, qui avait eu beauconp de part au travail de Newton , a été presque le seul qui ait mis ses méthodes eu pratique. » Nous avons remarqué que cette indifférence avait eu pour cause principale l'obscurité du la méthode, et le peu de détails donnés par Halley dans la partie de son livre, qui eût intéressé plus particulièrement les calculateurs, a Depuis l'an 1705 , il a para entre autres sept belles comètes, dont les observations ont été publiées, et.... nous n'avons eu que la théorie de deux, qui a été publiée par firadley. » La comète de 1742 engagea les << astronomes et les géomètres à tâcher de dissiper les prétendues difficultés du calcul de la théorie des comètes , et on en vit un grand nombre qui y avaient travaillé avec beaucoup de succès. »

H y a beaucoup de politesse ou de bienveillance dans ces derniers mots de

LA CAILLE. 467 La Caille : « La comète qui a paru Fannée suivante, 1743, fit faire de nonveaux eflbrts, et plusieurs astronomes, après avoir réussi à en trouver la théorie, ont pensé à calculer celle des au très comètes qui ont paru depuis le commencement de ce siècle... Animé par tant d'exemples et pour remplir utilement les heures de loisir que le mauvais temps ne donne que trop souvent aux observateurs , jo me suis proposé le même objet, persuade qu'il ne peut être trop manie, et que rien ne donne plus de confiance aux élémens d'une théorie, que lorsqu'on remarque que les astronomes de différons pays s'accordent dans les résultats de leurs calculs. »

Si quelqu'un a su remplir ces heures de loisir qu'on voit arriver avec un déplaisir plus ou moins grand , c'est La Caille sans contredit ; et tout ce qu'il n fait dans une carrière de 23 ans, nous prouvera que jamais astronome ne fut meilleur ménager de son temps. Un avantage qui lui était particulier, et dont il paraît avoir profité seul, c'est qu'il pouvait consulter les registres de l'Observatoire de Paris, recommencer le calcul des réductions, et corriger nombre de fautes d'impression qui se trouvent dans les Mémoires de l'Académie.

11 ajoute qu'il doit rendre cette justice à Cassini et à Maraldi, qu'ils n'ont rien négligé pour nous Laisser de bonnes observations des comètes qui ont paru de leur temps. La Hire, d'après les idées aristotéliennes sur la nature des comètes, y mettait beaucoup moins d'importance. En revenant aux observations publiées dans les Mémoires de l'Académie , il a reconnu qu't/ était comme impossible de calculer les orbites, sur les observations telles qu'elles ont été publiées. Ce passage nous porterait à soupçonner que toutes les fautes n'étaient pas d'impression, comme il veut bien le dire, et qu'il y avait eu beaucoup de négligences dans les réductions.

La comète de 1729 avait été observée durant six mois; Mnraldi , qui l'avait suivie avec soin, était mort peudant cette apparition. Ses observations n'ont point paru. On n'avait que les longitudes et les latitudes que Cassini avait déduites de ses propres observations. Celte comète fut calculée par Kies, Maraldi et Delislc, qui trouvent le passage au périhélie, l'un le 33 mai, l'autre le 23 judlct, et le troisième le 35 juin. Us diffèrent entre eux de 6* et 1 r* sur le lieu du périhélie. Est-ce la faute des observations ou celle des calculateurs? La Caille croit que c'est la faute de l'orbite et de sa grande inclinaison, qui est de 77» par un milieu.

« 11 est donc absolument nécessaire , dit La Caille, que celui qui donne la théorie d'une comète, fasse connaître si son calcul en a pu déterminer les élcinens avec une grande précision. Je donnerai les marques certaines pour

cela... 11 serait fort à désirer que Halley eût ajouté cette circonstance à son

catalogue de, a4 comètes. »

La Caille a raison -, mais il en serait résulté que des a4 orbites , il n'y en avait peut-être pas une sur laquelle on pût compter. Dans ces premiers temps, il n'eût peut-être pas été bien politique de montrer trop à nu les incertitudes que beaucoup sans doute eussent attribuées à la métbode, tandis qu'elles venaient sûrement des observations. La Caille se proposait de reprendre les calculs de ces anciennes comètes ; sans doute il n'en a pas eu le loisir; il aura mieux employé son temps; on sera toujours maître de reprendre ces anciennes observations , si quelqu'une des a4 comètes vient à se remontrer.

La Caille considère les orbites comme paraboliques; il réserve l'ellipse pour les comètes dont on aurait observé le retour. 11 va exposer sa métbode. Cette métbode ayant été adoptée par tous les astronomes ses contemporains et quelqucs-uDs de ses successeurs, Lalande , Pingré , Mécbain , etc. , et expliquée dans divers traités d'Astronomie , et premièrement dans celui de La Caille, il est assez inutile de la reproduire ici. IS'ous ferons remarquer seulement que, pour cette méthode, il avait donné une forme nouvelle à la table générale de la parabole de 109 jours, et que cette table est celle qui a été reproduite avec quelques augmentations par Lalande, Schulze et Pingré, et que nous avons refaite en entier avec plus d'étendue et de précision, pour éprouver plusieurs méthodes, et pouvoir dire quelle est la plus sûre et la plus facile.

Ou est obligé d'essayer successivement d'abord avec deux observations, ensuite avec une troisième jusqu'à six suppositions pour arriver par degrés à la véritable; mais il affirme que cliacune de ces six suppositions ne peut coûter plus de i5 à 20' de travail à un calculateur exercé; ce seraient donc environ deux heures pour avoir la véritable orbite ; mais La Caille juge des autres par lui-même , et les calculateurs neseront pas tous aussi exercés que lui.

« Cette méthode se présente si naturellement, que je ne crois pas pouvoir me faire un mérite de l'avoir suivie le premier. » 11 faut cependant se résoudre à y trouver quelque mérite , puisqu'elle ne s'était présentée à aucun de ceux qui avaient calculé des orbites de comètes avant lui; et, après la lecture des livres de Halley et de Le Monnier , il faut convenir que 1 astronome avait besoin de quelque courage pour entreprendre un pareil travail.

Il se livre à des réflexions fort sages et fort instructives sur le choix des observations , sur l'arc de l'orbite qu'elles doivent renfermer, pour qu'on puisse se flatter d'avoir une conuaissance assez approchée des clémens. Nous

LA CAILLE. 469 citerons cette note : a SU arrive qu'on fasse passer précisément une parabole par trois points déterminés par des observations très exactes , on en doit conclure que le temps de la révolution périodique de la comète est très long : telle a été la comète de 1744* M ^ recommande ensuite que l'on fasse attention à la parallaxe et à l'aberration, si elles ne sont pas presque insensibles.

Enfin, pour guider plus sûrement le calculateur dans l'application de cette méthode, il donne un exemple numérique pour la comète de 17^4, où chaque opération est précédée de la formule qu'elle suppose. 11 démontre même ces • formules, quand elles ne sont pas celles de la Trigonométrie ordinaire. Les remarques qu'il ajoute, pour ne pas faire trop au hasard les premières suppositions, l'opération graphique qu'il faitsur une très grande échelle, pour avoir, par des méthodes du même genre que celles de Képler et de Cassini, des idées approximatives des distances de la comète à la Terre, sont aussi fort bonnes ; mais elles supposent qu'on ait à très peu près toutes les observa lions de la comète pendant son apparition presque entière ; on peut appliquer ces remarques aux anciennes comètes, dont on voudrait perfectionner les élémens; encore serait-il plus court de prendre le» distances dans les théories déjà publiées ; mais pour les comètes nouvelles, les astronomes sont plus impatiens; dès qu'ils ont trois observations, ils déterminent une orbite, sauf à la corriger par les observations subséquentes ; enfin , il expose d'une manière lumineuse les raisons qui l'ont porté à donner une forme nouvelle et plus étendue à la table générale des comètes de Halley, qu'il calcule de jour en jour jusqu'à 600, puis de loen 10 jours, jusqu'à 3000, et enfin de 100 en 1 00 jours jusqu'à 10000.

Ce Mémoire est, sans contredit, ce qu'on avait écrit de plus clair et de plus intelligible sur la théorie pratique des comètes, ou plutôt la seule chose intelligible qu'on eût encore présentée aux calculateurs. C'est après avoir rédigé cette doctrine si élémentaire, qu'il a pu parler comme il a fait des prétendues difficultés du problème) on peut dire qu'avant lui, ces difficulté» n'étaient que trop réelles.

Dans le volume de 1747, il donne Porbite de la comète de i%3 , qui ne se trouve pas dans le catalogue de Halley, et dont il vient de retrouver les observations faites à Zerbst, dans les manuscrits de Tycho, apportés en France par Picard ; manuscrits qui avaient été dans la bibliothèque de l'Académie, qui, depuis, ont été renvoyés en Danemarck, ma» dont on conserve à l'Observatoire de Paris une belle copie, fidèlement collationnée sur le» originaux par Bartholin , et purgée d'une quantité de fautes qui se trouvent dans l'Histoire céleste imprimée en Allemagne.

Cette comète a deux choses qui la rendent furt remarquable, sa distance

périhélie était 0,1, et son inclinaison de 88* à très peu près. Elle aurait empêche Newton de dire dans son livre dn Système du Monde , que les plans dos orbites des comètes ne doivent pas s'écarter beaucoup de lécliplique. Il en jugeait naos doute par analogie d'après les comètes et d'après les planètes qu'il connaissait.

Parmi les nombreuses observations détachées de La Caille en 1747, on trouve l'inclinaison de l'orbite de Saturne, qu'il fait de a° 39' 45"; l'ascension droite de Procyou , déterminée par la comparaison avec le Soleil; l'oppositiou de Mars, le nœud descendant de cette planète en ~js 17* 37' 1 1".

Eu 1748, il observa au collège Mazarin le Soleil dans ses moyennes distances, et la plus grande équation, i«55'35",5 plus petite de 9" que celle qui a été rapportée ci-dessus, page •;«>>, et qu'il réduit ici par un milieu à j*55'44"»5 pour satisfaire à deux petites équations qu'il avait négligées en 1 7^7- U donne une nouvelle détermination de l'ascension droite de Procyon.

Le volume de 1748, qui n'a été publié qu'en 1752, contient ensuite uu Mémoire envoyé du cap de Bonne-Espérance, dans lequel il rend compte de ses observations pour les parallaxes de la Lune, de Mars et de Vénus.

Dans le volume de 17.^9, il détermine les élénwns de la théorie du Soleil vers la lin du i5* siècle par les observations de Waltberus faites à Nuremberg. A l'occasion de la nutation de l'axe de la Terre, qui exige une nouvelle équation dans les tables astronomiques, il nous apprend qu'il avait essayé de construire, pour son usage, des tables du Soleil, déduites de ses propres observations. Nous avons vu , page 207, que Le Monnier, à qui Bradley avait communiqué cette équation, en même temps qu'il la consignait dans les Transactions philosophiques, ne pardonna jamais à La Caille de lui avoir dérobé cette équation, qu'il regardait comme sa propriété; nous avons vu, page 39G, que Cassini deTbury reproche vivement à La Caille d'avoir prétendu faire des tables d'après ses propres observations. Ainsi, l'un lui reprochait un prétendu plagiat, et l'autre à peu près le contraire.

II y a des points dans la théorie du Soleil , qu'on ne peut déterminer que par des observations déjà anciennes, et, pour cela, La Caille se rendit le plagiaire de "VValtherus. 11 refit plusieurs fois, et en entier, le calcul des observations commencées par Regiomontan et suivies par WaltheriiB de 1475 eu l5o3. 11 n'a pas eu lieu de se repentir d'avoir dévoré l'ennui d'un travail si rebutant. Par un milieu entre de nombreux résultats, il trouve l'obliquité moyenne sur la iin du 1 5* siècle a3* 39' 3a", et la hauteur du pôle , 49* a6' 25''. Par des calculs encore plus longs, il détermine le lieu de l'apogée e^mème le mouvementde cet apogée, quiserait de <>*",8parau, d'après quelques-unes de

ces observations anciennes, cju'il compare aux siennes propres. Ce mouvement paraît trop fort de a" ; mais il démontre incontestablement que le mouvement de l'apogée est réel, et qu'il n'est pas seulement celui de procession , qui ne serait que de 5o", et une très petite fraction. 11 trouve l'année de 36^5* 48'46" ; le mouvement séculaire, de o*oa • *(/ 8" ; enfin, la plus grande équation, i *54'55". Ce dernier résultat est un peu trop faible ; les autres sont d'une précision étonnante. 11 est même assez heureux que l'équation ne soit pas plus inexacte ; et si la diminution de l'excentricité n'était pas si bien démontrée par les géomètres et les observations plus récentes, on serait tenté de croire, d'après ce? observations de Waltherus, que l'excentricité serait bien plutôt croissante.

Théorie du Soleil , premier Mémoire, lu à l'Académie en i ^5o avant son départ pour le cap de Bonne- Espérance.

De bonnes tables du Soleil entrent comme élémens nécessaires dans tous les calculs astronomiques. Pour parvenir à une connaissance exacte de ces élémens, il faut employer toutes las ressources de l'Astronomie moderne. 11 ose espérer que , vu l'importance de l'objet , on lui saura quelque gré d'avoir employé un temps considérable et d'avoir fait des efforts extraordinaires pour atteindre à la plus grande précision possible dans l'état où est aujourd'hui l'Astronomie. 11 s'est fait une loi d'être toujours 1res scrupuleux dans les détails, et de ne jamais négliger les fractions de seconde; il ne s'est jamais flatté d'obtenir desélcmcns qui représentent toutes les observations à moins de 5". 11 se croirait fort heureux que les différences entre les lieux observés et les lieux calculés, n'allassent jamais à la ou i5". 11 a lieu de présumer que les différences d'ascension droite qu'il a obtenues entre le Soleil et la Lyre, sont exactes ù moins de 5"; les calculs qu'on est obligé de dire pour arriver à la longitude du Soleil , peuvent doubler celte erreur et la porter même à l5*. On ne peut être assuré de l'exactitude des quantités qu'on emploie, ni être sur qu'on ait employé toutes celles dont il eût fallu tenir compte. En effet, pour avoir la longitude elliptique, il faudrait avoir égard aux |>elitcs équations planétaires, et elles étaient alors ou inconnues ou mal déterminées. L'erreur du lieu observé peut être en uu sens différent de l'erreur des tables, et si celle-ci est de i5", la différence entre le calcul et l'observation pourra être de ao".

Voilà l'exposition exacte des difficultés de cette théorie ; voyons ce qu'il a fait pour en triompher. En 18 mois, de 17^8 à r75o, il observa plus de 5o fois la différence d'ascension droite entre le Soleil et la Lyre. Sa méthode était celle tJ es hauteurs correspondantes. On peut présumer que l'erreur possible de chaque observation n'est pas de o",5detemps>oude7",5 de degré. La somme

divisée par 5o donnera, au total, une erreur insensible, ou du moins très légère. De toutes ces observations, il tire neuf longitudes vraies du Soleil. D'après l'apogée qui résulte de ses précédentes observations, U déduit les auomalies vraies, puis les anomalies moyennes, par les formules connues. U est vrai qu'elles supposent l'excentricité, dont il a une connoissance au moins très approchée. 11 va rectifier ses suppositions d'apogée et d'excentricité. 11 suppose l'anomalie vraie 89* 5o', et donne à l'excentricité les valeurs 0,0 1 68 1 , et o,oi685. U cherche la différence d'anomalie moyenne entre deux observations du 39 mars et 6 juillet, et il trouve les erreurs — '^",9, -f- 1"; en supposant ensuite 89*40', il les trouve +3",6, — at",5. De ces changemens dans les erreurs, il conclut qu'il fallait supposer 89*41' 45", et 89°5o'a4"; et, recommençant les calculs, il trouve les erreurs -4-o,"o, et -f- o",i.

Voilà donc deux hypothèses qui représentent également bien les mouvemens vrais observés, et les mouvemens moyens qui résultent de l'intervalle entre les observations du ag mars et du G juillet. 11 reste à voir comment ces hypothèses satisferont à l'intervalle du 6 juillet au 3 octobre 1749. On voit qu'il corrige les élémens du Soleil , cotnme ceux d'une comète. Il a seulement des erreurs beaucoup moindres à faire disparaître. Les erreurs de ses deux hypothèses sont — 7", 8 et -f- a5",4 ; il fait ensuite a5",4-f-7",8ou 33",a : 7",8 :: o,oi685— 0,01681 ouo,oooo4 : 0,0000094, et l'excentricité sera 0,0168194 ;

Puis 33"a : 7",8 :: 8*39", ou différence des anomalies vraies supposées : a' a", et la première anomalie devient 89° 43' 47"; avec cette anomalie vraie et l'excentricité 0,0168194, il cherche l'anomalie moyenne; il trouve giOg'aff', et par leur différence, l'équation i°55'39"; c'est la plus grande équation, par le choix qu'il a fait des observations à l'égard de l'anomalie moyenne el de l'apogée. 11 conclut la longitude moyenne et l'époque de 1 749.

Apres quoi, par un milieu entre 1 1 combinaisons différentes de ses neuf observations du Soleil prises trois à trois , il trouve , pour le commencement de 1749, apogée = 3' 8* 38' 45" ; longitude moyenne , g'io'iS'ao"^ ; excentricité = o,oi68a4i. Il faut ôter de ces époques i4",7 pour la nutalion, et elles seront 3S8' 38' 3o", et ç^to°i5'5"^. En recommençant tous les calculs, sans avoir égard à l'équation lunaire, il trouve longitude moyenne = 9-fio°i5'i7",5, apogée = 3j"8"39'4o", excentricité =0,0168293.

Depuis Kepler, on n'avait vu sans doute aucune recherche suivie avec la môme constance, et ici les quantités ont une toute autre précision. A la vue d'un semblable travail, on conçoit que Mayer, quand il a voulu modiiùr les Tables de La Caille, ait cru ne devoir rien changer ù ces élément.

LA CAILLE. 4;3 La Caille remarque ensuite que les 1 1 déterminations différentes offrent bien plus d'accord quand il emploie l'équation lunaire, que quand il la néglige.

Sa longitude moyenne io*i5'5",7 pour 1749, surpasse de ji" celle de Cassini , de 36" celle de Halley, et de a5" celle de Flamsteed. H croit que ces différences viennent de ce qu'ils ont supposé une année trop longue et des mouvemens trop lents. Nous avons vu et discuté, page 299 , les reproches que lui adresse Cassini de Thury à l'occasion de ces 1 1".

Dans un second Mémoire lu le a3 juin 1750, l'auteur discute trois points importans de la théorie du Soleil. Par un nouvel examen des observations de Picard, qu'il compare aux siennes, il est conduit à une année de 365'5l48'40"j 3 l'a depuis augmentée. Le résultat qu'il avait tiré de Waltherus et que nous avons rapporté page 471, approchait plus de la vérité. L'intervalle entre Picard et La Caille n'était pas de 80 ans; l'autre était de 375 ans. 11 démontre ensuite la nécessité de l'équation lunaire, sans se hasarder encore à en déterminer le maximum; enfin, par un milieu entre cinq déterminations différentes, il s'arrête à i°55'4o",6 pour l'équation du centre. Le plus grand écart ne va pas à 4".

Le volume de f]5i, publié en 1755, nous donne la suite de ses observations au Cap pour la parallaxe de la Lune et la liste des fautes d'impression , qu'il a remarquées à son retour, dans les Mémoires imprimés en son absence.

En partant pour le Cap, La Caille avait envoyé à tous les astronomes l'avis suivant : « Depuis que j'ai eu l'honneur d'être reçu parmi les astronomes de l'Académie royale des Sciences, j'ai entrepris et suivi un long travail sur les étoiles visibles sur l'horizon de Paris. L'Académie ayant souhaité que cet ouvrage fut complété, en observant de la même manière les étoiles australes, et que les observations en fussent faites dans un lieu où l'on pût en même temps déterminer la parallaxe de la Lune, et à l'occasion de l'opposition de Mars périgée, et de la conjonction inférieure de Vénus, faire de nouvelles tentatives pour établir la parallaxe du Soleil; j'ai reçu des ordres du Roi pour aller passer une année au cap de Bonne- Espérance, avec l'agrément des états-généraux de Hollande. Mais parce qu'on ne peut parvenir à la détermination exacte des parallaxes que par des observations concertées et faites en même temps aux deux extrémités d'un arc du méridien, j'invite tous les astronomes, fournis des instrumens convenables, à prendre part à ces recherches si intéressantes pour les progrès de l'Astronomie et de la Navigation. Je les prie d'observer les hauteurs méridiennes des astres suivans, aux jours qui seront marqués ci-dessous, ou du moins de 4slr. au 18* siècle. 69

déterminer avec un micromètre , appliqué aune lunette de six à sept piedsf les différences de déclinaison entre ces astres, vers le temps de leur passage par le méridien, en marquant exactement le temps vrai de chaque observation,, a

Dans le vrai , l'idée de ce voyage est due à La Caille , qui en fit la proposition à l'Académie. Alors il expose la manière dont il fera ses observations, et donne l'éphéméride de celles qu'il désire qu'on fasse en Europe, pendant qu'il observera en Afrique, et il termine cet écrik par la note suivante :

« Dans un Mémoire inséré dans les Transactions philosophiques, n»348, Halley conclut que par le passage de Vénus en 1 761, on pourra déterminer la parallaxe du Soleil à un 5oo* près , pourvu qu'on observe ce passage dans certaines circonstances de temps et de lieux qui sont détaillées dans ce Mémoire. Mais, quelque déférence (pie j'aie d'ailleurs pour les sentimens de ce grand homme, cette précision me paraît absolument impossible; car quand même il arriverait , par le plus grand hasard du monde , qu'un astronome bien exercé, placé vers l'extrémité boréale de l'Aumérique, eût le bonheur de voir l'entrée de Ténus sur le disque du Soleil près de son coucher, et le lendemain , sa sortie du disque du Soleil levant, je ne puis croire qu'il lui fût possible d'en déterminer les instans à a" près , comme Halley le suppose j Ie. parce que les bords du Soleil, voisin de l'horizon , sont dans une ondulation continuelle, et que les réfractions irrégulières qu'il souffre, (ont paraître à tout moment comme de petites portions qui se détachent du disque; a", parce que le mouvement rapide du Soleil et de Vénus dans le champ dune lunette qui grossit beaucoup, rend très difficile la détermination exacte du moment du contact de leurs limbes. Mais nn fait bien constant nu dm la chose hors de doute. Le mouvement horaire apparent de Mercure dans son nœud ascendant et sur le disque du Soleil , est à celui de Vénus comme 3 à a, et par conséquent on doit déterminer l'instant du contact intérieur des limbes du Soleil et de Mercure avec plus de précision que celui du Soleil et de Vénus. Or, en 1743 , le ciel étant fort serein , le Soleil élevé de 2 3", des astronomes des plus habiles qui observèrent avec d'excellens télescopes le contact intérieur de Mercure et du Soleil, différèrent beaucoup entre eux , et la différence alla à plus de 4o" de temps ; mais puisque Vénus ne décrit sur le Soleil que 4' par heure et i" de degré en i5" de temps, comment cette seconde, àpeiue sensible dans un long télescope, sera-t-elle divisible en plus de 7 parties déterminables , comme il est nécessaire pour avoir les pbases du passage de Vénus sur le Soleil à aff de temps près? Au reste , ce (pie je dis ici , n'est pas pour m'ériger en censeur des écrits de Halley, dont j'honore infiniment la mémoire, ni pour diminuer l'idée qu'on

LA CAILLE. 475 a toujours eue de l'utilité de l'observation de ce fameux passage de Vénus j mais seulement afin que l'autorité de ce célèbre astronome ne serve pas de prétexte pour faire négliger l'occasion de déterminer la parallaxe du Soleil par les observations que je propose. M

Ces raisons étaient sans réplique, et l'événement en a prouvé la justesse. A Grecnwich, les astronomes différèrent entre eux de quantités qui allaient à 3o et même 5i", quand on compare les diverses observations à celles de Maskelyne, Dollond et Nairne, qui s'accordent à 3" près. A Paris, les différences furent deC, 8, 10 et iG". (Astr., tome II, page 495.)

Par le passage de 1769, plus favorable à tous égards que celui de 1761, j'ai trouvé pour la parallaxe des quantités qui varient de 81', 1 5 2 1 à ; >", a Joi .

La différence est de près de , ou de ^ = g environ ; mais le milieu

entre 14 déterminations est de 8",56q (Astr., tome II, page5o5). Le plus grand écart du résultat moyen n'est pas de o'',- ; la parallaxe peut être réputée connue à o*,i près, c'est-à-dire g^-gî il y a loin de là à Il est

donc démontré que si c'est avec beaucoup de raison qu'on a donne tant d'importance au passage de Vénus , il n'est pas moins vrai que Halley en avait au moins quintuplé les avantages. La note de La Caille est d'un estimateur babile et impartial. Quant à la parallaxe qu'il a trouvée au Cap , elle était beaucoup trop forte, puisqu'il la faisait de 10". Cassini avait mieux rencontré; mais c'était par un grand basard, et il n'a jamais publié ses observations; en sorte que si la parallaxe de La Caille était moins bonne, elle était du moins bien mieux établie. Il en était de la parallaxe de Cassini comme du degré de Fernel. La Hire, sans répondre de rien, la faisait de 6"; La Caille, de io"j Cassini, de 9",5; somme, a5",5, tiers, 8",5 environ, ce qui approebait beaucoup de la vérité, mais n'offrait aucune garantie.

Le volume de 1 75a offre la traduction d'une lettre de Bradley à Delisle ,' à qui il envoie les observations qu'il a faites à Greenwicb pour entrer dans les vues de La Caille. On y voit cette remarque importante déjà rapportée ci-dessus, que la correction de coUimalion du mural est de 4', et que l'arc de 90" à Grcenwicb a été trouvé trop faible de 16", ce qui fait 1" sur un arc de 5" 42'» On y voit aussi que Bradley observait alors les différences d'ascension droite, tantôt à la lunette méridienne de 8 pieds, et tantôt à son quart de cercle, ce qui était moius sûr, quoiqu'il nous assure que son quart de cercle donne exactement ces différences , quand les astres diffèrent peu en déclinaison; ensuite on trouve buit pages d'observations.

Plus loin 'sont les observations faites au collège de Mazarin , partie en 1749 et partie en 1700. La Caille y donne les détails suivans sur son observatoire. Celui qu'il avait précédemment, était trop petit pour contenir tous ses instruirons, et trop susceptible des variations de température, par le peu d'épaisseur des murs et du toit. Le nouvel observatoire, détruit par un architecte qui n'avait pas eu l'attention de nous en prévenir, quand il fut chargé d'arranger le collège Mazarin pour l' Institut , était sur l'angle qui joint la face méridionale de la chapelle avec la face occidentale, au-dessus des voûtes. 11 était composé de deux salles. La principale avait 14 pieds de long sur 10 de large ; elle était entourée de murs de plus de 2 £ pieds d'épaisseur, et couverte par une terrasse épaisse de 18 pouces. Au milieu de cette terrasse , était une ouverture circulaire de 6 pieds de diamètre , couverte d'un toit tournant, au moyen duquel on pouvait observer dans tous les azimuts. Le quart de cercle de 3 pieds de rayon était sous ce toit, et il était porté sur un cube de pierre de taille de 3 pieds de côté. ( Ce quart de cercle lui servait le plus ordinairement à prendre des hauteurs correspondantes. ) A côté de cette pièce il y en avait une autre de i5 pieds en carré, dans laquelle, à son retour du Cap , il plaça son sextant de 6 pieds. Son quart de cercle donnait les hauteurs trop grandes de 8". 11 ne pouvait nous dire encore où était sa luuelte méridienne, qu'il n'a placée que vers l'an 1760. Autant que je puis me rappeler, elle était voisine du sextant ; mais ce dont je me souviens très bien, c'est que tous les murs à l'intérieur étaient peints en noir; ce qui lui facilitait une mauière d'observer que lui seul a pratiquée, et dont il sera fait mention ailleurs.

Plus loin , on trouve un troisième Mémoire sur la théorie du Soleil , qui a été lu en 1755 à son retour du cap de Bonne-Espérance, où il pouvait observer le Soleil avec plus de précision qu'à Paris par les hauteurs correspondantes; car le mouvement en hauteur au Cap est plus rapide, et les meilleures observations du Soleil s'y font vers son périgée et vers le tropique du Capricorne, tandis qu'à Paris , ces observations sont les moins sûres de toutes.

Par ses observations du Cap, et en employant l'équation lunaire, d'après Euler, d'Alembcrt et ses propres observations, il trouve pour le 1* janvier 1752, l'apogée en S' 8*45' 1 3" plus avancé de 3'Jqucpar la détermination ci-dessus, page 472* L'époque de la longitude moyenne g* 10' 3\' 16" ,6 plus avancée de 1", et l'excentricité 0,0168101 plus petite de 0,000m \- enfin, l'équation i"55'35", et par les observations , indépendamment de toute hypothèse 55' 36",5. On peut remarquer son attention continuelle à vérifier des résultat» qu'il aurait pu regarder comme sufftsammen t établis.

LA CAILLE. 4-7 Les observations de La Caille à L'Ile de France se trouvent dans les Mémoires de 1754. On y voit un passage très détaillé de Mercure, le passage de Mars par sou noeud, la hauteur du pôle 2o'9'4V,5 , l'obliquité 33" a8'i5",6 eu i753,la longueur du pendule ZCT-fjS6\ à Paris, au retour, W8U}55. Borda trouva depuis la même longueur exactement (*).

On trouve plus loin diverses observations faites dans, le cours de ses tra-

(*) La Caille a fait des expériences du pendule au cap de Bonne-Espérance, au port Louis de l'Ile de France, et à Paru au collège Mazarin, en se tenant du même appareil, et en opérant, toujours de la même manière. Son pendule se composait d'un poids en cuivre de 7 gros 64 grains, suspendu à un Gl de pire très délié, dont l'extrémité supérieure était retenue dans une pince à ressort solidement attachée à la muraille. Ce poids était formé de deux cônes tronqués, joints par leur plus grande baie : le diamètre de cette base, et la hauteur du double tronc, étaient précisément de 10 lignes : le diamètre delà partie tronquée , était seulement de i",jo. Il avait une règle de fer dont les extrémités étaient trempées et taillées en biseaux ; pour vérifier et retrouver au besoin sa longueur exacte de 3 pieds 3 lignes , il l'avait marquée par deux points sur la toise de fer qui a servi à la mesure de ses bases. Quelque temps avant de commencer les expériences , La Caille suspendait le poids au fil de pitepour qu'il eût le temps de prendre son extension. Il lui donnait toujours une longueur de 3 pied- 3 lignes , au moyen de la règle en fer qu'il plaçait entre la pince et la petite base supérieure du double tronc. La distance de la pince ou du point de suspension au centre de gravité du poids , se trouvait ainsi de 3 pieds 8 lignes ou 44° lignes. Pour avoir la longueur du pendule simple synchrone au pendule d'expérience, il faudrait appliquer à cette dUtance la réduction du centre de gravité au centre d'oscillations, même en ayant égard au poids du Gl. Mais cette réduction, qui ne va pas à a centièmes de ligne , est toujours la même ; on peut donc la négliger dans des expériences où il ne s'agit pas d'obtenir exactement la longueur absolu» du pendule à seconde dans chaque station, mais bien des longueurs qui soient comparables entre elles. Le pendule était placé à côté d'une horloge bien réglée par les observations astronomiques : La Caille le mettait d'accord avec le pendnle de l'horloge, et il comptait combien il perdait ou gagnait d'oscillations par rapport à l'horloge dans un temps qui était ordinairement de i*±à i*^. Il remettait le pendule d'accord avec l'horloge, et faisait une nouvelle comparaison de même durée. Plusieurs comparaisons de ce genre donnent l'avance ou le retard du pendule dans un temps assez long; on en déduit l'avance ou le relard pour la durée du jour moyen â l'horloge, et par conséquent le nombre d'oscillations du pendule dans un jour moyen. La Caille donnait toujours un pouce ou environ i°î d'étendue de part et d'autre de la verticale aux vibrations du pendule au commencement de chaque comparaison. La correction d'amplitude serait d'une oscillation et demie environ à ajotitor aux oscillations en a4\ et produirait un alongement de o",oi5 dans le pendule simple ; mais elle est sensiblement constante; on peut donc la négliger comme la réduction du centre de gravité au centre d'oscillations. La Caille n'a publié dans le* Mémoires de l'Académie de 1761 et 1754 que quelques

versées de France au cap de Bonne-Espérance, et aux iles de France et de Bourbon. Ce sont de nombreuses observations de l'inclinaison, et de la déclinai* son de l'aiguille aimantée; la longitude et la latitude de Rio-Janéiro ; description de l'Ile de France; positions des points remarquables de cette île; longi-

expériences du pendule; j'ai été curieux de calculer toutes celles que j'ai trouvées dan» aes registres déposés à l'Observatoire , et je les ai rassemblées dans le tableau suivant.

des

LiCBaL

LaticuJc.

Jour des

expoiencci.

Rc

Kl

a JT

loctio