B COS X COS X

::cosAtangx— sin A : 771 cos B tang x — — g-^^f d'où n cos A tang x — nsinA = wcosB tang x — sin B (ncosA — mcosB) tangx— «sin A=— sinB

nsin A / sin B \co».y.

aD8 ncosA— tocojB vicosA — mcosB/ cosx'

ou pour abréger,

w= (^W-Tg*)

=6*(I-f-tang'x— Wtang'x^A'ti-Hi— m')tang'xl i+^'tang'x^^+A^tang'x, tang'x — i^lang'x — aa tang x-f-a» = 4%

tane'x- (l^y) (7=SpT 5=8 ^v^w^*

tangx = + =fc ,1^ T=5y

les formnles de ce problème seront donc

nsin A tang A » sinB

a ncosA — mcosB m cosB' ncosA — mcosB'

,"r"n"co7A

taaggaa p; , sinr=msinx, u=x — A, z==r — B,

et tout sera connu.

Voyons l'usage que fait Crégory de son singulier problème.

On a observé les deux distances apparentes d'un astre au zénit avec les azimuts correspondans; on demande la parallaxe de cet astre.

L'astre étant en L, on a observé ZN etPZN (fig. 10).

Quelque temps après, le zéuit étant descendu en Z', on a observé la dislance Z'M at l'azimut PZ'M.

On aura donc PM ; et nommant <w la parallaxe horizontale ,

sin ZN : sin Z'M :: sin «■ sin ZN : sin w sin Z'M :; sin LN : sin L'M :: sin LMN : sin LNM,

i : :: sin(PMN— PMZO : «in(PNM— PNZ)

:: sin PMNcosPMZ1— cos PMNsinPMZ' : sin PNMcosPNZ — cos PNM sin PNZ,

nss Sl£i u=*-A=PMS-PMZ', i : n :: sin x cos A — m A cos x : sinj'cosB— ainBcosj", *=PMN, ^PNM, PMZ'=A, PNZ=B, as=/ — B=PNM — PNZ,

sinPMN : sin PNM sinPN : sinPM :: 1 : gj^fg ! 1 : «» On a donc w et n (oui, si l'on connaît les deux distances polaires de l'astre). On connaît A et B ; on aura x et y ; on aura H et s , L'MN et LNM ; on aura MN; car on a ZTM, ZPN, ZPM -f- ZPN sa ZPZ'-f- MPN; on a donc MPNetMN.

Avec le côté MN et les deux angles sur ce côté, on connaîtra Ma et Na , qui seraient les parallaxes de hauteur, si l'astre eût été immobile à a , sans aucun mouvement, ni en ascension droite ni en déclinaison (ce qui eût été bon à peu près pour l'étoile de 1572, qui n'avait d'autre mouvement que celui de précession , mais ne saurait convenir a aucune comète ni à aucune planète, ni surtout à la Lune). Avec les deux parallaxes de hauteur et les deux distances au zénit , on aurait la parallaxe horizontale.

Grégory ne donne ni ces explications ni ces formules. Après avoir calcule les deux triangles ZPN, Z'PM, et avoir déterminé PMN et PNM, il cherche MN; il peut donc calculer Ma et Na, mais non ML' et NL.

Si l'astre avait un mouvement en déclinaison , on pourrait le connaître par deux passages consécutifs au méridien; on pourrait connaître, au moins à peu près, PM et PN. Grégory ne dit rien non plus du mouvement eu ascension droite, ni des parallaxes d'ascension droite, qui rendent le problème insoluble.

En effet, pendant que le zénit va de Z en Z' , supposons que l'astre ait été de L en V;

PZ, ZN et PZN donneront PN, PNZ et ZPN, comme PZ', Z'M et PZTtf donneront PM, PMZ' et Z'PM. On aura MPN = ZPN -f- Z' PM — ZPZ' j

on calculera PNM , PMN et MN , ZNM as PNM — PNZ ;

Z'MN = PMN — PMZ' , «MN = Z'MN , et aNM = ZNM ; on aura Ma et Z'a, Na et Za, ainsi que l'angle a.

Mais MPN = L'PL -f- LPN -f L'PM = mouv. propre -f- somme des deux parallaxes d'ascension droite.

*w 1 1 y n i «r»înZN*inPZPf . w sin Z'Msia PZ'M

mpn = p — g— 1 jj—jj — .

Supposons fi. connu par les deux passages au méridien,

(P— ^)siiiPNsinPM=^sinZNsmPZNsinPM+wsiiiZ'MsinPZ'MsinP>)

_____ (P-^Qsin PXiinPM

0t 'ar"~ sin PM ain ZN sin PZN + sin PNlinZrM sin l'Z'M'

Cette valeur suppose le temps écoulé entre les deux observations, qui d'ailleurs est nécessaire pour avoir l'angle ZPZ'. Crégory n'en fait aucune mention. Sa solution incomplète, ne peut être un peu améliorée qu'en introduisant celte donnée de plus. D'ailleurs, nous avons remarqué que les passages au méridien ne donneraient les distances polaires qu'affectées des parallaxes méridiennes. La solution ne serait donc qu'approximative; et, après avoir obtenu une valeur première de <sr, on en conclurait les valeurs plus approebées de PN et PM , et l'on recommencerait tout le calcul.

L'erreur de la supposition de Crégory est de réunir au point a les trois sommets du petit triangle L'aL ; les parallaxes Ma et Na seraient trop fortes; <sr serait donc trop forte; elle pourrait être trop iàible si le triangle avait une autre disposition.

Dans le problème suivant, Crégory supprime un azimut pour y substituer le temps écoulé qu'il aurait dû supposer connu même dans son premier problème; ensuite, il conserve les deux azimuts et le temps, et supprime une des hauteurs. Notre formule prouve que les cinq données sont également indispensables. Ces problèmes sont donc de la même nature que ceux de Digges et de Dee, et quelques-uns de Rcgiomontan; ils ne peuvent être considérés que comme des exercices de calcul , qui ne donneront que des valeurs grossières et incertaines. Ses règles pour les parallaxes de longitude et de latitude sont celles de Ptolémée. Le chapitre des réfractions n'offre rien que de très vague et de très commun. Jusqu'ici nous n'avons rien rencontré dont l'Astronomie puisse tirer le moindre parti.

GRÉGORY. «9 Le troisième livre a pour objet la théorie des planètes. Il détermine l'anomalie excentrique par une série qui est en fonction du sinus verse.

soit | = ^Znl7È;™lTiqa*> R = r*y°n du ccrcIe excentrifFe»

. „ w demi-circonf. P. M

x= sin verse de l'anomalie excentrique, M=-= eicentncû— > a==v + q*

il en conclut

ou, suivant Fcdition de Genève, laquelle parait en erreur au second terme, Ra* R«a Ra* Ra6

Je n'ai pas refait le calcul du retournement de la série. L'auteur avait donné cette expression dans son Traité de la d îtncnsion des figures j on pourra consulter cet ouvrage, si l'on veut en prendre la peine, pour une série insuffisante et tombée en désuétude.

IJ donne de grands éloges à l'hypothèse de Seth-Ward , qu'il ne regarde cependant que comme une approximation. Elle avait été donnée comme exacte par le comte Pagan, qui n'en faisait usage que pour faciliter le calcul de l'anomalie vraie.

Examinant ensuite la Cassinoïde, il fait voir qu'elle n'est d'accord ni avec la Physique ni avec les phénomènes.

La manière dont il démontre que le foyer supérieur n'est pas le centre des

Par les foyers G et F, menez les perpendiculaires FL = GM, puis menez la diagonale LG et la corde LM (fig. 1 1).

Si la planète est enL, l'angle AFL =90° ; si AFL est l'anomalie moyenne, LGA sera le quart de l'ellipse , ou la moitié de la demi-ellipse ADB j on aura

LAG = LDBG , mais aire AFL = aire BGM,

triangle GFL = triangle LMG ;

donc AFL -f- GFL=sect LG A=BGM-f-LMG=sect LGB — segLDMa; donc il est faux que LGA soit le quart de l'ellipse ou l'anomalie moyenne.

Cest ici que s'arrête Grégory. 11 aurait pu ajouter,

Soit LGA <i de l'ellipse, LGi le secteur décrit en un nombre n de jours ;

7o ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE.

il sera proportionnel à ce nombre de jours. Le secteur AG£= AGL — - LGJ sera donc trop petit pour le nombre de jours écoulés de A en b, et le secteur AGB trop grand pour le temps de b en B.

Nous avons donné , tome II, Histoire de l'Astronomie moderne , pape 1 5 1, l'expression exacte de la différence entre l'angle AFb et l'anomalie moyenne. Pour trouver l'instant du solstice , il suppose que dans les jours qui précèdent et qui suivent, les variations de déclinaisons, sont comme les carrés des temps; ce qui n'est qu'approximatif. 11 en conclut que l'arc décrit pendant quelques jours diffère peu d'une parabole , et il se sert de celle courbe pour déterminer l'instant du solstice par trois observations. Nous montrerons plus loin que, duus celte supposition, il suffirait d'une formule algébrique fort simple ; mais ce serait supposer l'obliquité parfaitement connue et les latitudes du Soleil absolument nulles; et alors on aurait une solution bien plus simple par l'une des tables que j'ai données de la différence de la déclinaison ù l'obliquité pour les i5 ou 18 jours qui précèdent ou suivent le solstice, line déclinaison suffirait pour donner la distance au solstice, soit sur l'écliptique, soit sur l'équateur ; cet arc converti en temps par le mouvement vrai du Soleil, donnerait l'instant du solstice, et l'on aurait ce temps autant de fois qu'on aurait de déclinaisons observées; on prendrait le milieu entre toutes ces déterminations. On peut, dans notre métbode , tenir compte de la latitude du Soleil ; on aurait beaucoup mieux avec moins de peine. Au reste , Grégory nous avertit que cette solution est de Halley ; et cet exemple nous prouve qu'au temps de ce grand astronome , la science du calcul laissait encore beaucoup à désirer.

Pour trouver l'excentricité et l'apbélie, il se sert de l'hypothèse elliptique simple, et donne la solution que nous avons analysée à Parlicle Cassini. Il indique ensuite quelques corrections ducs à l'inexactitude de l'hypothèse; mais ces corrections sont peu sûres. Avec une connaissance approchée de l'excentricité et de l'aphélie , on pourrait calculer la différence entre les inouveuiens moyens, et les angles au foyer supérieur, par la méthode que nous avons indiquée (Histoire de l'Astronomie moderne, tome II, page i5i). On corrigerait ainsi les angles au foyer, et l'on aurait des résultats plus exacts; mais nous avons aujourd'hui des moyens préférables.

Sa méthode pour trouver les nœuds est celle que nous avons vue à l'article Boulliaud. Sa méthode pour dépouiller de la seconde inégalité une longitude observée d'une planète, ressemble aux méthodes de Ward, et n'est bonne que dans un livre de Géométrie.

11 trouve la révolution périodique par les passages aux nœuds. En exposant

GRÉGORY. v cette méthode dans notre Astronomie, nous nous étonnions qu'elle n'eût été indiquée par aucun astronome. Grégory l'avait trouvée avant nous.

Après plusieurs théorèmes pour construire l'ellipse en certains cas, il se propose de la trouver par trois rayons vecteurs et les deux différences de longitude. Nous avons, pour ce même problème, nombre de moyens beaucoup plus commodes. Voyez le tome H de notre Astronomie. Ses remarques sur les stations et les rétrogradations, très bonnes pour donner l'intelligence des phénomènes , n'offrent rien qui puisse en faciliter le calcul.

La conjonction de deux planètes ayant été observée en deux lieux connus, il se propose d'en conclure la parallaxe. Ces parallaxes sont généralement si petites, que l'on pourrait s'y tromper seusiblement. Sa méthode n'est encore qu'un exercice trigonomélrique : considérons-la sous ce point de vue.

Il suppose qu'à l'instant de la conjonction vraie de deux planètes L et E, en deux lieux, dont les zenits sont A et B, la planète L ait été vue en O, et la planète E en M , dans le lieu A ; en N et en P dans le lieu B ( lig. i a ) .

Remarquons d'abord que, pour convenir de l'instant où il faut observer les deux planètes, il faut savoir bien exactement le temps de la conjonction ; qu'il faut pour cela de bonnes tables; que ces tables donneront les distances à la Terre, et par conséquent les parallaxes , si celle duSoleil est bien connue ; qu'ainsi , ie problème serait inutile. 11 suppose donc tacitement que la parallaxe du Soleil est inconnue.

Il mène les arcs de grand cercle LE, OM, NP. Il suppose qu'on ait mesuré au micromètre ou autrement les distances apparentes NP et OM ; ce qui est possible absolument, et en même temps les angles PNB, NPB, AOM et AMO, ce qui est bien plus difficileet beaucoup moins sûr. La théorie des deux planètes est suffisamment connue pour que l'on calcule leurs distances à la Terre et les hauteurs; on aura, avec une exactitude suffisante, les rapports des sinus des arcs LN, EP, LO, EM. Ainsi, un seul de ces arcs étant connu, on aura tous les autres. Accordons-lui encore ce point. 11 est sûr qu'on aura le rapport ^1^5 > et le rapport ^-j^fp h? rapport approché des distances donnera le rapport approché des parallaxes horizontales de L et de E.

Du point P sur BN prolongé, menez la perpendiculaire PR.

Dans le triangle rectangle PNR, vous connaîtrez PN et PNR ; vous calculerez NR , PR et l'angle RPN. Vous aurez donc

RPE = RPN -f- NPE = RPN -f- NPB.

Prenez sin LN pour unité, vous aurez le rapport sin LN et sin NR; vous aurez sin LR, qui en est la somme.

Dans le triangle rectangle LPR avec LR et PR , vous trouverez sin LP et sin LPR.

Au moyen des deux sinus de LPR et de EPR, vous aurez

sin LPE = sin (RPE — RPL).

Du point L abaissez LT, perpendiculaire sur BP. Dans le triangle rectangle PLT, d'après les sinus de LP et de LPT, vous calculerez sin LT et sinTP; et enfin, dans le triangle ETL, par les sinus de LT et TE, vous aurez sin LE.

Trouvez de même sin LE par ceux de LO et LM , exprimés en parties de LN , vous égalerez ces deux valeurs. 11 en résultera une équation , de laquelle vous tirerez la valeur de LN, et le problème sera résolu sur le papier; mais n'est-ce pas une moquerie de proposer de pareilles méthodes à un astronome?

Si Ton choisit deux lieux tels que les deux planètes y soient vues dans un même azimut, le problème sera celui que Jacques Grégory avait résolu dans son Optica promota. Il en résulte que Jacques et David étaient aussi peu astronomes l'un que l'autre.

La conjonction de deux planètes ayant été observée dans le même lieu , en conclure les deux parallaxes (fig. i3).

HO est l'horizon, EC l'écliptique, SV le mouvement relatif qui doit les mettre en conjonction , AB le mouvement apparent qui aura lieu en même temps; SV est connu par la théorie, AB par l'observation. On connaîtra la différence de ces mouvemens aux points A et B j élevez les cercles de latitude AD et BF, qui rencontrent en D et en F les deux verticaux ZH et ZO, SA et BV seront les parallaxes de lonjptude.

SA SD cos S / SD \ cos S / SD \ / i — gin* S \*

hV — VFcoW = \yf) CÔTV ~~\Yf) \ i — »in»V/ •

La solution pouvait donc se renfermer dans deux formules fort simples. L'auteur la délaie en expressions de la Géométrie grecque; et, pour finir, il prend Mars pour Tune des planètes; à l'autre, il substitue une étoile fixe, et conseille les observations de Mars acronyque, ou même les passages de Mercure et de Vénus. 11 aurait di\ se borner à ces deux dernières lignes.

L'auteur se propose ensuite ces deux théorèmes de Newton.

Trouver le rapport de la matière qui est dans le Soleil, à celle d'une planète qui ait un satellite, et trouver le rapport des densités du Soleil et de la planète.

C'est la solution de Newton , présentée d'une manière simple et méthodique, qui eût encore été plus claire, si, comme partout ailleurs, l'auteur

ne s'était pas interdit l'usage des équations et des formules. Ccst toujours le style d'Apollonius.

Dans le problème de la figure de la Terre , on trouve un commentaire de la méthode de Newton, et la mention d'un pendule invariable, qu'on porte en diflerens lieux , pour suppléer à l'expérience qu'on ne peut faire au pôle même. Grégory n'a point aperçu l'erreur, remarquée depuis par Clairaut, sur Faplatissemcnt, dans le cas où la densité croîtrait de la circonférence au centre.

Pour trouver la parallaxe des étoiles, il propose celte observation (fig. i4) : Choisissez deux étoiles C et D, peu éloignées du pôle de l'écliptique ; vues en A, leur distance angulaire sera CAD; vues de B, six mois plus tard, elle sera CBD ; D, qui avait la moindre latitude, aura une latitude plus grande que celle de C : la preuve du mouvement de la Terre serait alors incontestable. Le malheur est qu'on n'a pas encore trouvé ces deux étoiles.

Si la différence de parallaxe n'est que d'une seconde, il faudrait qu'avec une même longitude, les étoiles ne différassent que d'une seconde en latitude ; alors elles se confondraient. 11 faudrait que les grandeurs fussent assez différentes pour que l'on pût reconnaître sûrement les deux étoiles, malgré leur changement apparent de position. 11 ne serait pas impossible qu'il y eût deux étoiles D' et C, qui , vues de B, se confondraient, et, vues de A, différeraient en latitude de l'angle CAD7.

11 propose ensuite une étoile près du pôle de l'équateur ; il cite les observations de Flamsteed, qu'il trouve peu concluantes; et quoiqu'il n'en indique pas le défaut, qui était d'attribuer à la parallaxe l'effet de l'aberration , qui n'est pas le même , il se range à l'avis de Copernic, que la parallaxe doit être insensible. Au reste , l'existence d'une parallaxe réelle pour quelques étoiles est devenue bien moins intéressante depuis que nous avons dans les phénomènes de l'aberration des preuves bien plus sensibles, plus certaines et plus multipliées du mouvement annuel de la Terre.

Les rayons solaires qui éclairent une planète sont aux rayons qui en éclairent une autre, en raison doublée des cordes des parallaxes horizontales du Soleil vu de l'une et de l'autre planète ; ou, ce qui serait plus clair, en raison doublée et inverse des dislances.

11 veut ensuite qu'on tâche d'estimer la distance de Sirius par la comparaison de sa lumière à celle de Jupiter. 11 convient cependant que la distance trouvée de celle manière serait trop petite. 11 propose ensuite de diminuer la lumière du Soleil jusqu'à la rendre aussi faible que celle de Sirius. L'idée n'était pas neuve, et elle n'avait rien produit.

Astr. au i8« siècle. io

;f ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE.

Le livre IV traite des satellites , dont la théorie était entièrement ignorée avant Y heureux Newton, antè felicissiinum Newtonam. La grange n'est donc pas le premier qui ait eu cette idée de Newton. C'est donc le livre des Principes qui va lui fournir la matière de ce livre. Au lieu d'en donner ici l'extrait, nous aimons mieux renvoyer lc^lecteur aux Mémoires de Lagrange et de La place.

Pour appliquer cette théorie à la Lune, il croit qu'il faut d'abord déterminer la parallaxe de notre satellite; et comme nous ne sommes pas situés convenablement pour la trouver par les mêmes moyens que Ptolémée, il propose le moyen suivant. Nous verrons pourtant que celui de Ptolémée n'a pas réussi trop mal à Lemonnier.

Dans une éclipse de Lune , à l'instant où la ligne des cornes est parallèle à l'équateur, observez la hauteur apparente, et, par le moyen des étoiles voisines, son ascension droite et sa déclinaison apparente; vous serez sûr qu'en ce moment l'ascension droite de la Lune et celle de l'ombre seront les mêmes.

Soit ZAS (fig. i5) le vertical de la Lune, V le lieu vrai, A le lieu apparent, PVD, PAB, les cercles de déclinaison , YD marquera l'ascension droite du centre de l'ombre = i8o°-f- A Oj YB l'ascension droite apparente, BD la parallaxe d'ascension droite.

Connaissant les trois côtés du triangle APZ; vous en déduirez ZAPj alors dans VAP, ayant les deux angles VAPet VPA, avec le côté AP; vous calculerez A Y = parallaxe de hauteur, d'où vous tirerez la parallaxe horizontale.

Nous ne savons pas qu'aucun astronome ait jamais employé cette méthode. Lacaille, qui avait bien lu Grégory, et qui a beaucoup travaillé sur la parallaxe, n'en fait pas la moindre mention.

En commençant à parler des diverses inégalités de la Lune, il rend à Halley ce témoignage qu'il a le premier sépare de l'équation du temps la partie qui véritablement appartient à la Lune. Mais dans notre article de fïalley , on verra que ses idées à ce sujet étaient encore un peu incertaines, et Newton nous paraît le premier qui, éclaircissant les idées d'Horrockes, ait donné l'équation qu'on nomme annuelle; nous verrons que Flamstecd avait eu l'idée de cette séparation , dont il s'est abstenu uniquement par respect pour la mémoire d'Horrockes. Flamsteed aurait donc conçu le premier la véritable équation , et Newton l'aurait seulement fait découler de sa théorie.

Lemme. On connaît CB et ED ( fig. 1 6 ) , et l'arc BD s= a.

On connaît les angles CB A, EDA; on demande l'angle A= inclinaison du cercle ACE sur l'arc A BD.

Abaissez les perpendiculaires CP, EQ , faites AP = x , vous aurez

sin CP = sin BC sin B ,' tang BP = tang BC cos B = tang b. sin EQ = sin DE sin D , tang QD = tang DE cos D = tang c , tang PC = tang A sin AP = tang A sin tang QE = tang A sin AQ = tang A sin (AP -4- PQ)

= tang A sin(ar-f-PB4-BD — DQ)=tangA ain(.r-f-«-f.* — c)

tangQE tang A ain(x-f- a + b—c) ain xcoaÇa-f-^ — c)+co» xsin(a-f-6 — c)

rang PC ~ tangAsiox «in x

= cos(a-f-& — c)-f-sin(«-f-^ — c)cot x.

De cette dernière équation on tire

t x, on aura

tane A = tang K = tangQE .

B —* ain x *in(x -f- a -f b — c) '

on peut encore trouver x et puis A comme il suit :

tang QE : tang PC :: sin(jr -f" " + ' — c) : sin x, tang QE -f- tang PC : tangQE — tang PC :: sin^r-f- a -f. * — c) -f- sin x : sin(x a •+■ b — c) — sin x,

sin (QE 4- PC) : sin (QE - PC) : : tang (* + : tang (S±|=£ ) ,

avec or on obtiendra tang A comme ci-dessus.

L'auteur mène les deux obliques CD et BE; il a donc cos CD=cosBC cos BD+sin BC sin BD cos CBD; sin CDB »£j£gg^5g.

Alors le triangle DEA donne

cos A = cos DE sin DEA sin EDA — cos DEA cos EDA ,

après avoir trouvé DEA = DEC pr les côtés CD, DE, et l'angle pris CDE= EDB — CDB.

Cette solution est beaucoup plus longue et 1 deux précédentes.

Ce problème , dans sa généralité, ne sera pas d'un usage bien fréquent. Si les angles CBA et EDA étaient droits, on aurait £ = c=o, CPs=CB, QE == DE, et la solution serait considérablement abrégée. Grégory l'e plaie dans sa tbéorie des comètes.

7r, ASTRONOMIE AU DIX-HUITIEME SIECLE.

Ce lemtne est tout ce que nous avons trouvé de neuf dans la théorie de l'aulcur pour les éclipses de Lune. Avant d'exposer celle des éclipses de Soleil, il pose cet autre lemnie.

Soit T le centre de la Terre (flg. 17), S, celui du Soleil , QM l'écliptique, $L l'orbite de la Lune; menez ML, LT, SLV; LTS est supposé égal à la parallaxe horizontale de la Lune; S sera (ou pourra passer pour) la parallaxe horizontale du Soleil.

LTS H- TLV = parail. hor. <£ •+■ parall. hor. Q=s «■ -f-w ;

mais TMV diffère très peu de TLV;

donc TMV = «a- -f- 7t.

La démonstration de l'auteur est assez entortillée. 11 suppose très gratuitement que si LTS est la parallaxe de la Lune , S sera la parallaxe du O-

A cause de la petitesse des angles , on peut à la vérité supposer que

STL : S :: SL : TL, ou <r : S :: ^ -i : i :: : l- :: : 1 ou S=^=^ = * + yrÇ) + TrÇ)'+etc. = *,

du moins sensiblement. Il dit encore que LM = £ diamètre de la Terre. L'arc LM = LTM = parallaxe horizontale de la Lune. Ce qui l'a engagé à chercher cette expression, c'est qu'il prend pour rayon de projection la parallaxe de la C ou au heu qu'ordinairement on prend (<tr— *) pour ce rayon.

Pour déterminer les lieux qui verront l'éclipsé, il calcule la projection ù peu près comme La Ilire, par la Trigonométrie sphérique.

Au livre V, il fait mention de cette idée singulière de Jacques Bernoulli , qui regardait les comètes comme les satellites d'une planète placée à a583 fois le demi-diamètre du grand orbe, et qui cependant faisait sa révolution en quatre ans et i57 jours. La distance rend cette planète imperceptible. Aucun de ses satellites ne descend jusqu'à l'orbite de Saturne, et ils ne deviennent visibles que rers leur périgée. On voit que Jacques Bernoulli était cartésien; on en trouve plus loin une preuve positive dans l'explication qu'il donnait des queues des comètes, et que nous nous dispenserons de rapporter, comme Grégory (p. 4o5) s'est dispensé de la réfuter.

Il établit d'abord qu'on doit voir plus de comètes dans l'iiémisphère où nous voyons le Soleil que dans l'autre , parce qu'il imagine autour du Soleil, comme centre , une sphère de visibilité. La Terre est placée excentriquement

GRÉGORY. 77 dans l'intérieur de celle sphère. 11 fait passer par la Terre un plan normal, qui divise la sphère de visibilité en deux segmens nécessairement fort inégaux. Le grand segment où se trouve le Soleil duit donc nous montrer plus de comètes. 11 est vrai que si elles sont vers la conjonction supérieure avec le Soleil, sa lumière peut nous empêcher de les voir ; ainsi, il y aurait une espèce de compensation : mais, en admettant l'assertion comme un lait, on peut dire que nous voyons plus de comètes boréales que d'australes, parce que les premières ont pour nous des arcs diurnes beaucoup plus grands.

Pour estimer la distance d'une comète, il propose d'en comparer la lumière à celle d'une planète; mais à cause de la nébulosité dont elle est entourée, la règle serait toujours fautive.

Ayant deux observations d'une comète, trouver sa trace parmi les fixes, et l'inclinaison ou l'angle sous lequel cette orbite géocentrique coupe l'écliptique. Cest ici qu'il se sert du lemme démontré ci-dessus (page 74).

Etant données trois lignes tirées du même point et dans le même plan , couper ces trois lignes par une droite qui soit divisée par les trois premières en parties qui soient en raison donnée. C'est le problème que nous avons résolu aux articles de Kepler, Cassini et Newton. La solution de Grégory est d'une construction graphique assez simple.

Par un point quelconque A de la ligne TA ( fig. 1 8 ) , menez dans une direction arbitraire la ligne ABF, telle que AB : AF :: 1 : ».

Par le point F, menez FC parallèle à BT, menez CM parallèle à FB.

Vous aurez en joignant A et C, AE : AC :: AB : AF.

Vous aurez TA, ATB, TAB, ABT, OIE, CMT, CM = FB, MTC, MCT, CT, BEA = CEM , TE.

Avec TA et TAC, vous trouverez la perpendiculaire TP = distance périhélie. Ce calcul est bien simple , mais un peu long.

Pour trouver le temps que la vapeur de la comète emploie à monter de la tête à l'extrémité de la queue; soit AB l'orbite (fig. 19), C la comète, menez OD parallèle à NC. La vapeur a commencé à monter vers C quand la comète était en D; DN a été décrit dans le temps que la vapeur a été de S enC.

Ayant quatre droites en un même plan , en mener une qui, les coupant, en soit coupée en trois segmens proportionnels à trois intervalles donnés.

Grégory nous donne une solution qu'il dit être de Wren, mais elle est compliquée. Nous avons mis ce problème en équations à l'article Képler; les orbites rectilignes sont abandonnées; nous allons passer à la solution véritable; il n'y emploie que la parabole. Sa construction est exactement celle

de Newton. Newton avait déclaré le problème très difficile ( longe difficillimum); il ne l'avait résolu que par des tâtonnemens successifs, ce qui était inévitable; mais ces tâtonnemens géométriques étaient peu adaptés aux moyens ordinaires de l'Astronomie. Nous ne pourrious les exposer ici avec quelque clarté, sans entrer dans des détails excessivement longs et fort inutiles , puisqu'on a maintenant des moyens bien autrement expéditifs et beaucoup plus conformes aux habitudes des astronomes. Newton du moins avait donné des exemples. Grégory les supprime On voit dans ces exemples que l'opération de Newton est en partie graphique, en partie arithmétique. Halley avait trouvé le calcul plus sûr et plus commode. Grégory nous avertit qu'il ne faut pas supposer au liasard une valeur à la distance de la comète à la Terre, dans la seconde observation ; mais qu'il convient de choisir la dislance la plus vraisemblable ; et, pour la connaître, il emploie les théorèmes des trajectoires rectilignes, et c'est à peu près tout ce que peut lui devoir le problème des comètes. 11 se peut, en effet, et nous l'avons remarqué ailleurs , que la trajectoire rectiligue fournisse en certains cas des approximations utiles. Cest ce que nous n'avons pas essayé.

Après avoir détermine la parabole par trois observations, pour la vérifier, il en choisit trois autres , les plus distantes entre elles qu'il lui est possible, et dont l'une ne soit pas éloignée du périhélie. 11 les compare aux positions calculées dans l'orbite provisoire. S'il y a des différences , il fait des corrections de 20 à 3o' au lieu du nœud, et cherche de nouveau les erreurs ; puis, reprenant le premier nœud, c'est à l'inclinaison qu'il fait la correction de 30 ou 3o'. Les erreurs changent; il les compare aux premières, et il en déduit , comme on fait encore aujourd'hui , les quantités les plus approchées du nœud et de l'inclinaison; après quoi, il recommence encore la recherche de l'orbite. Ces tâtonnemens sont longs et pénibles. Halley lui-même ne nous a rien dit de la maniéré dont il faisait ses calculs pour obtenir une orbite provisoire , et ensuite pour la corriger, Bradley et Lemonnier n'ont pas été plus clairs; Lacaille a le premier rendu le problème intelligible } Lambert et les auteurs plus modernes ont travaillé avec plus ou moins de succès pour ce problème, et l'ont rendu moins difficile. Aujourd'hui même on commence à dédaigner la parabole, et il ne parait presque pas une comète dont on ne tente de conjecturer l'ellipse, ce qui est en soi assez inutile, à moins que la révolution ne paraisse d'un petit nombre d'années. Si l'ellipse est alongée , on peut très bien se contenter de la parabole jusqu'au premier retour. Nous vendrons compte successivement de ces divers travaux. Suivons Grégory, qui, dans son dernier livre, s'occupe de ï Astronomie comparative. Jusqu'ici

GRÉGORY. 79 il n'a donné que l'Aslronomie des liabitaus de la Terre; il va successivement transporter l'observateur dans le Soleil, dans les planètes, dans leurs satellites, et enfin dans les comètes, non qu'il croie les planètes habitées; mais c'est une fiction au moins curieuse, et qui ne sera pas même inutile pour faire mieux comprendre l'Astronomie terrestre. Kepler et Huygens avaient déjà traité ce sujet, et le premier, d'une manière plus originale et plus philosophique.

Un observateur placé au centre du Soleil, verrait comme nous , les étoiles et les planètes dans une sphère , dont il se croirait le centre. Le spectacle que nous offre le ciel ne change point dans le cours d'une année par les différentes positions que la Terre occupe sur son ellipse ; il serait encore le même si nous étions au foyer, au lieu de parcourir le périmètre.

Il en serait de même, à plus forte raison, pour un habitant de Mercure ou de Vénus , puisque les orbites de ces planètes ont le même foyer que la Terre et des axes moindres. Il en serait encore de même pour un observateur placé an centre de Saturne, puisque la distance de Salurue est incomparablement moindre que celle des fixes.

Quoique les planètes soient placées parmi les fixes, leur mouvement propre les ferait bientôt distinguer. On imaginerait tout naturellement que la planète dont la révolution est plus longue, doit être à une distance plus considérable. Les habitans de la Terre ont bien fait ce raisonnement , quoique le retour de la planète & une même fixe ne nous donne pas aussi exactement le temps de la révolution , à cause de la parallaxe annuelle , sans parler même des stations et des rétrogradations.

Au centre du Soleil , l'observatèur remarquera bientôt que le mouvement d'une planète est tantôt plus lent et tantôt plus rapide. Il en conclura que la distance éprouve des variations, ce qui lui sera encore confirmé par la variation du diamètre; seulement pour estimer les distances, il n'aura pas l'avantage que nous avons de changer chaque jour de station. Mais placez l'observateur à la surface du Soleil, il aura des moyens beaucoup moins imparfaits dans les parallaxes. Nous ne dirons pas , comme Grégory, omnia patebunt, tout sera à découvert. La parallaxe horizontale de la Terre sera de 16', comme pour nous le demi-diamètre du Soleil ; celle de Mercure sera de près de 5o'; celle de Saturne ne sera guère que de l'f (celle d'Uranus ne serait guère que de5o"). Les fixes et les planètes paraîtront aller du levant au couchant en a5 de nos jours, ou 600 de nos heures. Le pôle de cette rotation sera le pôle de l'équateur solaire. Les arcs semi-diurnes et semi-nocturnes varieront suivant les distances de chaque astre à ce pôle. Proprement, l'observateur n'aura ni

jour ni nuit (et peut-être aussi tous les astres seraient invisibles pour lui) ; mais supposons qu'il les voie, il trouvera les diamètres des planètes de diverses grandeurs; sur leur disque il apercevra des taches, et pourra plus facilement que nous déterminer les temps des rotations et des inclinaisons des équateurs. 11 ne verra aucune ombre, aucune éclipse, pas même celles des satellites , qui se feront derrière la pknète principale ; toutes les plauètes lui paraîtront faire leurs révolutions dans une zone assez étroite. Grégory ne nous dit pas à quel cercle fixe l'observateur rapportera ces orbites; ce qu'il y aurait de naturel , et c'était l'avis de Kepler , serait de prendre pour terme de comparaison lequateur solaire, que Kepler appelait le chemin royal, viam regiam. Il distinguera les comètes par leurs plus grandes inégalités, et surtout par leurs queues , du moins en certaines circonstances ; car si la queue avait pour axe le rayon vecteur prolongé de la comète, la queue serait invisible ou ferait une atmosphère annulaire autour de la comète. Grégory ne nous dit pas nettement ce que seront pour cet observateur les taches du Soleil. Si la surface n'est qu'un océan lumineux , et les taches des scories nageant à la surface, les observatoires ne pourront pas être hien fixes , et la formation d'une tache pourrait devenir une calamité, qui mettrait fin aux observations. Le mal serait moins grand si les taches sont des rochers que le flot couvre et découvre successivement; si les taches sont des volcans, il sera fort dangereux de les approcher de trop près. Dans toutes ces suppositions, il faudra que les observatoires soient des vaisseaux, et l'on ne voit pas d'où les observateurs pourront tirer leurs subsistances, ni de quoi construire les vaisseaux.

Grégory ne dit rien des étoiles. L'observateur serait mieux placé que nous pour observer les mouvemens propres, qui n'y seraient pas aussi compliqués, ni sujets à se confondre avec le mouvement de précession. L'axe du Soleil doit être moins dérangé que le nôtre par l'effet de l'aplatissement , qui doit être peu de chose. Les ascensions droites comptées sur l'équateur solaire seraient à peu près constantes ou affectées d'un mouvement unique, comme celui de nos longitudes, et sans doute beaucoup moindre; les déclinaisons à peu près constantes. Au reste, tout ceci ne peut être que conjectural, et ne nous intéresse que médiocrement.

Si l'observateur est placé au centre de Mercure, il ne connaîtra que des planètes supérieures, dont il calculera les mouvemens, comme nous calculons ceux de Jupiter et de Saturne. On n'avait point encore observé la rotation de cette planète , et Grégory n'ose assurer qu'elle ait ses jours et ses nuits. On sait aujourd'hui que ses jours sont beaucoup plus inégaux que les

GRÉGORY. 81 nôtres, parce que son-équateur fait un angle beaucoup plus grand avec son écliptique. Les saisons y sont plus différentes ; la chaleur y est sept Ibis plus forte; d'où Newton a conclu que Mercure surpassait toutes les planètes en densité. Les années y seront beaucoup plus courte.

De ce que l'inclinaison de l'orbite de Mercure sur notre écliptique est à peu près la même que celle «le l'équaleur solaire sur cette même écliptique , on ne peut pas conclure que Mercure soit dans le plan de l'équateur solaire ; il faudrait, pour cela, que les nœuds fussent les mêmes, et ils diffèrent de plus d'un signe. Ainsi, la route des taches ne paraîtra rectiligne qu'à deux époques de l'an ne*; de Mercure. Grégory ajoute que Mercure s'écartera très peu de l'équateur solaire; cependant, en supposant l'inclinaison de Mercure de 70, celle de l'équateur solaire de •j" ao', et le nœud de l'équateur solaire plus avancé de 35* que celui de Mercure, l'inclinaison de l'orbite de Mercure sur l'équateur solaire sera de 4" 19', moindre seulement de 3°; mais il a raison quand il dit que l'inclinaison de l'équateur solaire est plus forte que celle d'aucune orbite (alors contiue). 11 y aurait quelque chose à rabattre de la conséquence qu'il en tire, que la route des taches sera toujours presque droite. Leurs ellipses seront plus aplaties que nous ne le voyons; les demi-

, j ■ , sin 4*1 q' p

axes seront dans fa raison de . " = o,5o environ.

sin 7.23 ' *'

De toutes les planètes , L'ranus est celle qui approche le plus de l'écliptique, puisque son inclinaison est de o'46'ao". La distance des nœuds n'est que de 8*9'. L'inclinaison de cet équateur sur l'orbite d'Uranus sera de6* 34'. En général, soit ( — Q') la distance des nœuds, I et 1' les inclinaisons sur l'écliptique , 1" l'inclinaison cherchée de L'équateur solaire sur l'orbite ; cos 1" = cos ( Q — Q ') sin I sin 1' =fc cos I cos I'.

Le signe -f- , si l'un des deux angles sur la base est obtus, dans le triangle aux trois nœuds; ce qui a heu pour toutes les planètes, excepté Jupiter et Saturne. Je ne parle pas des quatre petites planètes.

<t Mercure ne verra aucune des planètes en croissant ; il n'aura pas de moyen bien sûr pour déterminer la parallaxe du Soleil, qui sera pour lui fort petite. La parallaxe de Vénus n'y sera guère différente de celle que nous trouvons au Soleil.

Comme cliaque planète attribue au Soleil l'ellipse qu'elle décrit, l'équation du centre du Soleil sera de a3* pour Mercure.

On calculera les lieux hermocen triques des planètes vues de Mercure, comme nous déterminons les lieux géocentriques des planètes supérieures , en substituant l'ellipse de Mercure à celle de la Terre. »

Astr. au 18* siècle. 1 1

8a ASTRONOMIE AU DIX-HUITIEME SIECLE.

Un habitant de Vénus verrait le diamètre du Soleil plus grand que nous le voyons dans la raison | environ,' son année ne serait que de 77 mois; ses jours de 40' environ plus courts que les nôtres; Mercure seul lui présentera des phases bien sensibles; la Terre en opposition lui paraîtra très lumineuse; la Lune ne s'écartera de la Terre que de 5o' environ. L'observateur aurait à peu près les mêmes facilités que nous pour toutes les déterminations astronomiques, s'il peut s'élever à l'idée que Vénus tourne autour du Soleil. L'équation du centre du Soleil ne serait que de 47'-

Nous ne nous amuserons pas à refaire pour Vénus les systèmes de Tycho ni de Ptolémée, comme Grégory a pris la peine de le faire, et nous supposerons à l'habitant de toutes les planètes toutes nos connaissances astronomiques qu'il aura la possibilité d'acquérir. Nous ne parlerons pas davantage du prétendu satellite de Vénus.

« Un habitant de Mars verrait le disque du Soleil f de ce qu'il nous parait; il donnerait au Soleil une excentricité beaucoup plus grande, moindre cependant que celle que verrait un habitant de Mercure. Son année est environ double de la nôtre; son. jour plus long de quelques minutes, moins inégal dans les différentes saisons, parce que son équateur est fort peu incliné à son ccliptique. C'est aux neiges perpétuelles qui pourraient avoir heu à une certaine dislance de ses pôles, que Grégory attribue les taches ou les bandes. Les parallaxes horizontales seront peu de chose et difficiles à déterminer, même par les passages de Mercure, de Vénus et de la Terre, sur le disque du Soleil; mais l'observateur ignorera peut-être l'existence de Mercure.

Jupiter ne donnera guère au Soleil que G' de diamètre ; la lumière et la chaleur y seront 27 fois moindres que sur la Terre. Son année en vaudra 1 a «les nôtres; sou jour n'est pas de 10 heures; son année aura plus de dix mille de ces jours. Jupiter jouit d'un printemps presque perpétuel. 11 ne connaît peut-être aucune des planètes inféiicures; car Mars est fort petit, et ses élongalions sont au plus de 180; mais le hasard pourra les faire observer sur le Soleil.

Les quatre Lunes qui circulent autour de Jupiter et à des distances si petites, donneront de l'ouvrage à ses astronomes; car les inégabtés que nous pouvons négliger dans nos tables des satellites , pourront être fort sensibles quand elles seront vues de si près. Ces Lunes auront des parallaxes beaucoup plus fortes que celle de la nôtre. L'habitant de Jupiter sera fort tenté de se croire au centre du monde. Il mettra le Soleil et Saturne au nombre de ses satellites, qu'il prendra pour des planètes principales; mais sM découvre la loi de Répler, il la verra observée par ses vrais satellites ,

. ttigifeeé by CoOQÎe

CHÈCORY. 83 mais non par le Soleil ou Saturne; ses satellites lui paraîtront plus gros que Saturne et même que le Soleil, mais moins lumineux que ce dernier. Leurs phases cependant pourront lui faire connaître qu'ils tirent leur lumière du Soleil. Son calendrier serait bien compliqué, s'il voulait l'assujettir au Soleil et à ses quatre Lunes. H verra ses satellites s'éclipser et éclipser le Soleil. Ces dernières éclipses seront souvent totales; mais elles ne seront visibles que dans une portion peu considérable de la surface de Jupiter. Les limites éclij>tiques seront beaucoup moins étroites que pour la Terre. »

Si Jupiter a des mers, Grégory pense que la navigation y sera très commode, parce que les nuits seront courtes et presque toujours écîairécs au moins par l'une des quatre Lunes. Ces Lunes multiplieront les moyens de trouver la longitude; mais le calcul des marées y sera bien plus compliqué. 11 a raison ; mais il aurait pu douter de l'efiicacilé de tant de Lunes pour les longitudes. Il suppose de bonnes tables; et, de son temps, nous n'avions pas encore, de notre unique Lune, des tables assez exactes pour le problème.

Saturne voit le Soleil dix fois plus petit que nous. La lumière et la chaleur y sont moindres de 90 fois au moins. Son année est de 3o des nôtres. On ne savait encore rien de ses jours, qui ne sont guère que de 10* Seulement Huygens avait conjecturé que la durée de la rotation ne devait pas différer beaucoup de celle de Jupiter; mais Grégory trouve les raisonnemens d'IIuygens assez peu concluans, et il n'a pas tort.

« Si le plan de l'équaleur est le même que celui de l'anneau , comme le voulait d'abord Huygcns, l'inégalité des arcs semi-diurnes en différentes saisons, différera peu de ce qu'elle est sur la Terre. Les saisons ne différeront guère des nôtres, si ce n'est par la durée ; mais si l'inclinaison de l'équateur sur le plan ,de l'orbite de Saturne est de 3i% comme Huygens l'a soupçonné depuis, les variations seront plus fortes, et les zones glaciales plus étendues. »

L'habitant de Saturne ne peut connaître que Jupiter (et Uranus ). Dans Tiuver et dans l'été, quand la déclinaison du Soleil sera grande, les Lunes en opposition ne seront pas pleines ; en conjonction, elles ne seront pas loutà-fait obscures. Vers les deux solstices, il n'y a aucune éclipse; aux éqninoxes, il y en aura à chaque syzygie.

U aura dans une si grande multitude de Lunes, bien des moyens de donner à son calendrier une complication telle, que M. Gccolini lui-même ne refuserait pas de la reconnaître.

« Il trouvera au Soleil une parallaxe peu différente de celle que nous lui donnons. Mais ce qu'il y aura de plus étonnant, ce sera le spectacle de Fumera.

» Ce spectacle sera fort différent , suivant le point où l'observateur sera placé à la surface de Saturne. Au pôle, par exemple, il ne verrait ni l'anneau ni les satellites. »

Eli effet, en négligeant la hauteur de l'œil au-dessus de cette surface, le rayon visuel sera tangent au pôle de la sphère. II sera parallèle à l'équateur. On ne verra donc aucun point de cet équateur. Que l'observateur s'éloigne du pôle, le rayon visuel ira cou|)er en un point le plan de l'équateur. Le rayon visuel sera la tangente de la latitude; la distance du point d'intersection au rentre de l'équateur, sera la sécante de la latitude.

Je représente par R le rayon extérieur, et par r celui du globe. Four voir le satellite extérieur, il faudra que R = rsécH, ou que rssRcosH, et

Suivant M. Bessel, r= #',7; pour l'anneau, R=ao"; pour le satellite extérieur, RŒ5aa",5. D'après cette formule, ou formera la table suivante des latitudes, auxquelles il suffit de s'élever pour perdre de vue tous les satellites et l'anneau successivement. J'ai négligé l'inclinaison du satellite extérieur sur cet anneau. Pour les autres, on croit en effet cette inclinaison nulle.

R. 1 Latitude.

7a. ai

Anneau.

ao.o

Grégory calculait pour le bord extérieur de l'anneau. Il dit que la région polaire où il est invisible a 53* de largeur; ce qui donnerait 26* 3o' pour la distance polaire, et 63'3o' pour la latitude à laquelle on cesse de le voir.

Par la même formule, on trouverait que notre Lune, quand elle est dans l'équateur, cesse d'être visible quand la latitude est le complément de la parallaxe horizontale , ou à environ un degré du pôle. 11 est vrai que la réfraction élèvera de 34 à 35' la Lune, qui sera alors dans le plan de l'horizon.

GRÉGORY. 85 Ln œil place à la surface et dans l'équateur de Saturne, ue \ errait aucun «les satellites ; l'épaisseur de l'anneau l'en empêcherait. Cette épaisseur, autant qu'on en peut juger , est de i" ou de $ du demi-diamètre. Elle cachera à l'observateur une zone équatoriale dont on calculerait facilement la largeur d'après la distance du bord intérieur au corps de la planète. <t Pendant une moitié de la révolution de Saturne, une des laces de l'anneau .est éclairée et visible d'un hémisphère de Saturne; l'autre est invisible et obscure la nuit. Au passage du Soleil par les nœuds, l'épaisseur de l'anneau extérieur est seule éclairée. »

« Le corps de la planète fait ombre sur la partie éclairée de l'anneau. Cette ombre tourne avec le Soleil. A minuit , elle est verticale et la plus haute possible.

Si la distance de l'œil* à l'équateur est seulement de 5o°, l'œil verra le bord extérieur, et le bord intérieur de l'anneau qui s'élèvera comme une voûte.

Quand l'anneau est obscur, on ne s'aperçoit qu'il existe que par la partie du ciel qu'il rend invisible. Quand le Soleil traverse cette partie du ciel , il devient invisible quand il approche du méridien , et ne reparaît que quelque temps après le passage. 11 suffit que l'œil soit à a5 ou 26* de latitude. Ces éclipses durent plus ou moins, suivant la déclinaison du Soleil. » Il faut avouer que les éclipses méridiennes, tous les jours de l'hiver, font acheter un peu cher aux habitans de Saturne l'avantage d'avoir des nuits éclairées par l'anneau

L'Astronomie des comètes est plus incertaine encore que tout ce qui vient d'être dit. L'atmosphère épaisse dont elles sont entourées, doit y rendre les observations rares et difficiles; elle nous empêche de voir si elles ont des phases. Si elles tournent autour de leurs axes , il parait au moins que leurs queues ne tournent pas comme notre atmosphère tourne avec la Terre. Il croit, d'après îiewton , qu'elles sont destinées à réparer les pertes du Soleil et le fluide qui s'écliappe du corps des planètes. Elles peuvent amener des thangemens dans notre système , enlever à une planète un satellite qui deviendrait une planète principale. Grégory, en parlaut des prodigieux changemen.s de chaleur que doivent éprouver les comètes , ne remarque pas qu'un astronome placé sur une comète, aurait bien de la peine à faire des tables du Soleil pour l'ellipse alongée qu'il serait obligé de lui donner. Les calculs seraient aussi difficiles que les observations , ou plutôt le défaut absolu d'observations rendrait tout calcul inutile.

Grégory dit enfin que le grand axe de la comète la plus excentrique doit

8fi ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE.

être encore fort petit en comparaison de la distance des fixes: que les planètes de notre système doivent être invisibles pour un observateur placé dans une étoile. L'observateur, en passant d'une étoile à une autre, verrait changer la face du ciel et les configurations des astérismes.

« La Lune est placée dans le monde à peu de distance de la Terre; le ciel étoile doit lui paraître le même que nous voyons. Tons les astres doivent lui paraître tourner autour d'un axe peu incliné à celui de l'écliptique. La révolution de la Lune autour du Soleil est son mois périodique ou la période de ses phases. Ce mois est le nychlhémèrc de la Lune. La nuit y est presque égale au jour; car l'équateur lunaire est fort peu incliné à son orbite et à lécliptique. La Lune, qui paraîtrait n'avoir aucune atmosphère, ne peut donc avoir ni crépuscule ni réfractions bien sensibles. Le Soleil, dans un jour lunaire, doit s'approcher et s'éloigner alternativement de l'un de ses pôles. L'un de ces pôles est dans les ténèbres, et l'autre est dans la partie éclairée, à peu de distance du cercle terminateur.

Outre les inégalités propres de la Terre, qui sont communes à la Lune, celle-ci en a de particulières. Le mouvement varie suivant le point qu'elle occupe sur son ellipse. Les mouvemens apparens des planètes doivent être affectés de ces inégalités. L'astronome sera obligé de placer e'picyclcs sur épicycles , s'il ignore le véritable système du monde, et s'il se croit immobile nu centre; mais s'il connaît le véritable état des choses , il aura , pour bien des recherches, les mcme6 facilités qu'un habitant de la Terre.

L'un des hémisphères de la Lune ne voit jamais la Terre; l'autre la voit toujours, sauflcs petites librations qui font monter la Terre un peu au-dessus de l'horizon , ou la font descendre au-dessous. Dans l'hémisphère rpii voit la Terre, on la voit comme clouée à la voûte céleste. Il rapporte ce que Képlcr a dit de la Terre, à qui il suppose que les lunicolcs ont donné le nom de volve. Elle a des phases comme la Lune; sa rotation fait paraître successivement ses taches. Les éclipses de la volve sont toujours partielles ; celles du Soleil par la volve, le plus souvent, sont totales, et d'une durée bien plus longue que pour la Terre. Dans les éclipses totales de Soleil , cet astre disparaît, et la volve n'est plus du tout éclairée; mais les rayons du Soleil réfractés par notre atmosphère , l'entourent d'un anneau dont la lumière est sombre et ferruginée; mais si une montagne s'élevait au-dessus de l'atmosphère, et qu'elle fut sur le bord du disque, elle n'aurait ps d'anneau lumineux, et paraîtrait tout-à-fàit noire. »

Grégory a supposé jusqu'ici la volve immobile au milieu du ciel ; mais i Ue a un petit mouvement de libration , tant en longitude qu'en latitude.

GRÉGORY. 87 Nous omettons plusieurs détails qui ne sont pas assez intéressans pour trouver place ici, et nous arrivons au dernier chapitre qui traite de l'Astronomie des satellites de Jupiter et de Saturne.

Les phénomènes pour ces satellites seraient les mêmes que pour la Lune, s'il était prouvé que ces Lunes tournassent comme la nôtre en un temps égal à celui de leur révolution; mais, à d'autres égards, les phénomènes seraient trèsdifférens, puisque Jupiter et Saturne ne sont pas homes comme h Terre à un seul satellite. Il doit résulter de cette multiplicité beaucoup de comhinaisons différentes, qu'il est assez inutile de rapporter, et que l'auteur lui-même ne fait qu'effleurer. Dans un corollaire , il compare l'Astronomie du Soleil, des planètes, des comètes et des satellites, et rappelle leurs principaux avantages et leurs difficultés particulières.

En général, ce traité d'Astronomie est plus fait pour un mathématicien qui veut prendreune idée du système du monde; il est fort peu utile à celui qui voudrait observer ou calculer. Son principal mérite est qu'il est le premier où l'on ait vu les théories de Newton.

L'édition de 1 736, à Genève, contient, de plus , la Cométographie de Halley, extraite des Transactions philosophiques de 1705, n* 397. Ce n'était qu'un premier essai, auquel l'auteur a depuis ajouté beaucoup, à la suite de ses tables astronomiques.

On y trouve, de plus, un traité sommaire de Gnomoniquc, qui n'offre absolument rien de nouveau.

LEADBETTER.

Cet astronome est peu connu. Je ne trouve son nom ni dans Wcidler ni dans les Dictionnaires historiques. Lalaude en parle ( Astr. 1 4^7 ). 11 le dit auteur de tables tirées de divers astronomes et de tables particulières de la Lune, faites sur la théorie de Newton , qui out été réimprimées dans l'ouvrage intitulé Uranoscopia or the contemplation of the Heavens, bj Charles Leadbetler. London, 1733 , 3 vol. in-8*. Je n'ai point cet ouvrage, qui pourrait bien n'être qu'une seconde édition de celui dont je vais parler. Ce que j'ai pu lire, m'a donné peu de curiosité pour ce qui m'est inconnu. La Bibliographie de Lalande parle aussi des Tables des satellites de Jupiter et de Saturne, calculées par Leadbelter, sur la théorie lunaire de Newton, 1739; d'un Traité des Eclipses, 1727 et 1731 ; des Apparences de l'Anneau de Saturne, 1733. 11 a donc été contemporain de Newton, dont il a embrassé la doctrine : cette raison nous à décidé à le placer parmi les commentateurs de Newton.

Astronomy or the true syslem of the Planets demonstrated. London, 1 737 . Cet ouvrage est destiné uniquement à montrer l'usage de quelques instrumens imaginés par l'auteur j>our éviter les calculs, ou du moins pour les abréger considérablement.

A compléta sy stem oj Astronomy , intwo volumes, by Charles Leadbetter, teacfier oj the Mathematicks. London, 1738. La Bibliographie en annonce une seconde édition en l'an 1742.

Le premier volume renferme les préceptes, qui n 'offrent rien de bien neuf ni de bien profond ; le second volume contient les tables.

L'auteur nous dit que, ne connaissant aucune table qui lui parût bonne, il a pris le soin d'en composer de nouvelles. Il donne trois tables de logarithmes logistiques.

La première est de Shakcrley; elle sert à calculer le quatrième terme d'une analogie, telle que celle-ci , 1* : mouvement horaire :: 57' 3o": x.

La deuxième est celle de Street, souvent reproduite.

La troisième ne porte aucun nom d'auteur. Le log de 60e est o; celui de 120' est 3oio = log Q^^— log 2.

Lfl seule chose qui m'ait paru digne d'être extraite de ces deux volumes , est la démonstration du second théorème général de la projection stéréographique, c'est-à-dire de l'égaUté des angles sur la sphère et sur la projet:! ion. Cette démonstration est la plus ancienne que je connaisse; mais elle ne parait ni la plus claire ni la plus complète. Essayons de l'éclaircir et de la compléter.

Soit A (fig. 20) le lieu de l'œil, B un point quelconque du grand cercle PDAH qui passe par les pôles P et A de la projection , DEH le diamètre de l'équateur ou de la projection. Il fa-!t concevoir la projection ou le cercle dont DEH est Je diamètre, comme relevé perpendiculairement sur le plan du cercle PDAH, ou sur le plan du papier.

Menez le rayon EB et la taugente BK de l'arc BH, qui sera la déclinaison du point B. Ce poiut B aura sa projection en F; le point K, extrémité de la tangente, sera lui-même sa projection , puisqu'il est dans le plan de l'équateur. La taugente BK aura donc pour projection la ligne FK, qui sera l'intersection commune des deux plans dans lesquels cette projection doit se trouver. Or, il est aisé de prouver que FK := BK. En ell'et, l'angle ABK de la tangente BK avec la corde AB, a pour mesure la moitié de l'arc Al II . oui AH + ïBH=1f5"-KBH = 45--f-iD.

Mais l'angle BFK intérieur au cercles £ AD-KBH = 45' + iD= ABK, donc FK = BK.

LEADBETTER. 89

Donc la tangente de la déclinaison d'un point quelconque de la sphère a pour projection une droite égaU à cette même tangente.

Jusqu'ici nous n'avons fait que développer les raisonnerocnsdcLeadbetlpr, et nous avons suivi sa construction, sauf que nous* avons supprimé une ligue B(>, qu'il tire parallèlement àDH, et qui nous est inutile.

Soit maintenant un autre cercle passant également parle point B, maisoblique à Péquateur; puisqu'il coupe le premier cercle en B, il le coupera de même en B', en sorte que BAB' = i8o\ Ce cercle oblique rencontrera en G Péquateur, dont la demi-circonférence est élevée perpendiculairement sur le diamètre DH. L'nrc de déclinaison BH, l'arc oblique BG, et lare de Péquateur ici représenté par HG, formeront un triangle spbériquc rectangle en H.

Ce triangle nous donnera langBG = tang BH sec IIBG.

Soit BI la tangente de BG , nous aurons

BI = BK sec KB1 as lang BH sec HBC;

car l'angle des tangentes BK et Bl est le même que l'angle formé par les deux arcs de cercle BH et BG. De l'extrémité I de la tangente BI , menez une ligne à l'extrémité de BK. Cette ligne IK sera perpendiculaire sur BK; ce qui est prouvé par l'équation BI = BK sec KB1 , qui est celle d'un triangle rec tangle. En effet, IK est dans le plan BKI ; elle est tout entière dans le plan de Péquateur; donc elle est dans l'intersection des deux plans. Cette intersection des deux plans perpendiculaires au plan BHA est nécessairement perpendiculaire ù ce même plan BHA; donc elle est perpendiculaire aux lignes KB et KF, qui se coupent à son pied K; donc les angles BKI, FRI, sont tous deux de 90*. Il est nécessaire de se représenter les plans BKI, FKl relevés perpendiculairement sur le papier. Or, le triangle B1K donne

BÎas BK 4* KÏ*. Joignons FI , et F1K donne Yl = FK -f- Kl = BK + &L

Donc FI = Bl ; donc la tangente de l'arc oblique BG terminé à léquateur, a pour projection une droite Fl = tang BG == Bl. La règle est donc généraient pour tout arc oblique BG qui, commençant en un point quelconque B de la sphère t se termine à un point quelconque G de téqtutteur, la tangente a pour projection une droite qui lui est égale.

J'ai démontré cette proposition de deux manières plus directes et phi» générales (Astr., tome 111, pag. 679 et 681), et j'en ai conclu que deux Asti, au 18* siècle. 12

,o ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE.

cercles qui se coupent sur la sphère sous un certain angle, ont des projections qui se coupent sous le méine angle. Je n'avais pu trouver dans aucun livre la démonstration de cette propriété générale.

Leadbetter ne prouve que l'égalité des angles KBI et RFI (vofesla note ci-dessous, page 9a) ;les deux triangles ont le coté commun RI, le côtéFK=BK ; donc le côté H = 1)1; doue l'angle opposé au côté commun Kl doit être égal : d'où résulte la vérité du théorème dans le cas 011 l'un des deux arcs qui se coupent sur la sphère, est perpendiculaire à l'équateur. 11 est facile à la vérité d'en conclure que si l'on a un troisième arc BG' avec sa tangente BT,

on aura , KBI' = HFT ; mais KBI = HFI ,

donc KBI' — KBI =HFl' — HFI , ou 1B1' = 1F1'.

Ce corollaire était bien facile , mais il méritait d'être énoncé.

Leadbetter nous dit simplement de mener 1K perpendiculairement sur DK; il omet de démontrer que 1K sera aussi perpendiculaire sur KB.

Roberlson a démontré ce même théorème dans son Traité de Navigation . 1 11 y emploie le théorème des sections souscontraires du cône. Emerson a reproduit la démonstration de Leadbetter, qu'il a complétée. Il trace dans sa figure le plan tangent en B, et le plan de projection; mais il est obligé de les coucher tous deux sur le papier, l'un au-dessus et l'autre au-dessous fie FK. La figure compliquée jette quelque obscurité sur la démonstration , qui réellement est complète et rigoureuse. Il met sur sa figure trois arcs et trois tangentes; je n'en ai mis qu'une seule dans la fig. i34 de mon Astronomie (tom. 111, p. 681). On n'y voit qu'un seul plan, et cependant je démontre la propriété générale des tangentes égales à leurs projections , après quoi le reste se réduit à deux corollaires de la dernière évidence.

Nous avons la preuve que la seconde propriété de la projection sléréographique était connue dès l'an 1728, et que la date est probablement plus ancienne encore; car nous ne croyons pas que Leadbetter en soit l'auteur. II n'y a pas non plus grande apparence qu'un soil parvenu à ce théorème par les raisonnemens de cet astronome. Il parait pins probable qu'on aura remarqué ce théorème en construisant une mappemonde, soit sur le plan d'un méridien, soit sur celui d'un horizon quelconque. A la vérité, l'on ne connaissait pas nos formules sécante inclinaison, et tangente inclinaison, qui donnenlle rayon et le centre de tout grand cercle projeté; mais on avait les méthodes équivalentes et les constructions de .Plolémée, ou plutôt d'Hipparque.

Pour la projection du cercle BGB', les droites AFB et AB'F' déterminent le diamètre FF'.

LEADBETTER. 9, EM= tang. BGH donne le centre M, qu'on trouve en faisant FM=; FF'. Tous les cercles qui se coupent en B doivent se couper en F et en F' ; les

centres de tous ces cercles seront donc sur la droite NM perpendiculaire

au centre M.

Le triangle rectangle BHG donne

cos BH sin HBG = cos G = cos inclinaison ;

séc inclinaison = séc BII coséc HBG ;

on aura donc l'inclinaison d'un cercle quelconque BG , quand on aura la déclinaison BH; on donnera à l'angle HBG les valeurs successives o", io« 20*, etc. de io'en io\

Soit FC = séc G , et EC = tang G , on connaît EF

CËssFË-t-FG— a FE.FCcos.EFCj vrr — FE 4- FC— CE tang*j PB -f-»ec'G— tang» G

cos cre tfE>FC = ipoc

cos EFC — tanft* iPB+' ~? ffg

atang5PBsécG asecGUng5PB

~ a ;ec G tang i PB cos»5 PB a sec G sin g PB cos g PB

cos G cosBH «in HBG cos BU sin HBG

sin PB sin PB cos BH

== sin HBG == sin MCF;

donc MCF = HBG.

Un autre cercle BG' donnera de même :

MCF = HBG' ;

donc MCF — MCF =HBG' — HBG = GBG'= CFC.

CFC est l'angle des deux rayons, GBG' celui des deux cercles; l'angle des deux rayons sur la projection , est celui des cercles sur la projection. Ainsi voilà le théorème déduit d'une construction connue de tout temps. Il ne faut qu'un corollaire bien simple pour l'étendre à tous les petits cercles.

Supposons qu'on n'ait pas imaginé de combiner ces formules, qui n'étaient vraiment pas connues, et dont cependant on avait des équivalens, peu commodes , sijl'on veut. Ces équivalens suffisaient au moins pour calculer numériquement les angles MCF et MFC, et reconnaître l'égalité de ces angles avec ceux qu'on voulait projeter.

Voilà donc une manière bien simple qui a pu conduire au théorème. Les

ga ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE,

démonstrations ci-dessus n'étaient guère bonnes qu'à en constater la vérité et la généralité, après qu'il eut été remarqué par liasard et sans le moindre calcul, comme nous allons dire.

Pour trouver le centre C du cercle à tracer sur la projection, il suffit donc d'élever la perpendiculaire NM. Le procédé graphique donnait le diamètre, et parlant le demi-diamètre du cercle. Ce cercle devait passer par les points F et F'; avec le rayon du cercle et du centre F, marquez un point sur NM, et ce point sera le centre cherché. Menez le rayon CF, et vous remarquerez aisément que MCF «90°— inclinaison du cercle à projeter; donc MFC = inclinaison du cercle à décrire. Ainsi un cercle incliné de io° donnera MCF m 80 , et 90° de ce cercle seront représentés sur la projection par un arc qui ne sera que de 80. Un cercle incliné de 20* donnerait MCF = 70 ', et les 90" seraient représentés par un arc de 70", et ainsi des autres; en sorte que pour un arc incliné de 90", MCF as o, et les 90" = o, c'est-à-dire une ligne droite. On a construit graphiquement assez de mappemondes pour que des rapports si simples aient pu se remarquer, conduire à la propriété générale, dont on aura cherché ensuite la démonstration directe.

Après avoir projeté un grand cercle quelconque, on aura donc pu bien facilement projeter tous les autres grands cercles qui se coupaient aux deux extrémités du diamètre de ce premier cercle, et, au moyen de ceux-ci, un grand nombre d'autres, et ainsi à l'infini.

IS'ole de C Editeur. Pour mettre à profit l'espace qui reste ici , je vais rapporter textuellen ment la démonstration de Leadbttter. u Supposez l'œil en A (fig. 90 ) ; projetez l'angle r spbérique CBH, et menez les tangentes BK, BI aux arcs BH, BG; menez BO » parallèle à DH, et joignez AO ; menez perpendiculairement sur DK 1a ligne Kl, qui ii rencontrera la tangente Bien I, et joignez FI. Maintenant, l'angle K B A = AOB =s ABO , « et l'angle BFK = KBF; donc BK = FK. Alors les triangles IKF et IKB rectangles * en K , ont IK commun et BK := FK ; donc l'angle IFK sur le plan de la projection est fl égal à l'angle IBK, formant l'angle sphérique GBH; ce qui prouve que l'angle fait « par les cercles est égal à l'angle fait par leurs tangentes; car l'œil en A projette les r> tangentes BK et BI en FK et FI; les deux angles IFK , IKB étant limités par IK. r>

Les tangentes BK et BI déterminent un plan BKI tangent a la sphère en B , perpendiculaire au rayon BE , et par conséquent au plan DAB de la figure ; ce plan BKI et le plan de projection qui s'élève suivant DU, étant perpendiculaires sur DAB, leur commune interjection IK est aussi perpendiculaire sur DAB, et par conséquent sur les lignes EK et FK. Voilà qui complète la démonstration de Lfadbetter, pour l'étendre à tous le» cas; soit BI' la tangente d'un autre arc BG'; on aura séparément KBI = KFI, et KBI' = KFI' ; donc KBI' - KBI , ou bien IBI' = IFI'. Ainsi , les tangentes BI, Bl' à deux cercles quelconques , forment un angle IBI' égal à celui de leurs projections; d'où il suit que l'angle des cercles sur la sphère égale l'angle de leurs projections.