CHAPITRE VI
Nonius .
Pétri Nonii Salaciensis Opéra. Basileœ , i5g2.
T / auteur était né en 1492, il est mort en il fut précepteur du
cardinal prince Henri, fils du roi de Portugal Emmanuel, cosmographe du roi, professeur de Mathématiques à l’Académie de Coïmbre.
Le recueil que nous allons extraire renferme ses principaux ouvrages; Le premier a pour titre Rerum astronomicarum Problemata communia. Il commence par une rose des vents avec leurs noms en latin et en espagnol. Les voyages des Portugais ont du étendre l’art de la navigation, et leur offrir des problèmes nouveaux qu’ils n’étaient pas encore en état de résoudre. La manière dont ils dirigeaient leur course, suivant un angle constant avec tous les méridiens, devait apporter une différence sensible dans la manière d’évaluer le chemin parcouru. Nonius, pour les instruire, leur explique d’abord les méthodes de Plolémée, pour tracer sur un plan une carte du globe terrestre ; mais il fait voir que cette carte ne peut convenir à la navigation. Il faut observer l’angle que la course fait avec le méridien, tracer sur le globe le chemin parcouru, et de plus observer la latitude au point de départ et d’arrivée. Il parle des tables construites par divers mathématiciens pour trouver la distance directe et la différence en longitude de deux lieux placés sur une carte marine où les méridiens sont des lignes droites parallèles, et les différens parallèles des lignes droites perpendiculaires au méridien. Si la route n’est pas trop longue, on peut la considérer comme un arc de grand cercle. Il n’en sera pas de même si la route est longue et l’angle de direction constant.
Au chapitre de la déclinaison du Soleil, il réfute ceux qui prétendaient qu'Alfonse n’avait pas lu Albalegnius; il leur prouve qu’il a eu connaissance des livres arabes, qui étaient alors fort communs en Espagne, et qu’il a construit ses Tables Tolédanes avec l’aide de plusieurs Maures ; que dans le manuscrit autographe de ces tables on voit aussi
celles de Ptolémée et d’ Albategnius , afin qu’on pût choisir. Ces faits, dit-il, sont connus de tout le monde, et le manuscrit existe dans la bibliothèque d’Alcala , in Complutensi bibliothecâ.
Vient ensuite une longue dissertation sur la manière dont Alphonse et Purbach calculaient la trépidation, et sur les erreurs commises par quelques commentateurs. Peu nous importe aujourdhui s ils ont mal calculé une hypothèse inadmissible et compliquée. Nonius prouve que tout est bien d’accord dans le calcul alphonsin, et pour preuve il ajoute que s’étant procuré un astrolabe bien fait, dont le diamètre était de deux palmes, il avait observé le solstice à Coimbre , et que la distance au zénit avait été de 170 bien juste; et comme la plus grande déclinaison était alors de 25* 3o', il en conclut la latitude de Coimbre de 4o° 5o' presque ; on la fait aujourd’hui de 4°° 137 3o"; l’erreur était de
11 donne un moyen graphique pour trouver sm D = sinaisinL, quel que soit 00 , ce moyen n’est pas nouveau. Les marins se servaient d astrolabes suspendus par un anneau; il en propose un où 1 angle, au lieu d’être au centre, sera à la circonférence, en sorte que les degrés se changeront en demi-degrés.
En indiquant, page 73, sa division du cercle, au moyen de 44 c^l’“ conférences, il dit que Ptolémée avait sans doute employé ce moyen, que l’une des circonférences était divisée en 83 parties, et que la double obliquité y occupait 44 parties. Nonius est bien bon, de faire honneur à Ptolémée ou plutôt à Eratoslhène , de cette invention, que personne ne lui dispute à lui-même. D'ailleurs, comme on n’observe pas directement la double obliquité, il aurait fallu que les distances solstiliales eussent clé par hasard des arcs de la division de. 83, ce qui est peu probable.
11 explique comment, dans la zone torride, 1 ombre peut rétrograder sans miracle.
Nous omettons plusieurs pratiques pour trouver la latitude, la déclinaison et la méridienne; la description d’un instrument pour trouver les cordes, les sinus, les sinus verses dun arc quelconque, au moyen d un arc divisé en ses 90 degrés et d’un rayon divise en 60 parties; enfin , des moyens graphiques pour trouver le troisième côté par les deux autres, et l’angle compris.
11 revient au rhumb décrit par le vaisseau. La route n’est ni circulaire, ni même un assemblage de parties circulaires, mais de ligifes
droites brisées. Il la compose d’arcs de cercle assez petits pour que la
différence des angles adjacens soit insensible.
Soit (fig. 107) AB = c le petit arc, «' le rhumb ; le triangle PAB donnera
, sin c cot c
cota'" = — cou" = cos c cota -
. f smccosc
= cota'— 2Sinaic cotfl — sin cl ’
sin ccot c" + 2sinai c cos a
cota' — cota" = - ^ - ‘ >
sin (a'" a') = sine col e"sin«"'-f- asiate cosa' sin a'"
= sinclangHsina'"-f-2sinascsina'"cosa', ou
sin (a —aj __ t jj sin Q, SJQ 2aj tang ± c; sin c 0
pour que a* — a soit insensible, il faudra donc que le chemin parcouru soit d’autant plus court, que la latitude sera plus haute, et que 1 angle de route sera plus ouvert.
Il reste à savoir à quoi l’on évaluera l’angle (am — a') qui échappé aux yeux du pilote. Ce n’est pas ainsi que Nonius considère le problème.
sinB:sinA :: sin PA: sin PB :: sin PB: sin PD :: sin PD: si U PE, elc. ;
on aura donc toutes les distances polaires PA, PB, PD, etc.; il faudrait aussi connaître les angles au pôle; mais puisqu’on connaît deux angles et deux côtés, on peut calculer le reste.
Le rhumb s’approchera sans cesse du pôle, sans pouvoir jamais y arriver. 11 enseigne la manière de décrire ces rhumbs sur le globe; il n’y emploie que des théorèmes bien connus.
Il commente ensuite le problème d’Aristote sur le vaisseau qui va a la
rame.
A ce traité succèdent les notes sur Purbach, dont nous avons déjà rendu compte, et la réfutation des erreurs d’Oronce-Finée qui s’imaginait avoir trouvé la quadrature du cercle, la trisection de l’angle, la duplication du cube et les longitudes , ce qui est un peu scandaleux de la part d’un professeur du Collège royal de France : nous ne parlerons que du problème des longitudes. Le titre du livre est Orontii-Finœi delphinatis, de inveniendâ longitudinis duorum quorumque locorum diffe rentiâ... liber singularis.
La méthode d’Oronce avait quelque ressemblance avec celle de Werner de Nuremberg et celle dApiau. 11 y employait l’observation de la
N0N1US ET ORONCE-FINÉE. 4°l
Lune, mais un peu différemment; la manière de Werner était plus simple. Oronce faisait prendre dans une éphéméride le passage de la Lune au méridien d’un lieu connu et son lieu vrai. Il fallait de plus a'vou les règles parallacliques de Ptolémée, une horloge à roues, un globe célesle ou une sphère armillaire. On devait observer le passage de la Lune au méridien inconnu. L’horloge devait indiquer le tems écoulé depuis midi; on devait faire tourner le globe pour amener le lieu de la Lune au méridien, prendre la hauteur de la Lune avec l’instrument; sur le globe, mener du lieu de la Lune un cercle de latitude qui passait nécessairement par le pôle de l’écliptique; ceci exécuté, il fallait corriger la différence des tems du retard diurne de la Lune, et 1 ou auiait eu enfin la différence des longitudes.
On peut dire de cette méthode qu’elle a le défaut de demander des observations impossibles à bien faire, des pratiques qui ne promettent aucune précision , quelle suppose de bonnes tables lunaires , d’excellentes horloges qu’on n’avait pas encore ; h cela près , je ne vois pas d’objection.
Werner proposait les distances de la Lune, mais il négligeait les parallaxes et la réfraction qui était encore inconnue. Nonius lui fait encore d’autres reproches ; il parait qu’il ne haïssait pas la dispute.
Enfin le volume offre le traité des crépuscules et une traduction corrigée d’un ouvrage fort court intitulé des Causes des Crépuscules autrefois traduit de l’arabe d’Alhacen , par Gérard de Crémone. Dans cet écrit, qui est de beaucoup plus ancieu , on voit que le crépuscule du soir est le même que celui du matin , à la couleur près ; il est blanc le malin el rougeâtre le soir; que les étoiles sont éclairées par le Soleil ; peut-être l'auteur ne parlait-il que des plauèles. Il suppose l'abaissement crépusculaire de 19“. Le reste ressemble fort aux derniers chapitres de Nonius, qui parait avoir emprunté de lui quelques ligules poui ce qui concerne la hauteur de ralinosphère. Nonius est plus instructif et plus Original.
Nonius prouve que plus le pôle est élevé, et plus la décliuaison boréale est grande, plus longs aussi sont les crépuscules; c'est ce qui résulte
évidemment de la formule sini (F— P) cosH cos'D *lul donne la demi-durée. On voit encore qu’à l’équateur même la durée du crépuscule croit avec la déclinaison , et qu’à déclinaisons égales de part et d autre de l’équateur, les crépuscules sont égaux. Nonius démontre tout cela fort scrupuleusement , mais fort longuement.
Il établit que l’abaissement du Soleil ne saurait être constant, et quil dépend des circonstances du lems et de l’atmosphère.
Dans la proposition 3, il indique la composition d’un instrument propre à mesurer les angles avec une grande précision. Sur un quart de cercle plein, de rayons arbitraires et diflerens, décrivez 44 arcs de 90° chacun ; divisez le plus grand en 90 parties, les suivans en 89, 88 , 87, et ainsi de suite, et le dernier en 4^; mettez des numéros à toutes ces divisions.' Ces 44 arcs rendent inutiles tous les autres, qui en se raient nécessairement dessous-multiples.
Cette construction supposée, l’alidade dirigée h un astre rencontrera presque infailliblement une division juste suri un des 44 arcs> 0,1 prendra donc le nombre entier marqué par l’alidade, on le multipliera par
(22.°) t a étant le nombre des divisions de l’arc où l’on aura lu l’observation.
Outre l’incommodité de ces 44 circonférences , dont la division ne peut être parfaite, et qu il serait long de consulter, et entre lesquelles i seiait souvent difficile de faire un choix, on peut dire aussi que l’alidade aura besoin d’ètre une ligne parfaitement droite, et bien diiigee au centie; que le rayon de la 46e division sera nécessairement beaucoup moindre que celui de go°; que l’instrument devrait être un plan parfait, en sorte que la précision sera plus apparente que réelle. , ^
Supposons, par exemple, que l’arc soit réellement de 57 8 4-> —— 37° 8’ 75 = 37V 45833, l’arc de 90° n’indiquera que ^7°, et si Ion négligé la fraction, on se trompera de 8r ^5''.
, 5?, 145833 x g = 57,145851-^ l’angle
Lare de - — — = ^ — 88 — 87 » » 7’ * V'
observé pourra se lire de 46 manières , qu’ort voit dans la table ci-jointe; mais des 46 nombres diflerens qui expriment cet arc, il n’y en a pas un seul qui ne soit fractionnaire. En s’arrêtant à ceux où la fraction serait insensible, et qu’on serait dans le cas de prendre pour des entiers, on en trouvera d’abord un sur l’arc de 85 , où on ne lira que 35, mais la fraction négligée vaut 5' i3".
Sur l’arc de 80, on lira 53 au lieu de 35, 018, et l’erreur sera encore de 1' i5\
Sur l’arc de 75, on lira 3t, et l’erreur sera 3' 14",
Sur l’arc de 63, on lira 26,0, et l’erreur sera 10. 5,
Sur l’arc de 5i, on lira 21,0, et l’erreur sera 5.u,
NONIUS. 4t>3
comment se décider, et quel choix fera-t-on entre 35, 082
33,Ol8
aucune de ces fractions ne vaut 7V de 1 intervalle, quatre de ces fractions sont au-dessous de — ; on ne pourra donc, sans un grand hasard, éviter des erreurs de 3', en se bornant aux nombres qui a lœil paraîtront des entiers. Veut-on faire concourir quelques fractions simples et daboidr, en supposant qu’on puisse l’estimer assez juste, l’arc de 86 donnera une erreur de 19'.
L’arc de 74 donnera une erreur de 3' 4”
L’arc de 69 donnera une erreur de 1.43
L’arc de 57 donnera une erreur de 2.28
L’arc de 52 donnera une erreur de 3.57.
Veut-on qu'on puisse estimer | et
L’arc de 88 donnera une erreur de o' L je f
Choisira-t-on les quarts ?
83 donnera une erreur de 0.19.5 G6 . o.34
Enfin sc croit-on en état d’estimer les dixièmes ? on aura les erreurs suivantes: . . »' environ.
Quelle incertitude et quel travail , meme en supposant que vous ayez estimé le dixième au plus juste ! Vous trompez-vous d’un dixième de l’intervalle dans votre estime ? la dernière colonne vous montre que l’erreur sera entre 6' et 12'. Vous trompez-vous de de l'intervalle entre deux divisions? l’erreur sera entre 3 et 6'.
L’auteur n'a jamais eu la prétention de faire trouver l’angle à la seconde; mais pour l’avoir en minutes, il faudrait que 1 angle exprimé en minutes fût exactement divisible par l’un des quarante-quatre diviseurs; Or, combien d’angles n’auront aucun de ces diviseurs. 11 faut convenir
4o6 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
que l'idée était ingénieuse, qu elle équivalait à peu près a une division du degré de 10 en 10'; quelle pouvait être pratiquée sur l'astrolabe, et donner les quarts de degré; qu'elle serait excessivement incommode sur un grand quart de cercle, où elle ne donnerait pas même la minute; aussi verrons-nous que Tycbo, qui avait fait exécuter ces 44 divisions sur plusieurs quarts de cercle, en fut Si taécortteht; cju’il y renonça b.entôt, ce qu’il n'aurait pas fait, si les erreurs- n eussent été plus grandes que de une ou deux minutes.
L’exemple de Tycho fut suivi, la division de Nonius abandonnée; mais elle a rendu son nom céièbre, et lui a fait attribuer une idée toute différente, bien plus simple et au moins aussi ingénieuse, qui est aujourd'hui d’un usage général, et qui probablement durera toujours.
Bailly dit que son invention a presque entièrement changé de forme entre les mains de Vernier, que le. nom de celui-ci n’est presque pas connu ( il commence à être fort répandu, grâce à Lalande, qui le premier a réclamé); Bailly ajoute que le vernier nest qu un instrument perfectionné, et que le nom de Nonius y resté avec lès traces de son génie. Nous dirons avec plus de justesse, qoe l’invention de Vernier diffère essentiellement de celle de Nonius, quelle a été depuis presque entièrement changée de forme sur nos mstrumens modernes; que le vernier dont on se sert n’est qu’une invention perfectionnée, et que le nom de Vernier y reste avec les traces de son génie.
A la division de Nonius, Tycbo a substitué la division par transversales, comme beaucoup plus commode et plus sûre; les transversales ont été à leur tour remplacées avec un grand avantage par le vernier. Voilà le fait, et il est incontestable. Le livre de Vermer na paru quen
Nonius enseigne à trouver la déclinaison par la longitude et la latitude ; et réciproquement de la latitude et de la déclinaison , il tire la longitude et l’ascension droite. 11 y emploie la projection orthographique, parce que, nous dil-il, l’opération a toute la simplicité convenable , et que les constructions en sont élégantes. Mais, quoiqu’il en dise, ses conslrucr»nt obscures, ses démonstrations assommantes et conduiraient par ll°nS oute difficile aux formules analytiques que donne immédiatement k uWle sphérique. H esl vrai que Nonius ne connaissant pas les tances. “et n’emplovant que des sinus , il est tout simple que ses démonstrations soient plus longues et ses opérations plus pénibles ; enfin il
est obligé de passer par la déclinaison pour arriver à l’ascension droite, et par la latitude pour arriver à la longitude. D ailleurs 1 idée d employer la projection orthographique dans ce problème , est des Arabes.
Dans la proposition 7, il traite enfin des crépuscules, qui'l détermine encore par la même projection.
Soit (fig. 108) OIN P l’horizon, QV le cercle crépusculaire, ISTR le parallèle du Solcil*%B l’équateur, I SII l’axe du monde; 1R = sin haut, méridienne = cos (H — D) , INR = sin(H — D). H est la hauteur du pôle, D la déclinaison du Soleil == S/,
1NTS =sin amplitude du Soleil levant = 3^ = ;
IR = cos (II — D) = lSsin S =IS cos H, doù 1S= — cos h— »' SR = 1S cos S = sinH = cos (H — D) langH,
formule arabe.
Sï sin T = Sx = sin abaissement crépusculaire :
c’est la mesure du crépuscule au jour de l’équinoxe.
MT est sur le rayon du parallèle la dislance du Soleil au cercle de 6A, quand le crépuscule commence; MT = cos D sin (F — 90°), P' étant l’angle horaire au commencement du crépuscule; MS est la distance au
cercle de 0\ quand le Soleil se lève et que le crépuscule finit . . . .
MS = cos D sin (P — çp°), P étant l’angle horaire du lever.
ST = MT — MS= cos D sin (P' — 90”) — cos D sin (P — 90») = cos D [sin (P1 — 90°) — sin (P — 9°°)]
s= 2CosDsin-[ (P*— -t)o° — PH“9°°)cos»^ 9°
= a cos D sin i (P' — P) COS î(P' + P 1 So")
= 2cosD sin ^ (P' — P) cos - go°J
= 2 cos D sin ^ (P' — B) sin ~ (P' -f- P) >
ou
2 cos D sin ± (P' —P) sin^(p/ + p)>’
4o8 ' ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
. sin 2a
et 2 sm % (P P) ■ cos Hcos D sin à (P' + P) *
c’est la formule que j’ai tirée de la Trigonométrie sphérique (Astr. ; tome I , p. 34o ) ; nous avons abrégé et mis en meilleur ordre la démonstration de Nonius. C’est l’esprit de sa méthode; la formule seule est un
peu changée. ,
11 enseigne ensuite à trouver par observation la durée du crepuscu e, et l’abaissement Sx; quand Sx est connu, et qu’on a observé la duree du crépuscule, il s’en sert pour trouver la hauteur du pôle. En effet,
ail -, tt ‘ sin î° - - — r—~; mais si la formule est
on aurait cos H — 2 sîn 1 (P' — P) sin + p) cos D
bonne en elle-même, elle serait fort incertaine dans la pratique. Elle est au moins directe en ce cas , tandis quelle est indirecte pour la duree.
11 vient ensuite au problème du plus court crépuscule , dont personne, que je sache, ne s’était encore occupé; il en donne une solution 1res curieuse.
Les crépuscules vont diminuant depuis le solstice d’hiver jusque» et même un peu par-delà un point de l’écliptique, dont la déclinaison se
trouve par la formule sin D = Avant d’arriver à l’équateur, le So¬
leil se trouvera en un point où le crépuscule est égal au crépuscule des jours équinoxiaux. Le crépuscule diminue encore jusqu’à un point qui précède l’équinoxe de 1 1 ou 12% c’est le minimum ; de ce jour les crépuscules vont ensuite en augmentant jusqu au solstice dété, 1 emontie ces diverses propositions dont il est l’auteur, et que nous déduirons d une manière plus simple de la formule générale de la duree. Su.von» d abord Nonius, en l’abrégeant et le rendant plus clair.
Soit (fig. 109) EACF le méridien, EF l'horizon, GH le parallèle crépusculaire* EG =FII rabaissement du Soleil = 2a, bd l’équateur, CQ J’axe dp monde; par le point où cet axe coupe le cercle crépusculaire jnenons le parallèle LM et la perpendiculaire 10 à 1 horizon.
TA = —^7: = = sin déclin, du point T .
x — sin TAO sin H
Soit « l’obliquité de l’écliptique, et supposons
t, , • iT sin 2a
dou sinli=— — :
sm»
sin5°“ 53' 46";
ainsi, pour que le Soleil au solstice d'hiver puisse descendre en T, il faut que la latitude soit de 5o°53'46"; si la hauteur du pôle est moindre, sera plus grand; TA sera le sinus d’une déclinaison plus grande quel obliquité; si H — o,TA=oo; si H = 9o% AT = siu 2« = smi8°.
Soit
- sin oa sinacns a • • tt sinccosa . ir
AC • a T = i— — — = — r-rr— =smû>: sinll = — : - = sin22°48 29 ;
A5) — — sîn H smH sin m ** *
pour que le Soleil, au solstice d’hiver , arrive en S, il suffit que la latitude soit de 22°48'3of/; ainsi, pour tous les lieux hors de la zone torride, le Soleil pourra se trouver en S , et ce point partagera le crépuscule en deux également. En effet le crépuscule est mesuré par l’arc dont la projection est zu = zS-f- Su = 2Sm; car si vous menez le parallèle DzSmG vous aurez dans les triangles zS A et TSm l’angle commun S, les angles , z=u , T=A, et de plus,TS = AS ; donc Sw = zS et zu = acosDsin a (P' — P) sS et Su seront sur ce parallèle les deux distances au cercle de 6\ Or,
Ain a cos fl\. u sin a cos a i sin 2a
S«=AStangH=(-lrn-ff-)langH=— s lr = — U
sin 7 (P' — P)= — sl?Tgg ni mais AS= sin D=
*\ ' acosHcosU7
cosDsin^P' — P) ;
j sin sa __ sin 2 a sin II 2 sin H*
Nous connaissons sinD, nous aurons cosD et (P' — P). Nonius suppose 2<z = i6°2', ce qui est 20 de moins qu’on ne suppose communément; il fait H=38°4 o' , il en résul te sin D=si n 1 2°46' 1 1 ", sini(P'— P)=sinio0a6/55";
p==2o053'5o"= 1* a3' 35" 20'" ; on voit donc que la déclinaison est
bien moindre qu’au solstice j mais au solstice le Soleil est au-dessus de 1. puisque la latitude est bien moindre que 5o°54 J donc, au solstice, le Soleil décrirait un parallèle intermédiaire tel que Ax;B; le crépuscule commencerait en y et finirait en x ; et le crépuscule serait plus long que celui du point S; car au solstice d’hiver, par la formule générale
sin a (* t“-“* J acosHcosD sin 7 (F -f-P) 2Cos H cos * sin 7 (P'+P)*
au poiut S, nous avons trouvé
sin^P'-P)^;
4io
donc
sin i (P',— R) sin 2 a cos H cos D .
P) — 2C0S H cos « sin i ( P', -t- P. ) * sin sa
cos H cos D
“cosH cos «sin l% (P'j-f-P,)
cos D séc» __ VsccD/ =sliTT(F^Pr) "" sinRP'.+P,) ’
séc a> > séc D j donc
sin l (P', — P,) *in £ (P7 — P) =
SiniCP'i-pP.) 1 — j
car sin £ (P', -f- P,) < i Donc
donc sin^(P', — P,) > sinj (P' — P), et le crépuscule a diminué depuis Je solstice.
En général ,
sin -j (P7, — P,) sin 2a 2Co?HcosD sin } (P'-j-P)
sin -j (F — P) 2cos H cos D' sin \ (P', -f- P,) * sin aa
cosD sin ^ (F-j- P) sécD' sin £ (P' -4- P)
— c^D7 sin i (P'.+ PÔ slcD'sini (P', 4- P,) >
donc tant que séc D' sera plus grande que sécD, on doit avoir les crépuscules plus longs, parce qu’alors le plus souvent les angles horaires sont plus petits quand la déclinaison est plus grande ; mais quand 4 (P\ -f-P,) surpasse go° les sinus diminuent quand les angles augmentent, ce qui n'a pas lieu vers le solstice d’hiver où £ (P', -f- P) < 900. Il est donc prouvé que du solstice d’hiver au point S les crépuscules ont diminué. Quand le Soleil est à l’équateur
An = AT lang H = *ii““s5 =
h sin 11 cos H 1
• f» *1 /T\/ *n\ Sin 2(1
mais en S, asinj (P'P) = ir; donc
— x . /n; tv\ :„/rv n\ sm sa cos 4 (P — P) ^ sin 2a
asm j (P' — P)cos ï (P — P) sin (P
car
cosi (P'— P) = cos 10 *26' 55", et cosD=cos i2°46'ii";
