CHAPITRE IL
Albategnius .
-N ous commencerons nos extraits par celui du livre T Albategnius, parce que cet ouvrage est à la fois le plus substanciel et celui dont la date est le mieux assurée.
L’édition que je suis porte pour titre : Mahometis Albatenii de Scientia Stellarum liber cum aliquot additiombus Joannis liegio montani ex Bibliotliecâ Vaticanâ transcriptus. Lalande, à qui cet exemplaire- appartenait, a ajouté de sa main Bononiæ, i6^5; on lit ensuite
Liber Mahomet ijilii Geber , Jîlii Crueni , qui vocal ur Albategni in numeris stellarwn et in locis motuuni earuni experimenti ratione coneeplorum. Au lieu de in, on aurait du mettre de, comme au frontispice - mais nous trouverons partout cet usage de la proposition in.
Ce prinee arabe vivait vers l’an SSo de notre ère; c'est en 87g qu’il s’occupait de déterminer les positions des étoiles à Aracle (ouRacah), dont la latitude est de 36° et la longitude 10% ou o/l 40' à l’orient d'Alexandrie. Après avoir étudié la Syntaxe de Ploléméé, et s'être mis bien au fait des méthodes des Grecs, il crut reconnaître plusieurs erreurs dans la position des étoiles, soit quelles eussent été mal déterminées dans le principe, soit que le mouvement de précession, mal connu,, eût fait perdre quelque chose de sa précision au catalogue de Ptolcmée,.» soit enfin que l’erreur vint originairement de la hauteur mal déterminée du cercle équinoxial. Quoi qu’il en pût être , Albategni sentit la nécessité d’ajouter aux observations de Ploléméé, comme Ptolémée lui-même avait ajouté aux observations d'Abrachis Oiipparque ) ; car il n’est pas donné à 1 homme d atteindre à la perfection. Tels sont les motifs qui ont engagé Albategni à composer son livre. C’est là ce qu’on entrevoit dans le latin barbare de Plalo Tiburtinus , à qui nous avons l’obligation de ce livre précieux, dont 1 original n’existe plus, à moins qu’il ne se trouve à la Bibliothèque de l’Escurial (on croit qu'il en existe encore un exemplaire à la Bibliothèque Ambrosienne de Milan). Dans une préface dont on vient de lire l’extrait, il est parlé de la longueur de l’année et de l’ hictisal ( conjouction ) des luminaires qui est connu par le tems
des '.r • AI.BATEGNIUS.
lénJe ei!!’’-f!?-Ul0nS qu’AII)ateSr'i promet de suivre les traces de Pfo-
diffère’ peu de cdùTdeT™6 ^'i^ ,?eiCle e" 56o°’ Parce <lue ce nombre ^xquels ücousertle ' ^ " PaitaS£ '* cercle eu ta-%
les occupaient aulrcfV™ ,aaCle“S noms> quoique les constellations qui
A^zr^r 7res suivan* » eZ^JLT1
•ordre des fractions sexaJsimales ^7 ' ,* ^ tables pour coiiaailre la ^vision d'u„ nombre trlTmT 6 ^ '3 rnu,liP|ica.ion ou de ordre quelconque. ° P31’ uu nombre sexagésimal d'un
Cl Co'. lindé!ldnV„rt‘TrdVdfiao^lf1mèdtr7n ,2°Par,ies> »« rayon quelconque dont la corde est déjà con C° i dU SuPPlemen* d’un arc 3e 1*. Si l’on a les cordes de deux arcs^on^ C°rdeS ** 9°% de 50 £t somme et de leur différence Si l’on ’ , , aUSS1 ce,les de leur aussi celle de sa moitié • si les „ . “ * C°rde d’un arc> on a«ra
elles à très peu près comme l,.^' * Z* Pe,1,S’ *enrs COl'des seront entre de Ptolémée. ? * 'CS arCS’ Tous ibéorèmes sont empruntés
Regiomontanus ajoute ioî 7 '
assez obscure par la rédaction , duTové Z"™ f°r! simP,e ct cependant la momé de l'arc. ycn V'1 sert “ trouver la corde de
de sk moitié AC. Me'nez'le diamftre ATG^ |A ' °" denlandc la corde
5™= AB- V„„, SC=™^L^'reCTE
”rst hv®cb- p“ r"i«'s=TC S'
CoLTÈliCBi";™^ AC= „i„ i jc , .
et siu AC=3si^lccoU AC , 'tD-cosA^’ e‘ AD=ACcos^BC,
dusqu ici Albategni n’a fait m.e e„ • 1, . ==rayon~2sin*ï AC.
Ce qui suit est un changement bien rem P‘° *" labrége*nt; mais
« Le diamètre EC qui^divise en d qUable et bien important.
“ red en,ent la corde AB en deux J T a"CS.eSaux AB, divise pa- 7U,“ de la corde l l'uTTT.T^ A° e* DC> qui ^nt les ;; ^étre, comme îademteord AB' °r la COrde est « demi-
‘c AC, au lieu de le doublet 3U rayon’ Ainsi, quand on a doubler pour eu chercher la corde AB, on
„ peut s’en tenir à lare simple AG, et considérer la demr-corde ÀD ou n DB qui sont de part et d’autre du diamètre. C’est de ces demi-cordes que » nous entendons nous servir dans nos calculs, où il est bien inutile de >r doubler les arcs. Ptolémée ne se servait des cordes entières que pour „ h facilité des démonstrations; mais nous , nous avons pris ces moitiés n des cordes des arcs doubles dans toute 1 etendue du quart de cercle , »’et nous avons écrit ces demi-cordes directement a cote de chacun des> » arcs, depuis o° jusqu’à 90?, de demi-degré en demi-degré; ainsi la » moitié de la corde de 6o° se trouve vis-à-vis l’arc de 3o°; la moitié » de la corde de 120* vis-à-vis l’arc de 60% et la moitié de la corde de » 1800 ou le rayon, vis-à-vis l’arc de 90% et ainsi des antres; en sorte », que quand nous parlerons de corde dans tout ce traité, il faudra en- » tendre la demi-corde de l’arc double, à moins que le contraire ne soit » expressément déclaré ; et nous faisons cette remarque une fois pour )) toutes. »
Ainsi Albategni parait être l’auteur de celte substitution importante et si naturelle, que nous avons eu lieu de nous donner plusieurs fois, em lisant Ptolémée, qu’une idée si simple lui eût échappé, à lui sur-tout,, qui, dans son Analemme, substitue partout ces demi-cordes aux cordes entières, ou , plus exactement, qui ne fait jamais usage que de ces demicordes. Il est vrai que c’est pour une opération graphique, mais le principe est le même, la remarque était faite; il s’agissait de 1 introduire dans le calcul numérique ; la table des cordes était calculée; il ny avait qu à prendre les moitiés de toutes les cordes, et l’on avait la table des sinusp, c’est.ainsi qu’on a nommé ces demi -cordes. Des auteurs qui n avaient aucune connaissance de l’arabe, ont donné a ce mot sinus une origine plusspécieuse que véritable. La corde, en latin, s’appelle inscripla; sa moitié, semis inscviptæ , ou 5. ins. par abréviation, et plus simplement encore sins, et enfin sinus , pour rendre l’abréviation déclinable. D’autres ont donné des étymologies qui paraissent moins naturelles et ne sont pas plus sûres. Le mot arabe est gib ou dgib , qui signifie un pli , c’est la corde pliée en deux. Le pli d’une robe, en latin, se dit sinus ,
Nodo que sinus collecta Jluentes. ViRG.
Les traducteurs latins des Arabes ont remplacé gib par le mol sinus,, adopté depuis par tous les astronomes et par tous les géomètres.
Albategni se met ici en opposition avec Ptolémée.
Ptolémée se servait des cordes entières , mais nous en avons pris les:
moitiés.
ALBATEGN1US. l5
„ .C., ' 6Va't Se ll°uver 1. table des sinus; l'éditeur la supprime parce
MaeinnQ0 lr0U\e ansJef ouvrages de R.égiomontan, Rhéticus, Finkius,
ce aü e ’ rg’ ?"T*’ Sch°0len’ Caval,cri. autres; mais tous
duravonr,a ^«.ontanus, donuentles sinus en parties
au disant to, àTesq 1 g ’ C°Pia'U Pl0,eWe’ avait formé sa table n divisant tous les nombres par a ; mais si on la veut en sevnr* i * 1
on la trouvera étendue à toutes les minutes, du quart de cerel ^ Î »*’ gjomontan et dans la Métviauo n*t,r, ? 31 ‘ oe ceicle, dans Re-
Lvwe <**>■ de Br~ p™>
,a ranière de trouver >cs
OU demi-degré , et ensuite celle de trouver lVcau™ 1*" °UtrC ^ d<?g,'d ment un sijius donné. 1 u<Iuel appartient exacte-
«ra^heVlwJdo'm/dcoo'o;’ ^ W?,,e COrde -rse, il dit : Re ^ sinus du quÆTrd C°mple'mer à *>*> P-~
°» d” »y°» , le reste sera le sinZZ’se " ” de
«>loZ 9°‘; *"» d« reste,
“ *i°«‘e les préceptes pour* ^ Zc T™ ?° Vm P'US 8ra"d 9^ Ayant ]es sinus on pcul avo.r ]es co|.d;rsCaufluel appartient un sinus verse.
0n y Toil «»e daermhii*ionad“nib|^l!'lj’ jSI,,enrre f°rl
le passage : uviages nous soient parvenus. Voici
61 »» «ôté, tel quVes, déent dlnstA4. ; "°"S’ avec une -W.de
PaV6S rt«'CS parai lactiques^ *"'“•>*
Pai'fa"e qu’il nous a été possible,,! Une divisi°n la plus
^et-vé la plus petite S;n;;:‘aL0,7Jlfi;ri«lp«-ent, nous avons
trop- ; 61 la plus grande de 5g" 36' "d'oT ' ‘T <'P°1"1 verlical) de
du 2 es esl de 47° io', que l’obliLn i •’ reSU‘tC <>ue Pai'c entre les balind A'aCte de 36°- '> 9 * “ eS‘ qUC de a3° 35> el 1- hauteur
aî°ute 44* pour la réfraction, et retranche 5* pour la.pa—
rallaxe ce qui lui donne 25’35'4i" pour l’obliquité, en 879. La correction est juste; mais les observations ont-elles cette précts.on ? 11 parait nue l’alidade d’Albategni donnait les minutes au moins par estime. Nous voyons d’une part 26', et de l’autre 36'; ce dernier nombre pourrait indiquer une division en dix parties, l’observation aurait donné 59%6 ; mais ,2-26' = . 2-24' + 3' = ‘^+lV; W °u Ie,IerS dun eSPaCede 6' serait la fraction estimée.
On peut aussi supposer l’instrument divisé de 2 en 2', et alors on aurait lu sans rien estimer. Nous aurions moins d’incertitude si Albategni eut donné la longueur précise de son alidade et la division de son arc. De cette observation, comparée à celles que nous avons faites en ,800, nous
déduirons une diminution de tÆ. ou de g = °", 5o5 par année.
Voilà donc la plus curieuse des observations anciennes, et la plus sure
sans contredit; et cependant on ne peut pas dire qu’elle soit esac^e » la
minute. Albategni lui-même ne le croy=a p=.s En efle, , la hauteur
. , 1 1 ; 1 1Q° 26 7 - = 36° et il la coupole devait etre, selon lui , de a a ;
dut de 36° seulement.
Cette observation donne lieu à la réflexion suivante : voilà Albategni qui se sert, pour l’obliquité de l’écliptique, de l’instrument miagme par Plolémée pour les parallaxes. Comment Ptolémce , qm na pagine nous dit-il, ses règles parallacliques que pour avoir un rayon beaucoup plus grand et une division du degré plus étendue que par tous les instrumens en usage à Alexandrie, n’a-t-il pas employé cet .nstrumen pour mesurer les hauteurs solsliliales du Soleil comme .1 a fa. pour la Lune mesurer tes u comment n’a-t-il pas profile dun instrument
nouvetm et^us parfait, pour vérifier les deux points fondamentaux de P Astronomie ? comment, avec cet instrument, a-t-.l fa.t daussi mauvaises observations de parallaxe? comment ne voit -on pas une autre mention de cet instrument, ni de ses usages? Ne serait-ce pas que cet instrument n’a jamais existé à Alexandrie, et qu il en est es \ cg es pa rallactiques comme du quart de cercle sur une biique, a\ec oqi c prétend avoir observé les distances solslitiales, et mesure un <- er>rc> s ns entrer dans aucune autre explication. J’avoue que je ne vois dans Ptolemée qu’un théoricien , un calculateur, et bien rarement ou jamais, », observateur; enfin, un calculateur qui suppose des observations pour se procurer les données de ses calculs.
. ALBATEGNIUS. i5
Pour calculer en tout terns la déclinaison du Soleil, Albalûgni donna la règle sin D = sin& sin O , qui est identique à celle de Plolémée, et celle dont nous nous servons encore.
Pour l’ascension droite, son précepte est encore celui de Plolémée, en y substituant . les sinus aux cordes, smA
. . COS O COa A ** -
COS «sin fti .sii) Q cos A cos « sin D
sin* cos Ô sin « cos D co* ® On peut arriver à la règle
d’Ukugni par notre formule tangA = cos« long© , ou par la formule tangD sm A tanga. Albalegui donne sa règle saus démonstration; il ne ait, en cet endroit , aucun usage des tangentes dont il parlera plus loin, et dont ,1 ne sentait pas encore toute l’utilité. 11 a cette ressemblance avec lolemee , qui n’a pas senti de quelle commodité seraient pour les calculs le, smus et sinus verses dont il se sert uniquement dans son Analemme.
Il parle ensuite de la sphère droite; il avoue qu’aucun voyageur n’a pénétre jusqu’à l’équateur; il cite seulement les régions Sanahaban et giemen, qui en sont très voisines. Il traite des climats de jours et de peui-^'1 obliquités delà sphère, en termes très obscurs,
ailleurs exposé beaulonp“ pWclafremem ”J eûlrCV01t nen <1"i ne soit
. ÎSrss£ ~
domiees en milles. Nous n’en citerons que cette ligne : IT^/esTTe
ZtTs!! 7 T T"1 depa,ler' C'CSl “PeU^ le ^’nn de Vt
}ou,s. S il MJ a faute dnnpression, ces milles diûèrcul étrangement de ceux des astrouomes d’Almamoun. G Ç
et t'77';UdeS °.at ltë delermine'es Pa,'ks tems des éclipses de Lime, traité de C de$ Par.les la*''™>s méridiennes du Soleil. 11 parle enfin d’uu
fcs li i7 S’aP “a"5 leqUEl ’ 4 rin’iUlioH de Plolémée, il a marqué P liions moyennes de quatre-vingt-quatorze régions.
11 P^se aux amplitudes, et voici son nrécentf* • s r ,
ong jour sur .V, vous entrerez la tÏÏ
IJXZZT r 7S,C:S; V0US y ajou,crez go% ce sera l’are semil semi-diui.ne le lit ' ^ °""^VOus !a 'etranelwrez de go* pour avoir l’arc cos« si,»P — cos US C,°Ur!' 1 011 ^ cet arc semi-diurne, grand ou p#tit, son’ quelc3~ u0eS ,p il;:de S0 SI !iale; An lieu de a> mettez une déclinai- > a^ec aie senii - diurne qui lui convient, vous aurez.
l'amplitude. 11 ne dit pas comment on aura l’arc semi-diurne qui convient à la déclinaison.
Si vous connaissez la latitude H, vous aurez sin amplitude =
Ces règles sont encore les nôtres ; il ne les démontre pas.
Pour trouver la latitude par le plus long jour, vous ferez comme ci-
■dessus, cos où sin P = cos amplitude, et -r — — *! ,-=cosH.
7 r 7 sm amplitude
Pour trouver le plus long jour par la hauteur du pôle , il fait comme
les Grecs cos P=^^.^-g== tango» tangll; mais il n’emploie pas encore les tangentes.
Pour avoir la longueur de l'ombre ; soit v la hauteur du gnomon , h la hauteur du Soleil ; ombre v = v cot h = v tang N ; on supposait
> = I2 parties; on aurait pu de même choisir tout autre nombre, et principalement 6o. Albategni ne se sert pas encore des tangentes.
De l’ombre observée, voulez-vous conclure la hauteur? multipliez
...... . .co s*h ... . . »acos 2 A
l ombre par elle-mome, vous aurez cra ;= v3 -r— T ; - ; — —
L sin ah' 1 sin* h
#asin*/i -f-»acosaÆr
sin 11 h
= ^*=£1 el sin*=;; + = (hypoténuse)- j
sin h = cos h = Ainsi voilà trois règles pour obtenir la hau¬
teur par la longueur de l’ombre.
Afin d’abréger, nous mettons en équations les préceptes d’Albategni ; mais les Arabes n’ont pas connu l’usage des équations; à cet égard ils ne sont pas plus avancés que les Grecs.
L’ombre debout (umbra stans) s’appelle aujourd’hui ombre verse; c’est l’ombre du complément de hauteur , c est le contraire de l’ombre étendue ? car elle est la plus longue à midi, et la plus courte à l’horizon; elle a
pour expression a’ = = v tan gh=v cotN ; retournez la formule, et
vous aurez la hauteur par l’ombre verse. En imitant ce qui précède, on aurait la hauteur par son sinus et son cosinus, aussi bien que par les tangentes.
u Youlez-vous connaître l’ombre par la table des ombres étendues ? » cherchez la hauteur dans la table, vous trouverez , à la suite de cette » hauteur, l’ombre qui lui convient. »
Les Arabes avaient donc, au teras d’ Albategni , des tables des quantités.
ombre r= cr = v = 12 cot A= 12 lang N, et par conséquent des tables
de tangentes, mais calculées pour le rayon 12, tandis que les sinus étaient calculés pour le rayon 60 ; mais en multipliant ces tangentes par 5, ou on aurait eu les tangentes pour le rayon 60.
» Voulez-vous avoir la hauteur par l’ombre étendue? cherchez l’ombre « dans la table, et vous trouverez sur la même ligne la hauteur à laquelle » elle répond. Si cette ombre ne se trouve pas exactement dans la table, » vous prendrez la plus voisine , et vous calculerez la partie propor- » tionnelle.
» \ oulez-vous connaître l’ombre debout ou verse par la hauteur? » prenez le complément de cette hauteur, avec laquelle vous trouverez » 1 ombre demandée; si vous voulez connaître la hauteur par l’ombre, » vous entrerez dans la table avec les doigts de l'ombre ; vous trouverez >> à côté le complément de la hauteur, d’où vous conclurez la hauteur » même. »
"V oilà bien la première idée des tangentes; voilà des tables qui donnent les tangentes de tous les arcs , et par lesquelles tout arc peut être connu d après sa tangente. Le malheur est ce choix du rayon de douze parties, qui était encore une imitation dune pratique grecque. Albategui ne sentit pas l’utilité de ces tangentes pour les calculs trigonométriques , et la preuve, c’est qu’il n’a pas changé le rayon. Les Arabes ont depuis reconnu , du moins à quelques égards , 1 utilité de ces lignes pour abréger les calculs.
Pour connaître le zenit de la hauteur ( c’est-à-dire l’amplitude mesurée sur l’horizon) en un lieu quelconque de la Terre, et à une heure quelconque ( semt est le mot Arabe que nous écrivons zénit , il signifie point), cherchez sinD et cosD, siuH et cos H, sin h et cos h , vous aurez
/ sin P sin h sin II \
sin zénitdchauleur = ^ Cos azimut
= 51U amplitude ; c’est la formule moderne : les Grecs ne l’ont jamais connue. Voilà encore un pas dans le calcul trigonométrique. La formule générale donne le moyen de trouver un angle par le moyen des trois cotés connus.
Voilà donc notre formule fondamentale,
cos azimut cos h cos H -J- sin h sin H=^: sinD ;
il est vrai qu’elle était dans l’Analemme de Ptolémée , qui ne 1 a pas vue; elle est dans l'opération d’Albategni, dont nous avons rassemblé les différentes parties pour en composer notre formule.
Albategni enseigne ensuite à décrire la méridienne et la ligne est-ouest, par deux ombres égales, en avertissant que l’opération sera d’autant plus
juste, que le Soleil approchera plus du solstice.
Si vous connaissez le lieu du Soleil , vous pourrez trouver la position de la ligne est-ouest , et par suite la méridienne, par une seule ombre observée. 11 suffira de calculer l’amplitude par la formule précédente. l a longueur de l’ombre donnera h, par ce qui précède; vous connaissez D et H, ainsi tout sera connu. Il eût été curieux de voir la démonstration d’Albategni; Regiomontanus y a suppléé; mais rien ne nous assure qu’il ail deviné la manière de l’auteur. On peut arriver au même point par bien des routes différentes; il nous suffit que la méthode soit identique à notre formule moderne. Contentons-nous de trouver une pratique commode et sure, qui était absolument inconnue aux Grecs, qui pourtant avaient dans l’Analemme plus qu’il n’en fallait pour l’apercevoir et la
démontrer. .
Le lever et le coucher de l’équinoxe donneront , sans aucun calcul, la
lïmie est -ouest et la méridienne. Je crois en effet que c’est par cette li^ne est-ouest, des levers et couchers solstiliaux, qu on a tracé les premières méridiennes. La hauteur méridienne équinoxiale sera la hauteur de l’équateur. Vous pourrez connaître la ligne est -ouest par le passage du Soleil au premier vertical , ce qui n’est praticable que dans les tems où la déclinaison du Soleil est de même dénomination que la latitude. Pour cela, il faut connaître la longitude du Soleil, sa déclinaison, la hauteur du pèle , d’où vous déduirez la hauteur méridienne, au iour que vous aurez choisi.
Soit BF la hauteur méridienne (fig. 2), FA son complément, HK la hauteur du Soleil au méridien inférieur; menez la droite FMCH, qui sera le diamètre du parallèle du Soleil; EC sera le sinus de l'amplitude ortive, FG le sinus de la hauteur méridienne.
EM=DL:=sin.haut. O au premier vertical.
Le triangle ECM donne tout de suite,
sinBD=DL=EM=ECtangC=sm«.colH=^ cotH = — ,
équation que donnerait également la Trigonome'lrie sphérique. Au lieu
de ce moyen si simple, Albategni prend un détour assez, long, que voici :
Le triangle FGC est semblable au triangle MEC,
