GC : EC :: FG : EM
„ „ / FCr \ sin D f «in (H — D) \
EG’ W + KC; — eoaH ^ (H D) J »
équation fort incommode et très inutilement compliquée. Heureusement, contre son habitude, Albategni donne la démonstration, sans laquelle la traduction était inintelligible.
Pour trouver le sinus de la différence ascensionnelle, il donne deux
. , i ,, • i m , sinHsinD
règles dont lune est inexacte; la première est sin dA\ = — cô~I5~> au
lieu de s^.— la seconde est sin = sin & cosP=tangH tango»
COatl COSD7
San JR. ;== sin yîl tang (A^l), étant la différence ascensionnelle solsticiale, ou la plus grande de toutes; on voit que cosP est le cosinus de 1 arc semi-diurne du solstice.
11 donne ensuite, pour la conversion des heures temporaires en équinoxiales ou réciproquement, les mêmes préceptes que Plolémée.
Il expose comment, par la hauteur méridienne du Soleil, on peut trouver la hau teur du pôle.
Dans le problème suivant, chapitre XYI , il se propose de déterminer, par une observation d’ombre ou de hauteur du Soleil , la partie écoulée du jour depuis le lever du Soleil.
11 suffît, pour cela, de connaître l’arc semi-diurne, et de calculer l’angle au pôle par les trois côtés. Dans ce dernier calcul, on peut employer la formule donnée ci-dessus pour le cas tout pareil où il s’agissait de trouver l’angle au zénit par les trois côtés du même triangle. On peut soupçonner qu’Albategni n’avait pas vu la généralité du théorème , car il cherche ici une solution nouvelle, au lieu qu’il suffisait d’échanger les côtés. Voici cette autre solution :
Cherchez la hauteur méridienne du Soleil pour le jour de l'observation-. Cherchez l’arc semi-diurne; enfin, observez uue hauteur du Soleil avec le quart de cercle , ou par la mesure de l’ombre.
Cherchez le sinus verse de l’arc semi-diurne.
Soit A l’arc semi-diurne ; cosA =— tangD tangH;
i — cosA=siny.A=i-f-tangDtangH:
cosDcosII+sinDsi nH cos (II — D) ^
cos D cos H “* cos 11 cos D ’
(H — D) = 90° — hauteur méridienne du Soleil.
Soit h la hauteur observée ; faites sin 4 sin verse A = sin ^ C°îS ;
cos U cos H
divisez ce produit par îe sinus de la hauteur méridienne = cos (H — D)>
vous aurez
sin h sin verse A sin h
cos (H — D) cosD cos II ’
retranchez cette quantité du sin verse de A, vous aurez
cos ( II — D) sin h
cos II cos D cos H cos D
sin verse B,
B étant un arc qu’il faut mettre à part, pour le retrancher du demi-arc diurne, si l’observation a été faite le matin, et qu’il faut ajouter à l’arc semi-' diurne , si l’observation a été faite le soir ; divisez par 1 5 l’arc ainsi trouvé
ou faite , vous aurez les heures équinoxiales écoulées, et vous-
pourrez ensuite les convertir en heures temporaires; notre formule serait
sin h — sin D sin H
eos R = c„, i) ë„,iî *
— oSjn..Lp— 5inT.p— ^D3i"H-'inft-HinD^H^(H-D)-sin;,,
cos H cos D cos D cos I I ’
c’est la règle qu’Albategni donne en deux parties; mais on ne voit pas' dans son livre comment il a pu arriver à ces pratiques, qu’il ne démontre pas.
On voit du moins que la Trigonométrie a subi de grands changcmens par la substitution des sinus aux cordes, et par l’introduction des sinus verses. "Voila déjà deux solutions du problème qui fait trouver un angle par les trois côtés. Il emploie l’une pour l’azimut, et l’autre pour l’angle horaire; il en aurait peut-être cherché une troisième pour l’angle au centre de l’astre.
L angle horaire trouvé, on aura l’ascension droite du milieu du ciel, cl les points de l’équateur et de l’écliptique qui sont à l’horizon.
On voit enfin que l’usage des heures temporaires durait encore chez les Arabes, vers l’an 900.
ALBATEGNIÜS. iï
t<e tems etaut donne, ou peut demander la hauteur du Soleil; couver*tissez les heures données en degrés; retranchez-les de l’arc semi-diurne, si cest avant midi, il vous restera l’angle horaire; si c’est après midi, retranchez lare semi-diurne de l’arc trouvé, le reste sera l’angle horaire. Vous en chercherez le sinus verse = asin*|P; retranchez ce sinus verse de celui de A, on de 2siua j A; vous aurez par ce qui précède
2sinajA — asin*^ P = s;n* « pV
\ cos H cos D Sin
multipliez par cos(H-D) ==sin hauteur méridienne , vous aurez CWiA WiP)co5(H-D>=^H^sîn.Vp)cos(H D);
divisez par sin verse A = vous aurez
v cos (ft — D) COS H COS r>
OU
asina ^ À — asina | P ^cos(H — D) . , , <
sin verse A ~ V cos HoosD“~ 2Sm* * V cos (11—15)“
sin v. A — sinv. P
sin verse A — = cos (H— D)— asm4 ^ P cos H cos D
= cos II cos D -f- sin II sin D — cos H cos D . asinaŸ P =sin HsinD-|-cosII.cos D cos P= sin h ;
le précepte est juste il est identique h notre formule fondamentale: mais ce precepte est inutilement compliqué
Dans le chapitre XVIII il enseigne à trouver les lieux des étoiles par rapport a 1 equateur , quand on les connaît par rapport à lecliptique c est-a-dire les ascensions droites et les déclinaisons par les longitudes t les latitudes. ° e
Si 1 étoile A (fïg. 3) a une latitude AB, ajoutez celte latitude à celle du point de l’équateur, qui a même longitude que l’étoile; prolongez la
mrndVnB ,UT“, ,1’f.fIuateur on C> al)aisscz les perpendiculaires AD
et JiL; AD sera la déclinaison de l’étoile, et
sinAD^siDACsinC==Sln.ACsi"fl,sînTD~ «i"AC,gn»t«,igBC cot - sin ACcos.
slnBG sinBC cos BG~ *
cest la règle indiquée par l’auteur : elle équivaut a . cherchez cos AC et cosrB . vous aurez cos AD cos CD = cosAC , ou . . .
coc pr\ cos AC .
CD~"è3rÂD; PUIS ^ = rD= yC—CD;
a2 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
nous ferions lang CD = tang AC cos C ,
sin CD /sin AC
OU
et
cos CD
sin CD =
£)cosC =
\cosAC sin AC sin * cos T* B cos AD
: — i'i sm ® cos i
cos AD cos CD
sin (A -f x') sin» cos L cos D
On voit que la méthode d’Alhategni est la même au fond que la méthode perfectionnée depuis par Tyclio, dans ses Progymnasmes. Tycho doit à l’usage des tangentes, ce que son calcul a d’avantage en simplicité.
Il fait lang BC = sin r B tang a ; tang vC='-^8-~ 1 cosC = sln“ cos Br •
Il trouve ces trois quantités dans les tables de l’écliptique; il fait ensuite tang CD = cos C tang AC, et sin AD=sinCsin AC, et tD=tC — CD.
On voit que les Arabes connaissaient les formules sin arc perp.=sin hypoténuse, sin angle à la base; cos hypoténuse=cos base. cos côté perpen. diculaire. Albategni réduit habilement le calcul h celui des sinus ; il eût été mieux encore d'introduire les tangentes dans le calcul des triangles rec-
tanglcs. .
Dans le chapitre XIX on trouve la formule exacte du sinus de la ditle»-
ronce ascensionnelle = tangD tang H==^ . , l'erreur remarquée
ci-dessus est sans doute une faute de copie.
Ce qui rend ce chapitre obscur , ainsi que beaucoup d’autres , ce sont les dénominations auxquelles nous ne sommes pas habitués ; ainsi, la déclinaison est appelée longitude de l'étoile comptée de T équinoxial; c’està-dire probablement distance à V équateur.
Dans le chapitre XX, on retrouve la théorie de P.olemee pour les ascensions obliques. On y voit le mot nadahir dont nous avons fait nadir, c'est-à-dire le point diamétralement opposé à un point quelconque qu ou appelle zénit. Le zénit de la tête (point vertical ) , est le point du ciel où arriverait une droite menée par les pieds et la tète. Zénit du Soleil ou d un astre quelconque est le point du ciel auquel on rapporte cet astre. Nous avons restreint la signification de zénit et de nadir.
Le chapitre XXI enseigne à trouver l’heure de la nuit par les étoiles.
Cherchez le point culminant avec l’étoile , la déclinaison de celle étoile, sa hauteur méridienne et son arc semi-diurne.
Soit MEO (6g. 4) le parallèle de l’étoile , ou plutôt la projection orthographique de ce parallèle. Ml = sin A = sin hauteur méridienne, EN = sia h = sin hauteur observée de l’étoile.
ALBATEGiN'IUS.
Ml:EN::MO:EO, ou sin A: sin /i :: MO: EO =
sin A 7
sin A : (sin A — sin A) :: MO: MO — EO = ME = MOfrmA-sint)
sin A
-MO = cosD-f-cosDcos arc semi-diurne = cosD(i -J- cos P)
==2ccsDcos*£P=cosDsinv. P,
ME = MO— EO=cosDsin v. P — —
sin A
r-cosD sîn v‘Psin A— cosD sin v-Psin/t — co- p ^ ^ p Ain A — sin K sin A \ sin A /
= cosD sin v. P
s (H — D) — sin /;\ cos (II— D) )*
ME sin v. P [cos (H — D) — sinÆQ . , ,
cosD* - ^ (il — D) - - = smv* anS*e horaire de 1 étoile.
Cet arc retranché de l’arc semi-diurne, ou ajoute' si l’étoile est à l’occident, vous donnera le tems sidéral écoulé depuis le lever de l’étoile.
Prenez ensuite le degré de l’équateur qui monte avec l’étoile , ajoutez-y le mouvement du ciel, vous aurez le point de l’équateur qui monte à 1 horizon j vous en conclurez le point qui est au méridien et celui qui est à 1 horizon occidental ; comparez un de ces points avec le Soleil, vous aurez 1 angle horaire du Soleil et l’heure équinoxiale.
Renversez cette solution , vous aurez la hauteur de l’étoile par le tems.
Pour trouver l’amplitude de l’étoile ou son amplitude à une hauteur donnée , vous suivrez le même précepte que pour le Soleil, en substituant la déclinaison de l’étoile à celle du Soleil. Vous aurez ainsi fort exactement l’amplitude , si Dieu le veut. Cette formule pieuse revient à chaque instant chez Albategni.
Chapitre XXIV. = sin amplitude ; deux eboses connues dans cette cquation, vous aurez la troisième.
Chapitre XXV. Trouver la longitude et la latitude de l’étoile par l’ascension droite et la déclinaison, ou par la déclinaison et par le point qui culmine avec l’étoile.
Ce problème est au fond le même qui nous a donné ci-dessus l’ascension droite et la déclinaison par la longitude et la latitude; ainsi il sufTii ait de renverser les formules. La solution de l’auteur est fort obscure.
1 our tâcher delà comprendre, ramenons d’abord aux sinus les solutions rno ernes qui emploient des tangentes. Nous aurons ( fïg. 5)
sinA=sinCD=smBCsinB=sin(D cT) - ^l7 • • •
tangBD=tangBCcosB, ou tangBD=tang(D — JN)sinwcosÆ.
sin (D — «î')sin* cos A sin(D— <tQsin*cos A ^
“ ^s (D — J) cos BD cos a
et
sinBD=
sin (D — sin aicos A
