ZY

d’où

/ , ZB\«sinA o sinA /sin AN „„

\ ' a ) sin A" sin A*~^“ \sin A"/ * *

sinA l sinA \ëinA / \ sinaA /

.__/asinAsin(A-f-»)\ , /'sinA.sin(A-f-»)Y7-n /sin9CA-ftf)\

\ sinA'sinA" ) sjnA'sinA" / * v »in2A' /

or.

sinB :sinH :: ZH : ZB = ^Ls— — sin(B+g) x

sin B \sin B/ sin A'

/sin(A'-f A-f-*)\

\ sinA )X .

*>' = ^ __l ^sir Àsin(À-f^)'\flifl (A'-j-A -f-«) ^sin*(A+*A^.

\ smAsinA" sinA'sinA" ^ sin*A' r

' ) X , /sin(A4-^v .

\sin2A'sinA"/ tSlnAsiu(A, -f" A-f-eo) — - sin Af'sin(A -f- »)].*■*. . . .(>3);

or, à cause de sin A" = sin(A-f-A') ,

le facteur de x * = sinAsinA,cos(A+^)) ~f" sinAcosA sin(A -f-w)

— sinAcosA'siri(A + «) — cosAsiuA'sin(A + a>) = sinAsinA'cos(A -f- a) — cosAsinA'sin(A + &>)

= sinAsinA'cosAcosw — sinAsinA'sinAsiqw

— cos AsinA'sin Acosa> — cosAsin A'cosAsina — — smaAsinA,sina> — cos*AsinA sin«

= — sinasinA' ;

/gsinAsin ( A-H*)\ r /sin«sin ( A+«)\ T%

J% - ^ sinA'sinA" )X \ sinA'sinA" /

sinA'sinA"

/asinAsinZ\

\sinA'sinA"/ X

/ sinasînZ \ \sinAsinA /

or, AP = a sin Z, = G = perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le plan; donc

v. /G»nA N . (l5).

y VsinA'sinA / \sinA siuA /

L’équation (14) est donc 1 équation générale des sections coniques, et elle ne dépend que des angles du triangle, des angles que le plan fait avec les deux cotés, et enfin de la distance des sommets de la courbe et du cône; et pour la Gnomonique, 1 équation (i 5) ne dépendra que du gnomon et des angles.

On voit déjà que le facteur de a: ne dépend que du gnomon et des

trois angles du triangle.

Il est évident que dans notre construction, la courbe est une ellipse, puisque Taxe ZH coupe les deux côtés du triangle et du cône au-dessous du sommet.

Plus le point « s’él^nera , plus l’angle « sera petit; car il s’appuiera toujours sur ZY, et Tes deux autres côtés iront en augmentant.

Cet angle s’évanouira quand Taxe ZH sera parallèle au côté AG; la courbe sera une parabole.

Soit donc où =o ; l’équation de la parabole sera

/ G sin A \ /as inZ sin A\ /g sin A\ . .

3 \sinA'sinAV X xsinA'sinA"/ X \ sin A / * * \ J *

car en ce cas, sin A' = sin Z = sin(i 8o* — A) = sin A.

Si l’angle BZH continue à diminuer, l’angle a> qui vient de passer par o sera négatif, l’axe HZ prolongé ira couper le côté GA prolongé

GNOMONIQ^E. 529

au-delà du sommet, il entrera dans le cône oppose'; ainsi en faisant a> négatif, on aura pour l’hyperbole

— /gsinAsin(A— )\ , -/ain^sinÇA— âj\ /

? \ sinA'sinA" )X^r\ sinA'sinA" JT . *

a sin(A — -ùû) = A sin Z = AP = G sera toujours le gnomon. La Gnonionique nous fournira les angles ; nous pourrons décrire la section d'après les données naturelles du problème.

Dans l’équation à l’ellipse , soit xz= o, nous aurons^* = o.

Soit ensuite j% = o; nous aurons

/nsinAsin(A4-*)\ /sin*sin(A-J-»)\

\ sinA'sinA" / \ sinA'sinA" ) *

flsinÀ=o:sin!» , et oc -

= grand axe = am . ( 1 8).

O S rosui

Soit x == m = —

sin a

. /'asinAsin(A-t-*>)\ /£asinÀ\ /sin*sin(A-l-*)\ |a9sinaA

^ \ sinA'sinA" ) \ sin* ) \ sinA'sinA" / sin2*

ÿgasinaAsin(A-f-*) { a*sin2Asin(A-t-*) ^gasinaAsin(A-f-«)

sinA'sinA'sin* siuA'sinA'sin* ” sinA'sinA"sin * * * * * ' d/J

y = n = } ordonnée au milieu du grand axe = i petit axe.

ig9sinaA sin*sin(A-f*) 77iasin»sin(A-f-»)

sina* * sinA'sinA" sinA'sinA"

sin*sin(A-f-*)

sinA'sinA'' . * .

Portons ces valeurs dans l’équation

Soit p ==; 2 m — , , ou — = -7 , alors

y' = px~(^)x' .

comparons cette équation aux équations (i4) et (i5), nous aurons

osinAsin(A-f-*) APsinA

‘ sinA'sinA' sinA'sinA'

53o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

valeurs tout-à-fait indépendantes de la hauteur du pôle, puisqu’il n'y

entre que les trois angles du triangle ABG, ou AZY.

La Gnomonique ne considère que des cônes droits, dont 1 axe commun est l’axe de l’équateur, et dont les bases sont les cercles parallèles que décrit le Soleil ; en ce cas , A,=A,/=(9°°',“ï-^)î ainsi, pour la Gnomonique,

GsinA

sin^o0— i A)

2Gsir^AcosjA 2g tang-î A = îGlang { (i 80” — 2D)

= aGcolD . .(25),

et celte valeur est la même pour les trois courbes et pour toutes les latitudes.

Dans l’équation générale, mettez les rapports des côtés à la place des rapports des sinus des angles opposés, et vous retrouverez les expressions d’Apollonius pour les trois paramètres.

Dans la parabole, le grand axe = =co . (26);

il est infini.

Dans l’hyperbole, le grand axe = . (27);

il est négatif; il est en dehors de la courbe.

On trouverait directement cette expression du grand axe par un calcul tout semblable à celui que nous avons fait pour l’ellipse, et l’on prouverait que les ordonnées de l’hyperbole sont imaginaires dans toute l’étendue du grand axe.

Dans l’équation générale,/* = px rp supposons /* r=z'-p*y

nous aurons

\p'z=px — (£)**, ou ip=x—~l, \mp = imx—x',

ÛC% — 2 mx 4- m' = mi—jmp =

x = mdz \/m% — j mp = m±m \J i— £- = m ± m \J i — ^

= mzhm v/i — cos* é = m±m sine . (28) ;

sJn £= excentricité de l’ellipse. Ainsi, x est l’abscisse qui aboutit a l’un ou l’autre foyer, et le demi-paramètre est l’ordonnée au foyer.

Dans la parabole, soit x = ±py yt=±p*y y =z±p • c’est encore l’ordonnée au foyer.

Dans l’hyperbole, x= — = — mdbw(i -f-tang*<p)î',

= — m + m séc <Q = — m( sec <p — i)

= — m tang <p tang Ÿ

Ainsi le paramètre n'est rien moins qu’étranger à la courbe , ainsi qu’on le croirait en lisant Apollonius, car il en est une des ordonnées les plus remarquables; mais les anciens ont fait peu d’attention à ces foyers, auxquels ils n’ont pas même donné de nom.

Appliquons nos formules à la Gnomouique.

.» /Gsin A\ /sin*sinZ\ # /aGsin ^ Acos £A\ /sinosinZ

Vcos^A/*37 \cos4£A/*r \ cos4jA )X \COSajZ

= (aGoolD .

or, sin Z est le sinus de la hauteur méridienne du Soleil sur le plan de la courbe ou du cadran = cos (H — D).

Sin a est le sinus de la hauteur du Soleil, à minuit, sur le plan

du cadran = cos(H + D) . (3o);

donc

y = (2GcotD>- ^(H+D)cg(H-D)^r.

= {-n™. n}„ ^Gc°tD.co.(n+D>osfH-D)\

V J \ aGcotDsin‘D JT

= (aCcotD Y=P*-(ty.

\cos(H-j-D)cos(H — D) J

d’où il est aisé de conclure que p = (aGcotD) , et

2GcotDsin4D QGsinDcosD

2m = cos (H-j-D)cos(H — D) cos(H-J-D)cos(Il— D) ;

en effet, la Gnomonique nous donne

G[tang(H + D)— tang(H-D)]

GsinaD

cos(H4-D)cos(H— D) flGsinDcosD

“ cos(H-j-D)coa(tT^D)r

Quand la courbe est une ellipse, le Soleil est visible toute la journée. Quand la courbe est une parabole, la plus petite hauteur = o> cos (H + D) = cos g0« = o , 2m = oo.

Quand la courbe est une hyperbole, la plus petite hauteur est négative (H + D) > go° ; le cosinus est négatif, ainsi que le grand axe.

La formule est donc générale pour les trois courbes ; mais elle dépend de la latitude

na P a pm* pm 2GcotP GsinDcosD

m1 am 9 Tl *~~~ 2m 2 2 * cos(H-f-D)cos(H — D)

GacosaD

cos(H-j-D)cos(H — D) . . *

GcosD

/l Vco3(H-f-D)costH— D) ’

n sera infini pour la parabole; il est utile pour l'ellipse , mais absolument inutile dans l’hyperbole, puisque l’axe n’a aucune ordonnée.

L’ellipse et la parabole, qui n’ont lieu que dans les zones glaciales, sont pour nous de simples objets de curiosité. L’hyperbole nous intéresse davantage; les formules sont

r=(2GcotD >*+0^— V

= (^).+(==î5±^g®=ïï)*. . (5,),

m— Gsi"Pcos°-— , n= - — P - p = 2GcotD. . .(33).

cos(II-f-D)cos(H — D)* y cos(H-t-D)cos(H — D)

On pourra donc tracer les hyperboles indépendamment des lignes horaires, et en multipliant les points autant qu’on le jugera nécessaire. Alors, pour les heures, il suffira des ombres ou des tangentes des distances zénitales, qui, partant du pied du style, vont couper les arcs des signes à des points qu'on déterminera par des intersections, en prenant pour centre le pied du style, et pour rayon la tangente de la distance zénitale. A tous ces points d’intersection on mènera, du centre du cadran, des droites qui seront les lignes horaires.

Les géomètres ont donné, pour les sections coniques, des équations où n’entrent que des lignes. Les astronomes en ont donné qui sont fonctions des anomalies vraies et des rayons vecteurs; en voilà pour la Gnomonique, qui ne dépendent que du gnomon, qu’on fera bien de prendre pour unité, de la déclinaison, qui est la même pour tous les cadrans, et enfin de la latitude, c’est-à-dire de la hauteur du pôle sur le plan du cadran.

Si H = 90%

GNOMONIQüE. 5!

’ r = (.GcotD)* = (2GC01D)* — jc'

= (2GcotD — jc')Jù= (<P — •*)*£> équation au cercle ;

GsinDcosD .n „ GcosP r* ««» n

m = . âo — = GcotD, « — t/^=n\ ^ GcotD;

smaD y sin ’D

la courbe est un cercle ;

p = 2GcotD == diamètre du cercle;

il n’est pas besoin d’autre chose que de la formule du rayon.

Aboul Hhasan nous donne des préceptes fort longs pour trouver ce paramètre, selon que la courbe est une parabole, une hyperbole ou une ellipse; et comme il suppose toujours la même déclinaison, il arrive toujours au même paramètre, malgré la diversité de ses pratiques. Cette remarque , qu’il n’a pas faite, aurait sufli pour prouver l’existence d’une formule générale. Au reste, en rassemblant les règles données par l’auteur, en les mettant en équations , et en substituant d’une formule à la suivante, on arrive au résultat 2G cotD = 24 cotD , que m’a donné ma formule pour le cône droit.

Voyons maintenant la méthode d’Aboul Hhasan. Il s’agit de tracer le parallèle du solstice d’été pour un lieu placé sur le cercle polaire , à 66° 25' de latitude, et pour cela il faut trouver le paramètre de la courbe, qui est uue parabole , puisque le côté inférieur du cône est parallèle à l’horizon.

Prenez le cosinus de la déclinaison, ou cosD = cos 23° 35';

Doublez ce cosinus ou prenez 2COsD;

Multipliez ce produit par lui-même, vous aurez 4cos*D ;

Multipliez ce carré par le cliametre de V ombre > c’est-à-dire par notre a ;

19 ia 12 ia

u (H — D) cô^b'G’ao' — a3° SS')”- ~ cos 4a0 5o' 41x147° 10' 9

4 ■ eus* D . 1 a 48 cos4 D 48 cos4 D 48 cos4 D , ^

/ cos (90° — D — D) cos (90° — aD) "smaET iTsin D cos D = 2/* COtD*

Ce procédé n’est pas très loug, celui de l’hyperbole le sera beaucoup P us, il esj un peu p]u3 long dans Aboul Hhasan qui, faisant vérilable-

4C^°)9co.s9D

mem cMTNTd)’ est obligé de diviser par 36oo pour détruire l'effet du

facteur 60 , rayon qui multiplait cosD. Nous simplifions en faisant le

rayon = i.

Passons à l’hyperbole. Il suppose H=3o et D = 23° 35' = a>. Voici les règles qu’il nous prescrit.

I*. Equation = e = ou e= sinD tangH; multiplier, par 60

pour avoir e en parties sexagésimales. L’auteur trouve e= t3*5i'. Nous trouverons ’SVytt de plus.

2°. Cherchons cosD, c’est-à-dire 6ocosD; nous trouvons .

54,987 = 54° 5g' 19" 32. Aboul Hhasan dit 55?. 11 met moins de scrupule dans ses évaluations.

3°. Faites (cosD + e) (cosD — e')=285pi 7= 169902 (Aboul Hhasan dit 169991), et couservez le premier produit.

4°. Cherchez le grand axe des deux hyperboles opposées , en calculant l’ombre méridienne aux deux solstices, et prenant la somme ou la différence suivant les occasions. Nous aurons plutôt fait par la formule

tvm G «n(H -}- D — H 4- D)

C [tang (H -t-D) — laug (II — UJJ = + coa(II D)

GsinaD i2sin47°io'

1=3 côlpï — D)cô7(lT+D) ““ cos53°35'co36°25' = 14*917 = i4,’65/,02.

L’auteur trouve . i4*55

5°. Faites

« 3inPtangn smD sinH sinH cosH /J/

Aboul Hhasan donne . 27.42.

Élevez ce nombre au carré , il sera 768'’32 = 46099^2 ;

Aboul Hhasan trouve . 46037.

Conservez ce second produit.

6°. Divisez le premier produit par le second, vous aurez au quotient 3,6856.

70. Multipliez l’axe par ce nombre et vous aurez pz=. 54,9773 = 54'' 58' 38", 28,

à une fraction près comme dans la parabole, pour la même déclinaison, 23* 35'.

Nous ferions 34 col D, et nous obtiendrions le même résultat par trois

logarithmes ; il en faut vingt-cinq pour la méthode arabe, quoique nous aJons supprimé le rayon 60.

L’identité des résultats prouve déjà que les deux méthodes conduisent au même but. Mais rassemblons les méthodes de l’auteur.

e = sinD tang H == partie du diamètre du parallèle entre le plan de l’horizon et l’axe du monde.

(cos D -f- sin D tang H) (cos D — sin D tang H s=

/cos D cos H -4- si n D si n IIWcos D cosIT — sinDtangH\ cos (H — D)co3 (H -f- D)

\ cos H y\ cos H / cos* H

C est le premier produit; le second produit sera

/sin D tanglïy /sin D\a sin* D

\ sin H / \cosH/ cos* H *

i*rproduit cos(H — D) cos (H -f- D) cos*H cos(H — D)cos(H-f-D) n*

a* produit cosaH * sinaD"” sinaD "“m4*

C’est le facteur de x*, dans la formule de l’hyperbole.

asin DcosD

ÛXe cos (H — D) cos (H + D)*

C’est notre expression trigonométrique.

s a* produit

;\ asin DcosD cos (H — D) cos (

/ cos (H — D) cos (II -j- D) sin* D

Multipliez par la hauteur du style = 12, et vous aurez a4cotD.

Ainsi, tous les facteurs étrangers introduits par l’auteur se sont effacés el n’ont laissé que notre formule générale sGcotD, comme il était arrivé pour la parabole. Passons à l’ellipse; et pour que le Soleil ne se couche Pas, soit II = 78° 28' et conservons, D = 25° 35'; les distances zénitales méridiennes seront 55° 27' et 770 ; le Soleil ne fera que tourner autour

de 1 horizon, sans jamais en être moins éloigné que de 55° 27'. C’est le tas de l’ellipse. Les préceptes de l’auteur sont à peu près les mêmes que pour 1 hyperbole; pour nous, il est bien sûr que nous aurons encore

24cotD = 54^,9774.

u\ons Aboul Hhasan , comme ci-dessus;

e=sinD lang II — 117,652,

(sinD tangH — cosD)(sinDtangH-|-cosD)= 10815P = 648700'

= premier produit,

= 14415^0 = deuxième produit, quotient = o,75o43.

Ici l’auteur prend la somme des deux hauteurs méridiennes, parce que l’une est au nord et l’autre au sud ; mais notre formule est générale ; elle donne la somme des deux tangentes et le résultat est le meme pour le grand axe; ce grand axe, multiplié par le quotient, ou par le rapport des deux produits, est 54,9778 = 54° 58' 40,/>°8-

On voit que c’est toujours le même paramètre, malgré la différence des courbes et celle des latitudes, parce que c’est toujours la même déclinaison; il en résulte que la formule du paramètre ne doit pas renfermer la latitude; c’est ce qu’on voit par la formule />= 2GcotD.

Aboul Hhasan n'a pas vu cette simplification de ses règles; il n’a pas vu qu’une seule formule donnait le paramètre dans tous les cas; et que pour une même déclinaison et un même gnomon, le paramètre est invariable ; ce qui dispense de tout calcul , quand ce paramètre est déterminé une fois pour toutes. C’est en effet un théorème assez remarquable , et qu’il était assez difficile de prévoir, aussi ne l’ai-je vu* dans aucun auteur ancien ou moderne, et il était assez important pour u’être pas négligé far les auteurs qui nous ont donne des méthodes si compliquées poui liacer les arcs des signes , daprès les propriétés des sections coniques.

Si la déclinaison = o , le paramètre 2G colD = 00 , ce qui prouve que la courbe devient une ligne droite, ce qui est connu d ailleurs.

PZ = G tang (H — D) = G tang distance zénitale méridienne ,

a 2, — - — = G séc distance zénitale méridienne.

cos (H — D)

On voit que ZH est la méridienne qui passe par le pied du style , ou la méridienne du plan, et non celle du lieu.

AP est la perpendiculaire abdissée du sommet du cône sur le plan du cadran ; AP est donc le style, car toujours les sommets des cônes opposés sout au sommet du style.

Pour construire la parabole, Aboul Hhasan emploie la méthode des moyennes proportionnelles : y'=px,y— d’un rayon =i (p+x)

il décrit un demi-cercle, dont il partage le diamètre en deux segmcns p et x; la perpendiculaire au point de section est/.

Pour l’hyperbole y* = px -f- (y^) x% = Px 4- qx% = ( p +• qx)x,

y = -f* <7*)* ; ainsi pour trouver le diamètre du cercle, il faut aug¬

menter le paramètre d’une quantité qx ; pour l’ellipse il faudrait prendre (p — qx)x.

Quand il a le paramètre, Aboul-Hbasan construit des tables ou des échelles qui lui donnent, pour chacune de ces abscisses x9 les valeurs {p qx) et le rayon \ (x + p -f- qx ). Il serait encore plus court de faire

une table y = (px -f- qx*)*.

Ici se termine la partie vraiment intéressante de sa Gnomonique; il ne traite, dans tout le reste, que des cadrans de fantaisie , dont il a parlé précédemment, tels que les cadrans cylindriques, perpendiculaires à l’horizon, à un vertical ou à un plan quelconque*, les cadrans dans un hémisphère creux, horizontal ou vertical , et les cadrans sur des feuilles de paravent, comme ceux que lord Elgiu a rapportés d’Athènes. (Voyez tome II, p. 5o4).

Au chapitre XLII il détermine la latitude du lieu pour lequel un cadran a été construit; il en retrouve le gnomon perdu. Pour ce gnomon, les cadrans arabes offrent un moyen particulier; ce gnomon est l’excès de l’ombre de l’ashre sur l’ombre méridienne. Scs méthodes n’ont d'ailleurs rien de nouveau.

Il se propose ensuite ce problème : Tracer le parallèle du plus long jour d’après celui du jour le plus court ; et, sans connaître la latitude, notre formule

. , , /cos(H— D) cos(H-f-D)\

ja=(2GcotD).z+(— - - J *

, ,, . /fcosHcosD + sinHsinD)(cosHcosD— sinlIsinD)^

= (aGcotD).r-f-^ - 7ün*D - )X

/ ^ , /cosaH cos* D — sinTI sin* D\

=(aGcolD)*+( - îsrp - )■*'

f ~ . /cosaH — cossHsinaD — sinaHsinaD\

=(aGcotD).r-f^ - —75 - ) *

/ n .t\\ 1 /cos* H — sinaD\ .

= (2°cotD)-r+(- SÏ^ÎD -

nous donne

y1 2G cot D , cos* H

xm x ‘ sins D

Quand on a l’arc du jour le plus court tout est connu dans cette formule,

à l’exception de H; on tirera donc la valeur de

aG sin D cos D

cos*H=(^)sin‘D-

-+ sm*D

gft>in n cosD + sin, D(, +£).

Connaissant H on pourra calculer l’autre hyperbole a 1 ordinaire.

Les deux hyperboles opposées sont toujours égales; car supposez que D change de signe, sin’D n’en changera pas, cos(H— D) deviendra cos(H-f-D); cos(H + D) deviendra cos (H D); le produit ne cliangéra pas.

Gsin 2D . . » GsinDcosT)

Le grand axe 2772 cos(Il-D)cos(H+D) et Sa m01 16 m ços(H— D)cosCH4-D>

ne changeront pas de valeur, ils ne changeront que de signe , parce que d’une hyperbole à l’autre on change le point de départ.

Le paramètre change de signe avec cotD; mais a: en change ega c- Wient , parce que les x ont une direction contraire ; ainsi la formule est la même pour les deux hyperboles opposées. Déterminez donc le grand axe Sa (fig 1 37 ), prenez-en le milieu en a; à partir de ce milieu prenez, a\ vous aurez les sommets des deux hyperboles; menez la ligne •vzVdu second axe, de tous les points de l’hyperbole tracée CAC', abaissez des perpendiculaires sur yy> telles que C7, Bft B'(3',C>'; continuez ces perpendiculaires, en sorte que yc=yC, 4/3 = /3B, etc., et vous aurez autant de points que vous voudrez de l’hyperbole eue , ou, pour abréger, ployez le papier selon yay\ en sorte que «A se superpose sur aa, et calquez cac' sur CAC' en transparent. . , , , ...

Mais pour déterminer le grand axe il faut avoir la hauteur du pôle.

On a , au jour le plus court ,

ombre méridienne = G tang(H + D) = G tang(H -f- «) ; on aura donc H, si l’on a le pied du style. Si on n’a que 1 hyperbole et la hauteur du style, il faudra recourir au moyen exposé ci-dessus, qui donne cosH par xj et D.

Soit 1 == tang <p , <P sera l’angle que la corde hyperbolique, menée du sommet du grand axe au sommet de l’ordonnée, fera avec le grand

flGcotD , cos* H , , . a

— - - f- — = I -I- tang*<p = secft<p

x sin3 D °

x sin* D

COS r — - 2q gjn j) CQ;j J) -J- x cos* lî

Soit K la corde hyperbolique

» * * QG sin3 D cot D -f* x cos*H

* /Ti - (n — r. - - -

x sin* D

K.= — = (2G eotD.a:+??ÇS^*V = ^(^^ + 2î!J-ISl*-

cosp \ sin'D / \ x rsinaD// *

on aura donc x,y et R ou les trois côtés du triangle rectangle'.

Avant de quitter les Arabes, voyons les usages de ces formules, qu’ils ne connaissaient pas, mais dont l’idée m’est venue à la lecture d’Aboul Hhasan.

Faisons-en l'application au cadran d’Athènes, que nous avons calculé tome II, page 493. Ce cadran est un vertical du midi ; nous pouvons le considérer comme un horizontal pour un lieu qui serait sur le même

méridien, niais à go° d’Athènes; la latitude 37° 3o' deviendra .

37° 3o' — 9°° = — 52° 5o'; à la vérité ce lieu n’aurait pas les mêmes heures temporaires , mais l’angle horaire n entre pas dans nos formules nouvelles.

Nous aurons donc

H= — 52°3o', — H-f-D=— H-H>5°5i'=— 28*39' et —H — D= — 76*2 1 * ;

nous aurons toujours

p=2GcotD = ax iop55'cotD=2i',,iocotD=2i'>,i eot 23° 5 1=47^727,

aGsinD cos D - - are

grand axe = C0^(H lb) cosCH+Dj— 5f ^7^5 ,

demi-grand axe = 18,839275 ,

ri 3 cos(Iî — D)cos(H-f-D) xcc-

m3 sinaD *9 7 y

Le plus simple serait de donner à x les valeurs 1, 2, 3 et successivement; mais pour nos vérifications il faut calculer les x et lesj d’après les ombres et les angles de notre cadran, tome II, page 495, ce qui dou- >lera la longueur de l’opération.

x ^ =fc PH' = G tang (H — D) =+= ombre cos angle,

J = ombre sin angle.

Ainsi , a deux heures du méridien

Hiver . Été.

cos angle . 0,8787656 cosangle = .

ombre = 7.04 . 0,8476727 ombre = 83,02

sinangle=4o.5i . 9,8i563i5 sinangle = 35, 21