f- 2 sin £ ->J, * ,cos a
sinJR.:sinL'::sinB:sinA::sinB:i ;
or sitiB < 1 ; donc sin A < sin L'; donc > i , mais cela ne
suffit pas.
sin = tangcf cota), sin L' = sin «T cot a>;
on a donc
COS
2 — sin >41 ___ a — tang ^ cot » a sin * — tang ^c*os « A sin « sin «T
2 — sin L' 2 — sin «Tcoséc » 2 sin ? — «in f a sin » sin"/ —
.sec &
2 sin» — sinr — -
sec »
2 sin» — sin^ *
or séCdT <séca> , dont le numérateur est plus petit que le dénominateur; mais si l'on avait /=o, le facteur serait ^4— = ia d’où il ne sensui-
2 sin » *
vrait pas que fût = 1 , ou  = o.
sin = 0.64279, sin L' = o.67527
2 — sin & = i.3572i , 2 — sin L' = i.32473
sin (D — «f) = sin BG. . . 9.39345 sin ca. . . 9.60215 cosÆ.... 9.88425
sin 4° 20' 57". . . 8.87985 2 — sinyfl... o. 1 3265 C.(2 — siuL')... 9.87787
sin BD = 4*27' 21" 8.89037
vrai BD = 4 .28.3i
différence = 1.10
sans le facteur BD = 4*20.57
erreur... 7 . 34*
Oa voit donc que ce facteur diminue considérablement l’erreur , mais
qu’il ne l’anéantit pas; L' ne dépend que de l’ascension droite et nulle**
ment de la déclinaison ; mais À et L' restant les mômes, A peut avoir
une infinité de valeurs différentes; ^-^ = séc A peut être une quantité considérablement plus grande que le facteur mais supposé
que je me sois trompé sur les deux arcs, quels peuvent être ceux qui rendraient le rapport éeal à — — ou P T C09 f = L ?
11 ° COS A 2 - COS y COS A
Pour remplacer — — , il n’a pu mettre - ■ colP __ 2 — ■
1 COS A ' 1 2 - COS J' cos L
cos Æ.
2 COS /R COS DcÔSyR . 1 7 i
a cos Ai cos L/ — ’ car cos^ Peul etre P*us grand comme plus petit
que cos S' , alors le facteur pourrait être ou plus grand ou plus petit que
l’unité; il ne pourrait donc remplacer qui est toujours plus grand.
Il en serait de même de a s!n-~»
2 — sin D
Il n’a pu prendre les distances de C et de B au colure, car .
2 __ sin CG 2 — cos Æ. cos D 2 — cos yft cos D
- ■■ nü — — - - - — -T- — = - - n - j pourrak encore être tan-
2 — sinDK 2 — cos L 2 — cosJEvcos^ r iau
tôt > 1 et < 1 , selon que D<cf ou D>cf;
siuCG est toujours < sinDIv; car sinCG=cosL cos A=cos^RcosD,
et sin DK = cos L ,
p. — sinCG^2 — cosLcosA asécL — cosA 2sécL — i+2sinaàA 2sina*A
2 — cosL 2 — cosL 2sécL — 1 2sécL — 1 —— 1 "• 2sécL— 1*
2tanga^A 2tangs-jAcosaÎA
— =8ecA=i+UiigAtang^A=i-
— tanga ^ A
cosa^ A — sin1 *A
2sinaàA 1 — 2sin1 'm.x r
mais2sécL — i>i et 1 — 2 sina ^ A < 1 ; donc les deux expressions ne sont pas égales, et d’ailleurs L est inconnue. Il faut donc en conclure que l’expression d'Albategni est inexacte.
Après ces préliminaires un peu longs, examinons le texte latin de Plato Tiburlinus.
Partis declinationem cum quâ Stella cœlum mediaverit ejusque longitudi nem ab œquuliei circulo sume , ce qui doit signifier : prenez le point de l’écliptique qui culmine avec l’étoile et la déclinaison de ce point. Mais le traducteur parait confondre ces deux arcs en ce qu’il appelle la déclinaison , longitude du cercle équinoxial , ou distance au cercle équinoxial.
ÀLBATEGNIUS. 2Q
ce qui se conçoit encore; mars alors il faudra que déclinaison signifie la ongitude du point culminant. Il ajoute : retranchez la plus grande de la plus petite , c’est-à-dire sans doute faites (D — <f) = différence de la eclinaison de 1 étoile a celle du point de l’écliptique, le reste sera la ongitude égalée , c est-à-dire la distance égalée; ceci ne peut faire aucun doute.
Prenez-en le sinus et le sinus de ce qui lui manque pour valoir no"voilà donc sin (D-J) cl cos (D — d'). Cherche* ensuile le sinus Je la déclinaison totale et le sinus de son complément h 90»; voilà sin « et cos car la déclinaison totale est l’obliquité de l'écliptique, puisque îquile de 1 écliptique est la plus grande des déclinaisons du Soleil Ve lune cordant perjectionis dcclinationis ex 120 minue et quod renia,,sent eru corda longior. no' sont le diamètre, qui, suivant nous, =2 Vous aurez donc 9
Corde plus longue = 1 20' — cos déclinaison = 2 — cos déclinaison ;
mais quelle est cette déclinaison? aurons-nous 2 — cos», 2 — cos D
ne^T^ 2-COsA> ou enfin 2 cosL'? On ne sait lequel, et l’on ne voit pas un autre arc qu’il puisse appeler déclinaison.
Prenez le sinus du complément de la déclinaison de la partie oui a me die avec Veto de, et relranchez-la de lao'- ce sera lv ?
vous aurez doue ’ Sera la C0rde mS'“éntee;
Corde augmentée = 2 — cos , ou 2 — cos L'.
Ici, nous n’avons que le choix entre «T et L'.
Deuide totam declinationem in diametri medium multiplica , multipliez la déclinaison totale par le rayon. Il a voulu dire sans doute le sinus de la déclinaison; il fait donc 6o' sin »; nous ferons simplement sin » ; divisez par le cosinus de la partie qui médie avec l’étoile ; ce qui en proviendra sera la corde de la déclinaison égalée. Voilà sin décl éealée
~cos.il> °“ c^Ü’- ^chet-en lé cosinus. 11 nôüs dit de remarquer quelle est sa partie et son nom, ce qui ne peut signifier que remarquez si elle est boreale ou australe. 11 s'agit donc d’une déclinaison. Mais quelle
pourrait être cette déclinaison dont le sinus à pour expression sin* OU SÎn* • * cos Al*
cosL'' Ccsl ce qui ne parait pas facile à deviner.
3o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Multipliez le sinus de la déclinaison égalée par le sinus de la longitude égalée. Vous aurez donc -- ^ ^ , ce qui pourrait bien être . 1
sin<wsin(D — J)coSyR de notre formule (2); au lieu de diviser, il faudrait donc multiplier , et la déclinaison serait l’ascension droite.
Multipliez par la corde augmentée et divisez par la corde plus longue ;
Nous aurions donc sina>sin(D — cf) cos Æ. Q- ^ , en mettant x et
y pour les deux arcs douteux; mais la véritable expression est, suivant la formule (2),
• Ti tv • / f tm sin» sin (D — «hcosyfft sin • sin (D —
sin BD = sin (L — L' ) = - - - — y - = - - —
v ' COS A COS D
cos L
Ce n’est pas tout encore : multipliez le produit par le sinus de la longitude du degré avec lequel t étoile a médié, comptée du colure voisin , par les ascensions du cercle direct , c’est-à-dire par cos .R. Ainsi, en rassemblant les préceptes du traducteur.
si™ sin (D— J) cos A = sin différence = sin (L— L') ,
. . , sin » sin (D — J) cos y®.
au lieu ne - —— - — •
Dans les préceptes qu’il donne pour savoir si cette différence de longitude est additive ou soustractive , on voit que dans les signes descendans et lorsque la déclinaison de l’étoile (la distance au cercle équinoxial, la longitude du cercle équinoxial ) est boréale, la différence est soustractive de la longitude du point culminant, ce qui est vrai. Si l’étoile est australe, la différence est additive , ce qui est encore vrai.
Dans les signes ascendaus , au contraire, et si l'étoile est boréale, la différence est additive; elle est soustractive pour une étoile australe. Ainsi Ton aura le degré de l’étoile parmi les degrés des signes. Tous ces préceptes sont clairs.
Jusqu’ici il a supposé la déclinaison de l’étoile plus grande que la déclinaison du point culminant, c’est-à-dire D> J' et de même signe ou dénomination; si le contraire a lieu, on fera (D-f-cT)= longit. égalée. Il est bien clair qu’il parle de la somme ou de la différence des déclinaisons, qu’il appelle des longitudes, c’est-à-dire des distances à l’équateur.
Le précepte qu’il va donner pour cette seconde supposition devrait
... albàtegnius. -
de Vn ™/TCrqUe P°U1 ,!? première’- >' D> aura que (D + J) au lieu ( cf). Écoutons Plalo Tiburtinus.
Ja corrpp!'62 & '*“* * l“ ^cUnaison (Il met ici le sinus et non lare •
L J j qUC c°US aVO"S faÜe ci-dessus donc bonne.) par le sinus a distance a lequateur; (11 met toujours longitude pour dislan» t mu tip iez par le cosinus de la longitude égalée, divisez parle demi diai ’/
s.n déclin, égalée = au Ijcu de «yonsî,,.
Les.express.ons SOnt très différentes et toutes deux inexactes
Multipliez par le sinus de la distance de Vétoile à Vé~r- di : pat le cosinus de la distance à l’équateur • multinli,- ] ’ i
mentée et divisez par la corde plus longue ■ multinlie " 7 COn^
la déclinaison égalée, divisez par le cosinus’ de la décïiZZon toZë^ j“ tiphez par le sinus de la longitude de la partie avec laquelle eéto'îl “ ~ medie, comptée du colure voisin; divisez par le rayon et vous aurez" la fference •, que vous emploierez somme il a été dit.
sia dëcl. ëgalëe = -in " cos ^
sia différence = s*n D Ça cos x) cos déclin, égalp* .fi cos D (a — cos y) cos « râÿôn S3 Sm D /2 ~ cos X\ / COS r * .
cos D * \2— . Côs y) VcoS^ J L 1 — smo)COs(D-f au lieu de siact) sin m* 1 \ /a cos— ja
>COs L' J \2 Cüs — y J *
OU de sin ai sin ( D -f- J ) cos yll sin » si n (D -f- Cos y
COS A "côTS
Les deux expressions exactes renferment une inconnue; les deux express.ons du traducteur sont inintelligibles et diffèrent entre elles; elles t besoin de corrections , mais ces corrections seraient trop arbitrages; il n’y a que le facteur inintelligible QE~~) qui se retrouve e meme dans les deux leçons. L’auteur, qui pouvait commune»
£ï:~ 1,‘ l‘,,i,nd* (o. V ..... z
P p ien plus complique et presque aussi impraticable.
^dëZt7LtZCOnnaTr lf,Udeet la paHle (°u la dénomipar le sinus de lad/’ SlnUS de !a d““>™ d l’équateur
l’étoile; divisez de‘hnau?n du deSré dans lequel vous avez trouvé * par le cosinus de la déclinaison totale , «ure*
le sinus d’un arc. Ainsi
sin D cos /R
sin arc = - ;
cos»
mais par déclinaison du degré dans lequel vous avez trouve l étoile , j’entends la latitude DF, point de l’équateur qui se trouve dans le cercle de latitude de l’étoile; alors l’expression devient
. sin D cos / •
sin arc = - = sin <p ,
COS
et ce sera ma formule (3); la longitude tD étant trouvée, onia considérera comme une ascension droite, et l’on aura, par la table de l’écliptique, le point culminant fictif F, sa déclinaison fictive DF = A', qui est la latitude de ce point de l’équateur; on pourra donc calculer l’arc <p = CF.
Si Vajc trouvé (<p) est plus grand que la déclinaison de la partie dans laquelle vous avez trouvé l’étoile, retranchez-en la déclinaison de ce degré, c’est-à-dire si <p>A', faites — X' = A ; c’est ma formule (4); s’il est plus petit , retranchez-le de cette déclinaison ; d’une ou d’autre maniéré, vous avez la latitude , c’est-à-dire que A = <p — A', ou A' — <p , ce qui est juste.
11 n’y a donc aucune incertitude sur cette dernière partie du problème; on peut être étonné seulement que l’auteur ne soit pas entré dans plus de détails sur la manière de trouver l’arc subsidiaire <p; mais celle que j’ai indiquée est sûrement la véritable.
Quant à la première partie, ou l’expression de sin (L — L'), il paraît encore certain que l’auteur a dû suivre à peu près la marche qui m’a conduit à ma formule (a); mais comment a-t-il éliminé cosà? c’est ce qu'il m’a été impossible de deviner. L’auteur termine ce chapitre en disant : Scito hoc si Deus voluerit , malheureusement, Dieu n’a pas voulu.
Le précepte pour la latitude est bon; mais il suppose la longitude bien déterminée, et nous n’avons pas la preuve qu’Albategnius y ait parfaitement réussi. Mais comme ce problème servait principalement pour les planètes, cos A différait assez peu de l’unité, et nous avons vu que pour une étoile dont la latitude serait de i3° 37', l’erreur de la formule, qui me parait être celle de l’auteur, n’est guère que d’une minute.
Ce qui peut nous confirmer dans l’idée que la solution précédente est inexacte en elle-même, du moins pour ce qui regarde la longitude, indépendamment des bévues du traducteur, c’est que la suivante est déçi-
dément mauvaise, sans aucune ambiguité. Il s’agit, comme ici, d'un problème déjà résolu, celui de trouver le troisième côté par les deux premiers et l’angle compris. En effet, pour trouver les longitudes et les latitudes par les ascensions droites et les déclinaisons, on a les deux cotes cù et (90 — D) avec l’angle compris (90° -f- Æ.) ; on devrait donc avoir (90° à) par le cosinus ou sinus-verse, à volonté ; après quoi
cos ./4R cos D 1 ' 1 j .
cosL = - — A - , par la réglé des quatre sinus.
Soit BA (fig. 6) un arc de l’écliptique, GE un arc de parallèle , FA et FB les deux cercles de latitude, ABGEA une espèce de quadrilatère formé par trois arcs de grand cercle et un arc de petit cercle.
Il est démontré , dit notre auteur, que dans les quadrilatères inscrits au cercle, la somme des produits des deux côtés opposés est égale au produit des deux diagonales. Il ajoute que dans un quadrilatère sphérique dont deux côtés sont parallèles , comme AB et EG , et les deux autres côtés égaux se réunissent au pôle de AB, les deux diamètres seront égaux et que leur produit GA x BE = AB .GE + AE .GB ; AF =90° = BF ; ce sont les cercles de latitude. Qu’une des deux étoiles soit en A sur l’écliptique, et l’autre en G; on aurait tout simplement cos AG = cos AB cos BG ; on ne voit pas l’ulilité d'une autre solution.
Menez FMC sur le milieu Mdu parallèle (Cet arc passera par l'intersection I des deux diagonales), FG=FM = FE, GB=MC = EA GM=iGE.
Les triangles FBC et FGM seront semblables. (Jamais on n’a fait ce rapprochement d’un arc de grand cercle avec un arc de son parallèle. )
GM : BC ::FG : FB; cela serait vrai des rayons de ces cercles, en mettant les sinus à la place des arcs FG et F B. L’auteur suppose AB = 60% BG = 3o° ; nous ferions
cos AG = cos AB cosBG = cos6o° sincos3o° = sin 3o° cos 3o°= { sinGo* = cos 64* 20' 27".
Albategni le trouve de 54° 19', trop faible de io° 1' 27'.
Regiomontanus , qui n’a fait aucune remarque sur le chapitre XXVI, quil a sans doute trouvé impossible à comprendre et à réformer, dit de ce dernier moyen, qu'il est intricatus et modicœ reputationis , utitur enim lineis cuivis tanquam redis. Il se contente de mieux démontrer
que le quadrilatère ABGE est réellement inscriplible à un cercle. Àlbalegni, en terminant ce chapitre, dit qu’il sert, comme le précèdent, pour les nativités; en ce cas, ils sont tous deux assez bons; on peut seulement leur reprocher la longueur des opérations , qui demandent plus de tems et de travail , pour ne donner que des résultats erronés. Pour la gloire d’Albategni , il faut croire ces deux derniers chapitres interpolés par quelque astrologue ignorant et charlatan, qui aura voulu donner un air de mystère à des opérations qui seraient fort simples si l'on ne s’était attaché à les rendre obscures et difficiles.
Dans le chapitre XXVII , il cherche la longueur de l’année , et nous dit que les Egyptiens et les anciens Babyloniens la faisaient de 565' i5' 27' 30'' ou de 365* 6* 11' o". Personne, que je sache, ne l’avait dit avant Albategni. Nous ne savions rien de semblable des Chaldéens. Quant aux Égyptiens, nous ne leur connaissions que l'année de 365' ^ et l’année commune de 365'. Si les uns ou les autres ont trouvé cette autre année par lesdevers héliaques, elle ne peut être que sidérale, et par conséquent trop forte de 20' 20"; l’année tropique sera de 365' 5* 5or 4°" > l'erreur des Babyloniens aurait été moindre que celle des Grecs. Notre auteur ajoute que Ptoîcmée avait déjà remarqué que cette année devait être sidérale; peul-tT.re en jugeait - il ainsi d’après sa longueur; avec sa précession de 56", qui 11e font que 14' 38" de tems solaire, il devait en conclure une année de 565' 5h 56' 22". Ptolémée, à l’exemple d’Hipparque , la fait de 365' 5* 55' 12". La différence n’eût été que de 70", et Ptolémée disserte longuement pour démontrer qu’il faut retrancher du quart de jour qui excède les 365 jours. Comment aurait-il négligé une confirmation si importante de son hypothèse? Mais Ptolémée ne dit rien de semblable; je n’ai pu trouver lcpassage qu’Albategnius avait en vue. Ptolémée articule au contraire très expressément qu’avant Hipparque l’opinion générale des mathématiciens faisait l’année de 365' il n’en cite aucune autre; rien ne nous atteste d'ailleurs la science des Chaldéens. Ils auraient pu, à force de répéter les observations des levers héliaques, déterminer passablement l’année sidérale, sans pour cela se douter le moins du monde que cette année n’était pas celle qui ramène exactement les saisons. Rien ne dit qu’ils aient observé les ombres solsticiales du gnomon , et ils auraient pu très bien s’y tromper de 20' sur la vraie longueur de l’année tropique. Il ne paraît pas que Ptolémée ait eu la moindre connaissance de cette année chaldéenne ou égyptienne; il serait sûr au moins qu’il n’en aurait pas fait le moindre cas.
Albategni montre plus de confiance aux équinoxes qu’aux solstices; \ Pre^re meme 1 equinoxe d’automne à celui du printems , parce que air est plus pur. Il compare un de ses propres équinoxes à un équinoxe g Plolémee. Cet équinoxe est de l’an 1191 d Hilcfaruain, ou 1206 après la mort d’Alexandre; avant le lever du Soleil, le 19 du mois elul des Romains, c’esl-à-dire le S pachon du mois d’alkept, 4hq5' avant le lever du Soleil; or le méridien d'Aracte est de f d’heure plus oriental que celui d’Alexandrie, de sorte que l’intervalle3 des lems est 743 années égyptiennes, et 178 f — f d’heure au lieu de 1 85 f , qui auraient eu lieu si 1 année était de 365'^; la différence 7/ o* 24' divisée par 743, donne 0.0094434; en sorte que l’année sera 565,^o5566 = 3G57 o 46 24 , trop faible de 2 26’', et plus exacte de beaucoup que celle de Plolémee; mais s’il y a erreur d’un jour sur les équinoxes de Plolémee, on pourra ajouter f ou 2' environ, eu sorte que l’année eût été fort bien. Observons pourtant que ce résultat n’est fondé que sur une comparaison unique; qu’Albategui parait avoir négligé une minute sur la hauteur du pôle; que son armille devait être en erreur d’une minute, et 1 équinoxe en erreur d’une heure; que l’erreur de l’observation plus ancienne est probablement beaucoup plus forte, cl que les connaissances astronomiques sont aujourd’hui trop avancées pour être améliorées par de pareilles observations : il serait donc assez inutile de recommencer le calcul, pour y apporter les attentions négligées par Albategni.
Il en resuite que le mouvement diurne est de 5g' 20'" 46" 5A' ,4*» ct que pour une année égyptienne de 365/, il est de 359°45'4G"25'"3 i'Wi” C’est d’après ces nombres qu’il a formé ses tables de mouvemens moyens! Ici Halley trouve 32” au lieu de 3i.
Pour déterminer l’inégalité, il se sert de la méthode d'Hipparque, suivie aussi par Ptolémée; de l’équinoxe d’automne à celui du printemps
il a trouvé ( chap. XXVIII) . 178' 14* 3o'
de cet équinoxe au suivant . ,86. ,4.45 presque ,
ce qui ne fait cependant que . 3G5. 5. , 5 erreur, 43 ou 44';
du dernier équinoxe au solstice suivant ... . 93.14* o
en i86> 14*45' le mouvemeut est . i83°56' 12"
en 95.14 . 92.14.10
excès du premier arc sur 180° . 3.56.12
nio,lië . i.58. 6
second arc moitié de Texcès .
ôtez go* il restera . o° 16' 4”
sin i6'4" . . . . 7.66965
