CHAPITRE Y
Bénédicte Jean de Padoue, etc .
J oannis-B aptistœ Benedicti, patritii P eneti, philosoplii , de gnomonum umbrarum que solarium usu liber nunc primum in luceni éditas , etc ► Turin, xÔ74-
"V oici encore un auteur enthousiaste de son art, mais qui choisit un peu mieux ses motifs pour l'exalter. On ne peut lui reprocher qu’un peu d’exagération dans la manière dont il les fait valoir. Comme Schoner, il se donne pour inventeur. Il déclare qu’il ne connaît aucun livre de Gnoraonique ; il convient pourtant que Ptolémée , dans son Analemme, a traité de trois principales espèces de cadrans. Il a lu Commandiu; mais il lui reproche la difficulté de ses méthodes et leur insuffisance, puisqu'il est rare de trouver un mur qui n’ait aucune inclinaison.
Il reproche a Nonius d’avoir prétendu qu’avec l’heure, la déclinaison et une hauteur du Soleil, on ne pouvait connaître la hauteur du pôle. La prétention, à la vérité, paraîtrait un peu étrange; il est vrai que la formule fondamentale, si souvent employée par les Arabes, ou
sin/i = cosP cosD cosH + sinD sinH=sinD(cosP colD cosH -f- sinH)
= sinD (cosH taug <p -f- sinH) = ^^(sin^cosll -f- cosp sinH)
sin D tin (<p -j- H)
cos <p
ou sin (<p -j- H) = , quand on a fait tang<p = cosP colD,
exige un artifice de calcul qui n’était pas alors très connu; ou pouvait encore moins faire
sin/i= cosP cosD
i — tang*f H i -f- taug2à H
2sîn D tann;{ H î -f- taug1 i H 9
qui conduisait à une équation du second degré.
BÉIN’ÉDICT. 6i3
sm A-f- sin h tang3 \ H= cos P cosD — cosP cosD tang1 { H 4- 2 si nD tang ^ H , sin h tang^H -f- cos P cosD tang9^ H — 2sinD tang 1 H=cos P cosD — sin h >
lam J ®inD \4 .TT cos P cos D — sin A
^ 9 \cos P cos D sin h) tan& 9 ** cos P cos D~-J- sinh 9
tang9 1 H — ia tang H -f- a* = ax -f- b,
tang j H = -f- a de («*•+• b)* = -f- a rh <7^1 4- — ^
sinD sin D
cos P cos D 4- sin h cos P cos D + sin h
^ P cosPcos D — sinft/cosPcosD-l-sin £f\a""U
L1 cos P cosD -f- sin //\ sin D ) ]
sinD sinD
cosP-f-cosDsin/i cos P cosD sin h
V P 1 Ccos P ces D — sin h) (cos P cos D 4- sin h)'~] ^
■ smh) (cos P cos D 4- sin /Q*~Usina D |
sin D /sinaD -f- cosaP cos’D — a\n*fi\
:osD-psin^\ sin'D
cosPcosD-4-sin/i cosPcosD-Psin h\ sinîT" ‘ )
sinD j (sin9 D -4- cos*D — cos5D>in2P — sirrA)*
cos P cos D + sin h cos P cos D + sin h
sinD±i(i — sina/i — cos9Dsin9P) sinD zfc (cos* h cos* D sin* P)9
cos P cos D -f- sin h kco7P cosD + sin h
sinD db (cos*7c — — Co>* <p) a sin D rt (sin9<p — sin9A)a
cos P co*D 4-sin/z; cos P cos D -J- sinTî
sinD ±1 sin* (<p — h) sin* (<p -f- b)
cos P cos D -f- sin h ' 1S* 1 '*
Le radical se réduit à zéro quand on a cos h = cosD sinP= sin S.r; °u quand ZS =Sjc, ce qui a lieu au premier vertical; et en effet alors, OU a quatre données dans le triangle, l’angle droit Z , l’angle horaire, la distance polaire et la distance zéuitale observée; il n’y a plus qu’une so*lution possible.
Mais aux environs du premier vertical le radical doit ctre peu de chose , les deux solutions diffèrent très peu , et c’est alors qne le problème peut être insoluble, parce qne les deux solutions différeront trop peu pour qu’on puisse reconnaître la bonne.
Si cos /*< sin Sx, le radical est imaginaire; 90 — /*< Sx ou ZS<S.r, €e qui est impossible.
Dans noire première solution
tang 9 = cos P colD = tangPa:, Px4-H = Oac‘ >90°;
6i4 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
ainsi sin(^ + H) est nécessairement le sinus d’un arc obtus, cet arc na
donc qu'une valeur possible;
La solution de l’auteur est tout-à-fait dans le style arabe.
OL est le sinus de la déclinaison , GL la partie du parallèle décrite depuis six heures; GL =cosD cosP.
11 en conclut
OG = sin*D +cos*D cos*P =sin*D -f-cos*D — cos*P sin*P = j — cos*D sin*P = i — sia* haut. O sur le plan.
11 pouvait en tirer
cos D cos P T. lTv . /-.^TVT GM “n h
tan" GOL == — r-rp- — — cos P cotD, smGOM= — = 777-. a «inD J OG OG
GOL + GOM = MOP = 1800 — H.
OG est le bahad , et GOM est le complément de l’inhiraf d’Ebn Jounis ; la solution trigonométrique serait
tang Vûc = cos P cot D = tang GOL , cos PS : cosPx :: cosZS : , Px — Zx = PZ = 90'— H.
Bénédicl se contente d’indiquer la solution. On ne voit pas s’il faisait usage des tangentes. Il cite Régiomontan qui n’en a su tirer aucun parti dans sa Trigonométrie.
Soit H = 48% D = 20°, P = 6o*; d’où h = 34° 3g'.
Les solutions sont H = 24* 6' 20",
et H = 48.0.00.
On n’a jamais 24° d’incertitude sur la latitude; il est donc bien évident que H = 48* ; d’ailleurs nous avons dit que H -f* Vx = Ox > go*; ainsi nous n’avions pas le choix.
La seconde solution confirme le résultat de la première,, et donne de même une différence de 23° 55' entre les deux, en sorte, que Tune des deux latitudes est presque double de l’autre.
Nonius n’avait pas nié la possibilité de la solution , il en avait seulement remarqué 1 ambiguité sans dire comment on la lèverait; mais ni l’un ni l’autre n’a vu que les deux solutions ne seraient possibles que dans le cas où H ->rVx pourrait être moindre que de 90°; ce qui n’a lieu que dans des parallèles assez voisins de l’équateur.
BÉNÉDICT. Cj5:
Bénedict avoue cependant que la solution est ambiguë quand H >D: or, cest ce qui a lieu dans notre exemple, et «epeudanl l'incertitude "est que géométrique et nullement astronomique. Et voici réellement ' e quoi elle dépend : si la distance perpendiculaire Sa? ne se confond pas avec la distance zénitale SZ, ce qui n’a lieu qu’au premier vertical, OUS aurez toujours des deux côtés de la perpendiculaire Sr deux obliques égales, SZ et SZ'; les deux zéîi.s seront sous le même’mériônm , compteront la même heure, verront le Soleil à même distance.
?=53-56'5o"=Pa?, PZ=/+2°, <p~ PZ==Za?=i,«56'50" ZZ' = ^ 5^'^.
- ZZ'.r
Quand la différence sera si grande vous n’aurez aucune incertitude; mais 1' US e e sera petite, et moins vous serez sûr de votre latitude Mais* dans ce cas observez une seconde hauteur. Plus le Soleil approchera d.î méridien, plus Zxet ZZ'=aZx sera sensible; le zénit Z restera lem' ^ e zeint Z' changera h chaque moment; chaque observation vous don-’ »e. a deux at.ludes différentes ; mais l’une de ces deux latitudes sera con-
- îr fe^XJî£vh*"gw
toute^semb'able à propos d’un autre problème. (Voyez UCon^sJancl », [’ ,outi' ra~N““. », . »
.w ÎÎT'm h du p6k p" ■» «■ «»
U a, dans la figure 1 56,
cos h cos Z = GN = MO . CrM— sinh - ta^h ,
MO cosÆcosZ cosZ tâïlgGOMj
QG= ON — SÎnA * «r
enfin,
cos NOG sin GÔM ’ sin OGL = cos GOL = =
OG
MOG -f- GOL = i8o° — H.
Il parait encore qu’il fait usage uniquement des sinus
ouest OütoS00 l5tl Bü 18 m*ridienne- CG «e bgne es,-
servées ou euxom res, Ql et QP les cosinus de deux hauteurs ob¬
servées, ou Ql — cos h' et QP = cos/i";
H u = Sl°HD = sin Z', RS ss sin DR = siu Z".
r> . nn •• OH ■ HT OO - Q1Qu = ™h' "”'<i — cos h’ cosZ',
v Q« :QO :: QH . Qi, QU— ,
QS : QR :: QK : QP, QR= ^^=cosh"cosZ",
OR = QR — QO = cos h" cos Z" — cos h' cos Z'.
C’est le problème do chapitre XXIII d’Ebn Jounis; mais l'auteur arabe ne demande que la différence des deux azimuts et non leur valeur absolue, pour en déduire ces mêmes azimuts; après quoi on peut calculer la hauteur du pôle, la déclinaison et l'heure, en supposant la déclinaison constante. Bénédict est moins clair et beaucoup plus long, parce qu au lieu de donner les règles du calcul il fait beaucoup de phrases pour vous indiquer où vous les pourrez trouver; au lieu de cosinus il emploie les fiiuus verses *, on aurait plus simplement
TT cos h " cos Z" — cos h' cos U
,an§ H = - ’
sinD=cosZ'cosH,cosH+sin/.'sinH=cosZ’'cos7,’'cosH-l-sin/i''sinH.
Il détermine ensuite la méridienne par une seule ombre, qui lui donne la hauteur et Ealmicantarat, la déclinaison lui donne le parallèle, el l’intersection de ces deux diamètres lui fait trouver l’azimut et par conséquent
la méridienne. ... . ,
Pour trouver la méridienne, il nous conseille de décrire 1 hyperbole de l’arc diurne. Présentez cette hyperbole au Soleil-, si le sommet de l’ombre soit exactement la courbe, l’axe sera bien placé, el vous connaître* la méridienne. Il reconnaît cependant qu’il serait plus commode de choisir le jour de l’équinoxe où l’ombre est une ligne droite.
Nous venons de quitter un auteur qui s’est rendu obscur a plaisir, en supprimant les renseignemens les plus essentiels; nous tombons ici sur un auteur qui nous assomme de détails fatigans et nous laisse tout a faire. Ce qu’ils ont de commun , c’est que les lettres de leurs figures sont illisibles ; c’était alors un défaut général, et nous l’avons déjà remarqué dans les éditions de s Aides.
Après avoir indiqué, pour trouver la déclinaison d un mur, plusieurs nioyens qu’il n’expose que pour nous prouver sa fécondité, il s arrête à ce dernier, qu’il qualifie de perquam pulcherrimus.
Soit O (fi"- ï58) le pied du gnomon et son horizontale BD: vous avez marqué une'ombre quelconque et vous en avez déduit la hauteur AO« au-dessus de l'horizon vertical. AO« — h — IvOD ; 1 horizontale K.SX
BENÉDICT. 617
sera l’almicantarat du Soleil; menez le parallèle HGI du Soleil , l’interseclion G vous donnera le lieu du Soleil sur son parallèle.
Décrivez ce demi-parallèle GLI, et menez la perpendiculaire GL, LH sera la distance au méridien, et vous aurez l’heure de l’observation; GS sera cos h coss= SKcosz; vous aurez donc z, c’est-à-dire l’azimut et la méridienne.
Mais relevez le parallèle HLt du Soleil , LG sera perpendiculaire sur KSX, Je triangle LGS sera rectangle en G, l’angle GSL sera l’azimut du Soleil compté du méridien; son complément G LS sera la distance du Soleil au premier vertical; sur votre ombre Ou (fig. 15g), formez l’angle uOQ s= GLS ? vous aurez le premier vertical OQ et la méridienne OM qui lui est perpendiculaire ; comparez la direction OM ou OQ à celle du mur, vous aurez la déclinaison.
Nous aurons la même chose, d’une manière plus claire, par notre méthode. ,
L’ombre mesurée sera tangOS, O étant le zénit du plan vertical déclinant Z.r(fig. 160).
Nous connaîtrons donc OS = go# — Sy; S^* est la hauteur du Soleil sur le plan.
Nous avons 1 angle O, qui n’est pas défiguré sur la projection, sin SO sinO = sinSL = sin/i = cosZS.
Le triangle Sy Z rectangle en^ donne
«inSv cos CS . crr • T
^ZS — -3- = smSZr=sinLr= cosOL.
Le triangle PZS, dont nous aurons les trois côtés, nous donnera PZS et PZS — 180*— MZx, MZx— 9o'=D, ou bien
tangOL = cos O tangO$ = COtLa: = COt SZj ; le triangle PZS donnera comme ci-dessus
