MZS = ML , ML — OL = MO = D

L’analemme substitue une opération graphique au calcul du triangle.

Je passe sous silence sa manière de déterminer le tems où un cadran commence ou finit dèlre éclairé; ses méthodes diverses pour calculer les crépuscules , ses dissertations sur les inconvéniens et les avantages des différentes sortes d'heures, et même sa construction des cadrans horizontaux et verticaux uon décliuaus, quoique la forme en soit un peu

différente ; mais on y reconnaît les principes communs, et ce quil y a de plus remarquable c’est la prolixité du slyle. Nous rapporterons cependant sa construction du cadran vertical déclinant. Il prétend l’avoir trouvée avant d’avoir lu aucun livre de Gnomonique, et il n’a voulu rien y changer. Il compte la déclinaison du plan du midi h l’est, de sorte que la déclinaison serait de 90» pour le cadran méridional , et nulle pour le cadran oriental. Il fait là-dessus une petite chicane aux anciens 0 Munster et Oronce-Finée, qu’il taxe d’erreur pour avoir fait zéro la déclinaison du cadran méridional, et 90* celle du cadran oriental. A ses expressions on dirait que tous les cadrans faits avant lui étaient défectueux , tandis que c'est une pure chicane de mots. Et quoique nous suivions la défin, tion ancienne de la déclinaison, nous allons voir que sa construction est parfaitement d’accord avec nos formules comme celle de Munster.

Il prend pour méridienne la verticale arbitraire BP (flg- 1B1).

Du point arbitraire il mène la perpendiculaire AD d’une longueur arbitraire, il décrit le quart de cercle DFP , il fait DF=haut.du pole H,

il mène AF = i , FG = sinH; d’où AG = cosH.

11 prend PT = déclinaison à sa manière; mais, suivant les anciens, nous aurons DT = D ; il fait AH = AG = cosH.

Il abaisse la perpendiculaire

jjl ah cosD = cosH cosD, AI = AH sinD = cos H sinD.

11 prend B A = FG = sinH au-dessus de A, pour les cadrans du midi; el au-dessous pour la face tournée vers le nord, il fait Ali = AI = cosH sinD.

Nous aurons ainsi

BR=ÂbV AR = sin’H 4- cos-H sin*D = sin’H + cos‘H — cos’H cos*D = 1 — cos* H cos9 D = cos* h.

Par le point R il mène la perpendiculaire indéfinie LRO, sur laquelle il prend RL = III = cosH cosD = sin//.

Nous aurons

PL*— RL 4- BR*= cos*H cos*D 4- i — cosaH cos*D = i ; ainsl BL = 1 = AD = AF = AT.

Remarquons que

„ KL cosH cosD tt n • l .

s in LBR -pL — - 7 - = cosH cos D — sin h ,

BÉNÉDICT. 6 io

ainsi BL sera Taxe, KL le style, B le centre, BK la soustylaire. En effet ,

tangABK=^g = — = sin D cot H = tang angle soustylaire et mérid.

11 mène KM perpendiculaire sur l’axe, et Ma perpendiculaire sur BK ; il prend Mu pour style, alors MK détermine, sur la soustylaire, le point où passe l’équinoxiale.

LKO est donc cette équinoxiale, MK en sera le rayon diviseur; il porte KM sur la soustylaire en KN ; N sera donc le centre diviseur.

Celte construction est d’une simplicité assez remarquable. Elle est bien plus heureuse que celle de Schoner. C’est une chose adroite que de retrouver ainsi BL = AD. On ne peut construire d’une manière plus courte sin H, cos H, cos H cosl, cos H sial. Rien de plus simple que AH = AG , AK = AI , AB = AG, KL = HI. Après quoi trois perpendiculaires donnent l’équinoxiale, la soustylaire, le style et le rayon diviseur.

Comme Schoner, il a l’air de supprimer le style; mais, dans le fait, il prend Taxe pour unité sans en rien dire. 11 a saus doute connu l’équation sin/* = cosH cosD, que fournit au premier coup-d’œil la Trigonométrie sphérique; il a, de celle manière, KL = sin h et BK = COs/i, KM = sin/i cos h et LM = sin a/e , Ma = KM cos h = sin A cos* h.

11 ne lui manque plus que la méridienne; car il a pris arbitrairement le centre B.

Or, le même triangle qui lui a fourni sin/i lui donne tangKBO = sin D cotH = î!" I>cn».tJ é* .

° sin H FG

Ainsi, pour trouver la méridienne, il faut sur BK former un triangle avec les côtés Ai et FG; l'intersection de ses côtés en A sera un point de la méridienne , l’angle en B, sur la base sin H = AB, sera celui de la méridienne avec la soustylaire.

On aura

BK = AB-f* AK = sin*H+cos*Hsin*D = sin,H-]-costH— cos*Hcos‘D = i — cos4 H cos4 D = BL — KL!

KA ou DK devait donc se trouver perpendiculaire sur la méridienne; il a pris pour donnée la méridienne, il a élevé la perpendiculaire... AD== i = BL; il a décrit un quart de cercle sur AD, et lié ainsi fort

adroitement les constructions subsidiaires qui devaient donner sinH, cos H cosD, cos H siuD. Je ne sais pas s’il a eu intention de déguiser sa marche, mais en le faisant il a trouvé le moyen d’abréger; ce qu’on ne saurait dire de Schoner.

Il est étonnant qu’aucun gnomoniste n'ait parlé de celte construction j mais l’auteur en a donné une explication si longue et si obscure , que tous les lecteurs auront fait ce que j’avais été tenté d’abord de faire, ils l’auront laissée pour ne pas se donner la peine de l’étudier. Il faut dire pourtant que la construction qui a prévalu est encore un peu plus simple, ou du moins que la marche en paraît plus naturelle.

L’auteur nous assure qu’il s’était fait son système de gnomonique avant la publication de l’Analemme de Ptolémée , qui n’a paru qu’en i562; c’est-à-dire vingt-un ans avant qu’il ne publiât son ouvrage. Il avait été contraint d’imaginer un analemme qu’il a disposé pour les heures italiques. La description qu'il en donne emplit sept pages in-folio , sans compter quatre pages de planches; en sorte que je n’ai pas eu le courage de la lire, quoique l’auteur ait pris soin de nous dire que son invention était egregia et ingenii plena. Il avoue qu’en plusieurs choses il s’est rencontré avec Ptolémée.

Le problème des heures italiques, que Bénédict expose ensuite plus longuement encore, n’en est pas un véritablement; ce n’est qu’un cas particulier du problème des heures antiques, qui commencent aussi à l’horizon; toute la différence tient à ce que les heures italiques étant égales, c’est-à-dire des heures de i5°, cette égalité simplifie les calculs; les angles horaires se forment d’une manière plus uniforme; du reste les formules sont les mêmes; en effet , les cadrans italiques ne peuvent avoir ni centre ni axe; c’est l’ombre d’un style droit qui marque les heures. Ainsi, pour chaque angle horaire on cherchera la distance du Soleil au zénit du plan pour avoir la longueur de l’ombre, et le même triangle donnera l’angle que fait l’ombre avec la verticale ou avec l’horizontale, et l’on construira le cadran par points comme celui des heures antiques.

Il suffira même d’avoir deux points de chaque ligne , puisque toutes ces lignes sont droites et le sont rigoureusement, au lieu que les lignes des heures antiques ne sont droites qu’approximativement.

Soient E, R et H les points de lever de l’été, du priutems et de l’hiver;

PE =s go* — PR = 90% PH = 900 + œ.

BENÉDICT* 621

Les angles semi-diurnes sont ZPE, ZPR, ZPH; les points II, R, E et tons les points de lever des déclinaisons intermédiaires, sont tous sur l’arc EH, qui fait partie d'un grand cercle, donc tous les points de lever sur la projection seront dans une même droite.

Faites tourner la sphère de i5®, tous les arcs semi-diurnes seront également diminués de i5°, tous les cercles horaires PE, etc. , auront conservé la même position relative sur l’arc HE, leurs projections seront toujours sur une même ligne droite; cette droite sera la ligne i* pour toute l’année. Il en sera de même pour la ligne de 2*, pour celle de 5k, et ainsi de toutes les autres. Ainsi, toutes les lignes horaires du cadran babylonique seront des droites dont il suffira de déterminer les deux points extrêmes.

Soit A Tare semi-diurne , pour une ligne horaire quelconque, l’angle au pôle sera (P — n x i5°), n étant le nombre des heures égales écoulées depuis le lever.

Pour les heures italiques qui commencent et finissent au coucher, la formule de l’angle horaire sera de même (P — n. i5°), n étant le nombre d’heures qui devront s’écouler avant le coucher. Du reste, le calcul est absolument le même.

Ces notions me paraissent plus claires et plus satisfaisantes que tout ce qu’on lit dans tant de Gnomoniques; mais pour ne laisser aucun nuage, nous allons calculer un cadran italique pour la latitude 48° 5o', et l'obliquité 28° 27' 40% et tel qu’on le ferait aujourd’hui peur Paris.

La formule cos A = zp tangH tango», nous donnera d'abord,

pour le solstice d’été. . . A = -.19° 45' 33",

pour l’équinoxe . A = 90%

pour le solstice d’hiver, A = 6o°i4'27".

P = (9o° — n. i5°) et P = (6o° 14/27" — n. i5°).

Nous aurons dans le cadran horizontal, Z=i=angle entre la méridienne et l’ombre, la distance zénitale N et la longueur de l’ombre O par les trois formules

cotZ = sinH cotP — tangD cos H cosécP,

. cosDsinP . T

sinN = - r— — et 0=tangN;

sin L 1

les angles Z sont pris extérieurement au triangle sphérique f nous prenons pour unité la hauteur du style.

Cas ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

Nous calculerons d’abord les differens points de 1 hyperbole dété, parce quelle nous donnera un point de chacune des lignes que nous aurons à placer sur le cadran.

Nous calculerons ensuite la ligne équinoxiale, qui nous fournira uti nombre moindre de points.

Enfin , nous calculerons l’arc d’hiver, qui nous en donnera moins encore, et nous dirons ensuite comment on pourra compléter le cadran.