DE = DC , DF = DB , DG=DA, DH=DO, DI = DL

et par conséquent,

de = dc, ef = cb, fg = ba, gh=ao, HI = OL.

On aura donc toutes les lignes du cadran.

Au lieu de prendre pour lignes extrêmes X et IV, nous aurions pu prendre XI et V, IX et 111, Vill et II; il suffit que l'intervalle total soit de six heures ou de 90* au pôle.

Par la formule générale, quel que soit le cadran, nous aurons

tangORD = m tangll;

TI étant l’angle au pôle pour l’heure RD et m étant un coefficient constant pour chaque cadran , mais qui varie suivaut l’espèce du cadran, tang KOD =e tang ORD' = m tang (90* — II) = m col 17.

Pour deux lignes également éloignées de D, l’angle au pôle sera (n-J-*) et (ri — a)- ainsi, pour les points C et E nous aurons

tang ORG == m tang (El — a) = m tang (ri — 1 5*) = tang P, tangORE = m tang (Il -f- a) = m tang (n + i5’) = tangP';

a = i5, parce que la distance a D n’est que d’une heure; a serait de 5o* pour B et pour F, etc. ; le triangle RDC doune

6in C : RD :: sin CRD : DC ,

KD : »in E :: DE : «in EKD .

c : sinE ;; DEsinCKJD î DC sin EKD*

le triangle RDE

d’où DC sin C sinERD = DE sinE sinCRD ;

PC slnEsinCKD sin(OKE 4-KOD) sin (OKD — ORC)

pg ~ sin C sin EKD r"’” sin (OCK KOD) sin (OKE — OKD)

(sinOKE cosKOD -4“ cosOK E sinKOD) (ainOKDcosOKC— cgsOKPamOKQ

= (sinOCKcosKOD-f cosOCKiinKOD)(sinQKEco8ÜKD— cosOKEsiuOKD)*

Divisez par cosORE.cosROD.cosORC.cosORD, tous les cosinus disparaîtront, les sinus se changeront en tangentes, et vous aurez

DC (tangOKE + tangKOD) (tang OKD — tangOKC)

DE (tangOKC + tangKOD) (tang OKE — tang OKD)

Çrn tang (n -f- c) -f- m cot n] [m tangn — m tang (n — a)J .

- £m tang (n — a) 4- m oot îrj [m tang (n + a) — m tang n) *

les m disparaissent et vous avez

PC rtapg (n -b a) -h cot n~l r tang n — tang (n — n)]

PË ftahg (n — a) -h coin] [tang (n -f- a) — tang n]

/ tang n -f- tanga \ ftang n tangn - tang q Y

\i — tanga t gngji / \ * 4~ tan^a tang $ J

tang ÎT— tâng a ^„\( tangn 4- tangg‘ __ „

\i 4- tang a tangn + ) M — tanga tang n J

(tangn 4- tanga 4- cotn — tanga) (tang» 4- tanga tangan — tangn 4- tanga>

== (tangn — tanga -b cotn 4- tanga) (tangn 4r tanga — tangn -f- tanga ta»g2n)

— Dang n4- cot n) (tanga 4~ tang a tang2n) ^

— (tang ri -f- cotn) (tanga -f ta/iga tang’n)

Donc DC = DE quelles que soient les valeurs de n et de a.

Nous aurions pu terminer notre calcul algébrique de cette autre ma-

DC ftangfl* 4t à) 4- ”] Çteng n — tang (H —a)]

DE [tau g (H— à) -jr cot «3 [tang (n 4. a) — tang n]

r~ sin (n 4- a 4- qo° — n) 3Îa Cn — n "h fl)~l

1 coa Vn 4- a) sin-n cos n coa (n — a) J wn (qo° 4-a) ain o

= pin (n — a 4- y* -^nÿànqi 4-Q — n)~| ; - sin (gou — a) sin a L cos (n — a) sin n CO? n cos (n -f- a)

. sin (90° 4; g) ^

sin (^o° — la) :

La pratique est utile et curieuse , elfe méritait une démonstration c» forme. La Hire la démontre par un cadran polaire ; il ne dit pas qu’il en soit l’auteur. Je la vois aufisj dans, la Goomoniqne d’Ozanam , édition de 1720; j’ignore si elle était dans l’édition de 167! La Hire en ajoute deux autres qui ne sont que curieuses , et dont la démonstration serait trop longue.