PRÉLIMINAIRE

c ronde antiquité de l’Algèbre indienne ne semblera peut-être pas suffisamment constatée. L’époque la moins incertaine reste encore celle de Brahma Gupta, c’est-à-dire le commencement du VIL siècle. Enfin, puisque Arya Bhatta , le plus ancien auteur non inspiré qui ait parlé s lonomie chez les Indiens, est du cinquième siècle, l’Astronomie indienne est postérieure de près de 600 ans à Hipparque, et de plus de 2oo ans à Ptolémée. Bailly aurait donc eu tort de nou^ d le i affi.!

ri“lndieqns L’A3?"6 aVait.e,"Pruntd Pour «« défigurer les théoqu’au einrm* ' L Ast^îomie indienne ne remonte donc tout au plus

tronome al’Ant ?** %? d’ailleurs si Bbatta était plus as-

ÆSttK’Æ G"‘“ “ *■ vu- — < * *«■

etœl^dÎX^s01 in PTllèIe P^^ébre des Grecs, celle des Arabes monumens! ’ * temS P'US d™ “ existe des

motsL!>S Symb°leS a'8“briqUeS dcs Indieus s°nt les lettres initiales des

forlÏlT !™Uh0dC f°rt natUrC'le Ct fort clairc> à laquelle je me con- Chaaue mot ‘ q."e ,e P? dans mes ouvragesi mais je .remploie pour ^Test paStUtnoe„tTf t,Uiale; ICS IndiCnS cn meltaient deux ou trois. abrcgSt UDe n0tati°“ a,SébliquC’ c‘cst unc manière

rrf é ,c

^ r;u’ 11 en est de meme des signes

, > et < ; la multiplication est indiquée aiielmir'fm.; ♦ • °

deux nombres; les lux membres d’une

des difTérentel'cl ’l ^ lnoonnues, sont exprimées par les lettres initiales initiale du mot °U CU!S’- a Prem'êre inconnue est marquée par la lettre

«Le deT Cda n’annoncc une science bien avancée, ciens du btoom ^1*» COmbmaisoüs som les mêmes que la loi des cocflfi-

ssij DISCOURS

Cette identiLé est dans la nature de la chose, et n’a rien de remarquable. .

« Nulle part on n3 aperçoit la route qui a pu conduire à la solution, 'uéinsi, un voile mystérieux couvre toujours la science mathématique des Orientaux ; il est bien à craindre que ce voile ne puisse jamais être levé. »

Cet aveu est précieux. 11 est certain au contraire que les Grecs mettaient un soin extrême à. tout démontrer. Les Indiens ne démontrant rien , on peut douter qu’ils eussent la pleine intelligence de leurs méthodes.

cc Le pulvêriseur est un procédé qui se rencontre souyent dans 1 Algèbre et dans l’Arithmétique des astronomes indiens. C’est une règle générale pour les problèmes indéterminés du premier degré. Il est à remarquer qu’avant Bachet de Méziriac, en 1624, on n’avait rien de comparable en Europe, et que la règle de Bachet est virtuellement la même que celle de l’Algèbre d'Euler (vol. II, chap. I). Si l’on demande par exemple que

+ 5 soit un nombre entier, * sera ce qu’on appelle pulvêriseur, ou

bien le pulvêriseur sera la méthode qui fait trouver *; car il est difficile de déterminer le véritable sens de ce mot. La règle est donnée d’une manière trop concise et avec trop peu de précision. »

Voici un exemple de cette règle dont nous avons déjà parlé tome I, p. 55i, où elle est désignée par le nom de cutuka fixé. Nous n avions pas eu le courage de l’analyser; mais puisqu’elle peut avoir quelque importance, pour l’idée que nous devons nous faire de la science indienne , il la faut examiner à fond. , , ,

« Supposons que dans une période inconnue d années, une planete ait fait un nombre de révolutions ou de cercles,/?/^ un certain nombre de signes, de degrés, de minutes et de secondes, plus une fraction donnée de seconde ; que ces nombres soient perdus excepte la fraction, on demande le quotient tout entier. y>

11 est certain d’abord que l’énoncé est piquant; qu’il promet une méthode curieuse. Quant à l’utilité, elle n’est pas très évidente, et si les Indiens en font un fréquent usage en Astronomie, ne serait-ce pas que n’ayant pas encore d’Astronomie véritable, ils s’amusaient en attendant à des subtilités de calcnl numérique, plus étrangères encore a la science astronomique que les théorèmes métaphysiques des Autolycus et des Théodose. Jamais, depuis les Grecs jusqu’à nos jours, les problèmes

PRÉLIMINAIRE. xxiij

, 1 tcrminés de ce genre n’ont attiré un seul instant l'attention des calcuJalcurs.

1 exemple cite, la fraction de seconde est nous prendrons i5 pour diviseur. Soit a le chemin de la planète, le quotient demandé sera L auteur pai le de signes et de degrés. Pour simplifier un peu le calcul , nous emp^ierons le^ doubles signes, ou les signes de 6o% à l’exemple t“ - Si a élan dirisible par i3, il n’y aurait pas de fraction. Nous ferons

l3 ! 3 x 4- ^ , et a; = — yj sera une fraction ; multiplions -

Pi 6o , pom la changer en degrés ; x sera la première partie du quo-

tient ou les hexécostades , il restera ££ = ï5£fc« = *' + J; sera ,e

nombre de degrés du quotient. 10

De même — . 1 r>x ' d- d <, , d „ 6cr — d „ . .

i3 - TB — — x “r73> x = — -g — ix sera le nombre

de minutes du quotient

Enfin , — - = iSïüjfc® — xm t « . t v,„ __ Sod — e

i3 !3 — ^ ^ Î3> et a, = — -- — j x'" sera le nombre

de secondes du quotient.

e = i o” dons notre exemple ; le quotient sera x -+- x'+ x"+ + i»

&o,t a= 22 cercles =a64 8igncs= ,32 hexécostades ou doubles signes; traducteur.118 ^ °‘n qU° C CSt la suPl^sition de l’auteur ou celle du

i3a^ i3.ioft + a^

6 oc

6o.ll'

et e =z ior'.

=*o h+rv *='< a-=r -

i3. io

Ee quotient

*+*'+x''+x'''+^=10.9.l3f5o,,^=2oJ. ,5o g

iJ7cst le * J ^

ent de 1 auteur. Il est à remarquer que le dividende est un

*xiv DISCOURS

nombre entier de cercles, ce qui tient au système suivi par les Indiens dans toutes leurs Tables astronomiques, où ils supposent que toute planète fait un nombre donné de révolutions entières en un nombre donné de jours , supposition qui décèle l’enfance de l’art. Cette remarque nous fait, voir encore que dans l’énoncé du problème les mots, un nombre de cercles y plus un certain nombre de signes , de degrés, de minutes et de secondes, doivent s’entendre du quotient et non du dividende.

Voilà de l’Algèbre sans doute , mais elle n’exige pas un grand effort de génie. Voyons maintenant comment de la fraction J-J nous pourrons remonter à nos quotiens partiels x,n, x", x' et x. Il suffira de reprendre en ordre inverse les opérations exposées ci-dessus.

^fri 6cd 10 60 d — 10"

On voit que x'" est un nombre plus petit que 6o, et que pour le trouver il faut chercher parmi les multiples de 6o, celui qui, diminué de xo'', deviendra divisible par i5.

Or, sans recourir aux règles de l’Algèbre indéterminée, nous savons que les Indiens, comme les Grecs, avaient la table de multiplication sexagésimale, que nous avons rapportée tome II, page 02. Dans celte table prenons la colonne de notre diviseur 1 3 ; cherchons-y un nombre qui, augmenté de iof/, fasse un nombre exact de minutes 5 à la ligne 5o nous trouverons 1 o' 5o" = 1 3 . 5o"= 6oû? — 10" = 1 1' — 10".

Nous en conclurons .\'"'=5o", et e?=ii. Alors, en remontant successivement aux ordres supérieurs , nous aurons

„ 60 c — d So.c — 1/ 2° 49' 5° — ii' 169' 1 3 . 1 5'

* =— rr — 13 — — ~~>~3 13 — 13

d’où x" = i5', et c = 5°.

, Go b — c 6oô — 3°

Go . 20 — 3° 1 20° — - 3°

Sca — b

ah — 2a

=^ = 9 %eli=a,

Pour faire des cercles il faut que ah soit multiple de 6, il faut que ce multiple de 6, diminué de 2, devienne divisible par i3. En parcourant la colonne 1 3 , je trouve aussitôt 52= 1 3 . 4 = 54 — 2 = 9.6 — 2 ; ainsi X = 4 , et notre quotient entier est

4A 9° i3'5o"-ff = 8^9° i3' 5o"f°.

Mais on demande au moins un cercle entier. 52 = i5.4 est donc trop petit. En continuant de descendre dans la colonne 1 3 de la table, nous

PRÉLIMINAIRE. *xV

ti ornons à la ligne 10, 2J'io0 = 100'= i3.io, lequel, augmenté de a,

( ]^- C est le dividende choisi ci-dessus. Nous ferons donc x = io,

ct le quotient sera

ioa9° i5' 5o"-;° = 2oJ’9° i5'5o"jf = ic8^9° i5' 5o" jf.

En continuant de descendre de six lignes dans la colonne, nous aulions pour les valeurs successives de ay

4‘, io\ 16*, 22*, 28*, 54», 4o*, 46», 5a», et 58», ou o-, 1% a. 5. 4, etc .

ce qui ne changerait rien aux degrés, aux minutes, ni aux "seconde!

LÏ1 :rnt,teS T n0US ai0Ut0“S 0nl toutcs des “«les entai. ’ hes équations qui donnent successivement x"1, x", x' et .v, sont l’ex-

l ession algébrique des règles que l’auteur donne sans démonstration elles se resolvent par le plus simple des calculs algébriques ct la table dispense meme de ces calculs si faciles. Il a suffi , pour trou™ ces règle d exécuter numériquement la division de § ou généralement de * de’ remarquer les développemens de la division, et d’exprimer pagine g C particulière, chacune des opérations successives; enfin, de reprendre successivement toutes ces règles en ordre inverse. On avait, de ce ne maniéré,

. — bh

. *‘e“ dc/luS rii8ulicr ni dc Plus simple que cette marche. Il ne faut c pas donner ce culukafixé comme une preuve d’un grand savoir La méthode est assurément curieuse; elle ne pouvait être trouvée q e par un bon arithméticien, qui eût les premières notions d’une Algèbre quelconque. Si cette méthode était inconnue en Europe, c’est qu’elle v était encore plus inutile que dans l’Inde. L’anonyme, qui peut-être n’a pas pris la peine de la développer , dit qu’elle ne së présente pas d’abord et que 1 auteur indien a dû se féliciter de l’avoir trouvée. Mais s’il v est parvenu comme nous venons de le faire, il n’avait pas tant de raison de s en applaudir. H a vu sans doute que sa remarque lui fournissait 1 occasion de proposer un problème tout-à-fait neuf et. tout-à-fait singuher; il aura donc supprimé l’échafaudaec nonr r • v

ss*!* * - *»"« «■*. «■ & iss, t”Sul,;:.dr

1, i. ,.,'; T» fonl . . . des

moyens q'ui r ^ spccta,teurs sont loin de soupçonner la facilité des J qui rendent le succès infaillible.

xxyj* DISCOURS

On peut même résoudre encore d’une manière plus simple ce singulier problème. Il est évident que tout nombre entier de la forme i5 ab 4- i5.&0-j-i5c'-f- i5c?,,“f-io,,J satisfera à la condition de donner — pour reste, quand il sera divisé par i5; le quotient sera ah b°-\~ c'-f-tf'-f - jf ; les nombres a, b , c, d, sont entièrement arbitraires; on peut leur donner toutes les valeurs depuis o jusqu’à l’infini. Le problème est donc du genre le plus indéterminé. Pour fixer le cutuka, il faut donc s’imposer queU que condition.

Demandons d’abord que 1 5c?" — 10" fasse un nombre de minutes; nous durons

1 3û?"-f- io" = /z.6o"; et notre table npus donnera aussitôt

i5.5o"-f- ior'= 10'. 5o" -f- 10" = 1 1/ j l’équation deviendra

N == ioaH~h i3à°-f- i5c' -f- 11'.

Demandons maintenant que i5.cr -f- 11 = 11. i°= /z.Ço'; nous aurons par la table

i3.i5'-f- ii'=2°49'-f- 11' = 59;

N = i3aA + i3à0 + 5°.

Faisons encore

nous aurons

N = i3aAq- 2A=i5oft-f-2A=i5.ioA-{- 2ft,

çh = ioA,

et Q = ioA9°i5,6,'|f.

Au lieu de ioft nous pourrions mettre 16*, 22*, 28*, 34ft, 4oA, etc., en augmentant toujours de 6* = 1 cercle.

Tout ce que prouve une pareille méthode appliquée à l’Astronomie , c’est que les Indiens avaient une espèce de notation algébrique , une Arithmétique sexagésimale, une table de multiplication, et qu’ils supposaient que les planètes décrivaient toutes un nombre donné de cercles en un nombre donné de jours. Or, nous savions tout cela , et nous l’avons exposé dans notre premier volume.

Ces réflexions , et l’inutilité absolue de ce problème singulier diminuent considérablement le mérite de la méthode. Ce sont les Sâtons flottant sur fopde, de La Fontaine, de~ Phèdre ou d’Ésope;

Pe loin c’est quelque chose et de près çe n’est rien.

PRÉLIMINAIRE. Xxvij

t • n n°lf dii ^Ue’ ciaTlsune pén °de inconnue, la planète décrit un cern°m re^ e cercles; mais si la période est inconnue, comment a-t- 77JUMCOnnaitre ^viseur Il faut lire apparemment période con -

que la singularité."* ^ ^ U“ SUjet aSSCZ futUc’ qU* na d’autre mérite

Pour les questions indéterminées du second degré, M. Colebrooke nous apprend qu un problème de Bhuscara est résolu par cet indi procédé qui est le meme que Brouncker a fmnL d,en’ par un

question que Fermât a vnif nrnrm ' r u e Pour résoudre une Ce problème setmuve lecTT’ P3r °rme dc défi’ a Wallis> en ^57. «u tome II des œuvres’de ^ "M'5'

Pense Wallis de ces sortes de défis ’oiMe 1' ° P? 7 V°'r Ce quo avantages; et en général do , P10P0sant a saisi tout ses

oou n le nombre donne , on aura

Soient par exemple +

« — 5, * = i , nxx 4- 1 = 3 + 1 __ 4 . , x 4 , nxx -f- i = 5.i6-{-i =

Solution .

Xr=

nous avoir appris qu’il a été connu des Indien?6™® M' Colcbrooke de l>!cme a l’Astronomie? La quadrature dn J "T qUe f;,it ce Pr°n empêche pas que l'Astronomie ne fût alor “ P?abole par Archimède,

xxviij DISCOURS

voient rien d’original, ni de recommandable dans la science de l’Orient. »

Je n’ai jamais prétendu nier cette science ni son originalité ; j’en ai seulement demande des preuves. En voilà pour l’analyse indéterminée au VIIe siècle. Qu’on m’en fournisse de pareilles pour l’Astronomie au tems d’Aristarque , d’Apollonius, et j’admettrai que les Indiens ont en effet possédé une Astronomie qui leur appartenait.

« La solution de Bhascara n’est pas générale, Lagrange t’a prouvé en 1767. Euler n’a pu écarter toutes les restrictions. Brahma Gupta a donne une règle tout-à-faitsans exception; M.Colebrooke la regarde comme telle.»

L’anonyme n’a pas eu le loisir de s’en assurer. Je n’ai aucune connaissance de la règle de Brahma Gupta, mais j’admets tout. Qu’en résultera-t-il pour fAstronomie des Indiens? Supposons que dans une branche particulière de l’Algèbre, les Indiens aient été plus loin que nos géomètres, il ne s’ensuivra nullement que leurs astronomes aient surpassé ou devancé ceux de la Grèce. Je crois avoir démontré que la Trigonométrie est une invention d’Hipparque. Si l’on voulait me prouver que cette invention est plus ancienne , serait-on reçu à en donner la preuve que voici? Archimède a trouvé la quadrature de la parabole, la surface du cercle, celle de la sphère et son volume, la théorie des sphéroïdes, des conoïdes, des hélices, etc.-; ces inventions étaient bien plus difficiles que celle de la Trigonométrie; donc, à plus forte raison Archimède, auteur de ces connaissances profondes, possédait la Trigonométrie. Je répondrais : elles sont plus difficiles, elles exigeaient plus de génie, je le veux bien; mais, quoique moins utiles, Archimède s’eu est occupé de préférence; il n’a pas songé à la Trigonométrie, dont il n’a senti le besoin que très rarement , et dont il n’avait aucune idée. Hipparque, qui ne pouvait s’en passer, en a fait l’objet de ses méditations ; il a complètement résolu ce problème important : Quand de deux théories, la plus difficile suppose la plus aisée, on ne peut s’empêcher de croire que la plus facile soit aussi la plus ancienne. Mais dans des sujets indépendans l’un de l’autre, on peut arriver à une découverte difficile sans avoir connu la plus aisée, qui ne sc trouvait pas sur le même chemin. Il en est de même de l’Algèbre indienne. Elle s occupe principalement de questions numériques sur lesquelles l’Algèbre proprement dite n’a que fort peu de prise. La difficulté principale est de les mettre en équation; c’est ce qu’a remarqué M. Lagrange, quand il s’est occupé $ analyse indéterminée , et des théorèmes de Fermât. Quand nos géo-

PRÉLIMINAIRE. 3CX.ÎX

nôtres envisagent une de ces questions, ils cherchent à la ramener à i espèce d’analyse qui leur est familière. L’indien , qui n’a dans ce genre que les notions les plus élémentaires, et n’a nullement l’habitude de combiner des équations, prend une route très différente; il calcule moins et raisonne autrement; comme Fermât, il donne des règles et des résulUts , sans nous indiquer la route qu’il a suivie. Cette route a pu être longue , tortueuse; pour nous la faire bien connaître, il faudrait des expirations longues et difficiles à rendre claires. Il se met à son aise en S"? 6 dtm°nStration- a«cune notion des théories in¬

et ni. - ’ ,D0,US sommes portes à les croire plus savantes, plus sûres us bener a es qu elles ne 1. étaient sans doute. Ces questions numériques, qui souvent n’ont aucun but, aucune utilité réelle, pouvaient, î eut s, n u ante, piquer 1 analyste indien, qui avait de la patience et du tems, au lieu que nos grands géomètres n’y ont donné qu’uue attention passagère , ou bien, s’ils en ont fait l’objet d’une longue méditation, eur u a ete non d’enseigner à résoudre des questions oiseuses, mais reçu er es bornes de 1 analyse; ils n’attachent d’importance qu’à la doc- ’ aUX dumonfrat‘ons; le problème en lui-même n’a d’autre mérite à de JT* qUC C,CLU1 davoir fourni l’occasion de savantes recherches et lions ““nTancd'ffi-C1lSSiI' jndlen indolent redoute le travail des observasenler 1 ' lnteret “ ,maSin«' des hypothèses propres à repré-

S:renS qu il n’a Pas — 'lemèiu mesurés. L’AstronT^ mathématique sera venue tard dans l’Inde ; elle n’v aura fait nue ncu dè

Suif s SneeTrrai<léedT th'°rieS ^«c^esqu-eUeal^ée

au heu de les perfectionner ; les progrès de cette espèce d’Algèbre ont nu etre plus marques, plus rapides que ceux de l’Astionomiej'enlm vous aux *’A|gèbre indienne, par des mpnumens antérieurs

one PA T d ArabeS; pr°UVeZ de même> P;u' des monumens existans,

ouvrage indien de CX^ÜSe Cette analjse régulière, d’après un

pour laquelle nenrl 1» dute> n0US adoPteroDS provisoirement 1 opinion ^ * penche l’anonyme. En effet, n’est-ü pas très possible qu un

xxx DISCOURS

indien ait été amené par Lazard à l’expression fort simple

" (xa — ny

/r>+ „v **+ 3nx-’4-n’ x«— amN-n’ + fog .

— x*— anx’+n’ **— 2>“* +

K=ëà(=£->+‘i

f on il aura conolo , sans lire «trémement habile , que loot nombre 4a

/ 2 c N jl. 1 est nécessairement un carré. Cette

la forme n Lÿ”^***-—*/ , ^ .

marche n’offre aucune difficulté; mais le proHème propose par Fermât, marche n^^ fc même au fond, offre une ^difficulté reelle; et

si l’on veut résoudre directement l’équation ** ==%-* » on Pourra s’y ornK'imssé- et c’est en ce sens, ce me semble, que Lagrange adîtVCqu’on peut risquer de ne jamais parvenir à la solution. (Algèbre d’Euler tome U, page 607). Prenez * pour donnée, vous aurez un d r; ,r,iu de solutions; cherchez * par l’analyse indéterminée „ "ous mirez une opération longue , toujours difficile et par fois impos-

£iÏ;ateur indien donne, sans démonstration la formule de Brouncker; mais la donne-t-il pour résoudre la question de Fermât, ou simplement uour avoir autant de valeurs qu’on voudra de jr, pour un meme nombre ni C’est-là ce que je ne vois pas bien clairement. Je ne puis donc avoir une fdée btn précise de la science indienne; mais dans Ihypotl.ese la plus favorable Je ne vois pas ce qui peut en résulter pour 1 existence îeelle de l’Astronomie indienne. On dira U est très possible que des analystes t cette force aient aussi inventé l’Astronomie; j eu conviendra, volonde cette ioi ce dire positiVemenl ils l’ont inventee.

^TlTdwit’eur Hutton a parlé de la démonstration indienne du carré de 1 hjf demanderai s’il est prouvé qu’elle soit plus ancienne que celle d Eu- '“'fchma Gupta doaee 1. iMota» *. 4». «4* « 1.» segmeua .« « souvlenl pas 4, W - d»

vera dans mon extrait de Ptolémée, qui lempoie v . ^

en soit l’auteur; on le trouve dans mou extrait de fbeon, qui en donne

“.ÏÏ^GTpÏÏÏn^ffrègle de l’aire du triangle en fonction de la

PRÉLIMINAIRE. xsxj

demi-somme des côtés, et de cette demi-somme diminuée successivement de chacun des trois côtés. On ne s’attendait pas à la trouver dans un livre indien. » •

Je le confesse, mais tout cela n’est encore que du septième siècle; et ce theoreme très curieux n’est que d’une utilité fort médiocre en Astronomie. Je ne cherche pas ici la valeur intrinsèque des connaissances, je cherche les preuves du savoir astronomique des Indiens.

« La construction de la table des sinus indique de grandes connaissances de Géométrie élémentaire. Malheureusement iious n’avons pas la démonstration originale. » 1

C est ce que j’ai dit; et quand nous aurions celte démonstration, il nous manquerait peut-être encore la date certaine. Cette construction même du moins la seconde, qui suppose une formule inconnue aux Grecs et aux Arabes, est si nouvelle pour nous, que j’ai cru, pendant plus de dix ans, en être le premier auteur; cette construction, à d’autres égards est accompagnée d’une théorie très incomplète, qui a fait que la table indienne ne procède que de 5* f en 5* f . Si les Indiens avaient bien compris leur méthode différentielle , ne s’en seraient-ils pas servis pour avoir une table complète ou du moins de degré en degrc? Ils n’ont donc pas bien senti l’importance de la méthode? Ils n’ont pas su l’appliquer • et i’ai montre comment ils avaient yu la trouver, par le fait, après avoir construit la table par les theoremes des Grecs. Nous verrons ci -après page 983; qu’Arzachel, vers l’an noo, s’élait arrêté de meme au sinus de o°4j ; mais il ajoutait que par des moyens semblables, on arriverait aux arcs les plus petits. u

« La démonstration indienne de l’aire du cercle est singulièrement curieuse, quoiqu’elle ne soit peut-être pas bien rigoureusement Géométrique. Partagez le cercle en deux parties égales par un diamètre divisez chacune des deux moitiés de ce cercle eu un nombre é^al et considérable de secteurs, développez les deux demi-circonférence°s en l-ncs droites; les secteurs se sépareront (se déformeront), et présenteront dans les deux moitiés, un nombre égal de petits triangles isoscèies formeront deux espèces de scies; faites entrer ces deux scies l'une dans 1 autre , vous aurez un parallélogramme dont la base sera la demi-circon ference , et la hauteur sera égale au rayon. D

quâd?ûp,Tr!.t(rrmTcnl ils ont su quc ia surface de

I nW d C d un dc scs grands cercles. »

pas difficile que le théorème d’Archimède ait pénétré dans

xxxij DISCOURS

l’Inde sans la démonstration. Les Indiens n’ont aucun livre authentique qui remonte à l’époque du géomètre grec.

« Ils avaient trouvé la solidité en divisant la sphère en pyramides. » Meme remarque.

« Ce qu’il y a de singulièrement remarquable, c’est que Y Algèbre a subsisté 1200 ans chez les Indiens, sans faire aucun progrès marqué. Les Scholiastes ont fait preuve de finesse, de sagacité, d’esprit et de jugement ; mais ils n’ont pas passé la ligne tracée par leurs prédécesseurs. Dans l’Inde, tout paraît stationnaire; la vérité et l’erreur y sont assurées de la même permanence; l’énergie qui les a portés jusqu’à un certain degré de savoir et de civilisation, a-t-elle cessé d’agir? ou serait-ce que les connaissances des Indiens sont un héritage qu’ils ont reçu d’un peuple plus ancien , dont le souvenir s’est perdu ? »

Ne serait-il pas encore plus naturel de penser que ces connaissances ont pénétré dans l’Inde, vers le Ve ou VI* siècle ; que les Indiens les ont reçues sans y rien changer, parce que peut-être ils ne les comprenaient pas; il les ont adoptées avec confiance , et les ont conservées sans y rien ajouter. M. Taylor, qui le premier nous a donné des extraits du Bija Ganita, ne voit autour de l’Inde aucun peuple assez instruit pour avoir enseigné les Indiens. Ce que Bailly a conjecturé du Thibetlui paraît absolument dépourvu de vraisemblance.

« Quelle que soit l'opinion qu’on se forme à cet égard, nous sommes persuadés que le nouveau jour sous lequel M. Colebrooke .nous a montré la science analytique des Indiens, devra modifier les opinions qu’on s’est Formées de l’ancienneté de leur Astronomie. }>

Il est à remarquer que M. Taylor avance tout au contraire, que la lecture de leurs livres d’Algèbre et de Géométrie pourra bien rendre un peu douteuses les prétentions des Indiens au titre d’inventeurs et d’auteurs originaux.

« Les avis sont maintenant fort partagés. Quand Tes tables astronomiques des Indiens ont été apportées en Europe, elles firent une grande impression ; on s’appliqua avec ardeur à une étude qui réunissait les attraits des recherches scientifiques et des discussions historiques. L’empressement avec lequel on a commencé celte étude, la nouveauté des objets, et la surprise qu’ils excitaient ont peut-être conduit un peu trop loin ceux qui se sont laissé fasciner. Nous citerons l’illustre historien de l’Astronomie, que ses talens, ses vertus et ses malheurs ont contribué à immortaliser • Bailly, dans ses recherches sur Y Astronomie orientale, s’est trouvé

PRÉLIMINAIRE. xxxiij

continuellement arrêté par l’impossibilité de dissiper l'obscurité qui enveloppe les antiquités de ce coin de l’univers. Il espérait que les lumières qui commençaient à sortir de l’Orient, éclaireraient les ténèbres*et découvriraient les secrets enfermés dans l’ancienne histoire de la plus ancienne des sciences. Dans l’exposition qu’il a fuite des principes de cette Astronomie, dans les preuves qu’il a données de son exactitude, il a déployé les ressources extraordinaires de sa science, de son esprit et de son éloquence. » ^

L’eloge est magnifique; ne Serait il pas un peu exagéré? J’ai dit les mentes choses à peu près, mais avec {lus de mesure et avec quelque! resrictions ( Voyez 1. 1, pages 4oo et xix). Dans la réalité , la science que Bailly a mise dans son lustoirc, a été de rechercher tous les passages obscurs qu, pouvaient s’adapter à ses hypothèses; de retrancher de ces passages ce qu il y trouvait de contraire, de changer ainsi le sens des textes qu ,1 citait, ^oyez tome I de mon Histoire , p°ages, 4,3, 439> 4Î! 440). Son esprit a ete de combiner adroitement ses preuves équivoques e maniéré a établir la probabilité de ses explications. Son éloquence je lui ai suffisamment rendu justice. ’

« Ln examen plus scrupuleux, fait par nos. compatriotes sur le lieu meme les a portes a douter des prétentions à une haute antiquité

«pn, de *, sterne don, te,

peuie a se defendre. Le flux de 1 opinion commence à prendre une direction contraire; mais la nouveauté, l’inexactitude des tables indiennnes ne §ont pas affirmées avec moins de vivacité, et le sont par des raison-

TZZ&22 1 m ““ *■’“ w* «

Il suffit de jeter un coup-d’œil sur les tables pour voir combien elles

zzszzssïZSr,

4lr“™ ?” t°al nouvellement MM celle h,n

parUculièrcm„n.' y 'y P U? 'a )lles astroi|omes de l’Europe, M. D., s’est ment distingue dans un ouvrage qui vient de paraître; fl a

xxxiv DISCOURS

employé beaucoup de travail à attaquer les faits, les raisonnemens , et les calculs de X Astronomie orientale , et il en a traité l’auteur avec une vivacité et une sévérité à laquelle la mémoire de Bailly n’ aurait pas dû être exposée de la part d’un confrère académicien. » Cette dernière ligne étrangère au fond de la question, me met dans la nécessité d’y faire une réponse.

J’ai été environ deux ans le confrère de Bailly à l’Académie des Sciences ; mais je n’y ai jamais siégé avec lui. Depuis qu’il était Maire de Paris , il n’avait plus le loisir d’assister à nos séances. Je n’ai jamais eu avec lui qu’une conversation qui n’a duré qu’une minute ; c’était à l’époque où il venait de quitter la Mairie. Il avait repris au Louvre son modeste appartement. J’allai le féliciter de son retour à une vie moins agitée. L’affluence était grande; le sallon ne pouvait y suffire et l’on n’y entrait qu’avec peine et pour un instant. Je doute qu’il m’ait jamais connu autrement que de nom. J’estimais sa personne, ses qualités morales, et j’ai été profondément affligé de sa fin tragique , qui m’a toujours paru l’une des injustices les plus atroces de la révolution; quant à son talent, je crois en avoir parlé dans plusieurs endroits et notamment dans mon discours préliminaire , cfe manière à contenter les amis et les partisans les plus décidés de mon respectable et infortuné confrère. Pour ce qui est de ses opinions paradoxales, de l’esprit de système qui a présidé à la composition de tous ses écrits, depuis ses lettres sur X Atlantide jusqu’à son Histoire de l’Astronomie indienne, j’ai cru que, trente ans après la publication du dernier de ces ouvrages et plus de vingt ans après la mort, de l’auteur, il était permis, meme à un ancien confrère, d’en dire franchement ce qu’il pensait. Si Bailly eût vécu , j’aurais dû sans doute supprimer mon chapitre II tout entier, pour commencer l’Histoire do l’Astronomie indienne au premier volume des Mémoires de Calcutta. Mais le talent, la réputation et les calculs de Bailly avaient accrédité des erreurs; il avait séduit de très bons esprits, qui ne s’étaient pas donné la peine de vérifier ses citations, de remonter aux sources, ni de refaire ses calculs; il avait immolé à ses Indiens les auteurs de la véritable Astronomie; il avait cherché à établir des idées diamétralement opposées à celles que j’avais à démontrer; fallait-il supprimer mon ouvrage pour respecter des erreurs qu’il s’était plu à revêtir des charmes de son style ? A tant de qualités précieuses, de vertus et de talent, il joignait une faiblesse qui a causé tous ses malheurs. Il était trop sensible à la vaine gloire. Ce n’était pas pour les savans qu’il écrivait; il aspirait

PRÉLIMINAIRE. xxxv

a une réputation plus étendue. Il céda au plaisir d’entrer en lice arec o taire; il ressuscita le vieux roman de X Atlantide; il eut beaucoup de ccteurs , et c est ce qui le perdit. Le succès d’un premier paradoxe lui en fit créer d autres. Il imagina son Peuple perdu , son Astronomie perfectionnée dans les tems mythologiques ; il rapporta tout à cette idee favorite, et ne fut pas assez sévère dans le choix des moyens qu’il employa pour la colorer. Ses succès populaires le portèrent à l’Assemblée constituante, à la Mairie, et le forcèrent à cette proclamation de qW anima c°ntre lui la rage des révolutionnaires. Du- V I,e’ J01'1-,313 supprime scrupuleusement tout ce qui aurait pu

.vm/TiT ‘ t— » “« i« » J™ sus

a vente. Il a consacre 600 pages a établir des erreurs, j’en ai employé 4o a réfuter. Ce que je devais à sa mémoire était de déduire les raisons que j avais pour être d’un avis différent; j’ai dù le suiv re pied à -t0" dcmon‘rer si je voulais être cru. Je viens de relire plusieurs fois le chapitre ou je le combats, je n’y trouve pas un mit à retrancher. Dans la vivacité do la discussion j’ai pu laisser échapper des remarques un peu sévères, que je ne me serais pas permises avec un

paH’imi^ant’ T® qU‘ “e t°nt qUC >Ustes> et qui m’étaienl arrachées i ninT ? de V0,r nn homme de ce mérite employer des movens

- JS

Bailly; illuirestera toujours son talent, son bliu’ciraclèreVi!^'11"! *°* 3 inspiré les traitemens si peu mérités qu’il a supportés âve’c^n

rrrr Q“T * S,e3 0Pini.0ns paradoxales, dans les trois académies nui les e ’t ™e“lbre, a Paris> îe n’al pas connu un seul de ses confrères " 3 •t°Ui0UrS Pensé Ct q- j’ai ‘>d à une époque ou ; étais oblige de parler, et ou iln’existait plus aucuumotif pour dissimu

cwnnes mesures de P <l.pel<u’ d uneAstronomie perfectionnée, et d’an-, sures modernes TV *" ei-re* <JU1 n^a^sent d’exactitude avec les mel’anonyme. Voici ro' ^es réfutations superflues. Retournons à

V01CA ce flu’il du de mes preuves ;

xxxvj DISCOURS

<c Son grand argument est tiré de ce fait, que les données ne sont citées nulle part, qu'on ignore absolument sur quel fondement les Tables indiennes ont été calculées ; qu'on n'a nul souvenir, aucune tradition même, d'aucune observation régulière faite par les Indiens . La vérité de cette assertion, du moins quant à présent, ne saurait être niée, et il est difficile de se prêter à la supposition que l'astronomie indienne soit aussi originale et aussi ancienne qu'on avait dit. Mais pour l’originalité, il y a encore beaucoup à dire, et les raisons qu’on pourrait donner , auraient d’autant plus de poids, que l’originalité de leur Algèbre ne paraît plus devoir être contestée. »

Je puis assurer que je n’ai nul besoin et nulle envie de la contester; niais rien ne prouve encore que cette Algèbre remonte au déluge. Cette Algèbre n’est pas de l’Astronomie; j’accorderai que ceux qui ont pu inventer l’une auraient pu inventer l’autre; j’ai toujours admis la possibilité que les Indiens eussent une Astronomie aussi ancienne et plus ancienne que celle des Grecs; j’ai dit seulement qu’on n’en avait encore aucune preuve; j’ai répété en vingt endroits, que je demandais uniquement la permission de douter.

« Cette analyse ne peut venir de la Grèce. »

Cette impossibilité ne me parait pas encore suffisamment démontrée $ mais je n’insisterai pas.

« A une époque déjà fort ancienne , les Indiens étaient en possession de découvertes qui n’ont pas encore été surpassées par les Européens. »

J’y consens encore. Dans une branche d’analyse plus curieuse qu’utile , les Indiens sont au-dessus des Européens ; vous ne voudrez pas sans doute en conclure que les Indiens aient des analystes supérieurs à Newton, Euler et Lagrange?

« Si cette analyse n’est pas une production indienne , ne faudrait-il pas en conclure qu 'elle est un fragment d'un système qui est perdu, un faible reste d'une lumière plus répandue autrefois, à une époque où la langue sanscrite était encore vivante? Si cette CQnclusion, à laquelle nous sommes irrésistiblement conduits , est adoptée, elle servira à expliquer l’histoire de l’Astronomie orientale, comme un débris qui a survécu à la mémoire de ses auteurs, de ceux qui ont fait les observations sur lesquelles elle est fondée, et qui peut-être, à force de patience de tems et de soins, ont suppléé à l’imperfection des instrumens qu’ils employaient. »

v , PRÉLIMINAIRE. Xxxvîj

oi a sans doute ce qu’aujourd’hui Bailly aurait à dire, Jpour ne pas renoncer trop formellement à son système.

mi no C?n<^ois a f°rcc tems et de patience on parvienne à détermovpn VTiT e 1 année, celle du mois lunaire, les mouvemens anlièlipS U i°C1 Gt i^eS P*aT^tes> ma,s Pour leurs excentricités, leurs

exacte deh wnCala 0SUld’f°jte’ dc boimcs tables, une connaissance exacte de la precess.on, de la diminution séculaire de l’obliouité et ce

de l’^gèbre e^dr^Ar-rt.’ D;«- SOnt.disPos& à Penser peu favorablement admettre la probabilité dèTe résultafT”6 ’ “ V°Udr°n‘ PeUt'étre pSS

P“* inadmissible , quoi" preuve ? à quoi cela peut-il condS’ ^ bC8°m d° °r°ire sans

naLaitPoudca|e ni ma*hématicien ’ «P»®* « a traité ce sujet, ne contes traités de Bhrmm Gunt probabl<;ment en "»*««* le Bija Ganita et changera un neu cfnnfn ^? ’ ^ ? traduction de M. Colebrookc, il portion c/eLTei/3;ewlC0Dnaitra.qn 6 PI“de Possède une grande d’Arabie. » cLue> quelle na tirée ni de Grèce, ni

démontrél'j’ai'toi^joursit^dispoTé*11'6 COmm® certain T'e ce qui m’était pourrait me fournir. On me montre ^ pi eUVes nouveI1es qu’on

mède, Ptolémée ou Théon ie mé rrn ^^'111,0’ APollonius> Archi- Pomt exagérer les connaissances réell^d*^.^ CS e?tc.ndre> et de ne Ces géomètres n’avaient garde de ... autcurs ful démontrent tout, «aêlaient pas le langage orïnîl au^ I" ^ C" vers- lls quand on traduit un auteur ou ! Ï' SeVCre d° ,a Géométrie. Mais 'rlu‘,ue rend raison de Ïen q CWU™s Ge stJlc mélangé, un auteur Çrams toujours que le trader?*. P,hq?e en tcrmes énigmatiques, je

duiSG e»quelqueTreJ atï* ’ tOUtc sa bonne foi, ne m’in-

orreur, quelques mots qu’onajoute pour être plus clair,

xxxviîj DISCOURS

peuvenl changer l’état de la question. J’ai dit ailleurs que plus on Voit de traductions plus on apprend à se méfier des traducteurs. En m’exprimant ainsi, je ne songeais pas encore aux Indiens ni à leur style figuré.

La question que j’ai traitée se réduit à un point bien simple. J’ai dit en plus d’un endroit, qu’il m’importe fort peu que les Chaldéens, les Égyptiens , les Chinois et les Indiens , aient été de grands géomètres et de grands astronomes; que nous ont-ils appris? que peuvent-ils nous apprendre? Voilà ce que je cherche depuis long-tems sans avoir encore rien trouvé.

Bailly, et tous ceux qui aiment à se livrer à leurs conjectures, s’épuisent sur des sujets plus curieux que vraiment utiles. C’est assurément une occupation fort innocente , et qui ne manque pas d’attraits; mais ce n’est pas mon goût. Quand on a irrévocablement embrassé une opinion , il en coûte souvent trop pour la défendre; on ne se sent pas le courage d’y renoncer, et l’on est forcé d’employer des moyens qui seraient trop pénibles pour un homme droit et de bonne foi, si l’on ne parvenait à se faire illusion jusqu’à un certain point; mais quoiqu’on fasse, la conviction ne saurait être intime, et cette incertitude me tourmenterait. Je dis : voilà ce que je crois aujourd’hui, et voilà mes motifs; donnez-moi des lumières nouvelles , et elles modifieront ma persuasion. Depuis que j’ai exposé mes opinions , je cherche avec soin tout ce qui pourrait m’engager à les rectifier ; et voilà pourquoi je viens de parler des zodiaques égyptiens et de l’Algèbre indienne; car au fond, cette Algèbre sur-tout est fort étrangère à mon sujet. Je ne cherche point à disputer, mais à m’instruire , et je crois en donner une preuve nouvelle en rapportant avec fidélité toutes les objections du savant estimable dont je viens d’analyser l’extrait. Quoiqu’en beaucoup de points il paraisse s’ètre rapproché considérablement de ma manière de voir, cependant, par une suite d’impressions anciennes , il s’en éloigne encore très sensiblement sur quelques articles fondamentaux. Il parait que son goût le porte également vers les recherches mathématiques et les discussions historiques, qui ne peuvent jamais offrir la même certitude. Pour moi, je n’ai de confiance en mes assertions que quand je m’appuie sur des preuves mathématiques. Je trouve tout naturel qu’il admette des preuves de divers genres, et leur donne à peu près la même confiance; il me pardonnera de ne pas prendre une simple possibilité pour une probabilité , ni une probabilité pour une certitude. Il termine en exprimant le voeu qu’on

PRÉLIMINAIRE. *„î*

nous traduise tous les traités d’Astronomie indiens. J'ai plusieurs fois témoigné le même désir.

£n attendant les renseignemens nouveaux que pourront nous prourer ces traductions, suivons notre marche, et voyons quels ont été .„mPr°? , Ia stnence dans le moyen âge; c’est-à-dire depuis les IZTr frC-CS 0nt,cesf d’écrire , et à compter de l’époque où ils ont etc remplaces par les Arabes, les Persans et les Tartarcs- enfin par les premiers auteurs qui ont introduit l’Astronomie en Europe

au contraire àvoîrété S®.ep®r les successeurs d’IIipparque , paraît Us étaient devenu * d b°‘d °b,et l,rinciPal àe l’attention des Arabes.

fourni les tmrl.w;™ i V S0 ’ 1 dont leurs savans leur avaient

par eux-mêmes l’exaeütu'de “S ^°UluSSClU reconnaître

leurs calculs astronomiques et astrologiques car0'?!!?1 f V°U*

moiÏfdeco n’alhL:7U<I.ucs dcs G‘'ees, ils n’avaient pas Iroueilli a°vec “utZfpnne rCVerieS chaldéenne8 sur les influences des astres, eu teSl “tT“itIeS variations de l’atmosphère, mais l.omml d!“®s £STeVenemen.S de tout genrÇ> et la destinée dçs leurs horoscopes diviser le' g<?noraetne.> los Chaldéens ne purent tirer planètes, les signijfcateurs et Z/pZnlZ'J S,'" ^ Ct leS et sans doute à l’aide d’un globe S u V t grossièrement, Trigonométrie à ces problèmes Ptolcwê \ ^ beS aPI’ll(Iuel'ent leur

serve le silence le plus singulier. Les Arabes’™ ' ™ "“J “ CCt tlgardob'

ty&ssïst-fr*** » - «air::

''Astrologie , comme U dit “t8',"': 1"“'

on sent qu’elle ne doit fournir qu’un épisode U* , Aslronom,e

Pourquoi nous commençons ici L *

en revue, sans distrarnVm w P ’ ,P y pIus revenir, et passer

Si l’on compte f peï ,’ Pr°8rCS d° ^"omie véritable.1 T c" voit au nombre °bservJateu>'s parmi les Grecs,

IjCS ‘«strumens v sont i ; . ,b aSSez consiclerable chez les Arabes. avec Plus dc soin. eD P Ub §ran^s; il sont construits ct divisés

s°m, on îcmarque, dès le te, ns d’Almamoun, des déter-

si DISCOURS

minations nouvelles et plus exactes de l’obliquité de l’écliptique, de la position de quelques belles étoiles, de la précession, de la grandeur de l année et de l’excentricité du Soleil. A ces points fondamentaux ils ajoutent de nombreuses observations d’éclipses et de conjonctions; ils cherchent les erreurs des tables de Ptolémée ; ils sentent la nécessité de marquer avec plus de soin l’instant de chaque phénomène; chez eux, le commencement et la fin de l’éclipse sont accompagnés le plus souvent de la hauteur d un astre, qui leur sert à calculer l’angle horaire, et le tems vrai. On ne voit chez les Grecs aucune mention d’une pratique si bonne et si facile ; et , parmi tous les problèmes d’Astronomie sphérique résolus par Ptolémée, il est singulièrement remarquable qu’on n en voie aucun qui conduise directement à ce but. Pour les cas qui exigeaient une moins grande précision , les Arabes se contentaient de leurs clepsydres, la nuit; et pour le jour, de cadrans solaires auxquels ils donnaient une attention particulière. Ce. n’est pas qu’ils aient fait aucun changement notable à la Gnomonique des Grecs, mais nous voyons, dans Aboul-Hhasan , une multitude de détails, et la description de divers cadrans dont les noms, tout au plus, se trouvent dans Vitruve, et ne sont mentionnes par aucun géomètre grec. Avec ces moyens et d’après de nombreuses observations, Ebn Jounis et quelques astronomes plus anciens, avaient cherché à corriger les tables de la Lune et celles des planètes; mais ces améliorations, que nous ne connaissons pas meme très parfaitement , et sur lesquelles nous n’avons aucun détail positif, sont nécessairement trop imparfaites pour mériter d’èlre discutées. Ce qui est parfaitement sur , c’est que les Arabes ont admis, sans le moindre changement, toutes les hypothèses de Ptolémée, qui n’ont été renversées que par Kepler. Mais si à cet égard les Arabes ont montré pour ces suppositions inexactes un respect timide et superstitieux, ils se sont du moins attachés à perfectionner les méthodes de calcul , comme ils avaient plus scrupuleusement soigné les observations. Albategni rendit à la Trigonométrie le service le plus signalé, en substituant les sinus aux cordes; changement de la plus grande importance, dont il avait pris lidee dans l’Analemme de Ptolémée, et dont il est inconcevable que 1 astronome d’Alexandrie ait laissé échapper l’occasion ; par cette innovation heureuse, Albategni put bannir de l’Astronomie cette règle des six quantités, si incommode dans sa généralité, dont les Grecs eux-mêmes n’ont jamais fait usage sous cette forme, et que, par des combinaisons qu’ils étaient obligés de renouveler pour chaque problème, ils réduisaient

PRÉLIMINAIRE. x]j

toujours à ne plus renfermer que trois variables. Celte simplification s1 acile, négligée par Ptolémée, a du moins été faite par Albategni ; par ui, la solution de tous les triangles sphériques rectangles a etc réduite a quatre formules générales, dont les Grecs avaient l’équivalent beaucoup moins commode. Il restait, pour arriver toujours au but par la voie la plus courte, à découvrir deux théorèmes généraux; Geber trouva le premier, qui paraît avoir été entrevu mais négligé par Ebn Jounis- le deuxième n’a été trouvé que par Vicie. Pour les triangles obliquantes Albategni parait encore l’auteur d’une régie fort remarquable, parfaitement identique a 1 une de nos formules modernes, et qui sert à résoudre leux des problèmes les plus usuels : Trouver le troisième côté par les deux autres et 1 angle compris, et trouver un angle par les trois cotes. Ccst ce dernier problème qui donne l’angle horaire d’après une observation de hauteur. Pour ce dernier cas, Albategni donne une autre solution, ou il emploie, au lieu des cosinus, les sinus verses ou’il n le premier introduits dans la pratique de la Trigonométrie sphérique. Toutes les recherches d’Albatcgni n’ont pas été également heureuses: car à cote de ces méthodes qui montrent un bon géomètre, un calculateur aupuleux, on trouve deux pratiques également vicieuses, et que nous

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rttAÎne "® peut ,fchappcr à l’attention d’aucun lecteur ; l’autre t compliquée qu’il est fort difficile d’y rien

moins inexacte, est tellement c comprendre, sur-tout dans la ireducto ZïbZ TiTaX quilS aucune conna.ssance mathématique. Cette renie nous a loi». 9 cnpes, trop long-tems sans doute; nous l’avons im.rprélée^dcTomc' les manières sans pouvoir en tirer rien de raisonnable. Ré<ùonJn. * sans entrer dans aucun détail , a dit en deux mots qu’elle ne pouvait dans un cas uni(lue> <Iui fait ^paraître le facteur qui nous sur cen “T e-m°nt embarrassés- Ce qui nous a fait perdre tant de tems trou 16 reg 6 e.tran§e ’ °’cst sa singularité même et l’espoir que nous v idées acmelles q"e- m°lh°de pal licuUire ct tout-à-fait éloignée de ni

Ebn Jounis n’a pas rendu de service aussi important à la Trittonomé

blêmes le, nn, q cs’ rcsoudre un grand nombre de pro-

^ ^\i reDl UÜ‘CS Ct d’aU‘reS qüi ne sont S>'èrc que de règles, nous avo 6S transfojrmaüons nombreuses qu’il fait subir à scs ns eu îeu de soupçonner souvent un usage assez adroit

aclij DISCOURS

des tangentes et des sécantes, dont nous n’avions vu encore aucune mention dans son livre. Comme il ne démontre rien, nous avons cherché long-tems, mais vainement , par quelle autre voie il avait pu parvenir à tant de transformations singulières. Les différens chapitres nouvellement traduits par M. Sédillot, ne nous ayant été remis que successivement à mesure que nos extraits , nos remarques et nos démonstrations devaient être imprimées, c’est dans le dernier de ces chapitres que nous avons trouvé le mot de ces énigmes. Non-seulement Ebn Jounis connaissait les tangentes et les sécantes , mais il en faisait un usage adroit pour simplifier une opération , pour réduire une expression binôme compliquée, à un terme unique et beaucoup plus simple; déjà il savait employer ces arcs subsidiaires, aujourd’hui si fréquens dans le calcul astronomique, et dont l’exemple le plus ancien, en Europe, ne remonte guère plus haut que le milieu du XVIIIe siècle.

L’idée des tangentes et des sécantes n’était pas nouvelle en Arabie ; Albategni en donne les formules, il en fait usage dans la Gnomonique, mais jamais il n’eut l’idée si simple de les introduire dans la Trigonométrie.

Celte idée n’est pas venue à Ebn Jounis, quoiqu’il en paraisse plus près qu’Albategni ; on dirait même que les Arabes se faisaient une loi de n’employer aucun cosinus. Ainsi , pour éviter l’emploi du théorème de Géber, cos A' = sin A cosC', les Arabes inventèrent leurs déclinaisons prime et seconde; non-seulement ils changeaient l’arc connu C' en son complément , mais au lieu de l’angle inconnu A', ils allaient chercher à 90° de la une déclinaison seconde, qui était le complément de cet angle A'; et par ce moyen ils ne faisaient entrer véritablement que des sinus dans leurs calculs; et leurs tables, en effet, sont disposées en uno seule série, depuis o° jusqu’à 90°. Mais il était impossible que ce scrupule mal entendu durât toujours. Géber le brava en donnant des règles qui employaient les cosinus. Il n’alla pas plus loin; mais le dernier pas fut fait par Aboul-Wéfa, contemporain d’Ebn Jounis. Cet astronome, dans son Almageste, introduisit formellement les tangentes; il donna même une idée complète des sécantes; mais il les jugea trop peu utiles pour en calculer les tables; il en fit pour les tangentes, en prenant, comme pour les sinus, un rayon de 60' o' o", au lieu que ses prédécesseurs avaient calculé leurs tables d’ombres (c’est ainsi qu’ils nommaient les tangentes) pour un rayon de douze doigts, qui leur servait de style 4roit dans tous leurs cadrans, et qui était encore une imitation de.'

PRÉLIMINAIRE. xlüj

1'/tCS 1 <^'f''rRnce de rayon rendait ces ombres entièrement inutiles à ‘ . ^S^ometiie. Aboul-Wéfa fit disparaître cet obstacle, et simplifia les le *°nS connucs des triangles rectangles. C’était indirectement rendre

":rrrre PTlcs <P>° toujours on avait divisés en

jeux, rectangles, en abaissant une perpendiculaire de l’un des angles sur cote oppose. Nous ignorons si le même auteur imagina quelqu’autre simplification pour le calcul des obliquanglcs; il n’en est

ou 6é t ''r*1* v,r““i « * i» b»» , » «*

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£ ” f’™ “ ct T”"“ »'o»i rien fol. do n.u.««„

ce am r t TqUCS “ tr,Sonométriques; on leur doit quelques tables ct - qui est plus rare, un catalogue tout nouveau d’étoiles.

d’abordVar MdlæuT ou Mén’l'" CataIog"? d’Hipparque avait été copié fi toutes C El “ qlU àétai* confcntd d’ajouter Av

qu’il l’eût déterminéelui-mèmeparPobscr6 de 56" Pa>' ««> , soit

pales, soit qu’il eût adopté sansexameri~eXqUe3<it>ueS[,rinCi' avait assignée à ce mouvement. Ptoléméc tnnV, f eUI? qU n,PPar(Iue tant de confiance en ce Millæus au il s ! U1S se^ou les Arabes, eut toutes les longitudes, ce qui’ porte à Z“oSon ^7™“ lemee nous dit expressément que par ses observations ii’n C ’ !UJIS

donnant a'entenlS qu’üaToït otoJTÇ^ * CC"eS d’IlipParq^’^

confiance; mais nous ne savons Z paraissait mériter de

foi implicite au témoignage de quck^Arabc”0”8 P° 7°“* f j°UtCr Unc constances, nous parafent assezmj itïuds’

Grecs. Nous n’en citerons pour cxemnle nue pi • , , 7" concerne les

Rur laquelle ils son t si pen d’accord avec Théo 7° dC la ‘^dation . coup mieux qu’eux tous ce o,,i ' ,., n’ <IUI devait connaître bcau-

77 idée maScuse det trénH r ’ h‘St°irC d° '’ÉCok d’Alexandrie. !,,th’ -tait un pas* rétroerade Zi aCCr*di,éc P» Thé-

fane mention dans le tableau de * no,us,nous sommes bien garde de tableau des progrès dus aux Arabes. Nous n’avons

*liv DISCOURS

pas non plus compte la mauvaise détermination de l’apogée par Arzachel, venu plus tard pour faire beaucoup moins bien que ses prédécesseurs. Il fut aussi l’un des plus décidés partisans dp la trépidation, établie, nous dit-on, principalement sur les observations d’un Hermès, qui vivait 1985 ans avant Ptolémée. Cet Hermès nous est connu presque uniquement par ce qu’Abraham Zachut nous dit d’un Isac Hazan , principal rédacteur des Tables Alphonsines , et seul auteur de ces périodes sabatiques de 7000 et 49000 ans qui réglaient cette trépidation. Nous avouons bien volontiers que nous n’avons pas plus de foi a ces prétendues observations d’Hermès, qu’aux deux périodes juives; et le silence absolu de Ptolémée et sur la trépidation et sur les étoiles d’Hermès , nous paraît une raison assez forte pour rejeter ces fictions écloses cju cerveau d’un juif peu scrupuleux qui, d’ailleurs, est venu bien tard pour avoir des renseignemens assez certains sur des tems si éloignés. Quoi qu’il en soit de ces contes apocryphes et d’Hermès et de Millxus , c’est un fait qui paraît bien certain , que l’Astronomie ancienne ne nous a donné qu’un catalogue unique, c’est celui d’Hipparque; que celle du moyen âge n’en fournit également qu’un seul, celui du prince tartaro Ulugli-Beig, après un intervallede 1600 ans. Abdérahman Suplii, astronome arabe, à qui quelques auteurs attribuaient un autre catalogue, n’avait rien fait que d’observer de nouveau les grandeurs des étoiles consignées dans le catalogue de la Syntaxe mathématique ?; il avait conservé toutes les latitudes , et quant aux longitudes, il s était contenté d’ajouter partout i2°4a', pour les réduire à l’époque de l’an 964, au premier octobre.

Cette circonstance même nous avait paru curieuse, en ce qu’elle nous promettait une copie exacte du catalogue de Ptolémée; et nous avions espéré qu’elle nous servirait à rectifier les deux textes grecs que nous avons de ce catalogue, et les deux traductions latines que nous en avons dans les éditions de Venise et de Bâle. Dans cet espoir, nous avons commencé par copier en entier le catalogue de Ptolémée, en ajoutant 12° 42' à toutes les longitudes. Pour les comparer ensuite aux positions d’ Abdérahman Suphi, nous nous sommes servi de la traduction faite par M. Sédillot, collationnée par lui sur trois manuscrits difïe— rens ; mais ce travail n’a pas eu le succès que nous en attendions. Les variantes les plus remarquables que nous y avons trouvées sont des fautes manifestes dans les degrés et même dans les signes; les autres sont beaucoup moins considérables , et le plus souyent elles ne feraient