Chapitre XIII. Des ascensions droites. Son précepte est celui de Plo

EBN JOUNIS. foS

lémée et celui d’Albategni. Il en diversifie le calcul de plusieurs manières, niais elles n’ont rien de neuf, et prouvent toutes qu’il n’avait pas senti toute l’utilité de la Table des tangentes qu’il avait calculée avec tant de

soin et tant d’étendue. Il calcule séparément , et multiplie l’un

î • ,, n sin D COS» .. -

des quoliens par l’autre. Il fait sin Æ. = — au beu de faire. . . sin Tl = tang D cot a>. Cette inadvertance est véritablement singulière. Pour calculer la longitude par l’ascension droite, au lieu de faire

tang O = y il donne un moyen qui est au moins très curieux. Dans la figure 14* d a d’abord sin B: sin Tl :: 1 :sinO

0 sin B

Pour connaître B, prenez AC = 90, et menez BC qui sera de 90% C sera le pôle de AB. CB A sera de 90°; prenez encore BE=go°, et menez CE, dont B sera le pôle, les angles en E seront droits.

G=£*= 1 8o° — T C— 1 8o° — C A — A T = 1 80 — go° — Tlt^go0 — Tl

E'=^= 1 8o° — E T = 1 8o° — EB — B T — 1 8o° — 90° — O =90* — O

CE=rEBC=i8o* — CBT=i8o° — CB A — AB T= 180—90° — B=go° — B ,

cosC^==cosCEcosE^==cosCEsinL, et sinQ=—^=^^.

7 w cos CE cosCE

Pour avoir CE, faites sin CE=sin« sinG=^:==sindycosTl.

Soit donc sinCE = sina>cosTl, et vous aurez sin O = — fb

cos CE

Tel est le précepte que l’auteur nous donne sans démonstration.

Cette construction nous démontre une chose aujourd’hui bien connue. L'angle de V écliptique avec le cercle de déclinaison est le complément de la déclinaison d'un point de l écliptique dont la longitude serait= 90° — Tl.

Elle nous prouve encore ce théorème dont Géber, long-tems après, s’est déclaré le premier inventeur, cos B = sin a> cos Tl, ou cos angle oblique = cos côté opposé sin autre angle oblique.

Ebn Jounis a-t-il remarqué ce théorème , en a-t-il connu la généralité ? 11 est incontestable qu’il l’emploie ; mais Ptolémée l’avait déjà calculé sans le remarquer.

Je ne puis répondre que la construction que je viens de donner ait

le stC^unue dTbn Jounis. En voici une autre qui est plus encore dans

s y e grec, et dont on voit plus d’un exemple dans la Syntaxe mathématique. r

Prolongez BA en sorte que B a = 90° (fîg. i5 ),

BT eu sorte que Bb = 90.

Menez abC qui aille rencontrer l’équateur en C.

B est le pôle de abC ; les angles B ab, B ba9 BC a seront droits; les arcs Ca , CA, CB seront de 90°; Z»<j=TBA = B.

cb = CB6 = 90° — B, CT =90* — JB, ^r = 90°— 0, sin C b =r cos B = sin où sin CT sin où cos ^R.

Cette construction a été employée par Ptolémée; Ptolémée n’a pas vu le théorème; si l’on veut en faire honneur à Ebn Jounis, qui n’en parle en aucun endroit, et qui ne l'emploie ici que comme moyen subsidiaire, je serai fort tenté de le réclamer pour Ptolémée, qui a pris le même détour, parce qu’il ignorait aussi le théorème énoncé par Géber.

Si Ebn Jounis le connaissait, il a dù dire, faites cosB = sin&>cos^, et

vous aurez sin L = qu’était-il besoin d’aller chercher cette décli¬

naison que l’on calcule avec une longitude =90°— ^l? Pour quoi compliquer et obscurcir inutilement l’énoncé du précepte? Si 1 auteur arabe a employé ce langage détourné et peu naturel, c'est qu’il ignorait cette propriété générale des triangles rectangles.

11 est à remarquer que parmi une foule de problèmes d’ Astronomie sphérique, souvent assez inutiles et de pure fantaisie, jamais du moins jusqu’ici Ebn Jounis ne nous parle du moyen pour calculer les angles de position des points de l’écliptique. Ce silence peut-il se concevoir, si l'on suppose qu’il connaissait le théorème de Géber.

11 en est de ce théorème comme de l’usage des tangentes, qu il a meeonnu , après avoir calculé une Table des tangentes. Ce théorème est resté enfoui dans les écrits de Ptolémée et des Arabes, qui ont été souvent tout près de l’apercevoir. Géber, qui se l’attribue, aime un peu trop à se vanter; tout son ouvrage le prouve; mais enfin, avant lui, personne 11’en avait parlé; c’est par lui que nous le connaissons; je ne vois pas de raison suffisante pour l'en dépouiller. Au reste, je ne propose que des doutes, je suis loin de rien affirmer.

Ebn Jounis donne ensuite une règle bien moins simple et bien moins facile à calculer; elle se déduit facilement de l’équation primitive.

sin Ai sin yfl sin Ai

Mn B ( 1 cos9 B)9 ( 1 — sin9 » cos9 JEt)9

sin sin Æ,

Y? in9# -f cos9* — sina*cos9 JR)9 (cosa« -f-sina«$in9/iR)‘

EBN JOÜÏMS. io5

Tel est le pre'cepte qu’il nous donne, sans nous dire comment il a

* changé si n B en (cos* a> -f- sin* où sin* Al)a , qui est une hypoténuse. A-t-il fait ces substitutions? la chose n’est pas absolument impossible, niais on peut la croire peu vraisemblable.

Voici un autre moyen extrêmement simple, et par lequel Ebn Jounis aurait pu arriver au théorème.

Par le point B, menez au pôle de l’écliptique E le cercle de latitude BE, ^BE sera un angle droit. 'Y'B A==B= 1 8o* — TBP=i8o° — EBT—EBP = 180 — 909 — EPB=909 — EBP; donc EBP =90° — B,

sinEB:siuEPB :: si n EP : si n EPB = cos B === sin EP

sinEB

sin*sin(qo°-t-J4t) .

= - r— ^ — - - = sin co cos Al.

sin go°

Cette démonstration n’a rien qui ne fût très connu des Grecs ou des Arabes, mais cela n’est pas suffisant pour établir qu’ils aient en effet connu ce théorème.

Voici encore un calcul qu’ils ont fait plus d’une fois. Ils avaient la formule

sin 0 __ sin Al cos O cos Æ cos m *

péur calculer les formules de cette espèce, ils étaient obligés de les élever au carré. Us faisaient donc , ainsi qu’on peut le voir à la page 55 du tome II de XAstron. ancienne.

sina Q ___ sîna M sjq, q __ «naAl sin VR sin»0

x — sin20 cos* * cos* Al 9 cosa»cos*Al cos*» cos* /fi *

cos* Al cos* m COS* /fi. *

sin» O H - r^-s sin* O

COS* m COS* Æ.

sin*At

sin* /R

’ cos* « cos* Al *

sin* O — (-4a‘*Ti) =-

\COSa4»COS‘‘/fi/ -c

sin* Al

--cosa#cosaAl-t-sinaAl sinaAl-|-cos*At — sina«cosi

/ sin* Al \

\ ' COS3éiCOÿuJÜ/

'-(—Jgê-L) ,elsinO=

sinAl

(1 — sin*»cosaAt)* (1 — sinrp)*

cosp

Calculez donc sin<p = sino) cos Al, et vous aurez sin O = — — =