EBN J0UN1S
aucun principe nouveau. Ebn Jounis donne simplement et sans démonstration
sin OZS
cos O sin OS cos h
et
cos OZS =
cos OS cos h
Le problème suivant est remarquable. L’auteur se propose de déterminer la hauteur et l’azimut par le triangle PSZ (fig. 25), dans lequel il connaît PS, P7j et P.
Il fait d’abord sin pS = sin P sin PS 2= sin P cos D; mais au lieu de prendre PS , il en prend le complément SQ = distance du Soleil au point est de l'horizon ; car il est visible que l’arc perpendiculaire pS étant prolongé, passera par le pôle du méridien qui est le point est.
Cette distance SQ, l’auteur la nomme baad.
Cette distance fait, avec le premier vertical, un angle SQZ qu’il appelle inhiraf Pour le connaître, le triangle S/?P rectangle en p lui donne cos pS cos pV s= eos PS == sin D , ou
sinD *inD sin D #
COS £?P — sin SQ sin baad 9
il a donc pP el pZ = Pp — PZ = pP — 90* + H; or pZ esl évidentment la mesure de l’inliiraf SQZ; il a donc
cosZS=sinÆ=cos/?Scos/jZ=:siaSQcosSQZ = sinbaad . cos inhiraf,
ou bien
sin h =3 sin SM = sin SQ sin SQM = sin baad cos inhiraf; il pourrait faire
sin Z = = siu pZS = COS SZQ f
sinZS 00s n
il fait
„ „„ ^ sin Sn sin SQ sin SQZ sin baad . sin inhiraf
cos Z = sin SZQ =± = - ^zs - coTJT
on aurait plus directement tang/?S — tang Z sin pTj — laug P sin P p ,
tang P sin P p tang P sin équation de latitude #
ou tan8 z = —^pZ~ = -
car l’arc Vp , il l’appelle correction de latitude. Mais celle formule, plus directe, emploierait les tangentes, el Fauteur les évite avec soin.
Nous ferions tang Vp = cos P tang PS sss COS P COt D ,
rj .. , cos pZ cos PS sin inhiraf sin D
cos Yp : cospZ . . cos PS : cos ZS = sin h = — = “T^ÏET
\sin baad/
= cos inhiraf sin baad ;
ce précepte est plus simple que celui de nos quatre cosinus.
Sa formule
y sin baad sin inhiraf sin SQ sin SQZ cos pS sin pZ .
cos angle oblique =
sin Zi> sin ZS
COS côté opposé . sin côté adjacent siu hypoténuse
c'est la formule générale que nous avons trouvée ci-dessus, page ioG.
Ce n’est pas tout ce que cette solution a de remarquable. Pour connaître P, ou l’angle horaire, il nous dit de retrancher le dayer de l’arc semi-diurne; c’est-à-dire de retrancher du demi-jour la partie déjà écoulée depuis le lever du Soleil. Cette pratique tenait à l’usage des heures temporaires qui commencent nécessairement au lever du Soleil. Le demi-jour était toujours de 6\ On faisait celle analogie
6* : partie écoulée du jour :: arc semi-diurne : dayer :: MC : NC (fig. 24);
on avait donc ainsi le dayer; on le retranchait de l’arc semi-diurne, et le reste était évidemment l’angle horaire ; le reste serait aussi MN , mais MN serait un arc du parallèle et non de l’équateur; mais il répondrait au même nombre de degrés.
Faisons encore quelques remarques sur le baad et l’inhiraf, qui varient à chaque instant du jour.
Au lever du Soleil , le baad, ou la distance au point est, se confond évidemment avec l’ampli t. orlive QC ( fig. 24) , sinbaad= sinampl. ortive.
La hauteur du baad est nulle et finhiraf CQZ = 9o°.
Au cercle de 6h équinoxiales, le baad TQ est la déclinaison; sin baad = sinD, l’angle TQZ ou l’inhiraf=90° — II. La hauteur TS = sin D sin H = QT sin PQE.
Au premier vertical, le baad devient QV et sin baad = sinhauteur sans azimut, l’inhiraf=o, et la hauteur de l’extrémité du baad=QV — sin haut, sans azimut. Après le passage au premier vertical , nous venons de voir que l’inhiraf avait passé par zéro; qu’il avait changé de position , et par conséquent de signe.
Au méridien enfin, le baad, qui a toujours été en augmentant, de-
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puis le cercle de 6\ est enfin de go‘; c’est le maximum (le minimum est D ) , l’inhira f est (H — D) , et sa hauteur 90° — (H — D).
Après le passage au méridien, le dayer surpasse l’arc semi-diurne, et P — partie écoulée — arc semi-diurne = dayer — arc semi-diurne ; les mêmes valeurs du baad , de l’inhiraf, de la hauteur et de l’azimut, reviennent en ordre inverse.
Nous n’avons rien dit de l’azimut; mais l’expression .
cos Z = -m baa1 sm inb-r— nous montre que l’azimut devient obtus, quand cos lj — cos }îaüteiir 1 1
, , ,.11 > ,•/* sin baad
sin inhiraf a change de signe et quil est devenu negalit; - — ■ est une
quantité toujours positive.
Pour avoir l’azimut dans toutes les positions que nous avons détaillées, il suffira de substituer, pour les trois facteurs, les valeurs que nous avons indiquées.
Celte partie de la Trigonométrie des Arabes nous a paru assez curieuse, pour faire excuser l'étendue que nous avons donnée à cet article. Soit P la partie écoulée du jour ;
sin \ P cos D = sin MA = sin MB = sin ± AB (fig. 26) ,
cos AB = cos BC cos AC, -
= cos AC,
AC — AQ == CQ ; et par l’Analemme , sin h tang H == différence à l’horizon = CQ -j- Q A , cos Z sin ZB = sin BZQ cos 7i = ashle = sin BE = ME (fig. 27);
l’ashle est la perpendiculaire abaissée du lieu du Soleil sur le rayon vertical ZB de la projection,
BC = — E amplitude.
cos H *
Chap. XXI. si l’on a les hauteurs de deux points opposés de l’écliptique, l’un de ces points sera boréal et l’autre austral (fig. 28); que les deux hauteurs soient égales, en sorte que MA = sin /t = NB, et que l’on connaisse les deux azimuts Q A et BQ , on aura
B b = NB tang H= Ka, ^ — sin QZM ,
BQ = B£ -f- amplit. Qê ,
QA = amplit. — Aa = amplit. — , QA == sin Z cos h ,
BQ -h QA = 2 amplit. orlive, ^ (BQ -f- QA) = amplit. orlive ,
BQ — - QA. 2 sin h tang H ; = tanS U >
Ain u • * « • a tt
= sm A et sin D = sm A cos H ;
on aura donc l’amplitude ortive, la hauteur du pôle et la déclinaison.
Si ce problème n’est pas très utile, il est au moins curieux; on voit, dans tout ceci, combien les Arabes avaient étudié cet Analemme, aujourd'hui si négligé.
Si les deux amplitudes sont méridionales, QA sera négatif; il n’y aura qu’un changement de signe , et les pratiques seront les mêmes. L’auteur les détaille pour les deux cas ditferens.
11 cherche la latitude et la déclinaison par une hauteur observée et par la hauteur sans azimut. 11 faut de plus connaître l’azimut de la hauteur observée
sin D = cos Z cos h' cos H -f- sin h ' sin H , sin D = sin h sin H,
sin h sin H = cos Z cos h ’ cos H -f- sin h' sin H , sin h = cos Z cos h' cot H sin h' , sin h' — sin h = — • cos Z cos h' col H ,
sin h ~ s i n /ï . • > . tt
cot H = — -, - T? , sin D = sm h sm H.
