obliquité

11 3. 10 - 56° 35' latitude... 33. a5.

On voit qu Aboul Wéfa était contemporain d’Ebn Jounis.

ÀBOUL WÉFA. ify

Au chapilre VI, après avoir exposé la théorie des sinus, il définit daulres lignes trigonométriques qu'il emploiera dans son ouvrage , c’esta-dire les ombres sexagésimales ou tangentes, pour les faim servir à la solution des différens problèmes de l’Astronomie sphérique.

L’ombre d’un arc est une ligne menée de V extrémité de cet arc parallèlement au sinus , dans l'intervalle compris entre cette extrémité de l’arc et une ligne menée du centre du cercle par l’autre extrémité du même arc.

Ainsi l'ombre est la moitié de la tangente du double de V arc , comprise entre les deux lignes (ou sécantes ), menées du centre du cercle à l’une et a l’autre extrémités de Tare double.

On nomme cette ombre, ombre prime , ombre verse , et l’on appelle diamètre de V ombre, la ligne menée du centre g l’extrémité de l’ombre ,

L' ombre droite est l’ombre du complément de Varc.

Le module est égal au demi-diamètre du cercle.

Il suit de là , i°. que le rapport des ombres verses au module ou mékias, est égal au rapport des sinus et des cosinus des mêmes arcs.

2°. Que le rapport des ombres droites au module est celui des cosinus aux sinus.

3°. Que par ombre absolue sans autre désignation, il faut entendre l’ombre verse, et que le rapport de celte ombre à son diamètre est celui du sinus au rayon.

4°. Que le rapport de l’ombre droite au module , est égal au rapport du module à l’ombre verse.

G’est ce que l’auteur démontre, comme on le fait encore aujourd'hui , par les triangles semblables:

sinus

° ensinus

colang

cosinus < sinus ?

ces formules sont dans Albategni , mais il n’en a pas senti l’importance.

Nous nous servons, par anticipation, du mot cotangente, pour éviter les périphrases; du reste, nous donnons la traduction littérale des définitions de l’auteur.

Divisez le sinus par le cosinus, vous aurez l’ombre exprimée en partie du rayon = i .

Pour exemple, il donne pour 3o°,

tang — qp 34? 38' 27" 39"'38IT et cot 1 . 43' 55' 22" 58"'j

Biessius a donné long-tems après

Pour avoir les diamètres ( ou les sécantes ) , nous ajoutons le carré du module au carré de l'ombre ; la racine carrée de la somme est le diamètre

cherché.

Ainsi pour le diamètre de 3o°, on prendra \/\ -j- 5= 2 = coséc de 3o°,

1 ' 1 r ^ cotang

ou bien - - = cosec de 1 arc = — j->

sin arc co&in

Il y a ici une lacune; il est aisé de la remplir par la formule... séc = s/r-f- tang%

— E- = diamètre ombre verse ; 4- = diam. ombre droite .

cosiu sin >

, , . v- . / ' . . séc . coséc

(sec* — i )*, col ^ (cosec* — i)> , tang = — «>1=-^;

personne ne croyait ces formules aussi anciennes.

L'auteur ajoute qu’il a calculé les ombres pour les arcs de i5 en i5', et qu’il en a fait une table eu quatre colonnes. Dans la première se trouvaient les tangentes, depuis i5' jusqu a 89° 45'; dans la seconde, étaient les cotangentes de 89° 4^ à o° i5'.

Dans la troisième colonne étaient les ombres pour un rayon de 60^, selon ce qui convient à la plus grande facilité des calculs; et dans le cas où l’ombre surpasse 60, il suppose des unités d'un ordre supérieur. Ce sont les soixantaines d’unité, ou les sexagènes déjà employées par Tliéon.

Enfin, dans la quatrième colonne, se trouvaient les soixantièmes des différences d’ombre, d'une ligne à la suivante; en supposaut, ce qui est suffisamment exact, que de i5 en i5' on peut interpoler par de simples parties proportionnelles.

On voit que l’auteur s’était contenté de donner l’expression des sécantes, et qu’il n'a pas jugé qu’il valut la peine de les calculer.

On n’a point cette Table des tangentes d’Aboul Wéfa; mais, ce qui nous importait, était d’avoir la date certaine de leur introduction dans Je calcul trigonomélrique.

Livre II, chapitre III. Détermination de l’obliquité première, c’est-àdire de la déclinaison des points de l’écliptique.

sin 3 ,5.3 0':: sincf :sin J'rîsin^RlsiuvR.';

tan g

sinus

tang=

ÀBOUL WÉFA.

il suppose apparemment sincP=sin6)sin O = sin oisinyll, mais on aurait

sin S' = sin a> sin O '== sin a sin vïV ;

tangO *. tangO':: cos ai tang O :cosfldtangO'=tangyft:tangyïl'.

Après des applications qu’on trouve partout, il détermine l'entrée du Soleil aux différens signes de l'écliptique, par des déclinaisons observées aux jours voisins, et par des parties proportionnelles. Cette méthode donnerait trop peu de précision dans le calcul du vrai moment du solstice; il y substitue le calcul de deux instans où les déclinaisons auront été égales et par conséquent à même distance du solstice; mais il ne faut pas qu il y ail un intervalle considérable, de peur que l’inégalité du mouvement n’affecte le résultat. Cette réflexion est juste; mais si l’intervalle et peu considérable, on retombe dans l’inconvénient de la lenteur du mouvement en déclinaison, qui exigerait des observations plus précises qu'on ne savait encore les faire.

Livre I, chapitre IV. De la déclinaison seconde. C’est celle qui se Calcule par la formule

tangD = lang a> sra^il, et qui donne langD: long D' :: sin Æ: sin ou celle qui s’obtient en faisant

sin io° tang 25°55/ =r 4P Sa' 55f/ 5iw = tang 4° 20' 5or/ 48'"' ; il fait aussi sin G =

tang «

Voilà enfin les tangentes naturalisées. On a

sin D = sin ca sin O, et tang ef = tang co sin O , smD:tang<f rîsinæsinO : tanga sin O :: sinasinO : — • - . sin O ::cos»: 1