CHAPITRE VIII

Viète et Alagini.

Depuis Hipparque et Ploléraéc jusqu’au seizième siècle, les théories astronomiques n'ont fait aucun progrès véritable ; quelques points fondamentaux ont été mieux déterminés; Albategni a mieux connu la longueur de l'année, l’excentricité du Soleil et l'obliquité de l’écliptique; d’un autre côté , Tbébit a fait rétrograder la science par son système de la trépidation des étoiles. La faveur avec laquelle cette idée malheureuse a été reçue par tous les astronomes qui l’ont suivi , est une preuve qu’on observa bien peu, ou qu’on observait bien mal; le vrai service que les Arabes ont reudu à la science , est la face nouvelle qu’ils ont donnée à la Trigonométrie, et leurs soins continuels pour faciliter les calculs de l'Astronomie sphérique. Leurs découvertes en ce genre, imparfaitement connues, et plus mal appréciées , ont fait que les premiers restaurateurs de l’Astronomie en Europe , se sont traînés long-temps sur les pas des Arabes qu’ils n’otit pas su égaler; ils ont lentemeut et péniblement retrouvé ce qui était inventé cinq cents ans auparavant. Le savant dont nous allons extraire les ouvrages, n’était pas astronome, mais il était le plus grand géomètre de son temps; il a complété enfin le système trigonométrique des Arabes; il est le premier auteur des formules analytiques , qui servent à la résolution de tous les triangles; il a mis dans un ordre plus satisfaisant les méthodes que les astronomes ont suivies long-temps de préférence, et qu’on avait successivement étendues et améliorées; il a donné des règles qui facilitent la construction des tables de sinus, de tangentes et de sécantes ; enfin , on lui doit encore des formules où l’on trouve à peu près tout ce que les modernes connaissent déplus utile, pour les sinus des arcs multiples, en fonctions des sinus de l’arc simple. L’extrait des ouvrages de Viète est donc une partie essentielle de l'histoire de l'Astronomie au moins sphérique. Nous le commencerons par ses tables trigonométriques, dont voici le titre :

Canon mathematicus s eu ad iriangula cum adpendicibus ; avec cette

épigraphe : Dura et quiesce. Lutetia: , apud Joannem Met loyer, in Ma-

thcmaticis tfpographum regium, 1 579.

Nous avous vu que Furbach avait donné des tables de sinus de 10 en 10 minutes, et que Régiomonian les avait étendues à tontes les minutes du quart de cercle; mais, à l'exemple des Grecs et des Arabes, ils faisaient le rayon de 6o* o' o".

Purbach, à l'exemple d’Albategnius , avait indiqué l’usage des tangentes dans la Gnomonique; Régiomontan , ayant senti les inconvénient du calcul sexagésimal , avait refondu les tables de sinus pour rayon de 60000; il avait fait à part une table des tangentes pour tous les degrés, et pour un rayon de 100000, plus commode pour les usages particuliers auxquels il avait destiné cette table subsidiaire; du reste , il n'en fit aucun usage pour la Trigonométrie. Cependant il avait donné à celte table le titre de féconde , qu’à vrai dire elle ne méritait pas encore. Maurolycus avait donné une table de sécantes, qui s’appela très féconde , quoique réellement beaucoup moins utile que celle des tangentes : Maurolycus, laimême, ne la nommait que tabulant beneficam. Aucun auteur, que noos sachions, n’avait réuni en un seul corps ces trois espèces de tables, lorsque le célèbre Viète publia le livre dont on vient de lire le titre. On y vq^t donc , pour toutes les minutes du quart de cercle, le sinus sous le nom de perpendiculaire , la tangente sous le nom de base , quand on prend la perpendiculaire pour rayon; enfin, la sécante sous le nom Hypoténuse. Viète indique an baut et au bas de chaque colonne, que ces quantités sont tirées, les premières, des tables de sinus, et les deux autres des tables féconde et très féconde de Rhapsodes , qu’il ne nomme pas. Ces tables, assez bien imprimées, ont cette obscurité et celte bizarrerie qui sont le cachet de l’auteur. Les différences sont marquées entre lignes en encre rouge; les degrés et les minutes des arcs sont en chiffres romains; le rayon est 100000 ; mais, dans le premier degré, les tangentes et les sécantes supposent un rayon plus grand.

A la suite de cette grande table on en trouve une antre sous ce litre : Canonion triangulorum rationalium. Ces triangles ont leurs côtés exprimés le plus souvent par des fractions si considérables qu’il est assez difficile de voir quelle utilité l’on en pourrait tirer. On voit ensuite une table pour la multiplication des quantités sexagésimales ; une autre pour la transformation des fractions; une table des sinus en parties sexagésimales; une table des sinus, des tangentes et des sécantes pour tous les degrés ; enfin, nn tableau des règles à suivre pour l’u6agc de la grande table , et qni pa-

. VIÈTE. /f,7

raltrait au contraire imaginé tout exprès pour en augmenter les difficultés.

Cet ouvrage est peu connu, rarement cité; il est probable qu'on n'en a pas fait un fréquent usage. L’auteur n'a pas mis son nom au frontispice, mais seulement en tête d’un opuscule qui vient après les tables, avec ce litre : Francisci J'ietœi, universalium inspcctionum ad Canonem mathemattciim , liber singularis. Luteliæ, 1 5jQ. On y lit h la page 2, que 1 hypoténuse de l’angle droit sera nommée simplement hypoténuse , jcst i'oytn, ut pote anguli nobilioris; on y rencontre ensuite un triangle en nombres , un triangle inscrit au cercle, un triangle dont un côté est tangent à un cercle. Il est d’avis de conserverie mot technique sinus, ad laterum sernissium inscriptorum denotationem. Le côté tangent au cercle na pas encore reçu de nom élégant; mais, parce que les Rhapsodes ont appellé fécondes les tables où ils les ont recueillis , il propose de donner à ces côtés la dénomination de féconds , ce qui n’est pourtant pas plus élégant que le mot tangente qu’il réprouve; quant aux sécantes , il veut qu’on les appelle hypoténuses des féconds.

Ces dénominations n’étaient pas faites pour être accueillies; on s’est décidé pour ce qni était plus naturel, plus commode, et même plus élégant, quoiqn’en dise Viète. On ne voit pas d’ailleurs comment les tangentes et les sécantes mériteraient le qpm d e féconds plutôt que les sinus, qui, au fait, sont la source de tout; en effet, les tangentes et les sécantes ne sont que des combinaisons des sinus entre eux ou avec le rayon. Les sinus suffisent tout seuls à la résolution de tous les triangles; longtemps on n’a pas connu d’autres lignes trigonométriques; l’usage en est bien plus fécond et plus universel; cependant ce fut une idée fort heureuse que de leur associer les taugentes et les sécantes, puisqu’elles abrègent nombre d’opérations qui seraient bien plus longues par les sinus.

Viète désigne le cosinus par les mots de sinus residuœ. 11 parait partager cette répugnance qne les Arabes ont montrée si long-temps pour les cosinus , et qui leur avait fait inventer leurs déclinaisons prime et seconde, afin de chercher toujours l’inconnue par un sinus, se réservant ensuite de prendre le complément de l’arc trouvé pour avoir la véritable inconnue du problème.

Pour faciliter la construction des tables, il donne les formules suivantes ;

[cordc(A — B)]* = (sin A — sin B)* -f- (cosB — cos A)*

= sin’A +siii*B — asîn A sinB-f-cos’B-f-cos* A — acosB cos A

= 2 — a(cosB cosA -|-sin A sinB)=a — a(cosA>— B) =a= a[« — cos(A — B)] = 4S'U* ^ (A — b) ;

c'est une formule dé Régionionlan.

sin(6o"-f-A) — sin(6o* ■— A)=sin Go"cosA-f-cos6o'sinA — sinGo'cosA

-f- cosôo" sin A

= 2 cos Go" sin A = asin 5o" sin À = * sin A = sin A,

formule neuve et utile.

cosec A -f* cot A ~ coséc A — cot A =

i; , cas A sin A sin A

1 cos A

sin A sin A

aco«* i A asin , A cos . A o*in*i A a-in ~ A cos £ A

cot fÀ,

taogiA}

d’où l'on déduit

acosec A = cot j A -f-langt A, et acotA = cotiA — lang^A;

ainsi , avec les tangentes de 45% pn aura toutes les autres. Il en est à» même des sécantes.

asin* s A asin* | A , .

»inA ^ asin j A cos r A an6* *

il démontre cette formule par une figure facile à imaginer.

•inBAC(fiS.n7)=£=^

cos BG — cos AG ftsin £ (àG — È6J

= = «■'* (ag+k).

2 s auteur ordonna autrement son calcul pour arriver à

(cos BG — cos AG) =3 asin ± (AG — BG) sin* (AG + BG)j mais c'était une formule connue dès long-temps :

g=tangi(AG + BG) =

cos BG — cos AG siu AG — * uTBg'

' “ VIÊTE. ' 459

Au reste, si ces deux formules ne sout pas neuves, la démonstration n exige que la peine de jeter les yeux sur la figure.

Que la ligne BM (fig. 1 18) partage en deux egalement l'angle B, vous aurez