io.a
On voil par cette double e'preuve que les différences des ombres passent g de la grandeur du gnomon, et qu’elles ne sont nulles qu’au méridien où sin*jP = o, ou à l'horizon, où l'ombre verticale est nulle partout. On se tromperait donc d'une heure si l’on portait au cercle polaire le cadran construit pour 19* 3o' de latitude, ou d’une demi-heure, si l’on portait à 5o* \ de latitude le cadran pour 3* j de latitude.
Ou peut estimer que dans les pays voisins de l’Arabie, l’erreur ne passait pas un quart d'heure, ce qui, dans ces tems, pouvait paraître une exactitude suffisante pour les usages civils.
Sakke al Jeradah ou la jambe de la Sauterelle, pour une latitude déterminée.
Imaginez le cadran cylindrique développé sur un plan et que le pied du gnomon puisse glisser pour être amené sur la ligne verticale du jour; alors vous aurez la jambe de Sauterelle de la première espèce. Voulez-vous que le gnomon soit fixe? la jambe de Sauterelle sera le cadran connu sons le nom du Jambon, à h réserve qu'au lieu de joindre tous les points d'une même ligne horaire par des lignes brisées, Aboul-Hhasan les joint par nue courbe; ce qui est en effet plus exact , comme nous l'avons déjà remarqué eu parlant de la théorie du Jambon, tome II, page 5 ■ 4 •
Dans celle seconde construction le gnomon réel u'est pas le gnomon matériel qu’on voit aux angles du quadrilatère, mais bien l'hypoténuse d’un triangle qui a pour côtés le gnomon matériel et la distance horizontale du pied de ce gnomon au sommet de la verticale du jour. L'ombre verticale, donnée pour cette hypoténuse, est ce que l’auteur appelle ombre employée. On a donc
I y IJt\ i
ombre employée = (G* + D‘)» tangA = Gf i V lang/i — G (t + lang*p) * tang A = tang h;
D étant la distance du pied à la verticale du jour, h la hauteur du Soleil à l’heure supposée , et p étant déterminée par la formule tang <p = (jjj'
On voit ce qu’il faudrait faire pour avoir l’ombre de l’ashre. I,e gnomon matériel, qui produit l’ombre, s'appelle de même gnomon emploj ou corps de l’ombre employée; car le gngpon s’appelle en géuéral corp de [ombre.
L’auteur construit ensuite une jambe, de Sauterelle pour toutes les la titudes, ce qui donne lieu aux mêmes objections que nous avons faites ; son cadran cylindrique.
Cadran conique pour une latitude déterminée. Soit «A l’axe du côn- (Gg. 1 35), AB le rayon do la base, ab le rayon de la base supérieure d> cône tronqué; ce rayon sera aussi le rayon de la base du tronc ou du chapiteau , qui pourra tourner autour de l'axe A a, et portera un gnomon horizontal saillant. Soit bh ce gnomon-, S0 le rayon solaire, l’ombre serait donc bO, sur la surface du cylindre Aab B'; elle sera bL sur la surface conique. Il s'agit, de calculer bL.
CNOMONIQUE.
sinL : bh :: sin h : £L
bh $in h Gain A GainA
~ " iinL aia (IJib -f- Lbhj sin (A -f- go' — lîMi' )
G sin A G sin A G sin A
" coa(A — BAB') cos (A — I) (cosAcosI-f-sinAsinl)
GtançA GsAcItangA AOsécI
cosl -(-sinl tang h~ i-|-tanglt*n;;A I -j- langtung/i
h esl la liauteur du Soleil , et I l’iuclinaison du côté du cône sur la verticale ôB'. «
A cela près , le cadran sur un cône sera le même que le cadran cylindrique, mais les ombres seront plus courtes; et telle est, fort probablement, la cause qui la fait imaginer.
L’ombre bL s'appelle ombre employée.
Balance Khorarie ou Fézarie. Prenez un solide d'un bois dur ou de métal, dont la longueur soit de sept fois environ son épaisseur; que les quatre faces les plus longues de ce parallélépipède soieut planes cl rectangulaires.
Sur la première face décrivez un rectangle, en laissant aux deux bouts la place nécessaire pour y marquer les signes de l’é?liptique ou autres symboles de ce genre; dans ce rectangle, menez parallèlement aux grands ' côtés des lignes droites, pour tous les commencemens des signes; divisez ces lignes en doigts, c'est-à-dire en douzièmes du gnomon; sur ces lignes, cherchez les longueurs des ombres des différentes heures, selon la déclinaison du signe; marquez par des points les extrémités de ces ombres horizontales , et par tous les points d'une même heure, tracez une ligne qui sera presque droite, vu la petitesse de l’échelle; plantez le gnomon à l’une des extrémités du quadrilatère, et quaud vous voudrez savoir l’heure, placez la règle dans l'azimut du Soleil; en sorte que l'ombre soit parallèle aux côtés de la règle, l'extrémité de cette ombre, prise sur la ligne du signe, vous donnera l’heure comme par les cadrans précédens. Pour cette observation, on soutient la règle par un fil qui passe par son centre de gravité; il paraîtrait plus sôr de la placer sur un plan bien horizontal , car le moindre vent ferait osciller la machine et rendrait l'observation fort douteuse. C’est apparemment ce genre de suspension qui a fait donner à l’instrument le nom de Balance, d'autant plus que l'on s’assure de l’horizontalité de la règle par le même moyen qui indique celle du bras d’une balance.
Mais comme l'ombre horizontale pourrait être incommode par sa longueur, eu face du gnomon et à l'autre extrémité de la règle, on place,
dans une antre rainure, un plan vertical, qui reçoit l'ombre verticale du gnomon, laquelle sera d’autant plus petite que l'ombre horizontale sera plus longue.
La théorie de celte balance est la même, au fond, que celle de tous lés cadrans qui marquent les heures par la seule longueur de l’ombre ; on y marque aussi les lignes de lashre. Ce cadran est sans contredit un des plus bizarres et des moins sûrs qu’on ail jamais imaginés. On avait sans doute voulu le rendre portatif, mais on aurait aussi bien fait de le tracer sur une longue canne qu’un fil-à-plomb aurait fait placer verticalement; le gnomon aurait pu se fermer comme un couteau, et se replier dans l'épaisseur de la canne.
Les trois autres faces portent aussi leurs divisions , que l'auteur expose fort longuement sans parvenir a les rendre fort claires. Il aunonce qu’on trouvera , dans la suite de l'ouvrage, l’explication des usages nombreux de celte balance en cinquante articles, que nous n’avons pas vus et qui ne pourraient nous intéresser qu’en raison de la singularité. Celte méthode d’accabler fc) lecteur de détails obscurs, et de garder le plus profond silence sur le fond des choses, serait bonne tout au plus pour des ouvriers charges d’exécuter l'instrument, sans être eu étal d’y rien comprendre , et trop souvent l’ouvrage parait destiné à celte sorte de lecteurs. Nous avons fait la même réflexion aux articles de Théon, d'Alhalegnius et d'Ebn Jounis, qui, le plus souvent, paraissent avoir rédigé leurs notices pour des astrologues ignorans; peut-être aussi n’a-t-il pas voulu tout dire pour qu’on fut obligé d’aller à ses leçons; et c'est une précaution qui parait avoir été prise par beaucoup d’astronomes connus principalement comme professeurs.
Le premier chapitre du livre III prouve, un peu longuement, que la marche de l’ombre doit être une ligne droite aux équinoxes, une hyperbole toutes les fois que le Soleil peut sc coucher, une parabole quand il ne fait que raser l’horizon , une ellipse en clé dans la zône glaciale, ou enfin un cercle quand l'observateur est au pôle. Je u’ai vu celte doctrine dans aucun auteur plus ancien; fl est à croire cependant qu'elle n’est pas d’Aboul-Hhasan, puisqu'il ne dit pas comme il fait en plusieurs endroits, que personne encore n’en a parlé et qu’il en a eu la première idée.
Chapitre II. On peut tracer la marche de l'ombre sur des surfaces planes, cylindriques, coniques ou sphériques. Aboul-Hbasan ajoute que personne avant lui n’avait employé d'autre surface que la plane; fl est
GNOMONIQUE. 5a3
donc bien mal informé, ou il ne parle que des Arabes; car, sans parler deBérose , ni d'Arislarque de Samos , nous avons dans Vilruvc et Stuart, la preuve qu'on avait fait des cadrans sur des surfaces coniques. 11 va donc donner des pratiques pour les cadrans de toute espèce. Je dis des pratiques, car il nous a donué déjà ses idées théoriques, il est vrai que c’est sans les démontrer.
Chapitre 111. Cadran horizontal. II suppose qu’on a des tables des liauteurs et des azimuts, et ne donne ses instructions qu’à des manoeuvres; sa théorie est celle de Ptolémée ; il n y ajoute que l’ashre ; cependant , au lien d’employer directement l'azimut, il multiplie l'ombre par le sinus de cet azimut ; il a de cette manière l’ordonnée de la courbe ; il en a de même l'abscisse en 'multipliant l'ombre par le cosinus. Je n’ai vu jusqu'ici ce précepte dans aucun auteur plus ancien. Ce qu’il y a de particulier dans ses constructions, c’est qu’il suppose données les dimensions du plan ; qu'il y assujélil l’ombre la plus longue, et calcule le reste en conséquence. 11 serait plus court de calculer tout avec un gnomon pris pour uuité, et quand on aurait toutes ses ligues, on pourrait chercher, pour la hauteur du gnomon, le nombre qui renfermerait l’ombre la plus grande dans les dimensions données. Sa manière inverse d’attaquer le problème augmente la difficulté, soit pour exécuter, soit pour comprendre.
Après avoir tracé les heures temporaires, il dit brièvement ce qu’il faut faire pour avoir les heures égales. II parlera plus loin de la propriété qu’a le pôle, qui est de fouruir un point commun à toutes ces lignes, en sorte qu’il suffit de trouver un second point, soit snr un tropique, soit sur l’équinoxiale. Il parait donc que ce centre est une invention qui appartient aux Arabes et probablement à Aboul-llhasan. Nous verrous que les plus anciens d’entre nos gnomonistes en parlent comme d'une chose vulgaire, et qui n’a pas besoin d’être prouvée. Ce centre n’existe pas pour les heures temporaires, qui même ne sont pas rectilignes; au reste, sans rien prononcer sur la nature de ces lignes, Aboul-Hha&an , qui les décrit par points , recommande souvent de déterminer un point pour chaque signe pour plus d’exactitude.
Pour la hauteur du pôle, qui serait le complément de l’obliquité, il trouve que le cadran est impossible à décrire complètement. Il s’arrête au point où l’ombre est la plus longue que l’ou puisse construire ; il ne calcule qu’une partie de l’arc solslitial d’été , et trace d’autres parallèles en nombre suffisaut pour avoir des lignes bvrairet les plus exactes. Oa
5a4 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
peut voir ce que nous avons dit de ce cadran du cercle polaire, tome 11, pages 479 et vij , avant que M. Sedillot nous eût confié sa traduction d’Aboul-Hhasan. ' ' * ••
Au total rien de vraiment neuf surles cadrans horizontaux, si ce n’est la mention des lienres égales, et du point où toutes les lignes se réunissent.
Cadrans oriental et occidental sur le plan du -méridien. Il emploie encore la méthode grecque; mais il ajoute qu’elle est peu connue; il calcule les abscisses et les ordonnées de ses lignes ;-il donne aux abscisses le nom d 'ombres employées. Ainsi, la théorie est toujours la même , et l’on n’y voit qu’une modification très légère.
Cadrans sur le plan du premier vertical. Ce sont les cadrans verticaux du midi et du nord. Aux azimuts et aux longueurs des ombres , il substitue les ordonnées, qu'il appelle ombres employées , et les abscisses qu’il nomme distances; ponr le cadran du nord, qu’il juge plus difficile, il calcule un plus grand nombre de points sur chaque ligne.
Cadran vertical déclinant et cadran incliné. C’est là qu’il nous apprend que tout plan quelconque peut être considéré comme l’horizon d’un lieu dont on peut déterminer la longitude et la latitude.
Cadrans dont le gnomon au lieu d'être perpendiculaire au plan , est parallèle a l’horizon. 11 suffit d’abaisser du sommet une perpendiculaire sur le plan : cette perpendiculaire sera le véritable gnomon , et les ombres commenceront du pied de cette perpendiculaire. C’est én effet le précepte de l’auteur, qui se livre à son ordinaire à des détails qui ne sont bons qne pour des ouvriers qui n’ont aucune théorie.
Cadrans parallèles à des horizons quelconques.
Cadran horizontal des heures égales, sans employer aucun azimut et sans autre parallèle que celui du Bélier. L’auteur nous dit ici que personne avant lui ne s'était occnpé de ces heures, et que cette invention est le résultat de ses méditations et de ses réflexions ; il ajoute que les cercles de ces heures passent par les pôles du monde, que leurs intersections avec des plans quelconques ne peuvent être que des lignes droites, qui passent par le point du pôle, et par les points des heures égales sur le parallèle du Bélier. Cette remarque a dû lui suggérer le moyen de simplifier la construction. Voici celle qu’il emploie : l’ombre méridienne de l’équinoxe lui donne un point de l’équinoxiale, et ce poiot suffit; car l’équinoxiale coupe la méridienne à angles droits; les ombres du maliu ont leurs correspondantes parmi celles du soir; elles sont des obliques égales deux à deux; il eo calcule les longueurs, et prenant le pied du slyje
CNOMONIQUE. 5a5
pour centre , atee les longueurs pour rayons , il divise son équinoxiale par des points d'intersection. On voit qu’il ne connaît pas l’expression de la tangente de l’angle au centre du cadran ; il sait seulement que la ligne de six heures est parallèle à l'équinoxiale. .
Pour les autres parallèles il calcule la longueur des ombres; et comme il a, par ce qui précède, les lignes horaires données de position, il suffit d'un point d’intersection sur chaque ligne, pour avoir successivement douze points du même arc.
Quand les arcs des parallèles sont tracés, on peut, par la même méthode, y marquer les points des heures inégales. On voit bien là un commencement de théorie, mais elle est loin d’être achevée.
Il suit la même méthode pour les cadrans verticaux.
11 fait
sin haut, du pôle sur le plan = sin A=cos haut, du pôle cos déclin, duplan ; alors cotA est la distance du pôle au pied du gnomon.
Autre manière. Prenez la distance de la méridienne au pied du gnomon, mullipliez-Ia par elle-même; ajoutez à ce carré celui du gnomon; prenez la racine de la somme et mullipliez-la par l’ombre verticale de la hauteur du pôle sur l’horizon du lieu, divisez le produit par ta, le quotient sera la distance verticale du pôle à l'horizontale; ce qui revient à faire C’est la règle qu’on suit encore aujourd'hui : elle nous
vient donc des Arabes, suivant toute apparence.
Pour les cadrans du nord , qui n’ont pas d’équinoxiale , il dit qu’on peut toujours déterminer cette ligne par les points de lever ou de coucher, et par celui de plus grande dépression, ce qui est évident, ajoutet-il, sans en donner d’autre explication. La chose, en effet, est incontestable. 11 n’a pas vu qu’on pouvait toujours déterminer celle ligne par les ombres. 11 n'est aucun besoin que le Soleil éclaire effectivement cette face du mur. L’équinoxiale est la même pour le cadran du nord que pour celui du midi.
Limites des heures égales sur les plans inclinés non déclinons.
Heures égales sur les plans inclinés déclinons. Rien à extraire.
Chapitre XXVI. Ce chapitre et les suivans, vont nous offrir une théorie qui ne se rencontre ni dans la Gnomonique des Grecs, ni dans celle des modernes, ni même dans aucun des auteurs arabes que nous connaissons. Aboul - llhasan se sert des propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. A la vérité, Commandin et Clavius ont
5a€ ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
aussi tracé leurs arcs des signes par des moyens tirés de la théorie de ces courbes; mais leurs procédés, assez obscurs d'ailleurs, ne sont pas ceux de notre auteur. Les équations modernes des sections coniques ne nous fournissent que des secours indirects ; elles sont des fonctions des axes, du paramètre, de l'excentricité; on n’y voit aucune quantité angulaire; la Gnomonique, au contraire, n’emploie guère que des angles, et laisse indéterminé le lieu du foyer. On pense bien qu’Aboul-Hbasan n'avait aucune connaissance de nos formules; mais il avait lu Apollonius, et pour trouver les démonstrations qu’il ne donne pas, c’est Apollonius que j’ai dû. consulter. J’y ai trouvé la note suivante, que j’avais autrefois rédigée sans penser que jamais elle pût m’être utile ; et j’y ai rencontré la solution du problème dans une formule générale que je n'ai vue nulle part; elle démontrera les pratiques d’Aboul-Hhasan et les remplacera par une opération incomparablement plus simple et plus expéditive. Voici la note sur les constructions d’Apollonius.
Rica de moins naturel et de plus arbitraire en apparence que la manière dontApolIonius amène ce côté droit ( Of6/a, latus rectum), qui doit jouer un si grand rôle dans tout l'ouvrage, et qui cependant reste toujours en dehors de la section conique à laquelle il parait étranger. 11 était pourtant facile de montrer que celte ligne a une place marquée dans la section, d'indiquer quelle est celte place, et comment on a pu la découvrir.
Soit (fig. i56) , dans un cône quelconque, le triangle BAG qui le coupe suivant l'axe.
BDGE l’un des cercles parallèles à la base du cône, que nous supposons scalène pour plus de généralité.
DZE la section dn cône par un plan quelconque, mais perpendiculaire au plan du triangle.
Par le sommet Z de la courbe menons la droite ZY parallèle à BG.
Menons DHE, ordonnée commune au cercle et à la courbe.
Prolongeons indéfiniment l’axe ZH , et sur cet axe abaissons , du sommet du cône, la perpendiculaire AP.
AP = AZsînAZP = AZsin(BZa) = AZsin(BAa> -f-ÂaZ)
= asin(A +») = (Ao>sina>). . . .(i).
a sera donc la distance du sommet de la courbe au sommet du triangle et du cône.
-Les angles BZa et a seront les inclinaisons de l'axe de la courbe sur les deux côtés du triangle.
GNdMONfQUE. 037
Z = (A-f-a»), ou A=Z — a>, et (À + »)= 180’ — AZ»....(a).
Cette Construction va nous donner l'équation générale des sections coniques , et celte équation s’appliquera naturellement aux problèmes de la Gnomonique, qui nous fonrnira les valeurs des angles Z, a>, a, etc.
x = Z H == abscisse de la courbe comptée du sommet. . (3),
j = DH = ordonnée de la courbe (4)>
BG = cf = diamètre du cercle (5).
Le cercle donne
7*=DH = BH . HG=BH(BG — BH) = u(S— u) = «fa— u* (6).
Le triangle BZH donne
sinB:BZHsin :: ZJk BH=u = gS8!-11?— — CA^)/»in(A+«)v , ^
Le triangle AZY donne
sin A" : sin A :: AZ : ZY = (9).
cm A âin A'
Les parallèles donnent
AZ : ZY:: AB: BG = $ = — (-^^)zY=(r-f “)ZY
-(I+Ly^=^+^\ZB...(IO).
\ a/iiüA cm A 1 \iinA/ v
d’où
r = ^[3Sr+(^)a|—
• T> • 11 n TT n n ZlIsitlII /SinllN MofB-l-Z) smB : smH :: ZH : ZB = —.—=-=( -r-K)x= — v-L-'x
sia i> Vsm IV sia A
/sin(A,+A4»)\
\ sia A' /**
et
r. /o»iaAsin(A+«)\ ■ /lin Asin( A-f«)\ smCA'+A+o) A'n*(A+»)V,
\ sinÂ'sinA' J X \ smA'sinA” / smA' \ sin* A' /*
__ /a,-inAain(À-f-«)\
\ suiA'ainÂ* / ^
•+■ O'caUÂ-) fsinA •“(A' 4- A 4- ®) — sioA"sin(A -H »)]x*. ... (i 3) ;
or, à cause de sin A" == sin(A-f-A'),
le facteur de x* = sinAsinA'cos(A-t-ot) -H sin AcosA'sin(A -{-«■>)
— sinAcosA'sin(A-f-») — cosAsinA'sin(A-f-ûi) = sinAsinA'cos(A-l-») — cosAsinA'sin(A-f-«) = sinAsinA'cosAcosa» — sinAsinA'siuAsinai
— cosAsinA'sinAcosû» — cosAsinA'cosAsinc* es — siu'Asin A'sino» — cos’AsinA'sinea
se — sinarsiuA';
d'où
/03ÎnAsin(M-^\ /*»in«in(A->-«)\ ,
J — \ sioA'ainA' ) V .inA'ïiiiA* J /asinAsinZx / gin*sinZ \
* VioA'sinAV ^ vinAsinÀ*/ ******
or, AP = a sin Z = G = perpendiculaire abaissée dû sommet du cône sur le plan; donc
. . / r,,inA \ / sin« «inZ \* . /
L’équation (i4) est donc l’équation générale des sections coniques, et elle ne dépend que des angles du triangle, des angles que le plan fait avec les deux côtés, et enfin de la distance des sommets de la courbe et du cône; et pour la Gnomonique, l'équation (i5) ne dé-* pendra que du gnomon et des angles.
On voit déjà que le facteur de x ne dépend que du gnomon et des trois angles du triangle.
11 est évident que dans notre construction, la courbe est une ellipse, puisque l’axe ZI1 coupe les deux côtés du triangle et du cône au-dessous du sommet.
Plus le point a s’éloignera, plus l’angle a sera petit; car il s’appuiera toujours sur.ZY, et les deux autres côtés iront en augmentant.
Cet angle s’évanouira quand l’axe ZH sera parallèle au côté AG ; la courbe sera une parabole.
Soit donc a =o ; l’équation de la parabole sera
CG sin A A /«sinZ sinA\ /a sin A\
inA's.nAV ViinA'.inAV * — \ sin AV X
car en ce cas, sin A' = sin Z =sin(i8o* — A) = sin A.
Si l’angle BZH continue à diminuer, l’angle a> qui vient de passer par o sera négatif, l’axe HZ prolongé ira couper le côté GA prolongé
GNOMONIQUE. 5ig
au-delà du sommet, il entrera dans le cône oppose'; ainsi en faisant a négatif, on aura pour l'hyperbole
(g»SnAsin(A — «)\ Aiu#sin(A — *)\
ainA^rinA* )x \ aioA'iinA1 /
asin(A ») — AsinZ = AP=G sera toujours le gnomon. La Gnomonique nous fournira les angles ; nous pourrons décrire la section d après les données naturelles du problème.
Dans 1 équation a 1 ellipse , soit x = o, nous aurons y =: o.
Soit ensuite y*=o; nous aurons
/flsio Asin(A4-«)\ /sin#sin(A4-«)\ #
\ sinÀ'ainA' / X \ ainA'smÀ'’ / ** *
doù
asinA=jrsin« , et x==<^~- = grand aie = a m (iS\
Soitx=m=*^f
5in m 7
y% n Asin ( A-f- »)\ /jgsinA\ Ain*sin(À-f-»)\ ]oSin*A
\ siuA'ainA" / \ »in« / \ aiuA'sinA* / sin*»
y oV»n* Aain(A-f-«) j <2*aiqaA9in(A-J-») jq^ioVAsiiiÇA-f-*) t .
sinA'amA'ain» iinA~'AmA"siii* aiuA'aiiiA<'ain 0 ——K
y ±z n = { ordonnée au milieu du grand axe = £ petit axe.
n% ; a**in*A sin»sin(A-f «) ro*siru»sin(A-f-») > .
ain*«t * ainA'ainA' ainA'ftinA* C20/ »
n* 3În»sin(A4^Q r x
m* «inAVioA^ * * ••••*••••• »C21/*
Portons ces valeurs dans l’équation
r = Ç£? -*^0— (5)*-=(”aMS*--
Soit p = am — . , ou — = , alors
• m * 7 Qm m * 7
• (aa)-
y =spx — ©** (a3),
comparons cette équation aux équations (14) et (1 5), nous aurons
__ GainAain(À-f*0 APaioA ___ Gain A . .
P mmmm sinÀ'aioA* aioA'imA1 sinA'sicA** *«•••••
55o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
valeurs tout-à-fail indépendantes de la hauteur du pôle, puisqu il ny
entre que les trois angles du triangle ABG, ou AZY.
La Gnomonique ne cousidère que des cônes droits, dont l’axe commun est l'axe de l’équateur, et dont les bases sont les cercles parallèles que décrit le Soleil; en ce cas, A'aiA1— (9°*— { A); ainsi, pour la Gnomonique,
Gain A
siri*(90u— £ A) '
aGsin ; Acos t À cosk £ A
=aGlang-j A =aGtangi(i8o* — aD) = aGcoiD (a5) ,
et cette valeur est la même pour les trois courbes et pour tonies les latitudes.
Dans l'équation générale, mettez les rapports des côtés à la place des rapports des sinus des angles opposés, et vous retrouverez les expressions d'Apollonius pour les trois paramètres.
Dans la parabole, le grand axe == (36);
il est infini.
Dans l’hyperbole, le grand axe = (a7)»‘
il est négatif; il est en dehors de la courbe.
On trouverait directement cette expression du grand axe par nn^calcnl tout semblable à celui que nous avons fait pour l’ellipse, et l’on prouverait que les ordonnées de l’hyperbole sont imaginaires dans toute l'étendue du grand axe. '
Dans l’cquation générale,/* = px supposons y' = \ p', nous aurons
sîn t— excentricité de l’ellipse. Ainsi, x est l’abscisse qui aboutit k l’un ou l’autre foyer, et le demi-paramètre est l'ordonnée au foyer.
Dans la parabole, soit x = ip, y'sz.^ptt y ss±p ; c’est encore l'ordonnée au foyer.
==PX—(Û) x'> ou ±mp=*vnx—x',
x‘ — 2 mx -f- m‘ = m' — i mp = (Jr — ;«)*,
= m rb \/m' — j mp = mdcm\/ 1 — JL *ts m rb m
r Va m V m
= rarfcm \A — cos*< sm±msini (38) ;
Dan* l'hyperbole , ar=t — = — mdkm(i + tang’P)^,
s= — m -f- m séc <p = — m( séc Ç — i )
= — m tang <p taug j tp.
Ainsi le paramètre n’est rien moins qu’étranger à la courbe , ainsi qu'on le croirait en lisant Apollonius, car il en est une des ordonnées les plus remarquables ; mais les anciens ont fait peu d'attention à ces foyers, auxquels ils n'ont pas même donné de nom.
Appliquons nos formules à la Gnomonique.
/sin«iinZ\
. 'Gain A\ AinattinZN . /aGsin }Aco» ^
= (,Gco,D)*-(=j-ï)r- Mi
or, sin Z est le sinus de la hauteur méridienne du Soleil sur le plan de la courbe ou du cadran = cos (II — D).
Sin a est le sinus de 1a hauteur du Soleil, à minuit, sur le plan
du cadran == cos(H-}-D) ... (3o)î
donc
J' = (nGcotDK-(c^+ggg^>-
= (3GcoU))x-(^3-SSuMy
= (aGcotD)ar j' ‘=PX~&‘>
Vc05CH-H>)côo(H— D) /
d’où il est aisé de conclure que p = (aG cotD) , et
aGcotT)ün*D aft^inDcmP
am ~ oo.(H+DjcôiCM-J>) côâ(ÏI +D)cae(H — D) »
en effet, la Gnomonique nous donne
Gainai)
am = G>ng(II -f- D) — tang(H D)j = COl(ù+^^(ji D)
aGsinDcosD
“ ço5CH-fD)c^(H— D)#
Quand la courbe est une ellipse, le Soleil est visible toute la journée. Quand la courbe esf une parabole, la plus petite hauteur =s o cos (H -f - D) = cos 90* = o , am= o».
53a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
Quand la courbe est une hyperbole , la plus petite hauteur est négative (H-f-D)> 90*; le cosinus est négatif, ainsi que le grand axe.
La formule est donc générale pour les trois courbes; mais elle dépend de la latitude
pm aGcotD GainDcosP
a a " co»(ü+D)cos(n— D)
G'cnVI)
— c<w(H-pD)coj(H — D)
GcnsD
»/c<w(H+D)cos(H — D) ’
n sera infini pour la parabole; il est utile pour l’ellipse, mais absolument inutile dans l’hyperbole, puisque l'axe n’a aucune ordonnée.
L’ellipse et la parabole, qui n'ont lieu que dans les zones glaciales, sont pour nous de simples objets de curiosité. L’hyperbole nous intéresse davantage; les formules sout
rn
r=(lCc0,D)*+(=gi rjùy
= (.Cc„,D;r+(îÆ+îig2t2y (},),
CsinDcosD
coi(II-j-D)co»(H — D) 9
GcofD
n~ y ^it+iJjôJI(i f— iî) ’
p = aGcotD. . .(53).
On pourra donc tracer les hyperboles indépendamment des lignes horaires, et en multipliant les points autant qu’on le jugera nécessaire. Alors, pour les heures, il suffira des ombres ou des tangentes des distances zénilales, qui, partant du pied du style, vont couper les arcs des signes à des points qu’on déterminera par des intersections, en prenant pour centre le pied du style, et pour rayon la tangente de la distance zénitale. A tous ces points d'intersection on mènera, du centre du cadran, des droites qui seront les lignes horaires.
Les géomètres ont donné, pour les sections coniques, des équations où n’entrent que des lignes. Les astronomes en ont donné qui sont fonctions des anomalies vraies et des rayons vecteurs ; en voilà pour la Onomonique, qui ne dépendent que du gnomon, qu’on fera bien de prendre pour unité, de la déclinaison, qui est la même pour tous les cadrans, cl enfin de la latitude, c’est-à-dire de la hauteur du pôle sur le plan du cadran.
Si H = 90% ,
y = (2Gc0lD)^-pfa0,+°y.o°-^y = (aGcotD)x — *’
== (aGcolD — x)x— (J' — a") jt, équation au cercle ;
»iu*»
la courbe est un cercle ;
GsinDcosD n * GcosD « „
= GcotD, n = ~ = GcolD ;
* l/sin"D ’
p = aGcolD = diamètre du cercle;
il n’est pas besoin d'autre chose que de la formule du rayon.
Aboul Ilhasan nous donne des préceptes fort longs pour trouver ce paramètre, selon que la courbe est une parabole, une hyperbole ou une ellipse; et comme il suppose toujours la même déclinaison , il arrive toujours au même paramètre, malgré la diversité de ses pratiques. Cette remarque , qu'il n’a pas faite, aurait suffi pour prouver l’existence d’une formule générale. Au reste, en rassemblant les règles données par l’auteur, en les mettant en équations, et en substituant d’une formule à la suivante, on arrive au résultat aG colD x= 34 cot D , que m’a donné ma formule pour le cône droit.
Voyons maintenant la méthode d’Aboul Ilhasan. Il s’agit de tracer le parallèle du solstice d’été pour nn lieu placé sur le cercle polaire , à 66" a5' de latitude, et pour cela il faut trouver le paramètre de la courbe, qui est une parabole, puisque le côté inférieur du cône est parallèle à l’horizon.
Prenez le cosinus de la déclinaison, ou cosD = cosa3* 35’;
Doublez ce cosinus ou prenez acosD;
Multipliez ce produit par lui-même, vous aurez 4cos*D;
Multipliez ce carré par le diamètre de l'ombre , c’est-à-dire par notre a;
=co»( II-
: a4 cotD.
vous aurez
