OR = M
qu’il faut ajouter aux heures du lieu pour avoir celles du plan-, la soustraire sera parmi les lignes du malin , comme dans l’exemple précédent; le cadran étant renversé, les angles négatifs qui étaient à la droite se trouvent ici à la gauche.
(46) cotMif = — o,33 130 — 1,6682 col P.
SX
a fi | Q 2,i5c8|a,co37,
vu.
4,5ioi
1,2445, 0.8053, o,5o24 j 0,2812 0,lq5ll 0,333 1 !
lit
ifqiH6
0,7548 1,1270 ‘.770,9 3,2528, la, 0880
-H4,4al>ô — 6,9097
vu.
vin.
snustyl.
verticale.
1 ,5Rq3 2, 232 1
1 »OQ.99 1,9907
Le cadran étant renversé , les ombres les plus longues auront lieu en hiver, parce que le Soleil sera plus éloigné du pôle du cadran; c'ctait le contraire dans l’exemple précédent, où le centre était en haut. L’inspection de ce tableau prouve qu’il faudra diminuer les dimensions et les réduire à moitié. C’est ainsi que j’ai tracé la figure 143.
11 n’y a jamais qu’un point de l’axe qui puisse envoyer son ombre sur l’arc du signe, cl cet arc change chaque jour; le point qui marque les signes est le sommet du style, on est maître du style; mais quand sa longueur est déterminée sa place est marquée; et réciproquement.
GNOMOMQUE. 505
On peut vérifier tous ces calculs , eu considérant le cadran incliné déclinant comme un cadran horizontal qui conviendrait au parallèle dont la haulenr du pôle sérail h — 54' ai7 4°*> el !a différence du méridien serait <f= 17* a' 7", afin de faire marquer au cadran les heures du lieu véritable au lieu de celles du lieu fictif.
Pour le cadran horizoutal , la formule des angles au centre se trouve en faisant tangC = sin/i langP, et cela quelque soit P ; ainsi, pour avoir les heures du lieu, nous ferons ?'=(?+/) pour le soir, et (P — <f) pour le matin : nous aurons ainsi
Ssiir.
Angles sous! via ire*.
Angles
méridien».
Matin.
Souatybirc.
Méridien.
oQ o' 0"
iq. 26.43
17 ia.55
6l.3o.iq
1 i3.io.a5
Ici nous avons calculé en secondes que nous avions négligées par l'autre méthode. Nous retrouvons tous nos angles.
J'ai recalculé de même les points des hyperboles des signes, et je les ai retrouvées les mêmes.
Tant que l’ombre On n’est pas négative, le Soleil éclaire le plan, mais il faut voir s’il n’en éclaire pas la partie qui est sous l’horizon.
CosOn = 0 marque le passage du Soleil par le plan. 11 en résulte cos(P — ef) = tang h tangrf = arc semi - nocturne , pour le matin, et cos ( — P — tf) — tang A tang il, pour l’autre arc scmi-nocturne. En général, cos(P ± cf) = tang A langrf.
Tang</ est négative pour une déclinaison australe.
Par cette formule , qui est générale , 011 a les arcs semi-diurnes du plan, d’où l’on conclut les momens où il commence ou cesse d’être éclairé. Si l’angle P qu’on en déduit est plus petit que l’arc scmi-nocturne du lieu, le cadran ne saurait marquer l’heure indiquée par P. Il faut pour que le cadran marque la réunion de ces deux conditions, que le Soleil soit élevé sur ce plan , et qu’il soit élevé sur l’horizon du lieu. Cos On positif prouve que ce plan est éclairé ; mais si à celle heure le
Soleil est conclu' , le cadran 11e marque rien. Mais on a une règle plus simple. Dans la construction, on rejette les angles qui donnent à l’ombre une direction qui passe au-dessus de l’horizontale, menée par le pied du style. Ou ne tracera donc aucune ligne inutile.
Nos formules sont générales; elles se simplifient considérablement pour les cadrans plus ordinaires.
Cadran équinoxial.
Ainsi pour le cadran équinoxial, le plus régulier de tons, il faudra supposer I — H , parce que le plan de l’équateur est éloigné du zénit d’un angle égal à la latitude. Il faut faire D =0, parce que le plan du cadran coupe l’horizon aux points est et ouest.
L 'équation sin 1 tangl) = tangMu = o nous montre que la verticale se confond avec la méridienne.
TanglsécD devient tangH; le plan du cadran est le plan de l'équateur.
CosI sinD= o nous fait voir que le plan du cadran coupe le méridien h angles droits.
OT = 90“ — M=90* — 90*=;o nous dit que le pied du style est sur la méridienne.
— cos Dcotl = — cot II = o nous montre que le style fait un angle go° — II avec l’horizon, et qu’il est perpendiculaire au plan.
CotcOr=o fait voir que la ligne de 6* est à angles droits sur la méridienne.
Sin h = cos*H -f- sin* H = i dit que le pôle est élevé de 90* sur le plan.
SinDcosI = o, que la différence des méridiens est nulle.
Cot Mt/ se réduit à cot P; les angles des lignes horaires avec la méridienne sont les angles au pôle et des multiples exacts de j5*.
CosOn =sint/ ; tang On = cotrf.
Les arcs des signes sont des cercles dont le rayon = cold; le cadran consistera donc en uu certain nombre de cercles concentriques; le style sera planté au centre, les cercles divisés en arcs de i5*, le zéro étant sur la méridienne.
Le Soleil est moitié de l'année au-dessus et l'autre moitié au-dessous du plan; le cadran aura deux faces, dont l'une servira pour les signes septentrionaux, et l'autre pour les signes méridionaux.
Cadran horizontal.
Pour le cadran horizontal, D sera o, puisque le plan se confondant
GKOMONIQUE. m5C,7
avec l'horizon, ne pourra le couper en aucun point; ainsi point d'intersection, point (Je déclinaison; 1=90*.
51=90°; le méridien est perpendiculaire au plan; la méridienne, la verticale et la soustraire se confondent.
Le pied du style est sur la méridienne, à une distance cotH de l'équiuoxiale, et tangH du ceutre du cadran.
La hauteur du style = sinH=sinA. La ligne de 6* est perpendiculaire à la méridienne ,
colM<i = , tang M</ = sinll tangP.
CosOn = cos H cosrf cosP + sinH sin<f, et tangOre la distance du pied du style aux arcs des signes sur les lignes horaires.
Soit cosOn = o; vous aurez cos P = — tangH tangrf, c’est-à-dire que le cadran est toujours éclairé , depuis le lever jusqu'au coucher du Soleil.
Cadran vertical non déclinant.
Pour le cadran vertical non déclinant, l = o, D=o.
La verticale , la soustylaire et la méridienne se confondent; la distance du pied du style à l'équinoxiale est tangH ; la distance au centre du cadran est cotH; la hauteur du pôle sur le plan est 90° — H.
Tangangles des lignes hor. avec la mérid. = cos II tangP.
CosOn = sinH co6</ cosP— cosH sinof, et tangOn la distance au* arcs des signes. ' . ■
CosOn = o donne cos P = -f* cotH tang d; le cadran est éclairé pendant ta* tout au plus.
Cadran vertical déclinant. ,
Si le cadran décline, D conserve une valeur positive, si la déclinaison est du midi vers l'est ; négative, si la déclinaison est vers l'ouest.
Sin.l tangD = o nous dit que la méridienne est verticale; l'angle du plan avec le méridien est 90* — D; la distance du pied du style à la méridienne est tang D.
CosOE = cosDsinH; tangOE sera la distance du pied du style à l'équinoxiale. -,
— sin D tangH = cot angle entre la méridienne et la ligne de C‘ = première couslaute des angles horaires.
CosOR = cosD, tangOR = tangD, et le style sera sur l'horizontale.
Sin h = cos D cos II = sin haut, du pôle sur le plan.
CotcT = sinHcolD donnera la* différence des méridiens.
Tang H coséc D, la tangeule de l’angle entre la verticale et la souslylaire.
SinDcotH, la tangente de l'angle de la soustylaire avec la méridienne.
Cot Md = sinDtangH -f (|^Ti)colP-
Cos On = cosD sinTI cos d cos P sinD cosdsinP — cosHeosDsiud, tangO/i à l'ordinaire.
Cos On = o donne
cos P + sin P = cot H tang d ,
cosPcosip 4- siu^sinP = cos (P — ip) =z cos ip cot FI tang d.
Cadran oriental.
Pour le cadran vertical oriental, I=o, D—go*.
TangMfl = o. oc. L’expression ne signifie rien, parce que dans ce cadran la méridienne change tous les jours.
TangZM = o. oo présente la même indécision. Le plan ne coupe nulle part le méridien , avec lequel il se confond.
Aussi M = o; sinOT = i =sinOE =sinOZ = sinOP nous montre que le style est planté au milieu du cadran.
OQ = o nous dit, de plus, qu’il est sur l’équinoxiale.
Cos OE = o = cos h cos J' nous dit que la différence des méridiens est de 6‘, que la méridienne du plan ou la soustylaire est la ligne de 6*.
Col ZOE == cotll, ou ZOE= H, que l’équinoxiale fait avec la verticale un angle II.
Sin h = o; le pôle est dans le plan; cot/ = o.
ColZOP = tang H , tangZOP = colH; la soustylaire fait avec la verticale un angle = 90’ — H."
Cot Md est à peu près inintelligible ; mais puisque le centre du cadran est à une distance infinie, toutes les lignes sont parallèles à la méridienne.
Sin 09 = cosP , et tangOfl = cotP sera , sur l'équinoxiale, la distance des lignes horaires au pied du style.
... ■ GNOMONÏQUE. 56g
CarP09=gio*, cos On = sin Pco fd; tangO/i est à l'ordinaire la distance du pied du style à l’intersection de l’arc du signe et de la ligne horaire CosOra = o donne sin P = o ; c’est à midi que le plan cesse d’ètre éclairé.
A midi, le Soleil est dans le plan; les ombres sont infinies et font arec la verticale un angle (H — D). Voilà pourquoi j’ai dit, en commençant, que la méridienne est variable; mais elle passe toujours par le pied du style.
Cadran occidental.
Le cadran occidental est le même que le cadran oriental, vu en transparent.
Cadran polaire.
Le cadran polaire est celui dont le plan se confond avec le cercle de 6*. Il en résulte qu'il n’est autre chose que le cadran oriental , auquel on a fait faire un quart de révolution autour de sa méridienne, qui était la ligne de 6* et qui devient celle de mid^La forme n’a éprouvé dans ce mouvement aucune variation; il n’y a rien à changer que les chiffres horaires.
Dans ce cadran D = o et 1 = — (go* — H), ce qui est évident.
Ma=o; la verticale et la méridienne se confondent.
ME = go“, M = go*, OT = o; le style est sur la méridienne, et son pôle est dans le plan de l’équateur et du méridien; ô = o, J1 = o , col M<f = o -f- (j ) col P, expression qui n’apprend rien; mais le pôle est dans le plan, le cadran n’a pas de centre, toutes les lignes horaires sont parallèles, leur distance au pied du style est sin08 = cos/isin(P — J') = siu(P — o) = sinP, et langP sera la distance de la ligne à la méridienne. Dans le cadran oriental, cotP = dist. à la ligne de f>*. Ces distances, dans l’un et l’autre cadran , sont les tangentes de >5*, 5o*, etc.; c'est la même chose , mais i5 répond à une heure et 1 1‘, au lieu de 7 ou 5; cosOn = cosPcosd, au lieu de sin P cos rf pour la meme raison.
Cos On = o donne cos P = o et P= 90*. C’est à 6* que le Soleil passe par le plan du cadran polaire.
On voit donc l’exactitude et la généralité de nos formules.
On ne fait plus guère que des cadrans horizontaux ou verticaux, mais déclinans, parce qu’il est rare de trouver un mur exactement tourné au nord ou à l’orient; mais il est rare aussi que les murs soient
57o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.
véritablement verticaux ; ils onl toojours une légère inclinaison ; on la
néglige le plus souvent ; mais nos formules permettent qu’on en tienne
compte. „ . .
Quand on a tracé toutes les lignes horaires, et qne Ion connaît le
pied et la hauteur du style, on peut, sans calcul , déterminer sur chaque ligue horaire les points où passent les arcs des signes, par une opération graphique d’une grande simplicité. ■
Soit CO la soustylaire, O le pied du style et CS9 une ligne horaire quelconque (fig. i/p). Abaissez sur cette ligne la perpendiculaire 09, qui déterminera le zéro ou le point culminant. Du point 9 prenez sur la ligne horaire la hauteur du style 8S; prenez avec un compas l’ouverture SO, qui sera le rayon diviseur de cette ligne; portez SO de 9 en T, sur la perpendiculaire; T sera le centre diviseur. Menez Tri l’intersection équinoxiale.,
Faites les angles TT* , ïT», TTX, TTV, ^TH et TT5 égaux aux déclinaisons des signes; menez les droites occultes TX , 1 — , etc. , et vous aurez le point de chartbe signe sur la ligne horaire. -
La raison île cette construction est évidente. Au point O concevez le style G relevé perpendiculairement au plan de la figure, et du sommet de ce style l'hypoténuse v menée au point 9 ; nous aurons
„■ = 09’ + G*= 09*4- 9S*= SÔ = ÂT’;
flT==SO= a =hypoténu^:=: distance du sommet au point 0.
Concevez maintenant que le plan du triangle T00 incliné au plan de la figure , en sorte que le point T coïncide avec le sommet du style; aucune des lignes T , T=s, Tx> n’éprouvera d’altération, non pins qu’aucun des angles en T ; le plan T9sj , oo , ce qui est la même chose , le plan TC© sera celui du cercle horaire représenté par C0, puisqu il passe par celle ligne et par le sommet du style , qui est censé le centre de la sphère.
La droite Tr sera toute entière dans le plan de l’équateur, puisqu’elle va de T, centre de la sphère, au point y de l’équinoxiale; T Y marquera la direction du rayon solaire aux jours des équinoxes; les antres hypoténuses Tx > Tæ, etc., marqueront de même les directions des rayons solaires aux jours où le Soleil entre dans ces signes, puisqu’elles font avec Ty, dans le plan du cercle horaire, des angles égaux aux déclinaisons
GNOMONIQUE. S7i
de ces diflërens signes; les poinls x > etc., seront donc les points d'ombre de ces signes sur la ligue CO. Ce que nous disons de celte ligne doit s'entendre en général d’une ligne horaire quelconque.
Ou peut étendre cette construction. Quand l'intervalle entre deux lignes horaires est considérable et qn'on éprouve quelque difficulté à mener la oourlie hyperbolique de l'arc du signe, on peut mener, dans l'intervalle des deux lignes, une droite C6', qui sera aussi une ligne horaire, peu importe à quelle heure elle appartienne. Abaissez la perpendiculaire 09', prenez-y 6'S' = 8§ , 6'0T'=S'0; menez la droite occulte T't', et déterminez cotnn^c ci-dessus les poinls des signes sur la ligne CT' ; vous aurez ainsi antaut de poinls que vous voudrez de l’arc hyperbolique, et vous remplirez les intervalles aveC plus d’exactitude et plus de facilité. . • . *
Aucun gnomoniste, que je sache, n’a indiqué ce moyen si simple de multiplier les poinls des arcs.
L’angle COD au pied du style est le même que dans le ciel, l’angle 9 est droit comme dans le ciel; mais l’angle OCfl est diminué sur k projection ; il est le complément de COfl, et réciproquement COÔ est le complément de l'angle OC9, connu par les calculs précédons.
Nous connaissons, par ce qui précède, CO et OC8; nous aurons
08 = COsinOCS, et C8 = CO cosOCS;
on peut donc, pour chaque ligne , calculer les trois côtés du triangle COÔ, et déterminer la ligne avec plus d'exactitude et de sûreté, et trouver une précision impossible suivant toute autre méthode , où l’on est sans cesse exposé à conclure des lignes très longues, d’après d'autres très conrtes , ce qui grossit les erreurs eu ‘raison de la graudeur du cadran.
Les intersections en 8 se faisant toujours sous des angles droits, se feront aussi avec plus de netteté. Dans le ciel 0C8 = (P — cf) ou («T — P), suivant la position de la ligne horaire, par rapport à la soustylgire. .,
La figure XTS est ce qu’on appelle le irigone des signes ; pour qu’il puisse servir à toutes les lignes horaires, ou lui .donnera une longueur indéterminée. Pour ce Irigone, voyez page 58o. . ,
