COI

i — sin t

l’unité ; il ne pourrait donc remplacer qui est toujours plus grand. Il en serait de même de :

a — sin D

Il n’a pu prendre les distances de C et de B au colure, car. . ... .•

a — sin CG a — cos /fi co» D a — cosÆcosT) .

• Fri7 — — — — „ - , pourrait encore être tan-

a — su» DK 3 — cos L a — cos /il cos i r

tôt > i et < i , selon que D <<f ou D> <f;

sin CG est toujours < sin DK; car sinCG=co$L cos A=rcosAl cosD,

et sinDK=cosL,

a — sinCG a—- cosLcosa aaécL— cosa asécL — i H-asin* * a , asin* ' a

a— cosD

«OsA

a — co&L

osécL — i

asécL — i *"

éeA=i+langAlangiA=i4- 7^-^ =i-f

atang* -y Acos^A cos* 5 A — sin* j A

— 1 2sin*ÎA

- ' 1 — asiii" i A 9

niais a sec L — i > i et i-^-a sîq* £ X < i ’ donc les deux expression* ne sont pas égales, et d’ailleurs L est inconnue. Il faut donc en conclure que l’expression d’AIbalegui est inexacte.

Après ces préliminaires un peu longs, examinons le texte latin de Plato Tiburlinus.

Partis dcclinationem cum qud Stella ceelwn mediaverit ejusque longitudinem ab œquidiei circulo sunie , ce qui doit signifier : prenez le point de l’écliptique qui culmine avec l’étoile et la déclinaison de ce point. Mais le traducteur parait confondre ces deux arcs en ce qu’il appelle la déclinaison , longitude du cercle équinoxial , ou distance au cercle équinoxial.

Dioitiza

ALBàTEGNIUS. a<)

te qui ie conçoit encore; mais alors il faudra que déclinaison signifie la longitude du point culminant. 11 ajoute : retranchez la plus grande de la plus petite , c’est-à-dire sans doute faites (D — «f ) = différence de la déclinaison de l'étoile à celle du point de l'écliptique, le reste sera la longitude égalée , c’est-à-dire la distance égalée ; ceci ne peut faire aucun doute.

Pivncz-en le sinus et le sinus de ce qui lui manque pour valoir qo*; ■voilà donc sin (D — /) et cos (D — <f). Cherchez ensuite le sinus de la déclinaison totale et le sinus de son complément à qo° ; voilà sin a et cos u, car la déclinaison totale est l’obliquité de l'écliptique, puisque l’obliquité de l’écliptique est la plus grande des déclinaisons du Soleil.

De hinc cordam perjectionis declinationis ex i ao minue et quod remanseril erit corda longior. lao' sont le diamètre, qui, suivant nous, =a. Vous aurez donc

corde plus longue = i ao* — cos déclinaison = a — cos déclinaison ;

mais quelle est cette déclinaison? aurons-nous a — cosoi, a — cosD, a — cosé, a — cos/R, ou enfin a — cosL'? On ne sait lequel, etl’on ne voit pas un autre arc qu’il puisse appeler déclinaison.

Prenez le sinus du complément de la déclinaison de la partie qui a médié avec l'étode , et retranchez-la de îao'; ce sera la corde augmentée ; vous aurez donc

corde augmentée = a — cos J* , ou a — cosL'.

Ici, nous n’avons que le choix entre et L'.- Deindc totam dcclinationem in diametn medium multiplica , multipliez la déclinaison totale par le rayon. 11 a voulu dire sans doute le sinus de la déclinaison; il fait donc Go' sin ai ; nous ferons simplcmeut sin a* ; divisez par le cosinus de la partie qui médie avec l’étoile ; ce qui en proviendra sera la corde de la déclinaison égalée. Voilà sin décl. égalée

r= , ou ; cherchez-en le cosinus, il nous dit de reman/uer quelle

est sa partie et son nom , ce qui ne peut signifier que remarquez si elle est boréale ou australe. 11 s’agit donc d uue déclinaison. Mais quelle

pourrait être cette déclinaison dont le sinus à pour expression ou c’est ce qui ne parait pas facile à deviucr.

5 o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

Multipliez le sinus de la déclinaison égalée par le sinus de la longitude égalée. Vous aurez donc ce Su‘ pourrait bien être.... .'

sin en sin (D — S)cosÆ. de notre formule (a); an lieu de diviser , il faudrait donc multiplier, et la déclinaison serait l’ascension droite.

Multipliez par la corde augmentée et divisez par la corde plus longue .'

Nous aurions donc sin ai sin (D — S) cos Al Q , en mettant x et

y pour les deux arcs douteux ; mais la véritable expression est, suivant la formule (a),

. , Tl. sin * iin (D— /) coj .41 iin«sin(D — /) cos L

sin BD = sin ( L — L ) = 5 — = — .-r-* .

' ' cas x coj D

Ce n’cst pas tout encore : multipliez le produit par le sinus de la longitude du degré avec lequel I étoile a médié, comptée du coltue voisin , par les ascensions du cercle direct, c’est-à-dire par cos Ai. Ainsi, en rassemblant les préceptes du traducteur.

sin» sin(D— J^cos = sin différence = sin (L— L'),

au lieu de

JÎn » sin (D — <t) cos

CO; A

Dans les préceptes qu’il donne pour savoir si cette différence de Ion? gilude est additive ou soustractive , on voit que dans les signes descendais et lorsque la déclinaison de l’étoile (la distance au cercle équinoxial, la longitude du cercle équinoxial ) est boréale, la différence est soustractive de la longitude du point culminant, ce qui est vrai. Si l'étoile est australe, la différence est additive , ce qui est encore vrai.

Dans les signes ascendans, au contraire, et si l’étoile est borc’aie, la jdilférencc est additive ; elle est soustractive pour une étoile australe. Ainsi l’on aura le degré de l'étoile parmi les degrés des signes. Tous ce$ préceptes sont clairs.

Jusqu’ici il a supposé la déclinaison de l'étoile plus grande que la déclinaison du point culminant, c’est-à-dire D> / et de même signe ou dénomination; si le contraire a lieu , on fera (D-f-<f)= longit. égalée. 11 est bien clair qu'il parle de la somme ou de la différence des déclinaisons, qu’il appelle des longitudes, c'est-à-dire des distances à l’équateur.

Le précepte qu'il va donner pour cette seconde supposition devrait

ALBÀTEGNlt/S. 3,

être le même que pour la première; il n’y aura que (D-f- J~) au lieu de (D — J)- Écoutons Plalo Tiburtinus.

Multipliez le sinus Je la déclinaison (11 met ici le sinus et non l'arc; la correction que nous avons faite ci-dessus est donc bonne.) par le sinus de la distance à l’équateur; (11 met toujours longitude pour distance.) multipliez par le cosinus de la longitude égalée, divisez parle demi-diamètre du cercle, et vous aurez le sinus de la déclinaison égalée. Nous aurons donc

• s- 1* « «a « cm ( D — J) , rayon sin m *

sin déclin, cgalee = -, au lieu de — — r~ .

0 rayon ’ cm L

Les expressions sont très différentes et toutes deux inexactes.

Multipliez par le sinus de la distance de F étoile à l'éqiuiteur; divisez par le cosinus de la distance à l’équateur; multipliez par ta corde augmentée et divisez par la corde plus longue; multipliez par le cosinus de la déclinaison égalée, divisez par le cosinus de la déclinaison totale, multipliez par le sinus de la longitude de la partie avec laquelle F étoile a médié, comptée du colure voisin; divisez par le rayon et l’ous aurez la différence, que vous emploierez comme il a été dit.

sin différence

au lien de Ou de

. , , , , , . tin « co* (D

sm decl. egalee = ,

sin D(a — cos r) cos déclin, égalée cos .-R ence = C09 £) (3 — cmy) cos « rayon

sin m sin ( D + i ) co» /R __ sin « sin(I> -f- ï) cos I.

Les deux expressions exactes renferment nne inconnue; les deux expressions du traducteur sout inintelligibles et diffèrent entre elles; elles ont besoin de corrections, mais ces corrections seraient trop arbitraires; il n’y a que le facteur inintelligible qui se retrouve

le même dans les deux leçons. L’auteur, qui pouvait commencer par déterminer la latitude par la formule (1), va nous donner en place un précepte bien plus compliqué et presque aussi impraticable.

Quand vous voudrez connaître la latitude et la partie (ou la dénomination) de cette latitude , multipliez le sinus de la distance à l’équateur par le simis de ta déclinaison du degré dans lequel vous avez trouvé l’étoile / divisez par le cosinus de la déclinaison totale , vous aurez

5a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

le sinus d'un arc. Ainsi

sm arc =

sinD cos /ft

mais par déclinaison du degré dans lequel vous avez trouvé f étoile / j’entends la latitude DF, poiul de l'équateur qui se trouve dans le cercle de latitude de l'étoile; alors l'expression devient

sim arc =

jin D coj V

= Siuf,

et cc sera ma formule (3); la longitude T D étant trouvée, onia considérera comme une ascension droite, et l’on aura, par la table de l'écliptique, le point culminant fictif F, sa déclinaison fictive DF=A', qui est la latitude de ce point de l’équateur; on pourra donc calculer l’arc p = CF.

Si Varç trouve (i p) est plus grand que la déclinaison de la partie dans laquelle vous avez trouvé l’étoile , retranchez-en la déclinaison de ce degré, c'est-à-dire si p > A', faites i p — A'==A; c’est ma formule (4); s’il est plus petit, retranchez-le de cette déclinaison ; d’une ou d’autre manière, vous avez la latitude, c’est-à-dire que A = $ — A', ou A' — p , ce qui est juste.

Il ny a donc aucune incertitude sur cette dernière partie du problème; on peut être étonné seulement que l’auteur ne soit pas entré dans plus de détails sur la manière de trouver l’arc subsidiaire p; mais celle que j’ai indiquée est sûrement la véritable.

Quant à la première partie, ou l’expression de sin(L — L'), il parait encore certain que l’auteur a dû suivre à peu près la marche qui m’a conduit à ma formule (a); mais comment a-t-il éliminé cos A? c’est ce qu’il m’a été impossible de deviner. L’auteur termine cc chapitre eu disant : Scito hoc si Deus voluerit, malheureusement, Dieu n’a pas voulu.

Le précepte pour la latitude est bon; mais il suppose la longitude bien déterminée, cl nous n’avons pas la preuve qu’Albateguius y ait parfaitement réussi. Mais comme ce problème servait principalement pour les planètes, cos A différait assez peu de l’unité, et nous avons vu que pour une étoile dont la latitude serait de i3* 37', l’erreur de la formule, qui me parait être celle de l’auteur, n’est guère que d’une minute.

Ce qui peut nous confirmer dans l’idée que la solution précédente est inexacte en elle-même , du moins pour ce qui regarde la longitude , indépendamment des bévues du traducteur, c’est que la suivante est déci-

dément mauvaise, sans aucune ambiguité. Il s'agit, comme ici, d'un problème déjà résolu, celui dô trouver le troisième côté par les deux premiers et l'angle compris. En effet, pour trouver les longitudes et les latitudes par les ascensions droites et les déclinaisons, on a les deux côtés a et (90 — D) avec l’angle compris (90* -J- Al); on devrait donc avoir (go° — A) par le cosiuus ou sinus-versc, à. volonté ; après quoi

cos cos D 1 • 1 1 • •

cos L = — - — , par la réglé des quatre sinus.

Soit BA (fig. G) un arc de l’écliptique, GE un arc de parallèle , FA et FB les deux cercles de latitude, ABGEA une espèce de quadrilatère formé par trois arcs de grand cercle et un arc de petit cercle.

11 est démontré , dit notre auteur, que dans les quadrilatères inscrits au cercle, la somme des produits des deux côtés opposés est égale au produit des deux diagonales. 11 ajoute que dans un quadrilatère sphérique dont deux côtés sont parallèles, comme AB et EG, et les deux autres côtés égaux se réunissent au pôle de AB, les deux diamètres seront égaux et que leur produit GA x BE = AB. CE -J- AE.GB ; AF = 90* = BF; ce sont les cercles de latitude. Qu’une des deux étoiles soit en A sur l’écliptique, .et l'autre en G; on aurait tout simplement cosAG = cosAB cosBG; on ne voit pas l’utilité d'une autre solution.

Menez FMC sur le milieu Mdu parallèle (Cet arc passera par l'intersection I des deux diagonales), FG=FM = FE, GB=MC = EA, GM=jGE.

Les triangles FBC et FGM seront semblables. (Jamais on n’a fait ce rapprochement d'un arc de grand cercle avec un arc de son parallèle. )

GM : BC::FG : FB; cela serait vrai des rayons de ces cercles, en mettant les sinus à la place des arcs FG et FB. L'auteur suppose AB = 60% BG = 3o° ; nous ferions -

cosAG = cosAB cos BG = cos 60° sincos3o° = sin 3o* cos 3o“= ) sinGo* = cos G4* ao' 27".

Albategni le trouve de 54* 19', trop faible de io* V27'

Regiomontanus , qui n’a fait aucune remarque sur le chapitre XXVT, qu’il a sans doute trouvé impossible à comprendre et à réformer, dit de ce dernier moyen, qu’il est inlricatus et modicœ reputationis , utitur en un It/ieis curvis lam/uam redis. 11 se contente de mieux démontrer

que le quadrilatère ABGE est réellement inscriptible à un cercle. Alba* legni, en terminant ce chapitre, dit qu’il sert, comme le précédent, pour les nativités ; en ce cas, ils sont tous deux assez bons; on peut seulement leur reprocher la longueur des opérations , qui demandent plus de tems cl de travail , pour ne donner que des résultats erronés. Pour la gloire d'Albategni , il faut croire ces deux derniers chapitres interpolés par quelque astrologue ignorant et charlatan, qui aura voulu donner un air de mystère à des opérations qui seraient fort simples si l’on ne s'était attaché à les rendre obscures et difficiles.

Dans le chapitre XXVII , il cherche la longueur de l’année , et nous dit que les Egyptiens et les anciens Babyloniens la faisaient de 565* i5' 27' 3o" ou de SGS'ô* 11' o". Personne, que je sache, ne l’avait dit avant Albategni. Nous ne savions rien de semblable des Chalde'ens. Quant aux Égyptiens, nous ne leur connaissions que l’annce de 365' jet l’annce commune de 365'. Si les uns ou les autres ont trouvé celte autre année par les levers helinques, elle ne peut être que sidérale, et par conséquent trop forte de 20' 20"; l’année tropique sera de 365' 5* 5o'4<>"; l’erreur des Babyloniens aurait été moindre que celle des Grecs. Notre auteur ajoute que Ptolémée avait déjà remarqué que cette année devait être sidérale; peut-être en jugeait - il ainsi d’après sa longueur; avec sa précession de 56", qui ne font que 14' 38" de tems solaire, il devait eu conclure une année de 565' 5* 56' 22". Ptolémée , à l’exemple d’Hipparque , la fait de 565' 5‘ 55' 1 2". La différence n’eût été que de 70", et Ptolémée disserte longuement pour démontrer qu’il faut retrancher s'-0- du quart de jour qui excède les 365 jours. Comment aurait-il négligé une confirmation si importante de son hypothèse? Mais Ptolémée ne dit rien de semblable; je n’ai pu trouver lepassage qu’Albalegnius avait en vue. Ptolémée' articule au contraire très expressément qu’avant Hipparqne l’opinioit générale des mathématiciens faisait l’année de 565f ' ; il n’en cite aucune autre; rien ne nous atteste d’ailleurs la science des Chaldéens. Ils auraient pu, à force de répéter les observations des levers héliaqnes, déterminer passablement l’année sidérale, sans pour cela se douter le moins du monde que cette année n’ctait pas celle qui ramène exactement les saisons. Rietv 11e dit qu’ils aient observé les ombres solsticiales du gnomon , et ils an-* raient pu très bien s y tromper de 20' sur la vraie longueur de l'annéetropique. 11 ne parait pas que Ptolémée ait eu la moindre connaissance de cette année chaldéenne ou égyptienne; il serait sûr au moins qu’il u’en aurait pas fait le moindre cas.

Albalegni montre plus de confiance aux équinoxes qu'aux solstices ; il préfère meme 1 equinoxe d’automne à celui du printems, parce que l’air est plus pur. II compare un de scs propres équinoxes à uu équinoxe de Ptolémée. Cet équinoxe est de l’an 1191 d’Hilcaruain, ou 1206 après la mort d’Alexandre; avant le lever du Soleil, le 19 du mois elul des Romains, c'est-à-dire le 8 pachon du mois dalkept, 4*45' avant le lever du Soleil ; or le méridien d’Aracte est de j d’heure plus oriental que celui d’Alexandrie, de sorte que l’intervalle des teins est 743 années égyptiennes, et 178^ — 5 d’heure au lieu de i85-|, qui auraient eu lieu si l’annce était de 365^; la différence y o* 24' divisée par 743, donne o. 00944 3', ; en sorte que l’année sera 565,a4o55G6 = 565^ 5* 46' 24“, trop faible de 2' 26", et plus exacte de beaucoup que celle de Ptolémée; mais s’il y a erreur d’un jour sur les équinoxes de Ptolémée, on pourra ajouter ) ou 2' environ, en sorte que l’année eût été fort bien. Observons pourtant que ce résultat n’est fondé que sur une comparaison unique; qu’Albategui parait avoir négligé une minute sur la hauteur du pûle; que son arniille devait être en erreur d'une minute, et l’équinoxe en erreur d'une heure*, que l’erreur de l’observation plus ancienne est probablement beaucoup plus forte, et que les connaissances astronomiques sont aujourd’hui trop avancées pour cire améliorées par de pareilles observations : il serait donc assez inutile de recommencer le calcul, pour y apporter les attentions négligées par Albategni.

Il en résulte que le mouvement diurne est de 59'8’'ao'''46'’54' 14" > et quepour une année égyptienne de 365^, il est de 559”45’4G"25'"3 1 C’est d’après ces nombres qu’il a formé ses tables de mouvemens moyens. Ici Halley trouve 32" au lieu de 3i.

Pour déterminer l’inégalité, il se sert de la méthode d’Hipparque, suivie aussi par Ptolémée; de l’équinoxe d’automne à celui du printemps

il a trouvé ( chap. XXVIII) 178* i4‘ 3o'

de cct équinoxe au suivant 18G.14.45 presque,

ce qui ne fait cependant que 365. 5. i5 erreur, 4^ ou 44';

du dernier équinoxe au solstice suivant .. . g3.i4> o

en i86> 14* 45' le mouvement est i83*56'ia"

en g3.i4 92.14.10

excès du premier arc sur 180” 3.56.12

moitié i.58. 6

second arc — moitié de l’excès 90.16. 4 s

ôtez 90* il restera 0“ 16' 4W

sia 16' 4" 7.66965