Chapitre XIII. Des ascensions droites. Son précepte est celui de Pto

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léroée et celui d’Albategni. Il en diversifie le calcul de plusieurs manières, mais elles n’ont rien de neuf, et prouvent toutes qu’il n’avait pas senti toute l’utilité de la Table des tangentes qu’il avait calculée avec tant de

soin et tant d’étendue. Il calcule séparément . — ? , et multiplie l’uu

009 tt COS 1 1 *

des quotiens par l’autre. U fait sin Al = au üeu ,je fa[re<

sin A = tang D eot u. Cette inadvertance est véritablement singulière. Pour calculer la longitude par l’ascension droite, au lieu de faire

taog O — ~roi'î/ » ** donne un moyen qui est au moins très curieux.

Dans la figure 14, il a d’abord sinBisinAl.:: i :sinQ

sin At

—■ sir*

Pour connaître B, prenez AC =90, et menez BC qui sera de 90% C sera le pôle de AB. CBA sera de 90”; prenez encore BE=<)o*, et menez CE, dont B sera le pôle, les angles en E seront droits.

CAs= 1 80* — T C= 1 80* — CA — At=i 80 — 90 • — >ft— go" — vît E-*k — 1 8o*— ET=i8o*— EB — BT =j8o°— 90°— ©=90* — © CE=EBC=i8o’— CBT=18o*— CBA— ABT=i8o— 90“— B=9o“— B,

cosC^accosCEcosErAssicosCEsinL , et sin©=^^’=^^.

7 cos Ct cosCE

Pour avoir CE, faites sin CE=sintt siaCi>&=sin<»cosAl.

Soit donc sinCE=sin »cos Al. et vous aurez sin O =

Tel est le précepte que l'auteur nous donne sans démonstration.

Cette construction nous démontre une chose aujourd’hui bien connue.

L'angle de t écliptique avec le cercle de déclinaison est le complément de la déclinaison et un point de l écliptique dont la longitude serait~g o*— Ab

Elle nous prouve encore ce théorème dont Géber, long-tems après, s’est déclaré le premier inventeur, cos B = sin ai cos /il, ou cos angle oblique = cos côté opposé sin autre angle oblique.

Ebn Jounis a-t-il remarqué ce théorème , en a-t-il connu la généralité ? U est incontestable qu’il l’emploie; mais Ptolémée l’avait déjà calculé sans le remarquer.

Je ne puis répondre que la construction que je viens de donner ait été connue d'Ebn Jounis. En voici une autre qui est plus encore dans le style grec, et dont on voit plus d’un exemple dans la Syntaxe mathématique.

Prolonge* BA en sorte que Ba = 90' ( flg. i5 ),

BT eu sorte que B b = 90.

Menez abC qui aille rencontrer l’équateur en C.

B est le pôle de abC\ les angles B ab, B ba, B Ca seront droits; les arcs C a, CA, CB seront de go'; èa— TBA==B.

cb == CBi =90* — B, CT — go' — Al, i Y ss 90' — ■ O ,

sin C b — cos B = sin oe si 11 CT = sin a> cos Al.

Celte construction a été employée par Ptolémée; Plolémée n’a pas vu le théorème; si l’on veut en faire honneur à Ebn Jounis, qui n’en parle en aucun endroit, et qui ne l’emploie ici que comme moyen subsidiaire, je serai fort tenté de le réclamer pour Ptolémée, qui a pris le même détour, parce qu’il ignorait aussi le théorème énoncé par Géber.

Si Ebn Jounis le connaissait, il a dû dire, faites cosB=sin&cosAl, et

vous aurez sin L = qu’était-il besoin d’aller chercher cette décli-

naison que l’on calcule avec une longitude =90' — Al? Pour quoi compliquer et obscurcir inutilement l’énoncé du précepte ? Si l’auteur arabe a employé ce langage détourné et peu naturel, c’est qu’il ignorait celte propriété générale des triangles rectangles.

Il est à remarquer que parmi une foule de problèmes d’ Astronomie sphérique, souvent assez inutiles et de pure fantaisie, jamais du moins jusqu’ici Ebn Jounis ne nous parle du moyen pour calculer les angles de position des points de l’écliptique. Ce silence peut-il se concevoir, si l’on suppose qu’il connaissait le théorème de Gcber.

Il en est de ce théorème comme de l’usage des tangentes, qu’il a méconnu, après avoir calculé une Table des tangentes. Ce théorème est resté enfoui dans les écrits de Ptolémée et des Arabes, qui ont été souvent tout près de l’apercevoir. Géber, qui se l’attribue, aime un peu trop à se vanter; tout son ouvrage le prouve; mais enfin, avant lui, personne n’en avait parlé; c’est par lui que nous le connaissons; je ne vois pas de raison suffisante pour l’en dépouiller. Au reste, je ne propose que des doutes, je suis loin de rien affirmer.

Ebu Jounis donne ensuite une règle bien moins simple et bien moins facile a calculer ; elle se déduit facilement de l’équation primitive, sin Q — i"1^ . sin Al »in Al

* (1 — cos'B)* (1 — jLn*»coi‘ At)“

»in Al sin /fl.

(sin* « -f cm* #— jin* « coj* Ai)* (cos* « + »in* « sin* Al) *

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Tel est le précepte qu'il nous donne , sans nous dire comment il a

changé sin B en (cos* a>-f- sin* u sin* Al)* , qui est une hypoténuse. A-t-il fait ces substitutions? la chose n’est pas absolument impossible, mais on peut la croire peu vraisemblable.

Voici un autre moyen extrêmement simple, et par lequel Ebn Jounis aurait pu arriver au théorème.

Par le point B, menez au pôle de l'écliptique E le cercle de latitude BE, T BE sera un angle droit. irBA=B=i8o- — TBP=i8o<’ — EBT — EBP = i 80 — go* — EPB=go* — EBP; doue EBP=go* — B,

sin EB isinEPB :: sinEP :sinEPB=cosB:

sin EP sin EPB

: siawcosAl.

sin EB

sin «sin (qo°4- A)

si ngd0

Cette démonstration n’a rien qui ne fût très connu des Grecs ou des Arabes , mais cela n'est pas suffisant pour établir qu’ils aient en effet connu ce théorème.

Voici encore un calcul qu’ils ont fait plus d’une fois. Ils avaient la formule

•in Q sin A

pour calculer les formules de cette espèce, ils étaient obligés de les élever au carré. Ils faisaient donc, ainsi qu'on peut le voir à la page 55 du tome II de XAstron. ancienne ,

sin* ©

sin* .41

■\ — sin* Q cos* s» cos* A

«in* O -f

, d’où sin* O s

ain*A sin*0 'COS* •COS* A cos*» cos* A*

sin* /R » . — sin* A