SU

d'où

t> cos AK sin T) sin B ~ .

cos B = , — — — cos Al sin fit ,

sin Ai ’

roule bien simple pour arriver au théorème sans aucune construction r- Ptolémée fait encore cos B = -"■■*)'cna O . ,j’0^

cos D sin ©

-„.ti sin 0 sin» en* Q sin «cos Al cos D . x>

cosu= - — — = = Mn a) cos .R,

cos t) sin 0 cosD '

manière tout aussi simple que la précédente.

EBN J0UN1S. ,oy

11 n’est pas difficile de consiruire par l'Analemme la formule

( cos* r» -f- sin* a> sin* .41)* , et d'en faire l'hypoténuse d'un triangle rectiligne rectangle ; l'embarras est seulement de démontrer que cette hypoténuse est le sinus de l'angle B, ce qui est démontré par le calcul analytique. En voilà trop sur ce petit problème, passons à un autre.

Pour déterminer l'obliquité par une longitude et une ascension droite,' od avait les deux formules

cos yfl cos D = cos L . d’où cos D = ;

’ CO» y*.

• fv J • • Il V ■ sm D

sm D = su» a) sm L , d ou sm c* = -r— 7- #

sin L

c’est à cela que revient le procédé d'Ebn Jounis, qui ne suppose ici rien qui ne fût connu depuis long-tems. Il fait encore — ^£— • co' > ce

qui revient à tang Æ col I. = cos », d’où tang .41=: cos a tang L, formule que les Grecs et les Arabes évitaient, parce qu’elle était pour eux du second degré.

S'il avait connu le théorème du cosinus, il aurait pu faire

cosB=sinaicosyft, cosD= et cosa»=cosDsinB=('-^^') sin B;

3 co» Ai3 \cos AW

il eût deux fois de suite employé ce théorème.

Ce problème, au reste, n’est que de fantaisie; on ne peut observer à la fois ,41 et L, sans un instrument qui, comme l’astrolabe, suppose l’obliquité connue.

Chapitre XIV. Demi-augmentation ou diminution du jour, c’est-à-dire complément de l’arc semi-diurne; sin verse de l’arc semi-diurue et ascensions obliques. Soit A l’arc semi-diurne;

sin A = cos P =

sin H co s H

sin D co» D *

c'est la formule de Ptolcmée; elle revient à cos P = tang H langD. sin v. P = 1 ± sin A. A ces formules l'auteur ajoute

p /sin D\ ombre équinoxiale

\co» üj longueur du gnomon 3

ce qui revient évidemment à tang D tang H.

Ainsi même en employant uue ombre, il méconnaît l’utilité des tangentes, puisqu’il calcule encore *‘n--g ; il lait

^ombreéquinox. , comP^m' ^c'in ^ — tingHtangP — «*" *— rntP;

io8

pui$

a in D sin amplitude ortivo

coaD * sin haut, au i#r vertic.

/sin D\ sin D \cos H/ cosD * /si n D\

WH/

srnD sin H Tr

»s-D-c-5.-H = UnSDlan811-

Il retourne de toute* les manières ses tangentes pour les naturaliser dans le calcul trigonornétrique , sans trouver cette notion simple et générale, qu’on pouvait substituer partout l’ombre au rapport Était-il

si difficile de dire: toutes les fois que nous trouverons ce rapport, nous y substituerons l'ombre qui en est l’expression, et dqnt nous avons calculé la Table dans celte vue. Par là nous simplifierons les règles trigonométriques, et nous éviterons les extractions de racines qu’exigent les méthodes ordinaires.

.in A »inl excès du plu, long jour sio A cos p = s;„ tang H lang « sin total “ °

= siu j excès du jour proposé.

C’est encore une règle de Piolémée.

La même formule, en changeant le signe, donne la demi-diminution du jour le plus court.

Dans une continuation du même sujet, il nous dit : faites.....^

cos (II — D) + cos (H + D)

à — X — t et vous aurez

. . cos (H — D)

sin verse arc semi-diurne = tt — Ta — Ar"i ,,, ,

[cos (H — D) 4- cos (H + D)J 7

sinv.arcsemi-diurne=sin v. P = 3 sin* [P= -vc

cos 1 1 cos U

cos II cos D H- sin H sin D . TI . y.

ss ~ K = i + tang H tang D.

cos H CO. D ' s O

Ebn Jonnis ne donne pas ces développemcns, mais ils prouvent que sa règle est identique à la nôtre. 11 emploie ensuite l’amplitude orlive A ,

dont le sinus est — , et il fait

cos H ’

sinv.P

sin (TI

sin II cos O