COS P
SIÜX
TT /uin A' — sin A*\ TT / sin A' — sin A* \
= 'anSTI ( D / = laQS 11 cos » *
F.BN JOÜNIS. 1S7
siii x est donc notre cos (Z* — <p) — cos (go* -f- A" — =siu — A'); il fait
. O' Q'cose . •
sm a = g- = — = ,ang P cos <P — S1U P-
Son angle a est donc notre angle subsidiaire <p.
Il appelle al ainnun ou commun son arc a, qui ne dépend point de la latitude, et al Ichassous ou particulier, l’arc x qui dépend de la latitude II.
11 fait enfin a — x=p — (<p — A")= A"; il a donc l’amplitude pour la hauteur A'; après quoi l’autre amplitude se trouve, en ajoutant ou retranchant cT , selon les cas.
Comment Ebn Jouuis a-t-il pu arriver à celle solution parfaitement identique à la notre ? Il n’avait pas de tangente ; il ne connaissait pas cet usage moderne des angles subsidiaires, qui simplifie les formules; il ne connaissait pas l’usage des équations; il n'avait même précisément aucune formule. Nous n’imaginerons donc pas qu’il ait posé nos deux formules primitives, pour leur faire subir des modifications du mémo genre que les nôtres. Voici une marche qui lut était familière :
AO=3IAtangAMO=tangIIsinA' ( fig 34),
BO=NB tangBNO=tangHsinA',
AO — BO = AB = tang 1 1 (si n A' — sin A*)
AB=AQ— BQ=A' — A"=MR — N<p=cosZ'cosA' — cosZ”cosAr — sin A' cos A' —sin A'cos A" = tang H (sin A' — sin h") ;
mais
A' = A'-f- f sin A’ = sin A1' cos -f- cos A" sin tf ;
donc
tangïI(sinA' — siu/i")=cosA'(sinA'coScf-)-cosA''sinef) — sinA"cosA"
— sin A'coscf cosA’+cosA'siricf cosA' — sinA"cos h’ =cosA'sin<TcosA' — (cos h' — costfcos/i')sinA"}
TX / jinA — smA N / sin/cosA S ,, .
tangH ( — ri 5 — r, )=( — jb r — r, ) cosA — smA ,
0 \cos/i — cos/cosn/ \cosn — cos/co ah/
sin Il/'iinV-
c^TH \ (
cosA'' — sin A*.
Telle a pu et dû être l’équation finale d’Ebn Jounis, ou du moins telle est l’expression moderne de la règle qu’il a trouvée} mais elle renferme l’inconnue A'' sous deux formes différentes.
ia3
Soit
Cf .in y mi: v
^ (, — sjn*y)*
et Q'(i — sin*^)“=Q'sin^-,
Q'* ( x — siii’7')= Q"* sin’y , Q'* — Q'* sin*j = Q’* sin^y- ,
Q'*= Q'* sin*y 4- Q"* sin‘y=sin\y(Q'’-|-Q**) ,
Vï. ... V
sm'jz
et SXXl y =
F=sin,t.
Celle méthode, pour changer la valeur de — -y en celle de sia jr u’élait pas inconnue aux Grecs.
Par ce moyen, qn’Ebn Jounis emploie souvent, nous arrivons à son pre'cepte sin a = = sin <p; il trouve l’arc subsidiaire a par son sinus ;
nous l’obtenons plus facilement par sa tangente.
Nous avons donc ™ et Par conséquent
(-in HV-mp;,' — sin /»ina\ ^ V" sin V' s>nocosA' — sinA*coso ~ ainfa — A*)
cosHA, y / \co *aj ' ' cosa cosa
Il n’y a plus qu’une inconnue, elle est dégagée; elle devient connue ; on aura a — (rt — — A*) = A1' et A' = J' -f- A".
Ainsi, par des voies bien connues aux Arabes, nous arrivons à une solution conforme eu tous points aux préceptes d’Ebu Jounis; il n’est donc pas douteux que nous avons retrouvé la démonstration qu’il a supprimée; elle nous prouve que les Arabes devaient avoir, sinon une notation algébrique, du moins quelques abréviations dont, à la vérité, il ne reste aucun vestige, mais qui leur étaient indispensables pour arriver à dégager une inconnue aussi embarrassée.
Ce problème nous parait, sinon un des plus utiles, au moins un des plus curieux que nous ayons rencontrés dans les auteurs arabes, et l’un des plus propres à nous donner une idée très favorable de leur habileté dans le calcul.
Dans le chapitre XXIV, l’auteur enseigne à trouver la méridienne d’après la hauteur dont l’azimut est de 3o” ( lîg. 35).
L’azimut est toujours compté du point est de l’horizon. Soit donc FOC = 3o% OC l’ombre observée à l’instant où l’on sait par le calcul et par une bonne horloge, que l’amplitude sera de 3o’; la distances la méridienne sera do 60’. D’un rayon arbitraire O a, décrivez uu arc dç
r.BN JOUNIS. 1*9
cercle aniD ; sur cÆ arc , portez, de a vers D le rayon Oa = corde de Co% et vous aurez le point m de la méridienne OM.
L’auteur ajoute qu'on peut trouver la méridienne par d’autres hauteurs dont les azimuts pouiront être déterminés; il dit de plus qu’ils sont au nombre de dix.
Avec une table des cordes, on peut les déterminer tous, et le problème a une infinité de solutions; mais si l’on se borne aux cordes primitives qui servaient à calculer toutes les autres, on aura les cordes de 56% de 45% de 60% de 72* et celle de 90% ce qui ne fait que cinq; on peut y ajouter les cordes supplémentaires de to8, 120, i35, i44 et 180% ou en aura dix; mais on ne peut employer à cet usage que celles qui sont au-dessous de 120% du moins à la latitude du Caire. Il n’en resterait que cinq; mais chacune peut s’employer de deux manières. Ainsi supposez EOC=Go% COM sera de 3o* ; portez la corde de 60° de a en D, l'arc Dm moitié de l’arc «D = 6o% sera de 3o“, et vous aurez le point m. Supposez EOC = 45% vous prendrez <?D de 90“, EOC = 54% COM= 36% .et ûD=72% EOC = 72% COM= 18° et rtD = 36".
Je ne sais si c’est là le sens de l'auteur, mais son problème ne mérite pas un plus long commentaire ; peut-être a-t-il voulu dire qu’il y avait cinq azimuts pour le matin et cinq pour le soir, ce qui ferait dix.
Le chapitre XXV manque dans le manuscrit. 11 devait traiter des hauteurs correspondantes, pour servir à trouver la méridienne.
Les Indiens prenaient les ombres correspondantes, en traçant sur le sable un cercle autour du pied du gnomon. 11 parait qu’Ebn Jounis traçait le sien sur un marbre blanc très poli, afin d’avoir des ombres plus distinctes et mieux terminées. On appelait encore cercle indien une espèce d’astrolabe plan dont M. Sédillot nous fait espérer la description, et qui probablement servait à observer la hauteur du Soleil.
Chapitre XXVI. Déterminer la longueur de l’ombre et son azimut sur le cadran oriental. Ce titre est assez équivoque ; les formules de l’auteur en fixeront le vrai sens. Faites ( fig. 36)
sin h = s'm haut, sur le plan = sin angle hor. sin déclin. = sin P cos D.
Soit EZP le plan du méridien, qui est aussi celui du cadran oriental; PS le cercle de déclinaison du Soleil; il est clair que sinSM=sinPcosD; ainsi la hauteur du Soleil sur le plan est l'arc perpendiculaire abaissé du centre du Soleil sur le plan.
IT
Le triangle rectangle SMP donne encore cos P9= cos SM. cosMP,
d’où
roü PS », T, sinD . rr
— = cos MP s= — r = 6m Iv :
cos SM cos h
c’estla seconde formule de l’auleur; ainsi
sinK = cos PM = cos (PZ 4- 7.M) = cos (90 — II -f- ZM) =sin (II — ZM)
=sinME,
ME=II— ZM et ZM = II — ME = II — K , MR=siuZM=AQ,
sera l'amplitude mesurée sur la ligne horizontale OAQ du cadran.
Si la déclinaison était australe, sinK=^? changerait de signe comme sin D.
Si K se trouve plus grand que II, il est évident que ZM = H — K changerait de signe, et que l'amplitude ou l'azimut AQ, suivant le langage de l'auteur, serait entre le premier vertical et le nord.
Ces remarques sont l’abrégé des préceptes que l’auteur donne pour les différons cas qui peuvent se rencontrer. Il nous dit que personne n’avait encore parlé de la solution qu'on vient de voir. Elle n'était ni d’une grande importance, ni d une grande diiliculté. Il ajoute que si le Soleil est dans l'équateur, l'ombre décrira une ligne droite, dont l'inclinaison avec l'horizontale sera go" — H; ce qui est évident, car la projection de l'cquateur est le diamètre QE. Cette inclinaison, l'auteur la nomme azimut;
et pour ce cas, il nous dit que l’ombre sera cot P, c’est-à-dire ; mais il nous avertit que cette ombre est celle du centre du Soteil.
Si le Soleil était dans l’cquateur en S', l’arc S'E serait en même tems la mesure de l’angle horaire et te complément du dayer ou de la partie écoulée du jour. Alors aussi l'ombre de 5* après le lever, serait égale au
module ou à la hauteur du style ; car cot P serait cot 45’ = = 1 »
ce qui servirait à retrouver le style, s’il était perdu. Nous avons fait usage de ce moyen et de beaucoup d'autres, pour retrouver le style des cadrans d’Athènes ( voyez le tome II de notre Ilist. de VA sir. anc. ).
Soit EM la déclinaison du Soleil ; M sera le point où se trouvera le Soleil à midi ; MSQ sera le rayon solaire dirigé au pied du style, l'ombre sera sur le prolongement de MQ.
Au lever du Soleil, l’ombre est la tangente de l’amplitude QB. Mais,
