obliquité. . a

11 3. 10.... 56*35' latitude... 35. a5.

On voit qu’ Aboul Wéfa était contemporain d’Ebn Jouais.

ABOUL WÉFÀ. 1 5}

Au chapitre VI, après avoir exposé la théorie des sinus, H définit d’autres lignes (rigonométriques qu’il emploiera dans son ouvrage, c'està-dire les ombres sexagésimales ou tangentes, pour les faire servir à la solution des différens problèmes de l’Astronomie sphérique.

L’ombre d’un arc est une ligne menée de t extrémité de cet arc parallèlement au sinus , dans t intervalle compris entre celle extrémité de l’arc et une ligne menée du centre du cercle par t autre extrémité du même arc y

Ainsi t ombre est la moitié de la tangente du double de Tare , comprise entre les deux lignes (ou sécantes ), menées du centre du cercle à l’une et à l’autre extrémités de rare double.

On nomme celte ombre, ombre prime , ombre verse , et l’on appelle diamètre de t’ombiv, la ligne menée du centre à t extrémité de l'ombre.

JJ ombre droite est l’ombre du complément de l’arc.

Le module est égal au demi-diamètre du cercle.

11 suit.de là , 1". que le rapport des ombres verses au module ou nacLias, est égal au rapport des sinus et des cosinus des mêmes arcs.

a*. Que le rapport des otnbrc9 droites au module est celui des cosinus aux sinus.

5*. Que par ombre absolue, sans autre désignation, il faut entendre l’ombre verse, et que le rapport de eette ombre à son diamètre est celui du sinus au rayon.

■ 4°. Que le rapport de l’ombre droite au module , est égal au rapport' du module à l’ombre verse.

C’est ce que l’auteur démontre, comme on le fait encore aujourd'hui , par les triauglcs semblables :

tangas

sinus

cosinus

, colang

cosinus sinus ’

ces formules sont dans Âlbalegni, mais il n’en a pas senti l’importance.

Noos nous servons, par anticipation, du mot cotangente, pour éviter lès périphrases ; du reste, nous donnons la traduction littérale des définitions de l’auteur.

Divisez le sinus par le cosinus, vous aurez l’ombre exprimée en partie du rayon = î .

Pour exemple , il donne pour 5o* ,

tang = c ÿ 34' 58' 37" 3r)"'38,T et cot 1 .4? 55' a 3" 58 ";

Bressius a donné long-tems après

Pour avoir les diamètres ( ou les sécantes ) , nous ajoutons le carré du module au carié de C ombre ; la racine carrée de la somme est le diamètre cherché.

Ainsi pour le diamètre de 5o‘, on preudra \J 1 + 3=3 = coséc de 3o*, ou bien i-! — = coséc de l’arc = — ,

«lu arc cosin

Il y a ici une lacune; il est aisé de la remplir par la formule,., séc = i rb lang',

— 5 = — = diamètre ombre verse ; -- = diam. ombre droite .

sinus cosiu sin ’

f ' % \- . f * % . séc . co»éc

Ung=(sec‘ — i)* , cot= (cosec* — i)* , tang= — cot = -^-;

personne ne croyait ces formules aussi anciennes. ,

L'auteur ajoute qu’il a calculé les ombres pour les arcs de i5 en i5't et qu’il en a fait une table eu quatre colonnes. Dans la première se trouvaient les tangentes, depuis i5' jusqu’à 8,j° /, 5' ; dans la sccoude, étaient les cotangentes de 8g*45' à o° i5'.

Dans la troisième colonne étaient les ombres pour un rayon de Go', selon ce qui convient à la plus grande facilité des calculs; et dans le cas où l’ombre surpasse 6o, il suppose des unités d'un ordre supérieur. Ce sont les soixantaines d’unité, ou les sexagènes déjà employées par Théon.

Enfin, dans la quatrième colonne, se trouvaient les soixantièmes des différences d’ombre, d'une ligne à la suivante; en supposant, ce qui est snflisammeut exact, que de >5 en i5' on peut interpoler par de simples parties proportionnelles.

On voit que 1 auteur s’était contenté de donner l’expression des sécantes, et qu il n a pas jugé qu il valut la peine de les calculer.

On na point cette Table des tangentes d’Aboul Wéfa; mais, ce qui nous importait, était d’avoir la date certaine de leur introduction dans le calcul trigonométrique.

l'ivre II, chapitre III. Détermination de l’obliquité première, c’est-àdire de la déclinaison des points de l’écliptique.

sinD:sinD' ::sinasinO :sina>siuQ'::sinO:sin Q'; l’auteur ajoute

sia 3 ,s.a Q' :: sin cf: sin / ' sin A:sinÆ' ;

ABOUL WÉFA.

il suppose apparemment

gjn/=siDo>tiu Q — sinasin Al, mais on aurait

sin /' = sin <y sia O 's= sin ai sin A\' ;

lang O : taDg O ' cos ai taog O : cos a. tang O '= tang Al : tang Al'.

Après des applications qu’on trouve partout, il détermine l’entre'e diï Soleil aux différons signes de l'écliptique, parties déclinaisons observées aux jours voisins, et par des parties proportionnelles. Cette méthode donnerait trop peu de précision dans le calcul du vrai moment du solstice; il y substitue le calcul de deux instans où les déclinaisons auront été égales et par conséquent à même distance dn solstice; mais il ne faut pas qu il y ait un intervalle considérable, de peur que l’inégalité du mouvement n affecte le résultat. Cette réflexion est juste; mais si l’intervalle et peu considérable, on retombe dans l'iuconvcnient de la lenteur du mouvement en déclinaison, qui exigerait des observations plus précises qu’on ne savait encore les faire.

Livre I, chapitre IV. De la déclinaison seconde. C’est celle qui se calcule par la formule

taug D = tang « sin Al , et qui donne tangD:tangD'::sinAl:sinAVf ou celle qui s’obtient en faisant

tang /=langa*sinO , qui donne tang/ : tang/' :: sin O :«in ©'; pour exemple il suppose Q=io% et trouve

sin io* tang a3*35' = 4' 3a' 53'' 5i“= tang 4°ao'5o"48“; il fait aussi sin O

tang »

Voilà enfin les tangentes naturalisées. On a

sia D = sin ai sin O, et tang / == tang oi sin © , sinD: tang/ ::sin&isin©:tangai sin© "sinoisin©: .sin© "cos»: r,

et tang/=^5, et sin D = tang / cos u.-

Il donne et démontre de même des formules analogues pour l’équateur, et les calcule réellement par sa Table des ombres.

j.6o ASTRONOMIE DU MOYEN ACE.

L'auteur nous donne ensuite celte analogie qui suppose les quantités sin D'= sin « sin O , tang D" = tang <a sin O et s*u ^ = sia » cos O > sia D'':siu D' :: i : cos d.

Il la démontre synthétiquement, mais sa démonstration m a paru passablement obscure; voici ce que je trouve en complétant la figure.

Soient (Cg. 45) deux demi-cercles PTP',PAP, qui s’entrecoupent en P et P', pôles du grand cercle RTTAC.

Soit un arc incliné QtB de 90% en sorte que QT -f-rB = 9o*; des pôles E et E' de QB, menez les demi-cercles E'QE, E'BE , en sorte que E' et E soient les pôles de QTB,

l’arc AB perpcndicul. sur TA sera la déclin, prime de TB, AB=D'; QT perpcndicul. sur TT sera la déclin, prime de TQ, QT =cf ; BC perpcndicul. sur TB sera la déclin, seconde de TB, B( — D ; RQ perpendicul. sur TQ sera la déclin, seconde de TQ, RQ=rf'j QB étant de 90° elperpend. sur E’BE, le point Q sera le pôle de EBE!; BQ étant de 90° et perpend. sur E'QE, le point B sera le pôle de EQE' j

TBA=QBF=QF=9o'— FE=90*— ABC=90*— RQ =90 '—d'; donc ABC==RQ=r/",

BC Ts=BCT=F 'T=90* — T CQ=90* — QT=9** — d1 =90'’ — F 'P ' , TQT=F 'QB=F Ii—go> — BC=9o' — D*=2X)o° — RQT=go* — E'QF' =90* — E'F'; ainsi BC=RQT=D '=90*— TQT , QRT=QRT=F A=90* — AB=90* — D'=90’ — PF ,

‘ QC=90°, T=go' ; donc CT=90% C est le pôle de P'QP; BQ=90% BQR=90% RB=90% A=90“; donc AR=pqo”=CT ;

donc RT=AC ; R est le pôle de P" AP.

On voit donc, sans aucun calcul , que D' = 90» — QRT, D’:=RQT, d' = 90“ — BCA , et d"= ABC =90° — TBA; chacune des quatre déclinaisons est équivalente à un angle placé de l’autre côté de la figure; chacune de ces déclinaisons est le complément d’un angle de position, placé à 90* de cette déclinaison. a'= 90" — d" ; A'=go° — D'; a'=yo° — d ; A"=QO° — D'.

Les triangles rectangles QTT et BAC donnent

cos a’ — sin d’ = sin T sin TR= sin a cos Al, théorème de Géber, sin BCtsinBA:: 1 :sin d

sin D’’ : siu D':: 1 ; cos d , théorème d’ALoul Wéfa,

ABOUL WÉFA.

Le triangle BPQ donne sinB:sinQP :: sinQisin BP,

sinB:cosTQ::sinTQT:coçBA, costftcos d' ::cosD":cosD', co» HT cos TQ rns AB co« AC

cos D*

cos AB

cosrf*

cos J cos I y y cos TQ

cos RT = cos AC, ou RT = AC.

Ung RT = tang AC =sin AB tang ABC= sin T sin T B cot T BA = sin T sinV Beos T B tang V = sin ai tang « sin L cos L ,

cos D* cos <P sin A’

co» TF co ait C mi A' '

sin IV sin d * sin d! sin D"

cos RT= cos AC= sin RT = sin ACc=

sin q sin a*

cos d‘ cos IV

sin AB = sinBCsinC , ou sinD' = sinD"cosrf', sinTQ = sinRQsinR, ou sin</ = sin<f'cosD', sin AB sinD' sinD'cosd'

= ~~ = ou sinD,cosD'simI',=siu</cos(/’sinD'',

sin Ty sin if smu cosD ’ ’

sinaiy sin B*

OU -s -ü= - — r. ,

sin an sin d 3

OU

sinAB.sinTQ, ou sinD'sin</'=sinD"sincf'cosrf'cosD', tangD'tang</'=sinD"sin<f'.

Aboul Wéfa n’a pas donné ces théorèmes.

Résumé de celle doctrine des déclinaisons.

La construction générale des Grecs, simplifiée par la supposition des angles droits et des côtés complémensles uns des autres, avait fait trouver isolément les quatre théorèmes qui composaient alors toute la doctrine des triangles rectangles. Ces théorèmes étaient

sinC=sin AsinC", tangC = tang A sinC', cosC#=cosCcosC', tang C' = cos A tang C1'. (Tome II, p. 5i. )

Cette construction, ainsi simplifiée, offrait deux triangles, complémentaires l’un de l’autre ; les deux premiers théorèmes transportés d’un triangle à l’autre, donnaient les théorèmes 3* et 4 ’l mais celle construction était insuffisante pour trouver le 5’ elle 6*. Ils étaient dans une autre construction de Ptolémée, qui ne les a point aperçus. (Tome I! , p. 64.)

La figure d’Aboul Wéfa nous offre trois triangles enchaînés l’un à l’autre, dont deux sont réciproquement complémentaires ; le 5e n’a point son correspondant; ma figure 45 offre quatre triangles qui sont complé-

ai

,6a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

mcntaires deux à deux. La figure es! ainsi plus complète et plus symétrique; mais les trois trinogles d'Aboul Wéfa suffisaient, avec les deux premiers théorèmes grecs, pour découvrir et démontrer les quatre autres théorèmes, et de plus le théorème aujourd'hui parfaitement inylile d'Aboul Wéfa.

Le triangle TTQ donne sinQT=sin T sin T Q. . . . 1" théorème,

d’où triangle tBC cosC sscoê/sliB^* costBj

c’est le théorème de Géber.

rTQ donne tangQT=langYsinYT.... a' théorèm.,

d'où triangle TRC cot G =cota"=tang y cos yC ;

ce théorème n'a été connu ni des Grecs ni des Arabes.

Le triangle YBC donne sin YB = sin n*sin YC. . . . 1er théorèm.,

d’où YTQ cos YQ = cos QT cos YT ,

théorème connu des Grecs et des Arabes.

YBC tang YB = sin BC tanga". .. a' théorèm.,

yTQ col YQ = cos A’ cot QT

ou tangQT= cos A'tangYQ,

théorème connu des Grecs et des Arabes.

Triangle ABC sinD'= sin D" sin a". . . . 1er théorème,

in) iJ jt

.üd^00*^»

OU

SID AB /a m

— nT. = COS QT , «ni BC ^ r

théorème d'Aboul Wéfa. Cette construction était donc riche et féconde. L’autenr n’en a pas senti tous les avantages. S’il n’a pas énoncé formellement le théorème de Géber, souvent entrevu par lui et par Ebn Jounis, la cause en est peut-être la répugnance des Arabes à chercher une inconnue par son cosinus , par la raison qne lenr table ne donnait que des sinus; voilé pourquoi ils changeaient cos a* en sin QT ou sin d . S'ils avaient cette aversion pour les cosinus, ils étaient encore moins familiarisés avec les cotangeules; on concevra donc qu’ils n’aieut point aperçu cot A'=cosC"tang A, et cependant la table d'Aboul Wéfi» lui donnait, sur la même ligne, la tangente et la colaugente.

Dans le chapitre V, il démontre la formule siu.-RcosD— cosasin O , dont on ne voit pasbien l'utilité, quand on a la formule tang<4\.=cosa<UngO,

qu’on pourrait écrire — ^ = cos a* ® d’où cn3 0 .

* * coa .4v cos *

: COS Q> sin Q ,

*in . "R cos /iR co«tD

siu/ilcosDs:cosaisinO; il s’eu sert pour trouver

co« AÏ

ABOUL WJÉFA. sGï

sim A{ = > c’est-à-dire l’ascension droite par l’obliquité , la

longitude et la déclinaison. 11 fait encore

cosvft =^~j~ , sin/R=taBgDcotûi,

sinvft=sin©sinangl.deposition=sinOcos<i*, enfin cot/fi = ^^.

Le chapitre VI est intitulé : Méthode inverse des ascensions droites , c’est-à-dire calcul de la longitude par l’ascension droite. Voici ses formules :

sin O =

sin /fl sin D*

sin Ab.

co* d

= — — - , et enfin cot O =cos û>cot^4l.

Cette dernière, qu’il calculait par sa Table des tangentes, était bien plu* sure dans la pratique; elle était aussi beaucoup plus simple, et rendait les premières tout-à-fait inutile*.

Dans le chapitre VII , il calcule l’amplitude ortive par les formules

• » ain D sin* sin O • w .

sin A = — — = = sin A' sin O >

ccw H coa H ,

en faisant sin A'= sin amplitude solstitiale = ~jj.

Nous avons trouvé ces mêmes formules dans l’ouvrage d’Ebn Jounis son contemporain; il est à croire qu’elles étaient plus anciennes, puisque deux astronomes qui habitaient des lieux différens, et n’avaient entre eux aucune correspondance, les donnent tous deux simultancmeut, sans dire qu’ils en soient les auteurs.

Résumé de la Trigonométrie des Arabes.

Voilà tout ce que nous avons pu recueillir de la Trigonométrie des Arabes. Voyons en quoi elle diffère de celle des Grecs et de celle des modernes.

Albategnius a substitué les sinus aux cordes, et ce changement, qui simplifiait toutes les méthodes des Grecs, a clé généralement adopté par les Arabes , qui d’ailleurs ont conservé. tous les théorèmes démontrés par Plolémée.

Albategnius parait avoir considéré les triangles sphériques dans leur projection sur le plan d’un grand cercle. L’Analcmme de Plolémée, qut lui avait fourni l’idée des sinus et des sinus verses, parait aussi lui avoir

facilité la solation des problèmes les plus usuels. Ainsi il a donné des

règles équivalentes à notre formule fondamentale

cos C' = cos A" sin C sin C' -f- cos C cos C', ou sin h = cos P cos II cos D -f- sin H sin D. ( V oyez p. ai ci-dessus.)

Il a modifié cette solution pour trouver, soit l’angle horaire, soit la hauteur de l’astre, quand on connaît les heures temporaires écoulées depuis le lever ( p. a5 ).

Pour trouver l’angle horaire, il aurait pu dégager l'inconnue P , et faire

sin h — sin H sin D

COsP = co» H col ï> î

il a transporté cette formule à l'azimut (p. 17); mais, pour l’angle horaire, il a fait ( p. ao)

sin*

, coi (H — D) — sin h

cos H cos D ’

celte transformation heureuse lui épargnait une multiplication. Ebn Jounis a changé depuis cos H cos D en j [ cos (H — D ) -f* cos ( H + D)] , et c’est le premier exemple qu’on trouve de cette pratique connue sous le nom de proslaphêrèse. (Voy. p. 11a.)

Pour trouver l’ascension droite et la déclinaison par la longitude et la latitude, Albategnius a modifié de nouveau la solution générale du cas où l'on connaît deux côtés et l'angle compris ; sa méthode n’emploie que des sinus, et elle est identique à celle que Tycho a simplifiée par l'introduction des tangentes. 11 a été moins heureux dans deux problèmes dont la solution dépendait de formules qui lui étaient familières , et qu'il suffisait de retourner; mais nous aimons à croire que ses chapitres XXV et XXVI ne sont pas de lui.

Il a connu les formules des tangentes et des cotangentes ; il en annonce des tables , mais il n’a su en tirer qu’un parti très médiocre ; il paraît avoir eu quelque idée des sécantes et des cosécantes. ( Voyez p. 16.)

Ebn Jounis, venu cent ans plus tard, a fait quelques pas et s'est arrête avant d'atteindre le but. Il a fait des tables des tangentes; il leur a donné le rayon Go'’ comme aux sinus ; rien ne s’opposait plus à l’introduction de ces lignes dans le calcul des triangles. Ebn Jounis a manqué cette découverte, qui se faisait de son tems à Bagdad.

Aboul Wéfa a donné les formules des tangentes et des cotangcnles, et même celles des sécantes et des cosécantes, dont personne encore

ADOUL WÉFA. i65

n’avait parlé. Il a calculé des tables de tangentes et cotangentes seulement; il s’en est servi pour simplifier le calcul des formules connues , mais il n'a point trouvé les formules qui manquaient à la Trigonométrie des Grecs etdes Arabes. Il nous a fait connaître une théorie plus curieuse qu’utile des déclinaisons prime et seconde que sou idée des tangentes rendait superflue, et il a laissé passer sans les voir les deux théorèmes des angles de position des points de l’écliptique, dont l’un fut découvert cent ans plus lard par l’arabe Géber.

Aboul Wéfa paraît avoir fait peu d’usage de la projection orthographique ; il considère les triangles eux-mêmes.

Ebn Jounis, à l’imitation d'Albategnius , a principalement étudié celle projection. 11 en a tiré des formules commodes et curieuses; il a employé un arc de l'horizon qu’il appelle hissah de l’azimut, c’est-à-dire différence entre l'azimut actuel de l'astre et l’azimut de son lever. 11 en détermine la projection par la formule très simple (ang hissah = sin haut, de l'astre Xtanghaut. du pèle; il combine cet arc avec l’amplit. orlive, et en tire la solution de divers problèmes que la Trigonométrie moderne ne résout pas toujours avec la même facilité. Il nous fait connaître une solution toute nouvelle du problème qui cherche la hauteur et l’azimut par l'angle horaire, la déclinaison et la hauteur du pôle (p. 117); cette solution est la plus simplequ’on puisse imaginer, quand on ne sait pas employer les tangentes.

Enfin, ce qui nous paraît sur-tout remarquable, c’est l'usage qu'il a fait le premier des tangentes, des sécantes et des sinus, pour déterminèr des arcs subsidiaires qui simplifient les formules et dispensent de ces extractions de racines carrées qui rendaient les méthodes si pénibles. Ces artifices de calcul, aujourd'hui si communs, sont restés long-tems inconnus en Europe, et ce n’est que 700 ans plus tard qu’on eu trouve quelques exemples dans les ouvrages de Simpson. ( Voy. p. ,5.. )

II résulte de ces comparaisons , que les Arabes connaissaient , comme lesGrecs, le théorème des quatre sinus ; qu’ils ont trouvé l’une des quatre formules analytiques des triangles obliquangles; qu’ils n’ont pas connu les deux autres; qu’ils y ont suppléé avec beaucoup d’adresse, et que Géber seul a vu, mais pour les triangles rectangles seulement, la troisième de nos formules actuelles. Nous verrons plus loin que Viète le premier a complété la solution analytique du triangle sphérique obliquangle.

C’est à M. Sédillot que nous devons ces notions curieuses que nous avons extraites de sa traduction d’Ebu Jounis, complétée d’après le

i66 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

manuscrit d’Ebn Schathir, et de celle d’Aboul Wéfa qu'il a faite d'après le manuscrit arabe n58 de la Bibliothèque du Roi. Il est le premier qui nous ait fait connaître les tables des ombres ou des tangentes, dont les Arabes ont fait un si fréquent usage dans leur Gnomonique ; enfin il vient de fixer d'une manière certaine l’auteur et la date de leur introduction dans le calcul trigonométrique. On pensait assea généralement que cette innovation si utile était due à Regioraontanus, mais elle u’a eu lieu , du moins en Europe , qu'après la mort de cet astronome , et près de 600 ans pins tard que chez les Arabes, dont malheureusement les ouvrages n'ont pas été assez répandus. Ils existaient pourtant dans les bibliothèques, mais personne ne s'était donné la peine de les lire, ou d'en donner des extraits. Nous avons cité, p. 5, d'après un passage de Weidler, un Mohamed Ebn Yaliya Ebnol Wapba Albuziani , comme auteur d’un À Images te , ou d’un Système astronomique. Ce litre, le nom de l’auteur, l’àge où il a vécu, tont prouve que cet Almageste est le livre où se trouvaient consignées les tables et les formules des tangentes. Weidler, à la page aaa , ajoute que ce même Aboul Wéfa Albuzgiani est encore auteur du Zig Alshamel; qu 'il avait osé examiner et corriger les observations faites du tenu d‘ Almamon, et que ses tables avaient été commentées par Seid Ali Alkushi et son fils. Il serait bien à désirer qu'on nous fil connaître la composition et les élémens de ces tables. On ne peut douter que l'auteur ne fut un observateur soigneux et un calculateur intelligent. M. Sédillot se propose de donner des notices plus complètes de l'Almageste d’Aboul Wéfa , du manuscrit d’Ebn Schathir, de celui de Leyde et de tous ceux qu'il pourra se procurer. De ce qu’il a traduit jusqu'à ce jour, nons nous sommes contenté de tirer ce qui convenait à notre plan, qui était de faire connaître les méthodes des Arabes, leur^ instrumens et les découvertes qu’ils ont faites dans la science du calcul astronomique.

Nous avons ci-dessus exprimé nos regrets de la perte des chapitres où Ebn Jounis avait donné ses parallaxes et peut-être aussi les fondement sur lesquels il les avait établies. Nous avons ( p. 48 ) témoigné quelque surprise de ce qu’Albalegnius donnait à Mercure périgée une parallaxe égale à celle de la Lune apogée; ce qui fait assez entendre que, dans scs idées, toutes les orbites planétaires devaient se suivre de près, sans jamais s’entrecouper , parce que, suivant la doctrine d'Aristote, chaque planète est enchâssée dans une sphère solide qui lui donne le mouvement que nous observons. Il y a grande apparence que ces idées péripatéti-

GoosI

ABOUL WÉFA, 167

ciennes avaient été adoptées sans beaucoup d'examen par les Arabes. Cependant, en noos avertissant que ies distances de la Terre aux centres des épicycles de Vénus et de Mercure étaient arbitraires, Ptolémée y avait rois cette restriction, que ces distances devaient pourtant être assez grandes pour que les parallaxes de ces deux planètes fussent insensibles. Mais il ne parait pas que Ptolémée ait attaché lui-même à cette condition assez d'importance pour la soumettre à l’épreuve du calcul, et pour s’assurcr si elle était compatible avec la solidité des sphères d'Aristote. Le fait est qu’en ancun endroit il n’a fait mention de la parallaxe de ces deux planètes, quoique , dans son système, cette parallaxe dût surpasser celle de 3' qu’il donnait au Soleil, dont il lient compte dans ses calculs, et dont il a donué des tables.

Albategnius , grand admirateur de Ptolémée, n’a pu, sans de fortes raisons, s'écarter d’une manière si étrange des idées de sou modèle, en ce qui concerne la parallaxe de Mercure ; il m’a semblé que son motif avait dû être le principe de la solidité des sphères, combinée avec les élongations de Mercure et de Vénus en digression; j’ai pensé que la même raison pouvait avoir contraint Ebn Jounis à augmenter la distance du Soleil dans la proportion de 3 à 2 , ce qui réduisait la parallaxe du Soleil à deux minutes environ ; car d’ailleurs il serait assez difficile d'imaginer par quel moyen, par quelles observations, Ebn Jounis aurait pu prouver directement que la parallaxe du Soleil doit être diminuée d'une minute. Pour éclaircir ce soupçon, le moyen est facile. •

Ptolémée fait la parallaxe de la Lune apogée de 53’ 34"- Pour laisser un petit intervalle entre la sphère de la Lune et celle de Mercure, réduisons cette parallaxe à 53' pour. Mercure. La distance périgée sera

P — j-~gÿ = coséc 53' = 64,858 , en prenant pour unité le demi-diamètre du globe terrestre.

Soit /-le rayon de l’épicycle de Mercure ; (P +r) sera la dist. moyenne, et(P-f- 2 r) ta distance apogée.

Soit F. l’élongation la plus grande ou la digression à la distance moyenne ; nous aurons ( P r ) sin E = r, P sin E = r — rsinE,

P sin E P P

r i — sin E coséc E — i séc (90 — E) — 1

= 1 +taag(9g*— E) tang (45°~fË*)— ~i = P '»"& E U"6 «5‘ + i E).

Pour Mercure, Ea= 22',46', 45'4-ïE = 56’23'; donc r= 40,948,

iG8 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

P -f- r — io5,8o4, P -+■ 3r= 146,783. Alla de laisser un peu d'intervalle entre les orbites, supposons que la distance périgée de Venus soit P' = i/|8*. E — 46’20', 45a+ïE=68* 10', r'=387, F+r'= 535, P' -f- ir =933.

Plolcmée fait la distance du Soleil taio; il resterait donc , entre les sphères de Vénus et du Soleil, un intervalle de a88 qui aura paru nécessaire pour que Vénus en conjonction supérieure, ne fut pas brûlée par les rayons du Soleil. D’ailleurs nous avons négligé, dans notre calcul, les excentricités de Mercure, de Vénus' et du Soleil, qui diminueraient considérablement cet excédant 388. Voilà donc la supposition d'Albategtii expliquée, cl nous voyons ce qui l’a forcé à donner à Mercure une parallaxe si énorme, et dont cependant on ne voit pas que les Arabes nient tenu compte dans la rectification des élértlens de cette planète.

Une parallaxe de 53' pour Mercure est réellement inadmissible; Ebn Jounis l'aura senti sans doute; pour la diminuer, il parait qu’il s'est vu obligé d'éloigner le Soleil; il a réduit à moins de a' la parallaxe du Soleil ; il m’a paru curieux de calculer celle qu'il donnait à Mercure. C’est ainsi que j’ai formé la table suivante d'après la formule

r = P tang E tang (45° -f- | E).

Table des parallaxes et des distances des planètes inférieures .

Parai 1.

de $ périg.

P’-fa/

Paraît, de $ périg.

Parait, de £ apog.

ao

Vâi

lCq6.4

a3’ 14' ai .45 19.3a 17.16 i3. 10 8-45

La première colonne offre les suppositions que j’ai faites successivement pour la parallaxe de Mercure périgée. -La seconde, sous le titre P, donne la distance périgée qui résulte de la parallaxe de la première colonne; la troisième, sous le litre r, montre le rayon de l'épicycle pour la même supposition; la quatrième, (P-)-/-), est la distance moyenne ou la distance du centre de l'épicycle; (P -f- a r) est la distance apogée de Mer-

ABOUL WÉFÀ. 169 -

cure; P*, qui diffère peu de (P -j- 3 r), est la distance périgée de Vénus dans chaque hypothèse; (P' -f-r'), la distance du centre de l’épicyclc \

P ' +3r, la distance apogée de Vénus.

On voit déjà qu’eu réduisant à 40' la parallaxe périgée de Mercure, la distance apogée de Vénus 1359.7, surpasse la distauce du Soleil, que Ptolémée fait de 1210; ainsi, dans l’hypothèse de Ptolémée, Mercure périgée devait avoir un peu plus de 40' de parallaxe.

Supposons qu’Ebn Jounis, effrayé de cette parallaxe, ait voulu la réduire à 5o'; il a dû trouver pour la distance de Vénus périgée 1626 demidiamètres de la Terre; il aura en conséquence donné au Soleil une distance de 17G6

ce qui laisse entre les sphères de Vénus et du Soleil un intervalle de 140 qui ne paraîtra pas trop considérable, d’après les raisons rapportées ci-dessus.

Réduisons la parallaxe à 29'; P sera 11 8. 45, ^=74.843, P-j-r= 193.293, P-f- 2/= 268 . 1 36, P'=26g, r'—joZ . 4 1 ,P'-(-/-'=97 2.41, P'-f-2r'= 1675.82

distance du O 1766

il ne restera plus qu’un intervalle de 90.18

Si nous réduisons la parallaxe à 38', nous aurons P= 133.78, r= 77.507, P r = 200 . 287 , P -f- ar= 277.794 , P' = 379 , r'=729.56, P' + iJ = 1 008 . 56 , P'-f- 3/^= i838. 1 , qui surpassera de 72 la distance qu'il assigne au Soleil. Il est donc très probable qu’il a donné de 29 à 3o' de parallaxe à Mercure périgée , et certainement plus que 28'.

Les deux dernières colonnes de la table donnent les parallaxes de Vénus périgée et apogée; dans l’hypothèse de 3o' pour Mercure périgée, ces parallaxes sont i3' 10" et 3' 7", d’où résulterait environ 8' de parallaxe pour Vénus en digression.

La parallaxe de Mercure apogée diffère peu de celle de Vénus périgée; ainsi, dans ce système, les parallaxes extrêmes de Mercure seraient 5o' et i3', d’où résultent environ 33' de parallaxe pour Mercure eu digression.

En négligeant la parallaxe des planètes inférieures, comme il parait que l’ont fait les Arabes, il s’ensuivrait qu’ils ont cru Ptolémée, lorsqu'il a dit que les parallaxes étaient insensibles, sans s’inquiéter de l'obstacle de la solidité des sphères.

Alhateguius et Ebn Jounis auront rappelé cette solidité; le premier

,7o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

l’aura admise avec toutes ses conséquences, et il a donné 53' de parallaxe à Mercure; Ebn Jounis aura cliercbé à diminuer cette parallaxe autant que possible; et en la réduisant à 3o', il aura senti la nécessité de réduire à moins de a' la parallaxe du Soleil. Il n’a rien ajouté sur les parallaxes de Mercure et de Vénus. Il n'en faut pas conclure qu'il ait regardé comme insensibles ou peu importantes des parallaxes de 8' et de aa'; mais il ne s’est point occupé de la rectification des Tables des planètes.

Halley a reproché à Albategnius son trop de respect et de confiance pour Plolémée. Il y a quelque apparence que ce reproche doit s’étendre h toute l’école arabe. Ce respect superstitieux pour tout ce qui venait des anciens, a produit le malheureux système de la trépidation. On pourrait conclure de tout ce que nous avons rapporté, que les Arabes, observateurs assidus et scrupuleux, calculateurs habiles et inlclligens, ont été , en fait de théorie, trop timides et trop confians. Alpétrage ctGéber seuls ont montré plus d’indépendance; mais on ne voit de ces deux auteurs ni observations ni calculs. Ebn Jounis a rassemblé des éclipses de Lune, pour en déduire les erreurs des Tables de Ptole'mée. II a assigné trois causes à ces erreurs; mais il n'a dit nulle part comment il a combiné ces trois causes , pour en conclure les corrections qu’il a faites aux tables; on voit que ces corrections sont peu de chose. Admettons qu’il soit parvenu à diminuer les erreurs, ce qui n’est pas bien prouvé; il n’en résulterait pas encore bien clairement que ses tables nous donnent les mouvemens de la Lune, tels qu’ils étaient de son lems, ni même tels qu’ils ont dû être quelques siècles auparavant. 11 parait qu’il a regardé comme exactes les époques de Ptolémée ; il aurait fallu tout recommencer. L’a-t-il fait et comment l’a-t-il fait ? C’est ce que nous ignorons. 11 nous parle d’une correction de 7 à 8' à faire aux commencemens des éclipses qu’on aperçoit toujours trop tard. Celte quantité n’est-elle pas un peu arbitraire ? La fin observée à la vue simple n’aurait-elle pas aussi besoin d’une correction un peu plus petite et qui serait additive? A-t-il fait cette correction aux éclipses qu’il rapporte ? Les donne-t-il telles qu elles ont ete réellement observées ? Voilà malheureusement bien des causes d’incertitude.

ALPÉTRAGE.