jours, ou soixantaine a* 0.0. 4 ao-4* • '7- la-a

31G000 jours, ou soixantaine 3* o. 4,a0'41 • *7* ia*a7

1 ag6oooo jours, ou en une soixantaine 4* ■ • 4-a0-4l • *7* ,a-a7

En divisant 36o* par 49000 ans , je trouve

la fraction périodique est de 41 chiffres; en divisant ce nombre par 565, a5, j’ai trouvé, pour un jour, 4*” i”“45“58‘ de moins que le nombre ci-dessus , qui est tiré des Tables Alphousines , pour un jour. Suivons Purbach. Le troisième mouvement est propre à l’écliptique du premier mobile ; on l’appelle d 'accès et de recès de la huitième sphère ,

a 66 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

et il a lieu sur deux petits cercles dans la concavité de la neuvième sphère ; ces cercles sont égaux , et placés sur les commencemens d'Ariès et de Libra de cette sphère ; ils sont décrits de manière que les points o* et 180’ en parcourent régulièrement les circonférences, et que l écJiptique de la huitième sphère coupe toujours l’écliptique de la, neuvième, du, moins daus les tètes diamétralement opposées du Cancer et du Capricorne de la neuvième sphère; l’écliptique de la huitième coupe toujours celle de la neuvième en parties égales, et elle retranchera, des parties alternément égales des deux petits cercles. Voici la vitesse de. ce mouvemeut : chacun des points mobiles parcourt la circonférence en 7000 ans juste; et quoique par ce mouvement Ariès et Libra dé-», crivent des cercles, aucun autre point n’en décrit ; mais, les têtes du Cancer et du Capricorne de la huitième sphère ayant des ligures pour, ainsi dire conoïdalcs, il faut qu’elles décrivent des lignes courbes de part et d’autre des têtes de 0 et % de la neuvième , tantôt les précédant et tantôt les suivant; elles sont en conjonction quand nr et de la huitième sont dans leur plus grande latitude, par rapport à l’écliptique de la. neuvième ; les pôles de l’écliptique de la huitième, qu’on appelle improprement des pôles, s’approchent et s’éloignent alternativement des pôles, de l’écliptique de la neuvième; mais leur mouvement est toujours dans, un grand cercle, qui passe par les pôles da zodiaque de la neuvième et, les centres des petits cercles.

On peut remarquer d’abord que le point mobile, décrivant son cercle en 7000 ans, le parcourt sept fois exactement pendant la grande période qui est de 4gooo ans. Le mouvement angulaire du rayon vecteur de ce point sera de sept fois. . . . 4™20"41’ *7" a"

ou de. ... 3o. a4> 48.5g. 58 . 56 . 38. i4 la Table d’Alphonse donne. . 3o.a4.4g. o

et néglige. ... o. o. o. o. 1 . 3. ai. 46.

11 nous reste encore à connaître le rayon, vecteur de ce point, ou le rayon du petit cercle.

Furbach se contente partout d'énoncer des propositions; il n’y ajoute aucune démonstration, aucune figure; Capuan y supplée souvent. Ici ses figures sont sur un plan : il avoue qu'elles ne sauraient cire exactes; il a voulu représenter trop de choses. On serait plus intelligible en employant des triangles sphériques; mais il faudrait plusieurs figures. Le*

PIFRBÀCH ET CAPUAN. *67

petits cercles sont perpendiculaires au plan de F écliptique. Nous verrous un commentaire plus clair dans Nonius.

Purbach dit encore que dans ses positions successives , l’écliptique de la huitième sphère coupe en différentes parties successivement l'équateur du premier mobil?; que cette intersection est tantôt en avant et tantôt en arrière de celle de la neuvième, et que ce mouvement se fait alternativement selon et contre l’ordre des signes.

Les plus grandes déclinaisons du zodiaque sont variables , et, en effet, Ptolémée les trouve plus grandes qu’Alméon, ce qui 11e peut guère s’expliquer que par ce mouvement de trépidation. On voit que le professeur Purbach se réserve une ample matière pour ses leçons orales.

Capuan uous dit que cela ne peut être autrement , puisque le Soleil est toujours dans l’écliptique : il aurait du dire laquelle; c’est saus doute l’écliptique mobile.

Purbach ajoute , que les équinoxes et les solstices changent par la même raison; les orbes qui entraînent l’auge du Soleil, sc meuvent autour des pôles de la huitième sphère, et l’orbe qui porte le Soleil, tourne sur le même axe.

Soit DIT l’écliptique fixe (fig. 56), EQ l'équateur, A le point équinoxial, PAP' le colure des équinoxes, P, P' les pôles de l’écliptique fixe; mais si le point équinoxial au lieu de rester fixe en A, décrit un petit cercle, et qu’il soit arrivé cnn, de ce point, abaissez les perpendiculaires aK et <iK'; prenez Kd = Kc/* =ç)o*,<J et if seront les points solstitiaux , qui auparavant étaient D et D'; prenez K'p := KP = go“, et menez le demi - cercle pap' , p et p' seront les pôles de l’écliptique mobile ; dnd' sera l’écliptique mobile qui coupera l’équateur en L et non plus en A; L sera l’obliquité apparente, aL et AL les équations des points équinoxiaux; les pôles auront un mouvement d'oscillation le long du colure PP'; les points solstiliaux oscilleront sur DD'. Tous les triangles de cette figure seront faciles h calculer, si l’on connaît le mouvement A'à sur le petit cercle et le rayon A a de ce cercle; mais il parait qu’on ne se donnait pas souvent la peine de faire les calculs; on cherchait seulement en gros ce qui devait résulter de ces suppositions, du moins c’est ce que fait ici Purbach.

11 résulte de cette théorie, que le Soleil est toujours dans l’écliptique de la huitième sphère (rfiwf); mais cette écliptique est presque toujours

hors de l’écliptique du premier mobile (DAD'); les solstices varient (de D en d) par uue suite nécessaire. Ce n’est pas quand le Soleil est

a68 ASTRONOME DU MOYEN AGE.

dans Ariès de l'écliptique fixe qu'il est sans déclinaison; ce n'est pas dans le Cancer de l'écliptique fixe qu'il a la déclinaison la plus grande. (Il eût été plus juste de dire que le Soleil, se mouvant sur l'écliptique mobile, ne passe jamais ni par les points équinoxiaux, ni par les points solstitiaux de celte écliptique ; qu'il est sans déclinaison ak point L et au point diamétralement opposé; qu’il a la plus grande déclinaison au poiut vers d ou d).

Ces divers mouvemens se combinent de manière à accélérer ou retarder successivement le mouvement en longitude. La résultante est quelquefois positive quelquefois négative ; elle est nulle et la longitude stationnaire dans le passage. II a été fort difficile de déterminer ces mouvemens. Les uns disaient que pendant neuf cents ans, les auges et les étoiles allaient vers l’orient , et cela jusqu'à 7* , et qu’ensnile elles rétrogradaient de 7° en neuf cents ans, et toujours de même. Albategui prétendait qu’elles allaient continuellement vers l'orient d'un degré en soixante ans et quatre mois; il se moque même de l’hypothèse précédente, et il avait grandementraison. Alfragan pensait qu’elles allaient vers l’orient de i° en cent ans ; l'accès et le recès moyen de la huitième sphère est l’arc du petit cercle, compté du poiut le plus boréal (A') du petit cercle, et selon l'ordre des signes ; l’équation de la huitième sphère est l’arc de l'écliptique de la neuvième, compris entre le centre du petit cercle et le grand cercle. ou cercle de latitude, mené des pôles de l'écliptique de la neuvième sphère et le poinl mobile (ce serait donc l’auge AP a, en

sorte que sinPK' : sin AK' :: tang PAa : tang APa= — ^ ■*— =

tangPAo tang AK' = tang PAa . tang Aa cos PAa = tang Aa sin PAa; cependant la Table Alphonsine fait sin APa= sin PAa sin A a , ce qui est la valeur de sin nK' ou de l’auge Apa ; la différence est légère) ; celle équation est additive dans la première moitié de l’argument; elle s’applique au lieu moyen de A. Celte hypothèse est donc celle d’Alphonse, elle n’est pas tout-à-fait celle de Thébith.

Thébith ne donnait à la huitième sphère que deux mouvemens, l’un qui lui était communiqué par le premier mobile ou la neuvième sphère : c'est le mouvement diurne. Un second qui lui est propre, et qui est celui de trépidation dans les deux petits cercles; il admet aussi deux écliptiques , l'une fixe, dans la neuvième sphère, l'autre mobile, dans la huitième; les petits cercles sont éloignés de 4" '8' /$' de leurs pôles, c’est-à-dire des points r et * de l'écliptique fixe. Le mouvement sur les petits

PURBÀCH ET CAPUÀN. 369

cercles se fait de la manière suivante : quand le point mobile est dans l'intersection occidentale du petit cercle et de l’équateur, il s’élèvera au nord , et le point opposé & s’abaissera au sud ; quand il sera dans la section orientale avec l’équateur il s’abaissera au sud , et le point opposé sera remonté vers le nord; quand le point mobile traversera l’écliptique, les deux écliptiques seront dans le même plan. Dans tous les autres points du petit cercle, l’écliptique mobile coupera l'écliptique fixe aux points mobiles du @ et du % , car ces points n'abandonnent jamais l’écliptique fixe; mais ils avancent et rétrogradent alternativement de quantités qui vont à peu près à 4° 18' 45" > d» sont toujours à 90* des points mobiles T et jJ,; mais si les points mobiles et fixes du 69 et £ coïncident deux fois à chaque révolution , il n'en est pas de même des points mobiles et fixes de V et qui sont toujours à même distance , puisque les uns sont sur la circonférence et les autres au centre de leur petit cercle; seulement il arrivera qu’ils seront deux fois en conjonction , l'une dans le point supérieur et l’autre dans le point inférieur.

L’écliptique fixe coupe toujours aux mêmes points et sous le même angle, l’équateur fixe; cet angle est de 35°53'3o''; mais l'écliptique mobile coupe l’équateur fixe dans des points toujours diflérens, sur un arc de ai°3o' ou de 10“ 45' de part et d’autre des points équinoxiaux fixes.

L'obliquité est aussi variable, quelquefois plus grande et quelquefois moindre que l’obliquité fixe; la plus grande a lieu dans les contacts supérieurs et inférieurs de l’écliptique mobile avec le petit cercle; la plus petite a lieu quand le point mobile traverse l’équateur, car alors l’intersection des deux écliptiques sera dans le point le plus déclinant de l’écliptique mobile, et ce point décline moins que les points fixes ® et %.

Cette raison prouve bien que l’obliquité doit être beaucoup moindre que dans beaucoup d’autres points, mais non qu’elle soit un minimum absolu; et en effet, la table que nous donnerons bientôt, place le minimum un peu au-dessous de l’équateur; mais la différence d’obliquité n’est que de 4 à 5*.

L'équation de la huitième sphère est l’arc de l’écliptique mobile entre Je point mobile et l’intersection de l’écliptique mobile avec l’équateur fixe; le mouvement d’accès et de recès est l’arc du petit cercle entre le point mobile , et la section du petit cercle dans la partie septentrionale , c’est l’arc A ’a du petit cercle entre le point mobile et le colure fixe.

Par ce mouvement, il arrive que les étoiles paraissent aller tantôt vers l’orient et tantôt vers l’occident, tantôt vite et tantôt lentement; lentement

sm» ASTRONOMIE DU MOYEN ACE.

vers tes points de contact, parce qu alors l'équation croit lentement; par la raison contraire, le mouvement est le plus rapide vers les intersections avec l'équateur.

Ai nsi Thébith réduisait la procession à une simple oscillation.

Ptolémée trouva que le mouvement des fixes était de 1“ en cent ans, parce que le point mobile était éloigné du point vernal d’égalité et s’en rapprochait; il jugea donc que le rnonvement était suivant l'ordre des signes; parce que l'équation était décroissante, il prit la diminution d'une équation soustractive pour un mouvement positif; ceux qui vinrent après lui, trouvèrent un degré en soixante-cinq ans, parce que le point mobile s’était rapproché davantage de l'équateur. En ia6o le point mobile était devenu boréal de près de 66“ du petit cercle ; car il était à 9“ 4®’ de l’écliptique. La plus grande équation a lieu dans le diamètre perpendiculaire à l’équateur, et elle est de 10“ 45'; ainsi, tout point situé depuis ig*i5' des Poissons, jusqu a 10*45' T, peut être à son tour le point vernal.

Toutes les sphères inférieures suiveut ce mouvement , de sorte que, relativement à cette écliptique mobile, les auges de leurs déférons et leurs déclinaisons sont toujours invariables.

Ici finit le livre de Purbach, et ce dernier chapitre est le seul de l'ouvrage qui ait un intérêt au moins de curiosité.

A la suite du commentaire de Capuan, on en trouve un autre de F. Sri— vestre de Prterio , de l’ordre des Prêcheurs; ce nouveau commentaire est moins long , moins détaillé. Celui de Capuan ne nous apprend rien qu’on ne voie presque aussi bien dans le texte. 11 est remarquable que ai Purbach, ni ses commentateurs, n’aient parlé des moyens de calculer les équations qni résultaient de ces hypothèses. Dans les Tables Alphonsines on ne trouve même que l’équation qu’on appelle d'accès et de necès, et qu'on calcule suivant cette formule ;

sin équation = 6in 9* sin mouvement d’accès.

Laissant là la huitième et la neuvième sphère, qui ne servent qu’à embrouiller les idées sans faciliter en rien les calculs, voyous ce qui résulte des différentes théories.

Ptolémée établit un mouvement continu de 56* par an, qui est beaucoup trop faible , et moindre de beaucoup que celui qui résulte des observations d'Hipparque, d'Aristylle et Timocharis.

Albategni trouve que ce mouvement est de 54*; il le fait un peu trop fort, parce que Ptolémée avait donné des longitudes trop faibles à ses étoiles.

Digiti^gjj oy Goo^i

PUBBÀCH ET CAPÜÀN. 27»

11 parait que d'autres astronomes , entre Ptolémée et Albategni , comparant les observations plus ou moins grossières des Grecs et des Arabes, avaient cru voir aux étoiles un mouvement tantôt direct et tantôt rélrograde, 'qu’ils imaginèrent pour concilier des observations inexactes. Albategni se moque de leur hypothèse, qui se bornait à supposer aux étoiles un mouvement direct de 8° en 673 ans , puis un mouvement rétrogradé semblable pendant 67a autres aunées, ce qui faisait un degré en 84 ans, et toujours de mémo alternativement.

Si: celte hypothèse était peu fondée, elle était du moins bien simple; elle consistait eu une proslapbérèse proportionnelle au tems.

Je ne trouve jusqu’ici aucun vestige de ces observation» d'Hermès, faites 1985 ans avant Ptolémée, et dont Bailly , dans ses idées romanesques, fait usage pour motiver la trépidation de Thébilh ou celle d'Alphonse.

Le système d’Alphonse est le plus simple des deux; il établit une précessiou annuelle de 26”, 44897 .g5g 18. 56754.69387 .75 1 avec une pros-

taphérèse dont la constante est sing*, et l’argument

ï-85", 14285. 71438. 5716a. 85714. 257 t, t étant le nombre d’années écoulées depuis l’époque. Ainsi la première année, celte où l’accroissement' est le plus fort, le mouvement devait être le plus fort; le mouvement' était a6”,45 38", 96 = 55” ,41 ; c'est le mouvement le pins fort qu’admette celte -hypothèse.

Mais si l’équation devenait soustractive, le mouvement devenait rétrograde et de — a8”,96-f- 26”, 45 = — a”,5i. Ce mouvement rétrograde est le plus fort qu'il puisse y avoir en un an.

Le mouvement annuel pouvait donc varier de -f- 55,4 1 à — a,5i environ 57”, 92. La partie variable était 28”, 96 cos A , le mouvement total *5,45 + 28”, 96 cos A. Au moyen de celte équation, quand on connaissait le mouvement annuel m = 28,96 cos À 4- a6,45 , on en déduisait

cos A

m — ab'. 45 38.96

; ainsi Ptolémée ayant trouvé

m = 36% cos A = SSa-g-aq6^4-- = = cos 70* 42' 20” ou 289* 1 7' 40”,

dans cette hypothèse, l’argument était donc de 70*42' ou 289*18'; car le même cosinus répond à deux arcs, l’un A et l’autre (36o* — A); ainsi J quand on connaît la période et les cocfBciens , rien de plus facile que de déterminer A par le mouvement observé à une époque quelconque!

a7a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE. '

Supposons qu’on ait obs. le plus gr. mouv. x-4-ysin A = x-f-y=m et le mouvement le plus petit x — ysin A=x —

on en conclut,.... y — m — n> J — £ •

mais, entre x + ysin \=x-^-y et x — y, il a dû s’écouler 24 ^oo ans; on n’a donc pu déterminer x, y et la période que par tâtonnement; et Capuan nous dit que Tliebith , en imaginant son hypothèse, avait eu pour but principalement d’expliquer les variations de latitude.

Le livre de Purbach a été de nouveau commenté par un astronome connu. Voici le litre de l'édition qu’il en a donnée.

Theoricee novœ Planetarwn Georgii Purbachn Germant , ah Erasmo Rcinholdo Salveldensi pluribus Jiguris auctœ et ilbistratœ schohis , t/uibus studiosi pirvparenlur ac invitentur ad lectionem ipsius Plole.mœi ; recens éditai et nuclai novis schohis in theorid Sohs. Ab ipso inserta item melhodica tractai 10 de iUuminalione Lance. Parisiis , i558. Nous avons préféré cette édition comme plus complète; la première était de i54a. Celle de Paris est en jolis caractères, beau papier, les ligures sur-tout sont curieuses et font le principal mérite de l’ouvrage; il est fâcheux que, dans sa dédicace, l'auteur se montre si infatué de l’Astrologie judiciaire, et qu'il se donne la peine de rassembler tout ce qu’il peut d’évènemens qui tendent à faire croire que les éclipses de Soleil sont toujours l’annonce des plus grandes calamités.

Ses figures peignent fidèlement ces murs composés de surfaces circulaires excentriques entre lesquels il n’y a de vide que l'espace nécessaire à l’astre qui doit s’y mouvoir. Ces murs peuvent aider l'intelligence, mais il faut les supposer transparens; et s'ils contiennent l’astre pour lequel ils sont imaginés, ils s’opposeraient au mouvement des comètes; on a donc été obligé d’y renoncer, et dans notre Physique moderne, ils sont parfaitement inutiles; ils seraient bien plutôt nuisibles , puisqu'ils s’opposeraient aux petites irrégularités que l’attraction produit dans les mouvemeus planétaires , et que les observations décèleut. Ces murs transparens devaient être dépourvus de toute densité, sans quoi la lumière u’aurait pu les traverser sans des réfractions qui auraient singulièrement compliqué les phénomènes.

Reinhold démontre avec clarté et beaucoup de détail la théorie des excentriques et des épicycles ; mais ses démonstrations paraîtraient bien

PURBACH ET REUVHOLD. a?3

prolixes aujourd'hui, que nous avons renfermé celle théorie dans quelques formules générales. 11 avait refait cette partie pour une seconde éditiou; mais la mort vint l'interrompre, et Gaspard Peucerus lui succéda pour la terminer. »

Dans le chapitre de la Lune, on remarque sur-tout la figure où il a tracé l’orbite ovale ou lenticulaire qui résulte de la théorie de Ptolémée, et celle où il explique la théorie des parties proportionnelles de la Lune. 11 en donne ensuite une semblable pour Mercure, dont il représente aussi l'orbite qui a beaucoup d'analogie avec celle de la Lune; mais ce qu’il y a de plus remarquable, c’est la note sur la trépidation des étoiles.

Voici ce qu’il dit de celte période de 4qooo ans, fruit de l’imagination de quelques juifs superstitieux.

J’ai été fort long-tems à comprendre pourquoi les Alphonsins avaient choisi des périodes aussi longues que 7000 et 4‘jooo ans; pourquoi ce* périodes des mouvement de la huitième et de la neuvième sphère , e'taient dans un rapport si simple et si remarquable. Je voyais encore r que le mouvement annuel de la neuvième, était précisément le même que le mouvement moyen du Soleil dans l’espace de tems qu’ils ont retranché des six heures qui ont produit l’intercalation julienne. En effet , ils supposent l’anuée de 565 i — io'44’> ce *lu* est un Pcu plus que j d’heure. Pendant ce tems, suivant les tables, le mouvement du Soleil est de 36" a6'"54‘’, etc.; c’est le mouvement annuel de leur neuvième sphère.

Je n’étais pas moins étonné qu’ils n’eussent exposé, dans aucun écrit, les fondemens de leurs hypothèses. Tout cela semble fort suspect. Je trouvai enfin, dans l’ouvrage d’Augustin Riccius, que cette idée n’est qu’un délire né d’une interprétation superstitieuse de la loi mosaïque. Moyse a voula que la septième année fût une année de repos, et que la cinquantième fut jubilée. Les juifs ont appliqué ce précepte aux mouvemens célestes. Alors j’ai compris pourquoi ils avaient donné leurs tables sans aucune explication. Je soupçonne encore que ces aotcurs n’ont appuyé sur aucune observation, la longueur qu’ils donnent à l’année; mais que, guidés par leurs idées superstitieuses, ils ont choisi le nombre qui cadrait le mieux avec leur système.

11 reproche encore aux Alphonsins de n’assigner aucun point certain aux centres de leurs petits cercles, de manière que l’obliquité étant de a3“, par exemple , l’obliquité apparente pourrait être de 33“ ou de 14*

seulement Us sont donc ineptes et ridicules, quand ils disent que cette

recherche serait fort oiseuse.

Benevenlanus pensait que la tête d'Ariès delà neuvième sphère, en i5ig, e'tait en 38° 8' des Poissons’; mais Pighius soutient l’opinion commune, qui est qu’en l’an de l’incarnation, les centres des cercles étaient près des sections vernales , comme suivant les tables , la tète d Ariès était 16 ans plus tard au point le plus boréal du petit cercle.

On peut consulter, si l’on veut, les différentes figures par lesquelles il explique la variation ; mais le commentaire de Nonius est plus géométrique , et il donne la facilité de réduire en équations toute cette théorie qui n’en vaut guère la peine.

Au total, le commentaire de Reinhold pourrait n’ètre pas inutile pour l'intelligence de plusieurs passages de la Syntaxe, et il supplée en partie aux réticences de Purbach.

Pour terminer tout ce qui concerne la trépidation, voyons, sans consulter l’ordre des teins, le commentaire de Nonius.

Cet opuscule porte pour litre :

Jn theorica * G. Purbachii annotationes aliquot , per Petrum Nunium salaciensem, Son objet est d éclaircir ce qui lui paraîtra douteux ou obacur dans Purbach, et de montrer en quoi les Tables de Ptolemée et d'Alphonse s'écartent des observations.

11 prend, dans la Table de Pitalus, l’intervalle de tems entre le solstice et les deux équinoxes; il en conclut l’excentricité à la manière d’Hipparque , en n’employant que les sinus. Il trouve l’excentricité 0.03781 etf)i°28' pour l’apogée; en recommençant ses calculs , je trouve 0.037807 et 91* 3o'. Ce n’est pas tout-à-fail l’apogce de Pitalus; il y a donc quelque incohérence dans les calculs des Alphonsins.

L’auge en i55a était en 91*38' suivant les Alphonsins,

1420 ans auparavant en 65. 5o suivant Ptolemée,

Mouvemens en 1420 ans 25.58.

Nonius dit environ 26*, et ce mouvement n’a pu être celui de la huitième sphère, ni selon Ptolémée, ni selon les Alphonsins, ni selon Albategni.

Si vous préférer les observations d’Albategnius auxquelles Alphonse a dû avoir égard pour établir son mouvement de la huitième sphère, vous aurez , d’après A Iphonse , 88.40

suivant Albategni 82.17

mouvement en 377 ans 6.a3,

et vous trouverez à la huitième sphère un mouvement plus lent, soit que vous suiviez le calcul d'Alphonse, ou les observations d’Alhategni.

Si vous comparez les étoiles d'Alphonse à celles d'Albategiii , vous ue trouverez que 5” 58' etnon6“a5'. Ainsi les Alphonsins ne pourront expliquer pourquoi ils donuenl à l'auge du Soleil le même mouvement qu'à la huitième sphère.

H n’est pas moins étonnant qu’Alphonse ait placé l'auge du Soleil eu 72° au teros de J.-C., tandis que Plolémée, i5a ans plus tard, ne l’a mise qu’en 65* 5o'.

Vous trouverez aussi peu d'accord entre Arzachel et Albategni; car celui-ci plaçait l'auge en 8a*, et Arzachel , venu après, la plaçait eu 77*.

Ce peu d’accord, dit Nonius , peut venir de la difliculté de déterminer le moment du solstice; il est plus sûr de déterminer l’auge par l’équinoxe.

On voit, par ces détails, et c’est ce qui- nous les a fait trauscrire, quelle incertitude régnait alors dans un des points fondamentaux de la science, et le peu de fonds qu’on peut faire sur les théories de ce tems.

Nonius nous dit ensuite que si le mouvement vrai a paru égal au mouvement moyen entre deux observations, on en peut conclure que le mouvement moyen aura eu lieu dans le milieu de l’intervalle. En effet, dans les théories d'alors

v=m-f-esin A J i>'=m'-f-esin A'j

v’ — v = ml — m -f- 3 e sin £ ( A' — A) cos j ( A' -f- A).

Mais si v — vz=.iri — m, on en conclut 2sin-j(A' — A)cosî(À'-f-A)=o, ou sin;(A' — A) ne peut être o; donc cos ; (A' 4- A) = o ; donc i (A' -f- A) = 90% ce qui est le lieu du moyen mouvement.

11 resuite de là que si vous prenez deux longitudes quelconques également éloignées de 90*, que l'une soit (90 — x), et l’autre (go° + x), vous aurez, en désignant l’apogée par la lettre A,

go — rcrrm -4-fsin(go— x— A) 1 3O+jr=m'-t-»ir(30+x— A) J

sx=m' — m-f-se»inJ(qo4-j: — 9o<,-f-x)cojj( 1 80 — aA) =m' — m — aasin J(aa:)co» j( 1 8c — a A )=m' — m.

Nonius démontre ces remarques curieuses d’une manière synthétique un peu longue.

A l’article de la Lune, il appelle équation du centre l’arc de l’épicycle entre l’auge vraie et l’auge moyenne. 11 détermine le point où cette équation est la plus grande ; nous avons , dans nos remarques snr Plolémée , donné 1a formule de cette équation.

Nonîus ne donne qu’une solution graphique dont la démonstration est fort longue ; le tout revient au procédé et aux formules suivantes :

Soit F le centre du zodiaque (lig. 57) et le lieu de la Terre; E le , centre de l'excentrique CRV, AEC la ligne de l’apogée, R le centre de l’épicycle , G le centre de direction ; GR sera la ligne de l'apogée moyeu de l’épicycle , FR la ligne de l’apogée apparent, FRG l’angle de correction d'anomalie. Parles points FGR, décrivez un cercle dont le centre sera nécessairement sur la ligne TR perpendiculaire sur le milieu de FG ; si K est le centre du cercle , vous aurez RG=RF=RR ; puisque ce sont trois rayons du même cercle. FRG=ïarcFG=ïFRG=FKT; je dis que dans ce cas, FRG sera un maximum , ou le plus grand possible.

FE=FG=e=sint, ER=i , FT=|e, soit RF=r et TR==/,

KF=RT+FT,' ✓ssy.+ie., a e>=(r+i*)(r-ie) ,

KE= ET +KT= (1 ey+jr‘=y‘+ f e*=r*— ± e'-f- ~ e*=r*-f.*e*=/-*- f-ae’j mais

EK=ER — RR=ER — r=(i — r) ; donc RE=i-— 2r-f-r*=r!-f-ae*;

donc

• a;- = ae*, ar= 1 — 2e*,

r=r~e*=sin*45 — sin*£=sin(45 — «)sin(45-f-i)=sin45— i)cos(45— «) =ïsin(90“ — 3 )=-jcos2e=sin27*ti'io''=o. 45688a ,

sin FRT= sin R = = ^ = sin 1 5* 8' 6",

Hr jctuai cos ai '

c’est le maximum ; AFR = io3° 8' 6".

ER= 1 — r=singo* — sinr=2sin 5(90 — rjcosjfgo-f-r)

= asin(45— ir)sin(45— ;r)=asin*(45— jr)=3sin’(45*— 13*55'35'; = 2sin*3t*34'35''=o.543ia.

EK:cosR::ae:sinERG==^- =

2e coj R a sin i co« 1 3° 8' 6*

EK — asin*3ï*â4ra5' — s,n 48° j'W KRG+KGR=3KGR, RGR = 34* 3' 48*

FRG == i3. 8. 6

RFR = ERF = 10. 55. 4a RFC = 76.51.54

RFG= 65.56. ia AFR=u4. 3-4*

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PURBACH ET NONIUS. a77

AFR = 114* 3' 48' est le lieu du maximum, qui répond ainsi à

a(C — 0)=n4*3'48", ou à (C — 0) = 57*i'54'',

ce qui s’accorde parfaitement avec la table que j'ai calculée dans mon extrait de Ptolémée, tom. 11, pag. 204.

La solution de Nonius est donc démontrée par le fait.

Supposez une valeur plus grande kj, EK. augmentera ainsi que KG; EK -f- KG sera > ER ; le cercle coupera donc l’excentrique en deux points. Le rayon KG étant augmenté et la corde FG demeurant la même, l’arc FG sera diminué; l’angle à la circonférence FRG qui s’appuie sur cette corde, et qui a pour mesure la moitié de l’arc FG, sera donc diminué pour l'uu comme pour l'autre des deux points d’intersection R. Les deux angles en R seront égaux, puisqu’ils sont tous deux à la circonférence , et s'appuient sur la même corde; mais ces angles seront plus petits que l’angle qui a lieu , lorsque les points d’intersection se réunisseut en un seul. Ce point unique est donc celui du maxunum pour l’angle FRG.

Plus on augmentera^, plus l’angle FRG diminuera. D'une autre part, on ne peut diminuer j-, car alors le cercle mené par les deux points F et G n’atteindrait plus l’excentrique.

La solution de Nonius occupe onze pages in-folio. Nos quatre formules sont renfermées implicitement dans sa construction , et rendent tout le reste inutile. Le problème n’a plus d’objet aujourd’hui; nous n’avons plus aucun intérêt à déterminer le point de la circonférence qui voit sous Ig plus grand angle une portion donnée d’un diamèlrq. Mais, comme question de maxiimim, il est d’autant plus curieux que le Calcul différentiel ne peut s’y appliquer d’une manière commode, tu la quantité de variables qui entrent dans l’expression de tang FRG.

Nonius avait commencé par réfuter une idée de Jean Baptiste , ancien commentateur de Ptolémée; cet auteur nous est inconnu. Ptolémée s’était contenté de dire que le maximum était un peu au-dessus de la perpendiculaire, et sa table rendait à cet égard toute explication inutile.

Nonius passe ensuite aux planètes supérieures; il fait quelques remarques sur les axes des excentriques et de l’écliptique qui s’entrecoupent pour Mars seulement et nullement pour les autres planètes. Cette remarque ne peut concerner que les commentateurs , car Ptolémée ne statue rien sur les distances.

PI us loin, jl démontre une erreur de Purbach sur le point pour lequel «ont calculées les équations du centre , et auquel répond le zéro des parties proportionnelles. 11 fait voir que daus l'hypothèse de Vénus, le

a78 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

centre de l’épicycle n’est pas toujours exactement dans la même ligne

que le lieu moyen du Soleil; mais la différence est légère et on la néglige.

A propos des déclinaisons et des latitudes des étoiles, il renvoie au chapitre IV de son livre des observations et des instrumens, où il parle aussi de la trépidation.

Après ce que uous avons dit sur cet article, il ne nous reste qu’à donner les formules qui résultent de sa construction , à laquelle nous n’avons fait que de légers cbangemens.

Soit ( fig. 56 ) S T % l’écliptique fixe, EtQ l’équateur, A le point équinoxial moyen, a le point équinoxial mobile qui parcourt son petit cercle d’un mouvement continu , de A' en a , a' ; de sorte que jamais il ne se trouve dans l’équateur, si ce n’est dans les points opposés x et j , dad l’écliptique mobile.

Supposons que ce pointait parcouru l’arc A 'a — ni-, le colure aura pris la position pap , l’écliptique coupera l’équateur au point L, et l’angle

en L sera l’obliquité apparente.

Le triangle rectangle aTR donne

sin uK s= sin d = sin A a sin ab — sin r cos ut..... (t) j

tang AR = taug A a cos ab = tang r sin m (3) ,

col AaK = cos Aatangaê=cosrcol»t ou tang AaL = cos/'COlnt. . (3). Le triangle TL d donne

cos y"Ld! = co$ T d' sin d1 sin drh — cos d cos <iTL , *

ou

cosL=cosri,cos(/'TL-sin<fsinrf'TLcosT <f;=cosrfcosai-sintfsiu®sinAK(4),

. » • ». • j. - sniidco* AK . . r

sin L: sin T a :: sin a: sin TL= r— . — si n AL f5),

sin L '

sin L \ cos AK ; ; sin d. AL l sirnf'L = cos aL = ££»AK «\nm (6),

sut L v n

mais ah étant un petit arc, le cosinus ne donnera pas assez de précision.’ Le triangle LA a donne

.... , • » r âinfjinfqo” — » + siarcosf» — m) , »

sinL:sinAa::smLAa.sinaL= ; — — —S 1 (i)\

sut L suiL Ji

nous aurions de même

sinL:$inr::sina;sin AL=î^~~t (8),’

cot AL = cot r cos (go — a. + m) + •f’bto-.+m)

a cot r sin (« - m) 4- ~-AoL^(‘--^

\ / » tmr

ainsi le problème est complètement résolu de la manière la plus générale.

Nous connaîtrons «K = <f platitude du point mobile sur l'écliptique fixe ( formule 1 ).

AK = D d, correction des points solstiliaux et équinoxiaux sur lecliptique fixe ( formule a).

AaL — angle de An avec l'écliptique mobile ( formule 3 ).

L = obliquité apparente de l’écliptique ( formule 4).

AL = arc de l'équateur entre lcquinoxe moyen et l'équinoxe apparent ( 8 cl 9).

a L = dist. du point mobile à l’équinoxe apparent sur l’écliptique mobile ( form. 6 et 7 ).

La table suivante suppose le xéro à la partie supérieure du petit cercle , à la conjonction de la télé d’Ariès de l’écliptique mobile avec celle de l’écliptique. Le point a est pour lors à son plus grand éloignement en latitude au-dessus de l’écliptique fixe. Cette déclinaison va ensuite en diminuant, devient australe à 90* jusqu'à 370°, puis redevient boréale croissante.

AK qui vient ensuite, est l’éloignement ou l'arc de l’écliptique entre le point A et le point mobile. Celte équation des points équinoxiaux et solstiliaux sur l’écliptique fi$e, est additive dans la première moitié, soustractive dans la seconde.

L'angle du rayon A a avec l’écliptique, est compté suivant l’ordre des signes; il commence par être droit, et va devenir obtus; quand m — 90% cet angle = i8o\ 11 diminue ensuite, et il est toujours ouvert du côté de l’écliptique fixe, d’abord en dessous, puis en dessus, A 180’ de m , il redevient droit ou de 90% aigu et enfin o à 370’, puis aigu; mais toujours ouvert vers les points suivans rr^tnade l'écliptique fixe.

Ces trois colonnes au reste n’ont d'autre utilité que de servir au calcul des colonnes suivantes. La dernière donne l’obliquité apparente L qui commence par différer peu du maximum. Elle augmente jusque vers a5* diminue jusqu’à 1 i3°4°> augmente jusqu’à ao5.4o, diminue jusqu’à ai3"4o’, d’où elle va augmentant jusqu'à la fin.

Nous avons supposé 33* 4<>' pour l’obliquité moyenne. Peu importe ; il s’agit seulement de voir la marche de ces quantités.

oLou la distance du point mobile à l’équinoxe apparent sur l’écliptique mobile, va d’abord en augmentant jusqu'à aâ* 40', diminue jusqu’à 1 1 3V(o’,

?8o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

où celle équation = o. Elle change désigné et va croissant jusqu'à aoSVjo',

diminuant jusqu’à 3q3’4o', où elle est o; puis change de signe.

AL, ou la distance des deux équinoxes sur 1 équateur, suit une marche différente, va décroissant jusqu'à 90*, où cette équation =0; va en augmentant jusqu'à 180", où elle est de nouveau au maximum ; va diminuant jusqu'à 370*, où elle est zéro; change de signe, et va croissant jusqu’à 3Go”.

Les auteurs ont un peu varié sur les maxima , mais c’est encore une chose assez peu importante.

Bailly, d’après Capuan , commentateur de Purbach , a donné une figure et une explication à peu près inintelligible de celle hypothèse.

Nonius fait AL= io*45'; il suppose aa' perpendiculaire à xy, lorsque m = o ou 180°; il dit que a L sera la plus grande équation de la huitième sphère, et cette équation a lieu a3°4o' plus loin; la différence au reste n'est pas considérable, et Nonius savait bien qu'il coinmettait quelques petites inexactitudes. 11 a cru pouvoir se les permettre, et ses démonstrations, quoique assez longues, ne sont pas bien rigoureuses. Malgré ces inexactitudes peu importantes , il est encore de tous les commentateurs de Purbach, celui qui était le plus géomètre et le plus soigneux; il est aussi le plus instructif. «

Aux points x et y qui sont opposés diamétralement et sur l'équateur même , il ne s’en faut que de quelques secondes que l'obliquité ne soit un minimum.

Régiomontan , dans son opuscule fundamenta operationum avait déjà remarqué la petite erreur que nous avons relevée ci-dessus, pag. 398, dans les Tables Alphonsines ; il avait indiqué des moyens exacts pour calculer dans l’hypothèse de Thébit, l’équation du point équinoxial sur l'écliptique et l’obliquité vraie L. Il y avait employé la Trigonométrie sphérique, mais sa solution était un peu moins complète que celle de Nonius , qui est elle-même fort améliorée dans la Table suivante.

Le mouvement de A' en a (fig. 56) est direct pour le point équinoxial; mais en faisant avancer l'équinoxe , il diminue les longitudes et fait l’effet d’un mouvement rétrograde ; dans la partie inférieure , le mouvement est vraiment rétrograde. Mais l’équinoxe en rétrogradant augmente toutes les longitudes. Alpétrage avait déjà fait cette remarque, mais il ne l’avait pas suffisamment expliquée.