u.56 3. 3.io

3ao

a.io.56 1 .aq.35 o.45.3o 0. 0. 0

a8a ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.'

Retournons à Purbach. A la suite des cinq livres des triangles par Régiomontan, on trouve un petit écrit où Purbach commente les propositions de Ptolémée sur les cordes. 11 définit les sinus, les sinus verses, la corde, l’arc et le kardaga, arc de i5* ou dune heure équinoxiale. Il

suppose le rapport du diamètre à la circonférence ~ ^ ^ . , c'est

celui que suppose aussi Ptolémée.

Les Indiens disent que si l’on savait tirer la racine des carrés imparfaits, on aurait facilement ce rapport.

Selon eux, si le diamètre est 1 , la circonférence sera la racine de io ou 3.i6aao5; ce rapport est trop fort. Si le diamètre est a, la circonférence sera la racine de 4° ou 5.i6ao, encore trop fort. Les indiens n’étaient donc pas fort avancés.

Purbach prouve d'abord que le sinus de 5o* ou de deux kardagues, est 3 ; il calcule le sinus de Go’, le sinus de 45*, le sinus verse de 3o* et le sinus de 1 5’ = j (sin 5o* -+- sin verse de 3o) ;

sin 3o° — sin i5*=sin kardague a* = 2 sin 3c' cos aa’3o' = a lin y°3o‘ sin 67*30' tin 45 — tin 3o = sin kardague 3* = a sin 7 . 3o cos Zy. 3o = a sin 7.30 sin 5a. 3o

sin 60 — sin 45 = tin kardague 4* — 2 sin 7 3o cos 5a.3o = a sin 7.30 sin 37. 3o

•in 75 — sin 60 = sin kardague 5* = a siu 7.30 cos 67.30 = a sin 7.30 sin aa.3o

sin 30 — sin y5 sz sin kardague 6* = a sin 7.30 cos 8a. 3o = 2 310*7. 3c.

De ces diverses quantités, il déduit les sinus de tout le quart de cercle de 3*45' en 3° 45', ce qui ressemble fort aux sinus des ludiens (voyez les Mémoires de Calcutta ).

Purbach ne dit pas à quoi servent ces sinus des kardagues «”,3*, 3*, etc., qui ne sont dans le fait que des différences de sinus. Il nops avertit seulement que tout cela est tiré d’Arzacbel.

Purbach avait construit des tables de sinus pour tout le quart de cercle, mais de io en io' seulement. Régiomontan, son disciple, les étendit à toutes les miuutcs. Leur rayon était de Goooooo.

Les théorèmes dont ce dernier fait usage pour celle construction sont cos* A=i - sin* A , a sin* }A = sin v. A = i — cos A ,

(sin A — siu B)* (cos B — cos A)* = 4 sin* (A — B) ,

théorème curieux qui se démontre par le développement

[a sin i (A — B) cos i ( A + B)j* + [a sin* i ( A — B) sin j (A -f- B)]* =4sin*ï(A — B) [eos*ï(A-f-B)-+-sin,i(A-+-B)]=4sin*i(A — B).

11 le démontre par une figure très simple et facile à imaginer.

PURBACH ET SANTBECH. a83

Ainsi , avec sin 36“ et sin 54“ et sin 3o% qui sont connus, il a les sinus a4“, 12% 6°, 5% i% 3o'; leurs cosinus, les sinns de leurs moitiés, des complémens de ces moitiés et ainsi de suite; il a ainsi tous les sinus de 45 en 45'. Arzachel s'était arrêté, comme les Indiens, au sinus de 3*45', et s’était contenté d’ajouter qu’on arriverait aiusi jusqu’aux plus petites portions de la circonférence.

Il prouve ensuite ce théorème de Théon , que si les arcs croissent également , les sinus croîtront inégalement et en moindre raison ; d’ou il conclut que si l’on prend pour le sinus de 1° 3o', le double du sinus de 45', on aura un sinus trop grand ; mais que si ou fait le sin de 1" 3o' ;sin3% On aura un sinus trop petit. Mais si ces sinus ne diffèrent que de deux parties, en prenant le milieu arithmétique, on aura un sinus suffisamment exact.

On pourra interpoler ensuite les sinus de i5 en i5', en preoant le tiers de la différence pour 45', et en les faisant un peu décroître. Vous partagerez en trois parties les différences pour i5', et vous aurez tous les sinus de 5 en 5'; enfin en partageant ces différences en cinq parties, vous aurez les sinus de minute en minute.

Dans un écrit de Sanlbech qui vieut ensuite, on voit expliquée par «ne figure la manière publiée par Erasme Reinhold , pour observer les éclipses de Soleil. Il elle les commentaires de cet astronome sur les théoriques de Purbach. Cette méthode consiste à recevoir l’image du Soleil sur un carton, dans une chambre obscure. On dessine sur ce carton le disque du Soleil avant le commencement de l’éclipse. Au milieu de Véclipse, on mesure la largeur de la partie qui reste éclairée; il faut observer que le carton soit toujours à même distance du trou rond. C’est ainsi que Gemma Frisiua observa l’éclipse du Soleil de janvier 1 544 » à Louvain, le 9 des calendes, 8* 53' du matin plus ou moins. A la page 126, dans l'explication des ombres droite et verse, Sanlbech divise un sinus par un cosinus, sans dire que ce rapport soit une tangente. II n’est pas plus avancé à cet égard que les Grecs, et moins que les Arabes et que Purbach lui-même, dont il va rapporter les idées (fig. 58).

A la page i53, il explique le gnomon de Purbach; c’est un triangle isoscèle rectangle, l'angle A est de 90“; les deux autres de 45“; le côté CA est partagé en 1200 parties, parce que les anciens divisaient leurs gnomons en douze doigts. Soient DA = 600, IA = 400> demande les angles DBA, FBA. Purbach a donné une table de ces angles pour toutes les longueurs de FA; c'est une table inverse des tangentes; les

tangentes •croissent également, et l’on trouve , dans la seconde colonne, l’angle auquel elles appartiennent. Ainsi , toutes les fois que vons voudrez connaître l’angle d’un triangle rectangle par ses deux côtés, sans connaître l'hypoténuse, vous direz le grand côté : petit côté :: 1200 : quatrième terme, avec lequel vous trouverez dans la table l’angle cherche'. Voilà ce que les Arabes avaient fait long-tems avant Purbach ; ils avaient même composé des tables où l’on trouvait la tangente à côté de l’arc qui servait d’argument , et d’autres dans le genre de celle de Purbach. L’idée de ces tables est clairement exprimée dans Albalegnius , où Purbach a pu la prendre. En rapportant celle de Purbach, Sanlbech dit expressément qu’elle est recommandable pour ses usages dans la Trigonométrie, pour la facilité avec laquelle elle fait trouver des angles qu’on trouverait avec beaucoup de peine par les tables ordinaires de sinus.

Régiomontan a depuis, d’apres cette même idée, fait une table des tangentes pour tons les degrés du quart de cercle. Il l’appelle Table féconde ; cependant il n’en fait guère d’autre usage que celui de calculer le sinus de la différence ascensionnelle. Ce sinus = tang déclin, tang hauteur du pôle ; il suffisait donc de multiplier l’un par l’autre les deux nombres pris dans la Table féconde, pour avoir le sinus de la différence ascensionnelle. Nous avons vu qu’Ebn Jounis faisait usage des tangentes, pour chercher des arcs subsidiaires, et qu’Aboul Wéfit les avait réellement introduites dans les calculs trigonomé triques; mais il parait que leurs ouvrages n’avaient pas pénétré en Europe.

La Table féconde de Régiomontan a été étendue par Reinhold à toutes les minutes du quart de cercle. Rhéticus l’a étendue à toutes les dixaines de secondes; il y a joint la Table des sécantes, imaginée, dit-on, par Maurolycus, et c'est depuis Rhelicus que ces Tables ont été véritablement fécondes et très fécondes ; car entre les mains de Purbach , elles ne servaient guère que pour la Gnomonique. Régiomontan lui-même parait n en avoir pas senti les avantages, puisqu’il n’en fait pas la moindre mention dans sa Trigonométrie. Remarquons encore que le nom de tangentes n'a été employé ni par Purbach, ni par Régiomontan , ni par les Arabes.' Ceux-ci, à raison de leur origine, les désignaient par le mot ombres, parce que toute ombre est la tangente de la distance du Soleil au zénit du plan sur lequel on a établi un gnomon perpendiculaire ou style droit.

Il nous reste à parler d’un ouvrage commencé par Purbach , et terminé par son disciple Régiomontan. 11 a pour titre :

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PURBACH ET RÉC IOMONT AN. a85

Joannis de Monte Regio et Georgii Purbachii epitome in C. Ptolemasi magnant Compositionem , continens propositions et annotatiories ijuibus latum Alnuigesliun , quod sud dijficullate etiam doctiorem , ingemoquè prœslantiore lectorem deterrere consuevcrat , dilucidd et brevi doctrinâ , ita declaratur et ejcponitur , ut mediocri quoqun indole et érudition pnvdili sine negolio intelligere possint. Basileœ , apud Henrtcum Petrwn , i543.

L’auteur, dans sa Préface, se plaint du peu d’encouragement quq reçoit l'Astronomie , de l’esprit d’avarice qui fait qu'on s'applique à des professions moins ingrates ; il avoue cependant que la difficulté d’entendre les auteurs anciens, peut effrayer et écarter les lecteurs rebutés du style barbare des traducteurs. Ptolémée qui, dans la langue, a le mérite de la clarté et de l’élocution, ne se reconnaîtrait pas lui-même dans les traductions latines qu’on a données de sa grande Composition. 11 nous apprend que Bcssarion en avait commencé une nouvelle version; mais les missions politiques dont il fut chargé l’empêchèrent d’exécuter son projet; il s’élait>adressé à Purbach pour en donner du moins un extrait plus exact et plus intelligible. Purbach n’en put composer que les six premiers livres ; il fut enlevé par une mort prématurée à l’âge de 39 ans.' 11 chargea en mourant son disciple Régiomontan de terminer l’ouvrage.

Après le commentaire que nous avons donné sur la Syntaxe mathématique, il nous sera permis de glisser légèrement sur l'extrait de Purbach. Nous n’en prendrons que les choses qui pourraient appartenir aux abréviateurs. Ainsi, à l'article de la double obliquité que Ptolémée faisait de 47° 42' 4o", Purbach dit qu’il n’a trouvé que G5°G' — i8°io'=46*56'; d’où il conclut l’obliquité de a3° 28' pour son tems. Il ne dit pas si l’obliquité diminue , ou si Ptolémée s’est trompé dans son observation , qui n’est que celle d’Eratoslhène.

Dans ses démonstrations, il substitue les sinus aux cordes.

A la proposition 9* du second livre, il démontre que si l’on a mesuré l’ombre d’un gnomon, on aura cette proportion

sin hauteur : cos hauteur :: gnomon : ombre = ha— * ;

0 «in hauteur. '

c’était le cas d’ajouter = gnomon cot hauteur. A celte proposition, il ajoute la définition de l’ombre verse, projetée sur un mur vertical par un gnomon horizontal, et qui serait la tangente de la hauteur.

A la proposition 23, quand il cherche le sinus de la différence ascensionnelle, il emploie encore les sinus et les cosinus; ainsi Régiomontan n’avait pas encore trouvé sa Table féconde qui simplifie l’opération et l’abrège de moitié.

aSf> ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

On est étonné que des auteurs qui lisaient Plolémée dans sa langue, écrivent sans cesse Hyparque au lieu d’Hipparquc, comme a fait depuis Bailly , qu’ils ont peut-être induit en erreur. A l’occasion de la longueur de l'année, il rapporte l'observation d'AIbategni et les conséquences qu’il eu a tirées. Il dit aussi nn aiot de la trépidation de Thébilh , et nous apprend que , dans cette liypoikèse , il déterminait l’année sidérale de 5G5'6‘9' ia', ce qui est bien plus exact que les calculs de scs prédécesseurs.

A l’article de l’excentricité du Soleil et de son apogée, outre les calculs d'AIbategni, il rapporte aussi ceux d'Arzackel qui, sans rien changer à l'excentricité , quoiqu’il eût changé le moyen mouvement , trouvait 13° 10’ entre le point solstitial et l'apogée, ce qui lui parait étrange, vu qu’Arzachel est venu 193 ans après Albategni.

Pour expliquer ce mouvement rétrograde de l'apogée , Arzache) le faisait tourner dans un petit cercle. Au lieu d'employer les équinoxes et les solstices, Arzachel imagina d’observer les points intermédiaires. Nous trouverons cette méthode expliquée dans le livre de Nonius. Purbacb y substitua l’entrée du Soleil dans les deux signes voisins des équinoxes.

Ensuite résolvant le problème d’un manière plus générale , il suppose 3 lieux quelconques observés avec les intervalles destems; il en conclut l’excentricité et le lieu de l'apogée; il avertit que la solution est pénible ; mais on peut la simplifier, en la ramenant à des formules générales. Soit D la terre, F le centre de l’excentrique. A, B, C, les trois lieux observés. FK — le rayon de l’excentriqoe ( fig. 5g).

On connaît les arcs AB, BC, AC, et par conséquent leurs cordes ou les sinus de leurs moitiés; on a l'angle BAC=ïBC, BCA=-;AB, ABC = t8o° — jAB — jBC. Dans le quadrilatère ADCB, on a les deux angles ABC, ADC ; on connaît la somme des deux antres, il reste à connaître leur différence.

J'en ai donné le moyen dans la solution du problème d'Iiipparquc pour l'excentricité de la Lune. Quand on a les angles avec deux côtés AB , BC, et l’une des diagonales du quadrilatère, on a les deux autres côtés DA, DC et l’autre diagonale BD. Dans le triangle isoscèle BFC, vous avez BCF=go — 7BC; vous aurez FCD = BCD — BCF = BCD-f-jBC — 90'; avec les côtés CF et CD et l’angle compris, vous calculerez les deux autres angles CFD = CFN= 180° — KFC, le lieu R de l’apogée ou de N périgée, et enfin DF === excentricité.

PURBACH ET RÉGlOMONTAPï. aS7

Au lieu du triangle BCD, vous pouvez faire un usage pareil des triangles NFB ou AFC ; vous aurez trois calculs différens qui doivent donner les mêmes valeurs pour les deux inconnues.

Dans la proposition 30, il résout ce problème : Etant donne'esdeux observations entre lesquelles le mouvement vrai se trouve égal au mouvement moyen, trouver l'équation pour les deux instans.

Ces équations seront égales, ce qui est évident, puisque les deux angles sont égaux. Ils seront à la circonférence d’un même cercle dont l’excentricité sera une corde. Décrivez donc sur l’excentricité un cercle qui passe par les deux points de l’excentrique et par les centres du moude et de l'épicycle.

Soit u et u' les deux anomalies vraies, les équations sont égales; donc e sin u = e sin u' ; donc u'= 180 — u, u'-(-«==i8o, u' — u=A; donc au'=i8o-+-A et u = 90° •+• j A , au=i8o — A, u=go° — jA; il n’était pour cela besoin d’aucune figure , ni de grandes recherches, ni de raisounemens pénibles comme ceux de l'auteur; mais sa solution a pu donner à Nonius l’idée du cercle au moyen duquel il détermine le maximum de l’équation de Prosneuse.

On peut rapprocher autant qu’on veut les deux intersections, en diminuant A. Si A = o, les deux arcs 90 + 0 et 90 — o n’en feront qu’un. Plus les points se rapprocheront, plus le cercle diminuera. S’ils se confondent, le cercle sera tangent intérieurement à l’écliptique. Plus le cercle aura diminué, plus l’angle à la circonférence sera grand, puisque la corde sur laquelle il s’appuie est constante ; ainsi le maximum aura lieu au point de contact. Ces reflexions viennent naturellement à la vue de la figure de Purbach ou plutôt de Régiomontan.

Connaissant A , u et u', vous aurez l’équation

E = e sin (90 i A) = e sin (90 — i A) ;

celte ligne est plus claire et en dit plus que la démonstration pénible de l’auteur.

Prop. a5. Déterminer l’arc de l’écliptique où la réduction à l’équateur est la plus grande.

8a solution revient à faire le cosinus de la déclinaison de ce point où cosD— (cos »)*, cosD=cos», sin*D=i — cos u — 2 sin* £ ai.

Mais soit L la longueur de l’arc de l’écliptique ;

sinD=sinatsinL , sin’D:=siu,»sin,L=4sin* jacos* j«usin*L= asin’ja»;

a8 8 donc

a cos* j a sin* L = i , sin* L = r- «

’ a cos* J »

sin L = — =-^— — -V± = "Æ.

V7 a. cos±« cos;» cos j »

c’csl la formule à laquelle je suis arrivé par une autre voie, Astr. , t. I, p. a5. L’auteur ne dit pas comment il y est parvenu, il démontre seulement que la réduction sera la plus grande au point ainsi déterminé ; il le trouve par une construction. Sa solution n’est ni si complète ni si méthodique que la mienne; mais elle est curieuse. Il ajoute, propos. a6, que l’arc L avec l’arc correspondant A de l’équateur, fait une somme de go*; il trouve la plus grande réduction a*;. Nous aurons par mon théorème sin a*3o' = tang*iù> et 301= 1 i*47'47,,> a)=a3*35'54" ; c’est l’obliquité qu’a dû supposer l’auteur, pouravoir a* 5o' bien juste. L'obliquité a3* 28' qu’il suppose, p. aa, donnerait sin réduct. =lang* 1 i*44'=s>n2*a8' 2o*,5; mais l’auteur n’a sans doute calculé qu’en minutes, et il n’obtient ce résultat qu’indirectement. Je crois ces a6 propositions de Régiomontan.

Delà jusqu'à la fin du sixième livre, je n’ai rien remarqué de nouveau.

Au commencement du livre 9 , on voit qu’Alpetragius mettait Vénus entre le Soleil, Mars et Mercure entre le Soleil et la Terre. Régiomontan prouve que Vénus sur le Soleil n’y produirait pas une éclipse sensible. Je n’ai rien vu, dans le reste du commentaire, que des développemens des théories de Ptolémée, qui seraient lout-à-fait superflus, après ceux que nous avons donnés nous-même. Cet extrait, commun aux deux auteurs , fera la transition de l’article de Purbach à celui de Régiomontan.

Régiomontan.

Joanms de Monte Regio, mathejbatici clarissimi, Tabulœ Direcliornun, Profect tomunque non tam Astrologie judiciarie quatn Tabulis instrumentisque innumeris fabricandis utiles ac necessaj-iec. ff ittebergce ,

Accesserunt his Tabula- ascensioniun obliquarum à 6o° gradu elevalionis poli usque ad Jtnem quadrantis , per Emsmum Reinholdiun suppulalœ.

On est bien aise de voir, dans ce titre, que l’éditeur parait rougir un peu de la faiblesse que Regiomonlanus avait eue de travailler pour les astrologues. 11 a soin d’annoncer que ces tables sont utiles à bien d’autres usages , et cela peut être vrai pour une partie de ces tables ; mais celles de direction et de profection proprement dites, ne sont plus que des

RÉCIOMONTAN. 289

monumens qni prouvent à quel point ces erreurs étaient accréditées. Lps mots soulignés ne sont pas dans les éditions plus anciennes, et notamment dans celle dcsGiunti, Venise, i5a4-

Dans sa préface, l'auteur se nomme Joanttes Germanus de Regiomonti ; il y professe sa confiance dans l’Astrologie. Quid aulem commodi nanciscernur si generalis i/uwda/n artis directorial prompt itiulo nobis illata fuerit , ex libris judicum abundè colligeturj ubi lempora futurorum accidentium omnium per directiones potissimum investigari soient , lantam igitur utililatern, etc. Ces juges sont les auteurs qui ont traité de l’Astrologie judiciaire. 11 dédie ces Tables à un archevêque de Slrigotiic, légat, qui les avait désirées; il le prie d’agréer ces prémices de scs travaux; il parait donc que c'était son premier ouvrage. Il était né en i/pG; son nom était Muller; Kœnisberg ou Regius-Mons son pays.

Il suppose l’obliquité 23’3o'; sa raisoa est que les observations modernes n’en admettent pas une plus grande.

Sa première table est celle des déclinaisons des planètes ou étoiles zodiacales pour tous les degrés de l’écliptique, et pour les huit premiers degrés de latitude, tant australe que septentrionale. Cette table pouvait en effet être fort utile; on en fait encore de ce genre pour abréger le calcul des éphémérides.

Cette table est suivie d’une autre d’un usage général , quelle que soit la latitude de l'astre.

Soit L la latitude de l’étoile, A celle du point de l'équateur qui a la même longitude; on aura sin D = sin (L -f-A)sin angle que fait (L-f-A) avec l'équateur; la table donne le sinus naturel de cet angle. Il ne reste donc qu'une multiplication à faire pour avoir la déclinaison ; mais soit A cet angle, sinD=-jCOs(L-f-A — A) — icos(L-|-A-(-A); on aurait donc pu éviter cette multiplication. Régiomonlan avait pris l’idée de sa table dans Albategni.

Ensuite on trouve sa Table féconde ou des tangentes pour tous les degrés du quart de cercle et pour un rayon de 100000. Cette table n’est pas de la dernière exactitude; dans les 45 premiers degrés, l’erreur ne passe guère deux unités; dans l’autre moitié, elle va jusqu’à 11 parties et même à 90 pour la tangente de 89*. Nous verrons plus loin l'usage que l’auteur faisait de cette table, qui ne méritait guère alors son titre de féconde. S'il eu avait senti tous les avantages , il l’eût sans doute étendue à toutes les minutes du quart de. cercle comme celle des sinus.

Pour trouver l'ascension droite , il donne dans une antre table ce qu’il

ago ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

en appelle la racine; c’est l'arc de l'équateur qui a même longitude que l'étoile. A côté de cette racine, on trouve un facteur, qui n’est autre que la colangente de l’angle A ci-dessus; cette cot. multipliée par la tangente de la déclinaison , donne le sinus de la différence de l'ascension droite de l'astre et l’arc de l’équateur, ou l’arc de l’équateur compris entre (L-f-A) et le cercle de déclinaison; c’est encore la méthode d’Albategni.

Cette Table générale des médiations ou des ascensions droites est précédée d'une table pour les étoiles zodiacales dont la latitude n’excède pas zh 8*.

La Table des points culminans n’a rien de particulier, nop plus que la table générale des ascensions obliques. Le sinus de la différence ascensionnelle est égal au produit des tangentes de la déclinaison et de la hauteur du pôle; les deux tangentes se prennent dans la Table féconde ; on voit que celle-ci n'a été pour lui qu'une table subsidiaire qui abrégeait le calcul des autres tables , et voilà pourquoi il l’a bornée aux «impies degrés. 11 n’en a jamais fait usage dans la Trigonométrie.

Jusqu'ici tout est véritablement astronomique. L’astrologie judiciaire va l’occuper à son tour.

11 y a trois manières de concevoir et de résoudre le problème de la distribution du ciel en douze maisons. Dans la première , on partage en trois parties égales l’arc de l’équateur qui mesure l'arc semi-diurne ou semi-nocturne du point orient de l'écliptique; par les pôles du monde et les divisions de l'équateur on mène des demi-cercles; mais cette méthode donne des maisons trop inégales.

Campanus opère cette division par des demi - cercles qui, passant par les points nord et sud de l'horizon, partagent le premier vertical en douze parties égales. Parla toutes les maisons sont parfaitement égaies, mais les portions de l'écliptique qui s’y trouvent comprises sont inégales.

Regiomontanus trouve que celle manière est contraire aux idées des anciens , et d’ailleurs très futile en ce que le vertical n’a aucune vertu. il la rejette donc sans plus de détail.

La, troisième méthode tient le milieu entre les deux autres; elle partage en trois parties égales chacun des quatre quarts du zodiaque, par des cercles qui vont se réunir aux points nord et sud de l’horizon. Les maisons sont à la vérité inégales, mais chacune d’elle conserve toujours la même valeur.

Il renvoie, pour le développement de ses motifs, au livre deux des

RÉGIOMONTAN. ‘ agi

problèmes de l’Almageste , où il a exposé toute sa doctrine astrologicotrigonométrique; il se borne à l'explication de ses tables. Nous n’avons pas encore trouvé le livre auquel il renvoie son lecteur; mais nous trouverons , à l'article Magini , les moyens trigonométriques par lesquels on calcule ces tables; pour ne pas nous répéter, nous n’en dirons pas plus pour le présent.

Les astronomes considèrent trois espèces de conjonctions ; l’une sur le même cercle de latitude; la seconde, sur un même cercle de déclinaison; la troisième, sur un même cercle de position. On appelle de position les cercles qui sont les limites des douze maisons.

Régiomonlan se propose ce problème : Deux étoiles données se trouveront-elles dans un même jour naturel en conjonction sur un cercle de position ? (fig. 60).

Soit P le pôle. A, B les deux étoiles; par les deux étoiles, menez la demi-cercle HO, l’arc perpendiculaire PQ sera la hauteur du pôle sur ce cercle, ou la hauteur du pôle dans le lieu dont le demi-cercle HQO est l’horizon ; on voit que AB ne doit pas surpasser 180* ,

== sin POQ; PQ doit être plus petit que PO.

cosPOlangPOQ=cotOPQ, OPQ— QPB=OPB, OPB+BPA=OPA ; les deux étoiles données, ôn connaît tout le triangle APB; on connaît PO, PQ; on peut calculer toutes ces formules. Les Tables de Régtomontan dispensent de ces calculs, mais elles ne donnent qu’une solution indirecte et qui ne peut avoir la même précision que le calcul.

Diriger n’est rien autre chose que tourner la sphère jusqu’à ce que le lieu qui était le second vienne occuper la place du premier ; le second est celui qu’on fait mouvoir ; le premier s’appelle significateur; le second , promissew.

La direction est donc le mouvement de la sphère ou l’arc de l'équateur qui mesure ce mouvement. La direction se fait suivant, ou contre l'ordre des signes.

La direction est la différence des deux ascensions obliques comptée sur le premier des deux cercles de position; le problème considéré trigonométriquement n’est pas difficile.

Au 39* problème, Regiomontanus s’avoue astrologue, en déclarant qu’il travaille pour les amateurs de son art. Viris studiosis artis noslrœ amatoribus.

sg3 ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

La projection est un mouvement c'gal et régulier du siguilicaleur, selon l'ordre des signes. Les aspects ou radiations seront expliqués a l'article Magini qui était aussi un amateur, et qui a développé la doctrine de Kégiomonlan avec plus de soin que lui-même.

La Table des ascensions obliques pour toutes les latitudes par Régiomontan et Reinbold, peut servir à dresser des tables de climats, de mois, de jours , d’heures et de quarts d'heure si l’on veut. Elle peut n’ètre pas iuutile pour quelques problèmes astronomiques où 1 on ne chercherait pas une grande précision.

Dans l’explication de ses tables , il promet un autre ouvrage où il traitera plus à fond des diffère ns problèmes astrologiques; nous ignorons si cet ouvrage a vu le jour.

Dans l’édition de i5a4> Gauric a ajouté des Tables de sinus de 10 en io' pour un rayon de 100000; des Tables astrologiques et des 'labiés du Soleil d’une forme usuelle cl abrégée.

Joannis Regiomontani , malhemaiici preestantissimi , rie Triangulis plams et sphœricis libri i/uinr/ue , und cum tabula sinuum. Basileæ, i56l.

L'éditeur de cette œuvre posthume, Daniel Santbccb , nous dit dans sa préface que Purbacli et Régiomonlan avaient été les restaurateurs de •y la science astronomique, du moins en Allemagne; qu’ils s’étaient attachés à éclaircir et commenter Ptolémée; qu’aucun auteur n’avait traité la Trigonométrie d’une manière plus complète que Régiomonlan; mais qu’une mort prématurée ( en 1476 ) l’avait empêché de mettre la dernière main à son livre des triangles , et que Jean Schoner avait terminé ce qui était resté imparfait. On doit croire, d’après ce récit, que Régiomonlan a mis dans cet ouvrage toutes ses connaissances et ses dernières idées; on est donc fort surpris de n’y trouver aucune mention des tangentes qu’il a cependant la réputation d’avoir introduites dans le calcul astronomique. Ebn Jounis , long-tems avant lui , avait fait beaucoup davantage, et nous avons vu qu’Aboul Wéfa, vers l’an 1000, avait encore été beaucoup plus loin; nous avons dit quel usage Régiomonlan a fait de sa Table féconde pour la différence ascensionnelle et le calcul de quelques tables; c’est à cela qu’il s’est borné; Ebn Jounis avait fait précisément les mêmes choses cinq cents ans auparavant, et il avait en outre imaginé des artifices de calcul bien plus remarquables. Dans aucun des problèmes qu’il a résolus dans ses divers ouvrages, Régiomontan n’a fait entrer aucune tangente ni aucune sécante. Il n’emploie.

RÉGIOMONTAN. a93

comme ses prédécesseurs , que les sinus et les cosinus. 11 s’e’lait borne aux simples degrés dans sa Table féconde, qui ne contient réellement que 89 tangentes; c’était trop peu sans doute pour les calculs les plus ordinaires. Reinhold, qui a étendu cette table à toutes les minutes du quart de cercle , est probablement celui qui a rendu à la Trigonométrie européenne ce service qui a singulièrement abrégé les calculs; mais avait-il trouvé les formules trigonomélriques qui dépendent des tangentes, ou s’est-il contente de les écrire dans les formules où elles se présentaient d’elles-

. < t 1 j / sinus \ /coninuA

memes, a la place des expressions ( — : — ) ou ( — ) qm se trouvent

' r r \Cos»iU3/ \ sinus / '

partout dans Régiomonlan comme dans Ptolémée et Albatcgnius; c’est ce que nous ne pouvons encore décider.

Dans sa proposition a8, Régiomontan détermine les angles du triangle rectangle, d’après le rapport des côtés; aujourd'hui nous dirions :