DI

«/--T-» DI AB. cos ABC. cot ACB tang FCB=tangICD=-6C = aCcoIacA—

’ AC * sin ACB

=r cot ACB = tang (90* — ABC) ;

donc FCB = go* — ABC , FCB -f- ABC = 90* = FCB -1- FBC ; donc BFC = go*, puisque la somme des deux premiers angles est de go*. Mais du pointC, on ne peut mener qu'une perpendiculaire sur AB; donc CF est la troisième perpendiculaire; et par la construction, elle passe par le poiut I, intersection des deux premières.

On aurait de même

AE = AB cos BAC, IE= AE tang DAC= AB. cos BAC .cot ACB ,

CE =BC cos ACB;

. . ir.r IE AB. cos BAC. cot ACB sioACB cosBAC

tang FC A = tang ICE = ^ = bcTcoTaCB = sïôBÂC * ïïïTÂUS

= cot BAC = tang (90* — BAG) ;

donc FCA=go* — BAC, FCA-)-BAC=90<l==f^^L",f"ï'-^^-‘i donc

AFC=9o*; donc CF est la troisième perpendiculaire.

Yoilà deux démonstrations bien simples.

Tous les angles autour du point d’intersection sont les angles A, B, C

RÉG10M0NTAN. a95

du triangle, cl s'y trouvent deux fois; ils alternent autour de chaque perpendiculaire. Ainsi

A'=FIB=go° — FBE=BAC, l'autre À'=CIE=*9o°— ICE=BAC, et ainsi des autres.

Voici une troisième démonstration :

sin CIE = , sin C1D = g;

donc

»■" CIE CE Cl CE BC.cn» C BC »in BAC

sin C1D CI DC DC AC. cos C AC — «TTÂBC ‘

d’où

rang 1 (CIE— cm) tang J (BAC — ABC)

taug j (CIE + C1D) taiig i (BAC J- ABC) ’

or, les dénominateurs sont égaux, puisque

CIE+CID=A '+B'=BAC-j-ABC ,

donc

KCIE— CID)=i(BAC— ABC); donc GIE— C1D= BAC— ABC,

donc aCIE =aBAC et CIE=BAC,

donc aCID =2 ABC et CID=ABC,

90° — CID = BCI = 90° — ABC ; prolongez CI en F,

DCl — BCF = 90' — ABC = 90* — FBC ; donc BCF -4- FBC = 90’ ; donc BFC=90*; donc CF est la troisième perpendiculaire.

On peut varier ces démonstrations de plusieurs manières, mais toutes trigonoroétriques ; elles emploient toutes des tangentes. La démonstration de Régioraontan n’était donc aucune des précédeulcs. Eu voici une qui n’emploie aucune formule trigonométrique.

La perpendiculaire 1F du triangle BIA donne

(AF -1- FB) (AF — FB) = (AI + BI) (AI — Bl); c’est un théorème de Plolémée.

ÂF - FB = AU- Bb= (ÂË‘-t-TÈ‘) — (BD+DÏ) =ÂE +IË— BD* 5T = AE+CÎ— CE— BD— Q+ CD= ÂE ‘— CE -f-M) ‘s— BD = (CD'— BD ) - (CE - ÂE >= (AC— AB) (BC -Â£ )