BRIGGS

Il n'y a aucune difficulté pour

log tang = log sinus — log cosinus, log.eot = compl. arithm. log.tang, log sec = compl.arilhm. logcosin, togcoséc= compl. arithm. log.sin.

VJacq, en donnant une édition de son Arithmétique logarithmique, dans laquelle il avait rempli la lacune entre 20000 et 90000, avait supprimé le chapitre XIII, qui traitait de la construction de la table par les différences de plusieurs ordres. Briggsse plaignit de cette suppression, dans laqutUe il vit peut-être l'intention de le dépouiller de l'invention de celte méthode des différences.

On ne voit pas quel intérêt aurait pu mouvoir Vlacq; il crut tout simplement que ce chapitre n'était pas d'une nécessité indispensable, et il a craint de grossir le volume. Celte méthode des différences était dans Vièlefc mais d'une manière obscure •> Briggs l'a développée et améliorée, sans la porter cependant à sa perfection. Ses moyens sont pénibles, H ne les a pas démontrés, en sorte qu'il est assez difficile de déterminer ce qu'il avait découvert et ce qu'il a ignoré.

Vlacq avait ajouté à son édition 70000 logarithmes, réduits, à la vérité, à 10 décimales; il avait ajouté la table des sinus, tangentes et sécantes de Briggs, avec leurs logarithmes; mais pour les minutes et uon pas pour les centièmes de degrés. Dans cette table, il n>'a conservé de même que 10 décimales.

Vlacq a donné de plus, la table des sinus et des tangentes logarithmiques à 10 décimales, pour tous les arcs de 10 en 10"; et cette édition, plus commode pour les astronomes, a peut-être empêché la révolution commencée par Briggs, d'après l'idée de Viète, qui voulait tout ramener au calcul décimal, en ne conservant de l'ancienne méthode, que la division du cercle en 36o* , ce qui devait contenter tout le monde.

Avant de retourner à Kepler, disons un mot d'Ursinus.

Benjamini Ursini, mat/iemalici eUctoralis Bmndenburgici, Trigonometria, cum tnagno Logarithmonun canone. Coloniœ, 1634 et 16a 5.

L'auteur a supposé le rayon 100000.000; mais dans la construction de ses tables il a mis huit zéros de plus : Jes arcs y sont de 10 en 10" pour tout le quart de cercle.

Connaissant les cordes de A, aA, 5À, pour trouver les cordes de 5A, îl emploie le quadrilatère inscrit; nous ferions

sin 5A = sin (3 A -f- 2 A) = sio 5 A cos aA -f- cos 3A sin aA;

Hist. de ÏAstr. mod. T. /, 69

on aurait, par des moyens semblables, les sinus de 7 A, 11A et tous ceux du quart de cercle. Ursinus avoue qu'il a pris dans les livres publies avant le sien , tous les procèdes qu'il indique pour les sinus naturels.

La construction de sa Table logarithmique est fondée sur les mêmes principes que celle de Néper. On y trouve plus d'exactitude, parce que les opérations fondamentales ont été faites avec plus de chiffres, et avec plus de soin.

Sa Trigonométrie est celle de Néper.

Ses Tables ont été réimprimées par Schulze, dans ses Tables trigonométriques. Berlin, 1778. Schulze leur a conservé toute leur étendue, pour les trois premiers degrés; mais pour le reste du quart de cercle, il ne les a données que de minute en minute. Il a de plus supprimé les différences qu'Ursinus avait placées entre les logarithmes.

Ursinus place le sinus naturel à côté de son logarithme; on y voit clairement que vers 90% le logarithme du sinus est le complément arithmétique de ce même sinus : c'est ce dont on peut se convaincre par l'extrait ci-joint :

Arcs*

Sinuj.

| Logarithmes.

5o 4o 3o so

4o \ 3o so

>7 ao

qb5

URSIKUS. 547

Celte correspondance parfaite se soutient jusqu'à 89* 1 i'5o" où l'on aperçoit une différence d'une unité dont le logarithme surpasse le complément arithmétique. A 8g'7'5o", on voit pour la première fois une différence de deux parties :

à 88*47' 5o" on ▼oit 5 parties de plus au logarithme.

On se rappelle que log sin A > 1 — sin A, et <cosécA — 1.

On voit que les logarithmes augmentent quand les sinus diminuent; ainsi, il ne faut pas prendre ces logarithmes népériens pour les logarithmes hyperboliques des sinus, comme le dit Schulze dans les titres de toutes ses colonnes. El si Ton voulait faire un calcul trigonomélrique au moyen de ces tables, il faudrait bien se garder de les combiner avec les logarithmes hyperboliques de Wolfram, qu'on trouve dans le même recueil.

Construction des Tables.

Encore quelques remarques sur les Tables logarithmiques, pour ne plus revenir sur ce sujet.

Nous avons dit par quelle voie longue et pénible Briggs est parvenu à sa constante M qui lui sert à trouver les logarithmes de tous les nombres premiers. Il n'avait pu donner à cette constante qu'une exactitude bornée; sa dix-septième décimale était en erreur de a£. Voyons comment on peut déterminer à priori cette constante avec une exactitude indéfinie.

Les deux séries les plus simples que l'on puisse faire concourir à l'établissement d'un système de logarithmes, sont sans aucun doute celles qu'Archimède avait employées dans une recherche à peu près analogue ,

H io«: io': io*: ios: io* etc.,

qui donnent aux nombres 1,10, 100 , 1000 , 10000 , etc. ,

les logarithmes o. 1. a. 3. 4. etc.;

mais au ljeu de cette progression arithmétique, rien n'empêche d'employer la suivante ;

o a, ia, 2a, 5ay 4a> etc., ou o. a. aa. 5a. fa. etc.;

on conservera à l'unité le logarithme o, le logarithme de io sera at a étant un nombre lout-à-fait arbitraire. Tous les logarithmes de la série primitive se trouveraient multipliés par la constante a.

Néper a donné arbitrairement les logarithmes o et t aux deux premiers termes d'une suite de sinus décroissant en progression géométrique. Il a dû trouver pour le logarithme de io un autre nombre que i. Soit a ce nombre. *

Néper et Briggs de concert ont reconnu depuis, qu'il serait plus commode de donner les logarithmes o et i aux nombres i et io, qui sont les premiers d'une autre progression. Ce nouveau système exigeait que le logarithme de io fut i, au lieu de a; il fallait diviser a par a, pour avoir l'unité au quotient ; il fallait diviser par a tous les logarithmes primitifs, pour avoir ceux du nouveau système.

Or, quel était ce nombre a ou le logarithme io dans le système de Néper; il ne se trouve pas dans sa Table de sinus, car aucun sinus n'est égal à io. Mais ouvrons la Chiliade de Kepler, nous y trouverons que 2 . 3oa58 . 5a est le logarithme de io ooooo , c'est-à-dire celui de i oo , puisque Képler, pour éviter les fractions , a partout ajouté 4 zéros. Dans son système rétrograde , nous avons vu que le logarithme d'un nombre n

est réellement log f^p^du système direct; or, ^~ = io; donc le logarithme 3.3o258.5a de Képler, est réellement le logarithme de io. De plus, nous avons vu ci-dessus, p. 5i6, que Kepler avait déterminé directement le logarithme de io qu'il avait trouvé de a.5oa58.5i345. Voilà donc le nombre a suivant Képler.

^=a.So358.5.345 = °^a^5ï à Peu Près'* c'esl cc nombre l0'1 aurait fallu multiplier les logarithmes du système primitif pour avoir ceux dii nouveau système.

Réciproquement, pour convertir les nouveaux logarithmes en logarithmes anciens, il aurait suffi de les multiplier par a.3oa58. i345.

Voilà ce qu'on aurait pu faire, si les logarithmes de Néper eussent été calculés avec plus d'exactitude. Voilà ce qu'on pouvait faire sur les logarithmes de B. Ursinus ; on aurait eu des sinus avec S ou 9 décimales exactes , ce qui suffit pour les usages ordinaires.

CONSTRUCTION DES TABLES. 54g Briggs préfera de tout recommencer. Nous avons donc des labiés calculées directement dans chacun des deux systèmes; elles peuvent se vérifier les unes par les autre»; elles vont nous prouver par le fait l'exactitude du précepte qui sert à les convertir d'un système à l'autre, mais ces conversions exigent une attention de plus.

Dans la marche rétrograde qu'il avait adoptée, Néper aurait dû regarder comme négatifs ses logarithmes des sinus; il les considéra comme positifs, ce qui était sans inconvénient, quand On ne sortait pas de son système. 6es logarithmes pris positivement , sont ceux des cosécanles. Donc en convertissant un sinus de Néper ou d'Ursinus, nous aurons le logarithme de la cosécante; et pour avoir celui du sinus, il en faudra prendre le complément arithmétique.

On sait par exemple que sinus 5o'=£ et cosée So°=t:2.

Suivant Ursinus, le log sin 5o*. . . 0,693 147 18, ce doit être le Iog de 2.

La Table deWolfram donne log 2. 0,69? 1 47 18.0*5599.45309 etc. ; ce logarithme avait donc 8 décimales très exactes.

Voici le calcul de conversion. 0.6. . . . 36057.66891 .4a

4 »-737'7-79 7 3o4oo.6t

1 434-ao 8 . 347.43

log 2 0.50102.99954.19

il est véritablement 0.30102.99956.65981.19521 etc.

Néper le fait 0. 30102.9995,

peut-être l'avait-il trouvé de celte manière. Le logarithme tiré d'Ursinus avait donc neuf bonnes décimales, la dixième était trop faible de a. 44981 . 19521.

' Compl. arith. log 2 ou logsirt 3o' 9.69897.00045.81 d'après Ursinus; il est selon Briggs 9.69897.00043.3602.

La conversion par 0,434294 nous prouve que les erreurs d'Ursinus seront réduites à moins de moitié, et qu'ainsi ses huit décimales en donneront souvent 9.

55o ASTRONOMIE MODERNE.

Essayez la même épreuve sur sin 45" 0.38272.803

vous aurez coséc 43° o. 16621 .66714.99

sin 43° 9.83378.53285.01

suivant Briggs 9.85378,533o3.5o54

différence 0.00000.00018.4952.

Les log tangentes par cette multiplication deviendront ceux des colangentes , et réciproquement

log tong4o' = 0.17542.553 deviendra log col 40* 0.07618.64742.95 or, suivant Briggs, log cot 40* 0.07618.64698

différence 0.00000.00044.95.

Pour donner à ces conversions toute l'exactitude quelles peuvent avoir, il faut avoir K avec un plus grand nombre de décimales. Or,

K = t î— j — ; il faut donc chercher log 10 dans l'ancien système.

lognat. de 10' ,0 J

Or, par la combinaison de plusieurs formules de Borda, j'ai trouvé

logio=fl+al

expression dont la loi est évidente, et qu'on peut continuer à volonté. Elle ne dépend que des puissances de puissances qui se forment et se vérifient avec la plus grande facilité, puisque

} , i__ s , i io

ainsi la somme de denx puissances consécutives est égale à 10 fois la dernière de ces deux puissances. ( Voyez la Préface que j'ai mise aux Tables de Borda, p. 68. )

En m'arrétant à j'ai obtenu dix décimales exactes. Par des moyens

équivalens, mais poussés beaucoup plus loin , Wolfram a trouvé

<t=log 1 0= 2 . 30258 . 50929 . 94o45 . 6840 1 . 7991 4. 54684 . 36424 . 760 1 1

d'où par la simple division

Ks= 0.43429.44819.05251 .82765. 1 1 289. 18916. 6o5o8. 22943.97005

CONSTRUCTION DES TABLES. 55i le log vulgaire de K réduit à ao décimales, est

logK = 9.65778.431 13.00536.77817.

En comparant ces valeurs de a et de K au logarithme 10, tiré de la Table de Kepler et k la- valeur M que Briggs a trouvée par les extractions de 54 racines, on verra que Kepler se trompait de 0.00000.0:1 sur le log de 10, et Briggs de 0.00000. 00000. 00000. oa365. 1 1289 etc. sur la valeur de M; celte exactitude lui suffisait, puisqu'il ne voulait que 14 décimales , qui suffisent en effet.

Pour ce qui sait , il serait très utile de se former une table des multiples et des sous-multiples de K. Avec ces moyens, il sera facile de calculer le logarithme d'un nombre quelconque n par la formule

log(«+^)=log»+R[$-i(T)"+Kx)'-^ K£)' +"«•}

Soit d'abord n=i, dn=.i; cette formule deviendra

Ioga=o+K(i-i+i~i+i-etcO=Ka+h+V<r-f-5J5-+-^H-c»c.),

série bien facile, mais qui serait encore bien longue à calculer. Mais faites alternativement

-1 et dn= — 1 , n=io, =100, =1000, =10000, =100000, etc.

successivement, vous aurez, par les opérations les plus faciles et les plus courtes,

log9=3»,logn,log99=ii.9, logiot, ^999=9.111=9.3.37=33.37, log 1001=7. 1 1 . 1 3, log 9999=9. 1 1 1 1=9* 1 1 . 101, log 10001=73.57 , to§99fà9=9-ilills=9'41-*7i> el log 100001=11. 9091.

Soit <&x=rbi; vous aurez généralement - .' '

log(»+ 1 )-î-log(n— 1)= alog» - î5 - |* — —,

= :ilogn__-;g-l eic.,

55a ASTRONOMIE MODERNE.

log (»+,) log (»- I + g + g + etc.),

tontes ces formules ont leur utilité, ou peu» wr-iout tirer un grand parli

de la formule

al€«»-log(n^O— lof + "4 4-^ + £1+ «le.)

Soil par exemple «=9, (n-f-i)=Bio, («—1)3=8, et vous aure» Iog8=3loga=^alog9— log io-K(£ -f- J + -L. 4. J- 4-elc),

formule dont le calcul à ao décimales occupe à peine une demi-page. Voua auriez de même log 7 par la formule un peu moins convergente

log 7 = a log 8 log 9 -, K (p + j^; + + ~ + elc),

mais on aura moins de travail par la formule plus, convergente

log 98 = log (a . 49) log (a.. 7»)

s= 2 log 99- log 100 - K 4- ^ + f—i + «te.) ;

nous avons déjà log 3=£log9, noua auroua les logarim. de a, 5,4=a% 5:=^, 6=; 5, a, 7, 8= a», 9 et 11; le nombre premier qui vient après 11 est iS, mais log i5=logiooi — log7 . 1 1 =log 1001 — log77 ,

alog i7«=log 18-f-log i6-^K 5^+5^»+ «lc)»

alog34=alog(a. i7)^#+WgW+K(^+^^ÔÊ + etc.),

alog5i===alog(3.i7)=logga+log5o+K(^+ï:i^ +^4-610.). log ioa==lpg(a.5i)r=alog(a, 5. 17)

= a log 101 log 100 -K ( JJ-.+ ~ +3T^i + etc.) ,

log,9=alog ao-log ai K (^.4-^-+^ + etc.).

Nous aurions les logarithmes de chacun des nombres premiers de plusieurs manières au moyen des logarithmes des deux nombres voisins; on calculerait de cette manière les logarithmes de tous les nombres premiers jusqu'à cent.

CONSTRUCTION DES TABLES. 555 Si la première centaine nous offre Uni de ressources et de vérifications, on conçoit que la suite nous offrira plus de moyens encore. Les nombres premiers deviendront plus rares et les opérations plus convergentes par l'augmentation progressive des diviseurs.

Jusqu'ici, nous n'avons employé que deux logarithmes connus pour en déterminer un troisième; il est des formules pour en avoir un quatrième par trois autres, un cinquième par 4> un sixième par 5, etc. Vojez les préfaces des Tables de Borda.

On pourrait commencer la table à ioooo, dont le logarithme est 4; on aurait tous les logarithmes suivans, en calculant d'avance les différences de plusieurs ordres. Ainsi, pour ioooo j'ai trouvé

ou généralement

= K(;-à+r.',..-ïr.+«<4

A" - K(i+;b+ 5Î? + fî?)>

il suffit de ces deux ordres. Voici un exemple :

Je calcule à 18 décimales pour en avoir 1 5 ou au moins 14.

On ne place le A* qu'après ayoir fait l'addition du 4'; le A* ne sert qu'à calculer le A' suivant.

En comparant notre 14* décimale à celle de Briggs, on voit que ses logarithmes n'ont guère que i3 décimales qui soient sûres; on en a des preuves nombreuses dans les tables à 20 décimales, qu'on trouve dans plusieurs ouvrages modernes , notamment dans Callet.

Nota. Disons en passant que les formules si commodes et si élégantes, de log (a -f- 1) et!og(/i — 1), ou plus généralement iog(n-{-dn) et log (n — dn) sont, l'une de Mercator et l'autre de Wallis, toutes les autres en sont de simples corollaires.

Hist. de l'Jstr. mod. Tom. I.

4 * OOOOO . OOOOO . oc 000 . coo

pour 10000 I pour 1 000 1

■ 4* décim.

de Bri^gs.

IOOOI

pour 10001 pour 10003

4.cooo8.685ca. 1164H.938 4. 34 i*5. 93578. 081 — 43 . 40340.971

pour 10003 pour icoo3