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Par celte méthode, le calcul d'une table de 10000 à 100000 se réduirait au calcul de la formule

* = -OH-=î+-0 = -50 +=?)»

car le terme commencerait par 24 zéros après le point. On trouvera

chemin faisant bien des vérifications dans les multiples des nombres de • la première certaine , dont nous supposons les logarithmes calculés d avance ; mais , pour plus de sûreté, il convient de calculer un A' de distance en distance, comme de 100 en 100 termes.

Nous n'en dirons pas davantage ; il nous suffit d'avoir montré comment les formules modernes ont simplifié le travail.

CONSTRUCTION DES TABLES. 555 Pour les grandes tables du Cadastre , M. de Prony a préféré de pousser le calcul des différences jusqu'à l'ordre où elles sont sensiblement consentes pour 100 ou 200 termes. Briggs en avait donné l'exemple, mais ses formules étaient peu exactes , et il y faisait des corrections empiriques. 11 fallait en outre calculer de distance en distance les A des ordres précédens; alors toute la besogne se réduisait à des soustractions et des additions. Ce plan convenait mieux à un établissement composé d'un grand nombre de calculateurs; les plus habiles calculaient les têles de chaque colonne, il ne restait aux autres coopérateurs que des additions ou des soustractions. Ce moyen était presque aussi simple et bien plus exact que celui de Néper.

L'impression des Tables du Cadastre était commencée; les orages de la révolution l'ont fait suspendre , sera- 1- cl le jamais reprise ? au reste , nous avons les Tables de Briggs à 14 décimales, ce qui suffit de reste. Vlacq, en réimprimant les Tables de Briggs, lesaréduiles à 10 décimales; mais il a donné sans interruption les cent mille logarithmes des nombres; il a étendu aux dixaines de seconde les logarithmes des sinus et des tangentes.

Les Tables de Vlacq ont été réimprimées par Véga, sous le titre :

Tfiesaurus logarithntorum complétas. Leipsice, 1794, un vol. in-folio, arec une introduction où l'on trouve nombre de formules utiles; il y a joint les logarithmes naturels de Wolfram, de 1 à 10000 à 48 décimales, avec des tables des multiples de K, pour les convertir en logarithmes vulgaires : c'est un recueil précieux, dont on fait cependant peu d'usage.

Gardiner a réduit les logarithmes de Vlacq à sept décimales; il y a joint les sinus de seconde en seconde pour les 72 premières minutes. Londres, 1742, un vol. in-4*. Ces Tables, plus portatives, ont fait négliger toutes celles qui les avaient précédées.

Elles ont été réimprimées à Avignon en 1770, par les soins de Pézénas, qui a donné les sinus et les tangentes de seconde en seconde pour les quatre premiers degrés. Mouton les avait calculées à 10 décimales, et Lalande en -avait envoyé une copie à Pézénas.

Michel Taylor a donné les logarithmes sinus et tangentes à 7 décimales pour toutes les secondes du quart de cercle. Ces tables ont paru à Londres . en 179a , avec une préface de Maskelyne; elles ont été trouvées peu commodes, soit à cause du format, qui est un petit et large in-folio, soit à cause <Jes différences, qu'on a négligé de joindre aux logarithmes, soit enfin par un arrangement qui , pour ménager la place, a partagé chaque logarithme en deux parties, qu'on est obligé de prendre séparément.

En 1785, Callet avait donné une édition portative des Tables de Gardiner. On y trouvait les sinus et les tangentes, de seconde en seconde, pour les deux premiers degrés. Ces tables étaient stéréotypes ; elles eurent beaucoup de succès, quoiqu'on en trouvât lé caractère un peu fin. En 1795 il en donna une nouvelle édition, qui n'avait pas ce défaut; les sinus et les tangentes y sont de seconde en seconde, pour les cinq premiers degrés. Ces tables me paraissent les plus commodes qui existent; et comme on en conserve les planches, on peut y corriger les fautes à mesure qu'on les découvre, et elles fiuiront par être parfaites.

L'auteur y a joint une table de sinus et de tangentes, pour la division centésimale du cercle; il aurait dû la mettre à la fin du volume, où elle eût été moins gênante; mais comme elle en occupe le milieu, c'est toujours ce qu'on rencontre d'abord à l'ouverture du livre, quand on cherche autre chose. Cette table est d'ailleurs trop peu étendue et d'une disposition peu commode.

Les Tables de Borda, pour cette nouvelle division du cercle, sont infiniment préférables; le titre est :

Tables trigonométriques décimales. . . . j précédées de plusieurs tables subsidiaires calculées par Charles Borda, revues , augmentées et publiées par J.-B.-J. Delambre. Paris, an IX. On y trouve les logarithmes des nombres de 10000 à 100000; les sinus, les tangentes, et les sécantes logarithmiques, de 10" en 10" centésimales, pour les trois premiers et les trois derniers degrés, et de minute en minute pour le reste du quart de cercle; elles sont donc moins étendues que celles de Callet; c'était un inconvénient inévitable. La minute centésimale vaut 3a",a4 de l'ancienne division; il aurait fallu tripler le volume pour les avoir de 10" en 10"; ce défaut est plus grand encore dans les Tables de Briggs, puisque le centième du degré est de 36",o.

L'auteur étant mort avant que l'impression fût achevée, j'ai complété la préface, qui était restée imparfaite; j'en ai ajouté une seconde, où je donne plus de détails sur la construction des tables; j'ai multiplié les tables subsidiaires et donné tous les moyens pour calculer des tables centésimales à îobonnes décimales, pour toutes les dixaines de seconde du quart de cercle.

Les Tables de M. de Prony sont de 10" en 10", à 13 décimales, avec trois ordres de différences pour l'interpolation ; les logarithmes des nombres y vont jusqu'à 200000; les dix premiers mille ont un plus

KJÉPLER. 557 grand nombre de décimales. Voyez, au reste, le Rapport fait à la classe des Sciences, tona. V des Mémoires de l'Institut.

Les Tables de MM.Hobert et Ideler, qui ont paru à Berlin, en 1799, ont la même étendue que celle de Borda; elles sont même plus commodes à plusieurs égards; elles m'ont paru d'une correction et d'une exactitude rare; le caractère est net et bien lisible; mais on a omis les logarithmes des nombres, ainsi que les logarithmes des sécantes et les tables des parties proportionnelles dans lesquelles Borda tenait compte des différences secondes; en revanche, on y trouve les sinus et les tangentes en nombres naturels : le format est in-8°. 1

Les Tables de Gardiner ont été réimprimées deux fois à Florence, par MM. Canovai et Del. Ricco, avec les sinus et les tangentes en nombres naturels, mais pour les minutes seulement.

Telles sont les tables les plus connues. On a souvent réimprimé les Tables de Sherwin, en Angleterre, et celles de La Caille, en France. Lalande a donné une jolie édition stéréotype des tables trigonométriques avec cinq décimales, et pour les minutes seulement.

Retournons à Kepler, et parlons de ses Tables Rudolphines.

Tabulée Rudolphinœ quibus Astronomicœ scientice temporum longin~ quitate collapsœ , restaumtio continetur. A Phenice Mo aslronontorum Tychone , ex illustri et generosa Braheorum in regno Daniœ familiâ oriundo équité , primwn ammo concepta et destinata anno Christi i564> exindè observationibus siderum accuralissimis , post annum prœcipue i5ja, quo sidus in Cassiopeice constellalione novum effulsit , serio affecta ta ; variisque operibus, cum mechanicis , tum librariis , impenso patrimonio amplissimo, accedentibus etiam subsidiis Friderici II, Danuv régis, regali magnifteentiâ dignis, tracta per annos XXV polissimum in insula freti Sundici Huennâ et arce Uraniburgo, in hos mus à fundamentis extructâ; tandem traducta in germaniam inque aulam et nomen Rudolphi imperaloris anno 1 598. Tabulas ipsas jam et nuncupatas et affectas , sed morte aulhoris sui anno 1601 désertas , Jus su et stipendias fretus trium imperatorum, Rudolphi, Mathiœ, Fcrdinandi, annitentibus bœredibus Braheanis, ex fundamentis observationum relictarum , ad exemplum fere partium Jam exstructarum , continuis multorwn annorum spéculation 1 bus et computationibus, primwn Pragœ Bohemorum continuavit , deinde Lincii superioris A us triai metropoli, subsidiis etiam illustr. provincialium adjutus, peijecit,

absolvit atque ad causarwn et calculi perennis formulant traduxit Joannes Keplerus, Tjrchoni primum à Rudolpho II, imp. adj une lits calculi minister, indeque trium ordine imp. Matliemalicus ; qui idem speciali mandato Fer~ dinandi II, imp. petentibus instantibusque hœredibus , opus hoc ad usus prœsentium et posteritatis , tjrpis numericis propriis, cœteriset prœlo Jonat Saurii , reipub. Ulmanœ typographi, in publicum extulit et tjpographicis operis Ulmœ curator affuit. Cum privilegiis Imperatorum et Regum rerum~ que publicarum vivo Tjrchoni e jusque hœredibus et speciali intperatorio ipsi Keplero concesso ad annos XXX, anno xSi'j.

Ce titre est une notice historique où Kepler s'efforce de rendre à chacun ce qui lui appartient , et a satisfaire tous les amours-propres ; t et c'est pour cette raison que, malgré ses longueurs, nous l'avons

rapporte en entier.

Dans l'épître dédicaloire des enfans de Tycho , on voit qu'ils étaient au nombre de 6, qui, avec la veuve, leur mère, n'avaient guère d'autre héritage que ces tables et les observations d'où Kepler les avait tirées. Dans leur infortune , ces héritiers avaient été bien heureux de rencontrer un pareil rédacteur; et même, à ne considérer que les tables, on peut dire qu'il est avantageux que Tycho lui-même ne les ait pas conduites à leur fin, car il aurait fallu les recommencer presque aussitôt, au lieu qu'elles ont servi long-tcms à tous les calculs astronomiques.

Dans une autre épitre dédicatoire signée de Képler, on voit qu'il y avait travaillé pendant 26 ans; parmi tous ses remercimens, on aperçoit avec quelle inexactitude on lui avait payé le traitement promis. Parmi les obstacles de tout genre qui avaient retardé la confection de ces tables, il compte aussi l'invention inespérée des logarithmes, qui l'obligea d'en changer la forme, pour la facilité des calculs.

Une longue épitre en vers assez médiocres, explique le frontispice du livre, où l'on remarque, parmi les portraits des astronomes les plus célèbres, celui de Képler, dans un étage inférieur. Il est à une table où il travaille. Dans la partie supérieure, ou voit figurées les inventions qui avaient été les plus utiles à l'Astronomie; le télescope de Galilée, les logarithmes de Néper, et l'ellipse de Képler. La figure^qui rem^sentf

les logarithmes a pour couronne le logarithme 69314^3, fâm-'Àl celui / / V du sinus de Sçft on 4 c logarithme! dans le système de Néper jet celui

l,y >x*jfr* fytjfyty^ de 2 dajjs \Q système hyperbolique ou naturel. Cette figure tient en 7 **r 5— 1 main deux bâtons de longueur inégale. On voit aussi parmi ces emblèmes

KÉPLER. 55g l'aimant dont Kepler a lire tous ses exemples dans ses théories métaphysiques. Enfin, une figure allégorique y désigne le système de Copernic.

Dans une longue préface , on ne trouve rien de remarquable que le soupçon de quelques équations séculaires dans la théorje de toutes les planètes , et qu'une longue suite d'années peut seule révéler aux astro-

Képler avertit qu'il a rejeté de ses tables celle des hexacostades ou soixantaines de jour et de degré. Cette table, introduite par les Al~ phonsins et conservée par leurs successeurs, n'avait d'autre avantage que de réduire les tables à un moindre volume ; elle ajoutait à la longueur et à l'embarras des opérations.

A l'exemple de Tycbo, il exprime les dislances des planètes en parties de la distance moyenne de la Terre au Soleil, qu'il suppose de 100000. Les longitudes, les latitudes, les moyens mouvemens et les prostaphérèses sont en signes, degrés, minutes et secondes. Les heures sont les heures équinoxiales.

Dans les tables de logarithmes, ceux qui ne sont marqués d'aucun signe sont positifs; les négatifs sont distingués par le signe — . Quand «les logarithmes se trouvent dans une même colonne avec des nombres naturels ou absolus y ils sont en petits caractères.

La première table a pour litre : Heptacosias , logarithmorum logisticorum; elle est du même genre que sa Chiliade; les divisions sont un peu moins serrées. A 90* on voit également répondre 60' et 24*; les sexagésimales y sont de 5 en 5"; les parties horaires y sont de 2 en a'; ^

^,=^ = ^ = 0.00138.8888/: c'est la différence constante entre f-e= I - * A

les sinus consécutifs dans toute l'étendue de la table. Les arcs doivent

donc diminuer inégalement ; — est le sinus-verse de l'arc de 3" 1' 12";

c'est la différence de l'arc de 90' à celui qui le précède immédiatement et qui sera 86" 58' 48".

^ répondent à 44 16' 18"; l'arc précédent sera 85*43'4a". Képler mct43"„

^ nous donnent le quatrième arc , 84° 46' 4".

l'arc de 83*57'28". Képler met a9".

l'arc de 83.14.37,4 > et ainsi des autres.

56o ASTRONOMIE MODERNE.

On voit avec quelle inégalité ces arcs diminuent. Les 6inus naturels ne sont pas à côté de leurs logarithmes , comme dans la Chiliade. Kepler les a supprimés, comme peu utiles.

Ces logarithmes , pris négativement , seront ceux des arc trouvés par celte analogie x : 60' :: 60' : x7; ainsi 5i' : 60' :: 60' : i* io7 35",3. Kepler met 3G"; 4' : 60' :: 60' : i5% et ainsi des autres.

La colonne des heures ressemble tout-à-fait à celle de la Cbiliade.

Cette table n\sst donc que la Chiliade refondue, augmentée de la colonne des privatifs ou négatifs, et diminuée de la colonne des nombres naturels; elle est composée de 720 lignes, et c'est par abréviation qu'il la désigne par le mot heptacosias , qui n'annonce queyoologarithm.

A l'occasion de son Heptacosiade, il cite en passant les logarithmes de Briggs et ceux de Juste Byrge, qui, bien des années avant la publication de Néper, avait été conduit précisément aux mimes logarithmes. Malheureusement ce court passage aurait grand besoin d'un commentaire, impossible peut-être à bien faire aujourd'hui.

Képler veut s'excuser de ce que ses logarithmes sont tous irrationnels et ne sont par conséquent qu'approximatifs; il sait qu'il aurait pu facilement donner à la minute un logarithme rationnel , tel que l'unité suivie de plus ou moinsde zéros; mais ce logarithme rationnel eûtctélescul dans sa table, aucun de ses nombres n'aurait eu ni a, ni 3, etc. pour logarithme. Il aurait pu, en prenant la minute pour unité, lui donner pour logarithme iOooo; alors 20000 eût été celui de 1"; Sooo celui de i"\ et ainsi de suite. On aurait eu l'avantage de reconnaître , à la caractéristique, à quel ordre de sexagésimales eût appartenu le nombre d'un logarithme donné, ce qui, au reste, se voit avec plus de facilité encore aux apices de l'ancienne logistique. Hoc inquam si expetù : ecce tibi apices logistices antiques , qui pixestant hoc longé commodiàs. Qui eiiam apices logistici Justo Byrgio , mtillis annis ante edilionem Neperianam, viam prœiventnt ad hos ipsissimos logarithmos. Etsi homo cunçtator et secretoruin suorum eus t os, fœlum in partu destitua, non ad mus pubUcos educavit. (Introd. aux Tabl. Rudoiph. , p. 11.)

Ces apices sont les indices % ", etc., qui dénotent les divers

ordres de fractions sexagésimales. Ce sout donc ces indices qui ont donné à Juste Byrge l'idée de ses logarithmes, c'est-à-dire qu'un nombre tel que i'. t'. 1". 1'". i'T, etc. lui aura présenté deux progressions qui se correspondaient, l'une géométrique, dont tous les termes décroissent dans la raison ^, et les autres croissent selon la suite des nombres naturels.

Cette remarque est encore bien vague. Archimède avait été plus loin dans son Arénaire; cependant nous sommes bien persuadé que jamais Archimède n'a eu l'idée des logarithmes ; il a eu celle de déterminer à quel ordre montait le produit de deux termes quelconques de sa progression géométrique, sans en faire expressément le calcul. Théon , Barlaam, Reinhold et quelques autres, ont donné des règles pour ce problème. Ce n'est pas en lisant ces auteurs que Byrge a conçu l'idée de tirer un parti plus avantageux de cette idée d'Archimède , car son disciple et son admirateur, Ursus Dilhmarsus, nous assure que Byrge n'avait étudié ni le grec, ni le latin; mais il a pu très bien voir cette doctrine exposée dans quelque Traité élémentaire d'Astronomie écrit en allemand. On pourrait donc inférer que Byrge donnant pour indice o à un nombre très grand, tel que looooooo, et l'indice i au nombre immédiatement inférieur 9999999, et les indices 2, 3, 4> etc«» aux termes successifs de la progression géométrique, dont les deux nombres sont les premiers termes , aura conçu le plan d'une table de ces deux progressions, continuées jusqu'au terme le plus voisin de l'unité, dans la progression géométrique, et à son indice dans la progression arithmétique. De cette manière , Byrge aurait eu deux progressions , l'une décroissante et l'autre croissante, comme dans le modèle qui lui en avait fait concevoir le plan , et au moyen de celte table il aurait converti les multiplications en simples additions. SinA et sinB, cherchés dans cette table, lui auraient donné, par l'addition de deux indices, celui du produit sin A sinB=sinC. Alors on concevrait que malgré l'utilité évidente de celte table, un homme paresseux et peu communicatif , cunctaloret secretorum suorurn custos, aurait pu se décourager, renoncer à son projet, ou bien l'ajourner. Les logarithmes de Byrge seraient précisément ceux de Néper; il aurait été couduit ad hos ipsissimos logarithmos; il aurait eu la première idée, il en aurait parlé vaguement à «on disciple Dilhmarsus, mais il n'aurait rien terminé, parce qu'il n'aurait pas imaginé, comme a fait Néper, des moyens, pour abréger un ai long travail. Les révélations incomplètes de Dilhmarsus auraient pu mettre Néper sur la voie ; car il parle de nombres logistiques qui remplacent les nombres naturels ; de la facilité qu'ils offriraient pour construire en quelques jours une table de ces sinus artificiels pour tout le quart de cercle; en effet, supposons achevée la table des deux progressions; Byrge pouvait y prendre à vue les indices ou les logarithmes de tous les sinus, et en achever la table, sans autre peine que de copier, Hist. de VA&lr. mod. Tom. I. 7 1

ou (outau plus d'ajouter quelques parties proportionnelles, aux nombres qu'il prenait à vue dans sa table. Cette table cependant en supposait une calculée par les moyens ordinaires, c'est-à-dire celle des sinus naturels, ce qui paraîtrait encore expliquer l'une de» énigmes de Ditbmarsus.

Tout cela est absolument possible; mais il est tout aussi naturel de penser que l'ouvrage d'un auteur dont la réputation n'était pas mieux établie que celle de Ditbmarsus, n'avait pas franchi les bornes de l'Allemagne et n'avait pas pénétré en Ecosse ; que Néper a pu faire de luimême tous les raisonnemens que nous prétons à Byrge , sur le témoignage de Kepler. Ce qu'il y a de certain , c'est que Néper est le premier auteur d'une table de logarithmes; que Képler lui-même, quand il a composé sa chiliade, parait avoir ignoré l'invention de Byrge , et qu'en donnant de justes éloges à celle de Néper, en la proclamant la plus admirable et la plus utile qu'on ait jamais faite depuis qu'on a la connaissance des nombres j il ne dit pas qu'elle eût été faite en Allemagne; ainsi le secret de Byrge n'avait guère transpiré. Quand Képler se disculpe, dans son Supplément, de n'avoir pas nommé l'inventeur, ce n'est pas Byrge qu'il cite, m&js Néper. A primo authore Nepero traditus. . . Illud elogium inventi Neperiani. C'est en i6a5 que Képler s'exprimait ainsi ; c'est en 1627 que, pour la première fois, il parle de Byrge. Si Kepler a reçu des informations si tardives, il est permis de croire mie Néper n'en avait reçu aucune; que la gloire lui appartient tout entière; et ses droits, en effet, ne sont nullement contestés. Voilà quelle était notre opinion, après avoir examiné tout ce qu'on pouvait conclure du passage de Kepler. Montucla, dans son Histoire des Mathématiques (lom. II, p. ioetsuiv.), a traité celte même question, et nous fournit des renseignemens très curieux. Voici comme il s'exprime :

« Çe qui le rend principalement recommandable (Byrge) est d'avoir concouru, avec Néper, dans l'invention et la construction des tables logarithmiques. Képler nous le représente comme un homme doué de beaucoup de génie, mais pensant si modestement de ses inventions, et si indifférent pour elles, qu'il les laissait enfouies dans la poussière de son cabinet. (Képler dit simplement qu'il était leroporiseur et réservé.) C'est par cette raison, dit-il, que quoique fort laborieux , il ne donna jamais rien au public par la voie de l'impression; mais Képler était dans Verreur en cela, et nous allons développer ici une anecdote assez 'curieuse sur ce sujet.

» Malgré ce que Képler avait dit sur Juste Byrge, on savait néan-

KÉPLER. 5G3 moins par le témoignage de Benjamin Bramer, qu'il avait publié quelque chose de relatif aux logarithmes. En effet, B. Bramer, auteur d'un ou* vrage allemand, dont le titre rendu eu français est : Description dun instrument fort commode pour la perspective et pour lever les plans (Casscl, i63o, in-40), y dit formellement : C'est sur ces principes que mon cher beau-frère et maître, J. Byrge,a calculé, il y a 20 ans et davantage, une belle table des progressions, avec leurs différences de 10 en 10, calculées à neuf chiffres, qu'il a aussi fait imprimer, sans texte, à Prague en 1620; de sorte que l'invention des logarithmes n'est pas de Néper, mais a été faite par J. Byrge, long-teras auparavant.

» Néanmoins, l'ouvrage de ce géomètre ne se trouvait nulle part et peut-être ne se serait jamais retrouvé, si M. Kœslner n'eût pas été conduit par ce passage à le reconnaître dans des Tables qu'il avait achetées parmi d'autres ouvrages mathématiques, et qu'il avait négligées jusqu'alors; elles sont intitulées /. B. arithmetische und geotnetrische progrès* Tabulen, etc. , c'est-à-dire, Tables des progressions arithmétiques ot géométriques, avec une instruction sur la manière de les comprendre et de les employer dans toute sorte de calculs; parJ.B., imprimées dans la vieille Prague, i6ao.

» Ces Tables sont sur sept feuilles et demie in-folio d'impression ; mais l'instruction annoncée par le titre y manque, ce qui donne lieu de conjecturer que quelques circonstances particulières empêchèrent la continuation de cet ouvrage. Et en effet on lit dans un autre ouvrage de Brammer, que Juste Byrge avait projeté de publier ensemble plusieurs de ses inventions, et que dans cette vue il avait fait graver son portrait, co 1619; mais que la malheureuse guerre de 3o ans, qui désola, comme ota sait, l'Allemagne, mil obstacle ace dessein. Cet ouvrage devait probablement faire partie d'un autre qu'il avait tout prêt, savoir, des Tables de sinus calculés de 3 en 2". Mais revenons aux Tables de logarithmes de J. Byrge. ^

w M. Rœstner nous apprend qu'elles n'étaient pas dans la forme des nôtres. Dans celles-ci, les nombres croissent arilhméliquement, pour avoir les nombres naturels , auxquels sont accolés leurs logarithmes correspondans; dans celles de Byrge, ce sont les logarithmes qui croissent arithméliquement de 10 en 10. lis sont imprimés en rouge, et à côté sont imprimés en noir les nombres naturels exprimés en g chiffres. Voici

une esquisse de cette table , qui en comprend le commencement et la

fin , avec quelques parties moyennes.

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