a. ia

56*3o 1 .a. ta

anomalia coœquata.

go.58. 8 etc.

o.o8ao3 »8i3

La première colonne esj expliquée.

La dernière, qui contient le rayon vecteur avec son logarith pas besoin d'autre explication : rayon vecteur = i-f-ecosx.

La colonne d'anomalie égalée donne cette anomalie et la différence première , qui est au-dessus de l'anomalie égalée.

Uintercolumnium sert pour les parties proportionnelles à prendre.

La fraction sexagésimale qu'on y trouve est le rapport 60' des

variations d'anomalies vraie et moyenne. Ainsi , de p° à i* d'anomalie excentrique, dz= i* i'5",

<fc=o'58'56", (^)6o'=(|^)6o'=57'53",5.

Kepler dit fy'fo". Au logarithme de ce rapport on ajoute le logarithme logistique de l'excès de l'anomalie donnée sur l'anomalie la plus voisine, qui se trouve dans la table, et Ton a le logarithme logistique de la partie proportionnelle de l'anomalie vraie.

On se rappelle que Kepler appelle équation physique z — j;=esinx, cl qu'il appelle équation optique la partie (jc — u).

A la suite de l'anomalie, Kepler donne les mouvemens moyens du Soleil, dans la forme sexagénaire des Tables Alphonsines.

Dans l'explication des anomalies, Képler enseigne à décrire par points l'ellipse inscrite à l'excentrique. Du centre de l'ellipse et de l'excentrique, il décrit un petit cercle du rayon e, et un cercle plus grand du rayon i ; il abaisse dans ces deux cercles les ordonnées sinar et esinjr, qui lui donnent ecosx; avec une ouverture de compas i rfcecos jr et du foyer comme centre, il fait une section sur l'ordonnée sina: du grand cercle. Ce point de section appartient évidemment à l'ellipse; mais on n'a aucun besoin de ce petit cercle. Soit AX l'anomalie de l'excentrique (fig. 79). Menez l'ordonnée XM, et sur le rayon prolongé XCP abaissez la perpendiculaire SP, XCP= i-f-ecos.r = SI\'.

D'une ouverture de compas = XP et du foyer S, marquez le point N sur MX; il appartiendra à l'ellipse. Cette construction est fort simple, et cependant je ne l'ai vue indiquée nulle part.

Rien de remarquable dans l'explication des tables.

Képler parait mettre quelque importance au calcul des stations. Une planète parait stationnaire quand elle est vue deux inslans de suite sur des rayons parallèles, d'où résulte celte équation i^-rcosP= WTcosT,

ou ^^==^î; c'est l'équation à laquelle nous parvenons par la diffé-

rentiation, quand nous négligeons, comme Képler, l'excentricité et l'inclinaison. Pour tirer quelque lumière de ce parallélisme, Képler fait une figure assez compliquée-, il mène des parallèles et parvient péniblement à l'équation qu'il a résolue ci-dessus par tâtonnement. La solution moderne, qui part du même principe, est directe et aussi courte à calculer que la méthode indirecte de Képler est longue et pénible. Ainsi, nous passerons cet article.

Képler ensuite considère la station en latitude , dont je crois que personne n'a parle, ni avant ni après lui. On sait que tangG = ^l tang H.

Si le rapport -A-<r varie en sens contraire de tang H, et de la même qnan-

tilé, il est clair que G ne changera pas. Ainsi, dÇ^-§) — — à tang H.

Rien de plus simple à trouver que JlangH; il n'y a de difficulté que pour

le rapport j)» Kepler trouve qu'il n'y pas d'autre moyen pour voir

si la latitude est stationnaire, que de faire le calcul pour deux jours consécutifs. Quand même ce calcul aurait quelque utilité, rien n'obligerait à le faire, on n'aurait qu'à ouvrir une éphéméride; ou bien, calculez l'aberration en longitude et en latitude par mes tables, vous verrez si l'aberration est nulle, positive ou négative, c'est-à-dire, si la station a lieu, si elle est passée, ou si elle n'est point encore arrivée.

Dans l'explication des hypothèses lunaires, on voit qu'Albert Curlius, ami de Képler, a le premier imaginé de placer au foyer supérieur le centre des mouvemens égaux; Celte idée était une suite naturelle des anciennes idées d'équant et de bissection d'excentricité. {Focorum ellipsis altevum,circa quod anomalia média œqualibus ordinalur angulis). La différence des trois hypothèses ne peut surpasser 2' ; ainsi, dit Képler, il est impossible que l'observation nous éclaire sur le choix qu'on doit faire. J'ai prouvé que l'erreur de l'hypothèse de Gurtius est ie*sin su+^sin 3«, ce qui, pour une excentricité qui donne 5a d'équation, ne ferait que 6'y, et ne changerait pas l'équation de 40". L'erreur ne serait donc pas de i'f et Képler avait raison de dire que les observations de ce tems ne pouvaient décider la question. Aujourd'hui, les observations ne laisseraient aucun doute. On pourrait demander s'il n'existe pas un point d'égalité soit au-dessus, soit au-dessous de ce foyer? ou peut répondre que non; il faudrait pour cela queitf'sin 2«-f- je'sin 5u eût la forme de lecruatiou dans l'excentrique, ce qui n'est pas.

Cette première anomalie, reconnue par Hipparque, est modifiée par une, seconde équation découverte et assez exactement déterminée par Plolémée; mais l'hypothèse sur laquelle il calculait celte équation, ne représentait ni les distances, ni les parallaxes, ni les diamètres. Copernic la corrigea. Régioraonlan avoit déjà montré que, d'après l'épicycle de Plolémée, le diamètre de la Lune en quadrature devait être augmenté de moitié en sus de ce qu'il parait daus les conjonctions, conséquence que n'admettent pas les observations.

Tycho découvrit une autre grande inégalité, qu'il appelle variation. Copernic, pour corriger Plolémée, employait déjà deux épicycles; il en fallait un troisième pour la variation, il n'osa pas le donner à la Lune;

il l'attribua au zodiaque. Celle inégalité lui ouvrit les jeux , et ktijit voir 7f^'f I*'*? que toutes ces diversités ne dépendaient pas des cercles réels, mais de causes naturelles. Que me restait-il à faire après Tjcho ? Ne voyant aucun

moyen, de dénouer le nœud gordien, je l'ai coupé. Après beaucoup de , méditations, après plusieurs transformations, il me paru t que l'anomalie ^ mensuelle ne changeait rien à la Ggure de l'orbe lunaire , ni aux dislances , y j

et qu'elle suivait la raison des phases; que les moavemens étaient accélérés y^j ou retardés, soit par la force de la lumière, soit par une faculté animale. y ,

Comme l'explication serait longue, il renvoie à son Épitome, de l'As- ** /''O^' "y **^

tronomie copernicienne, qu'il avait publiée sept ans auparavant, et que ^ nous gardons pour la fin , parce que c'est un résume de ses idées et de ses PM systèmes. Mais nous y prendrons dès a présent ce qui pourra nous faciliter l'intelligence de ses tables lunaires. ^

Il distingue, page 790, deux inégalités mensuelles, l'une temporaire (temporanea) , l'autre perpétuelle. La première est mensuelle, en ce qu'elle dépend de l'illumination de la Lune; mais elle n'est pas la même dans toutes les saisons, car elle va sans cesse diminuant jusqu'à disparaître. L'autre est constante, et revient la même à chaque lunaison ; ainsi elle est doublement mensuelle. Et, page 56 1 , ces équations dépendent des phases , les phases dépendent du Soleil ; le Soleil aide donc au mouvement de la Lune autour de la Terre j en accélérant le mouvement de la Terre, la lumière du Soleil accélère aussi celui de la Lune. Mais l'illumination de la Terre étant toujours la même , d'où vient que son effet sur la Lune est si différent? rien dans la Physique céleste n'est si difficile à exjdiquer. C'est peut-être que dans les syzygies, la lumière 'enfile directement les pores de la Lune; et que dans les autres positions, où la Lune est obliquement éclairée, la himière rencontre des aspérités qui l'empêchent de pénétrer aussi facilement et en même quantité. D'après ces conjectures, et d'autres de même genre que Képlcr expose cependant avec quelque défiance , il s'imagine que l'équation découverte par Tycho pourrait bien être de 5 j' au lieu de 40'; elle n'est guère que de 36'.

L'équation temporaire se montre partout hors des syzygies, mais sur-tout dans les quadratures et les octans : car lorsque l'apogée et Je nœud sont dans les quadratures, on a pendant tout le mois des équations simples. En effet, l'argument de l'évection est

CH-apog. = C — 20-f-apog. = (C— O) — (O— apog); si le Soleil est apogée, il ne reste que C — O = C apogée; la variation

dépend de a((£ — O); el 1 équation du centre, de (C — apogée) : les

deux équations dépendent du même argument.

.On applique le même raisonnement à la grande inégalité de la latitude et en mettant le nœud à la place de l'apogée ; on pourra donc sans erreur sensible, dans ce cas, n'employer qu'une table simple, qui n'aura qu'un argument; mais le mois suivant, l'apogée ne coïncidera plus avec le Soleil, l'autre inégalité commencera à se faire sentir; et cela d'autant plus que l'intervalle aura augmenté; de sorte qu'en supposant même la Lune apogée, ou C — apogée = o, ou <£ = Q , il restera encore une inégalité, puisque (C — Q ne sera pas o.

Si l'apogée ou le nœud coïncide avec la syzygie/lans la quadrature / la Lune serait à go* de l'apogée ou du nœud, la variation disparaîtra ,* les deux autres équations se réuniront et l'équation du centre sera la plus grande ; ce qui aura lieu sensiblement tout le mois. Képler dislingue ce mois par le nom de plein; l'autre, il le nomme vide, parce que les équations seront moindres. Dans les mois suivans, les équations diminueront en ordre inverse de celui selon lequel elles auront augmenté.

Képler développe longuement ces explications de causes physiques et de leurs effets; mais tout cela est un rêve de son imagination, qu'il serait assez inutile de suivre dans tous ses détails. Voyons seulement ses constructions el ses méthodes de calcul.

Il emploie huit figures différentes à démontrer ce qui doit arriver dans les circonstances principales. En simplifiant les démonstrations de Kepler, nous avons pu réunir les huit figures en une seule; c'est la figure 80.

D est l'apogée de l'équation elliptique, PIAG la ligne des syzygies; HAD = (O — apogée C) = argument annuel , car H est le lieu du 0 ; A la Terre, REB le cercle que décrit autour de la Terre le centre de l'excentrique; le demi-cercle supérieur représente l'hémisphère éclairé, YAZ le plan terminateur.

Képler place la Terre en A et dans la droite IAK, qui est dans le plan, l'excentricité AB produit l'équation elliptique; BZ=CA=cosHAD = cos (O — apogée (Ç) es^ une autre espèce d'excentricité qui varie d'un instant à l'autre, peu sensiblement pourtant pour un espace d'uu mois; c'est l'excentricité temporaire ou du moment.

Si le point B tombe en E sur la ligne des syzygies, le point E fait l'office de B et de C ; AE servira à calculer les deux équations.

Si le point B tombe en Y, AC = cos (O — apogée C) = o; il n'y a poiut d'équation temporaire.

KÉPLER. 577 Imaginez les droites ZO, ZN; " i BZ.BO = aire du triante BZO = { BO cos (O — apogée (£). Supposez ~ BO = 60', aire BZO = 60' cos (0 — apogée (£); c'est ce que Kepler appelle scrupula menstrua. Soit L la Lune, l'arc LD sera

l'anomalie = ({£ — apogée C)> retranchez-en DH = (© — apogée <£)» w ' p# * U^/i**

il restera <J>*>P- (C—O-r-ap. £ = — 0 = argument roeusuel. H** J-

L'aire du triangle CL A = iCA.LV = ± AE cos(©— ap. C)-Ï'V, * cl- J - t^O^yf-

aire du triangle BAN = |CA(CN-f-BC)==i AC.rayon=:iBZ. rayon, *i*,tû»^s- H* = *~ y *

aire du triangle BAO = iAC(CO— BC) = i AC.rayon=±BZ. rayon, "y j> J"<3 = r\X

aire du triangle CLA = i AC.LV=f AC(LT-VT) , , c2l t4» ^

= iAC(«nPL— sinPil) va*

= ^ACsniPL — jACAEsinBE

s= £ACsinPL--i AE.AEcos(©— ap.<£) 7/ . ^

X sin(©— ap. C) 7" *- V^'^ ?

= iACsinPL— i(AE)»sin 2(Q— ap.(C) ! x S:»**

= i ACsin(DL — PL) — ^(AE)*sin a(©— ap. C) s= j ACsin((C — ap. — © — ap.)

— (tAE)* sin a(©— ap. C) ss iACsin(C— O) — l(AE)*sina(0— ap. C) = iAEcos(Q— ap. C)««n(<C— 0)

—± (AE)» sin a(0— ap. C) s= a03o'cos(0— ap. Ç)sin(C — 0)

— a' 35" sin a(©— ap. C);

ce dernier terme a été introduit par Kepler, d après ses considérations j hvsiques ; il dit lui-même qu'on peut le négliger : c'est ce qu'il appelle la particule hors part.

En établissant la formule générale pour le premier quart, nous nous dispensons de suivre les huit figures dans lesquelles Kepler expose toutes les variétés qui peuvent se présenter.

Kepler démontre ensuite que son procédé pour calculer la variation, équivaut à celui de Tycho. Tycho fait la variation proportionnelle au sinus de aHAL; Kepler la tire du quadrilatère rectangle ' .

CRXA = CR. AC = sin RE cos RE = i sin aRE = } sin aHAL.

Kepler, au lieu de met 40' £ comme Tycho, et la variation est la même; il a renfermé toutes ces équations dans une même table, dout 1a formule doit être

Hist. de ÏAslr. mod. Tom, I. 75

/fiers**'

243o'cos(0— ap. (C)sin(C — ©)— a'35"sin a(© — ap.C)

-f-4o'3o" sin a((C— O).

En calculant par celle formule différentes parties de la Table de Képler j il m'a semblé qu'elle n'était exacte qu'à deux minutes près.

Répler dit qu'il a vingt fois changé la forme de cette table pour la rendre plus commode; il dit qu'il a suivi l'exemple des calculateurs hébreux, celui de Maginus, mais qu'il a renfermé en deux pages ce qui en remplit 5a dans Maginus. Origan avait déjà réuni les équations de Ptolémée et d'Hipparque en une seule table, qu'il avait rendue toujours additive par l'addition d'une constante qu'il avait retranchée des époques ; artifice déjà fort ancien , et doul nous avons vu un exemple dans la Table d'équation du tems des Tables manuelles de Ptolémée. Képlêr ne dit pas qu'en resserrant ainsi sa table il a laissé au calculateur l'embarras des doubles ou triples parties proportionnelles, sur lesquelles il est vrai qu'on pouvait n'être pas très scrupuleux.

Cette table est précédée d'une autre où il donne séparément les deux équations de Tycho et sa particule hors part. La variation et celte particule s'y prennent très facilement; pour l'évection, elle y parait* moins clairement : on la trouve par l'addition de deux lignes. Cette table est en cette partie une table de logarithmes logistiques; mais l'équation ainsi trouvée par logarithmes, doit encore être multipliée par a^j la table donne au plus 60', mais 60' x a f = a* So\

Il y a de l'adresse dans tous ces moyens ; mais le tout présente une complication à laquelle il faut s'accoutumer. 11 parait qu'elle n'a pas été du goût des astronomes; car Mercator, en réimprimant les Tables planétaires de Képlèr, a préféré pour la Lune les Tables de Tycho. Et en effet, puisque Képler n'a fait à la théorie lunaire de Tycho aucun changement, si ce n'est l'équation du centre calculée dans l'ellipse, et la pelite équation de 3'a5''sin a(© — ap.), qu'il avoue lui-même n'être fondée sur aucune observation, je crois qu'il valait presque autant s'en tenir aux tables primitives. Au reste, il est à remarquer qu'il n'est ici fait aucune mention de l'équation annuelle qui avait été soupçonnée par Tycho, par Képler lui-même, et dont ni l'un ni l'autre n'avait trouvé ta véritable valeur. Horoccius est le premier qui en ait donné un équivalent à peu près exact.

Répler passe à la latitude; il avertit d'abord, qu'il a ajouté a5/ au lieu du nœud. Tycho trouvait la latitude par la formule

sin X = «in 4«58'5o" sin (C — Q),

qu'il corrigeait ensuite d'une équation dont le coefficient était 19'. Kepler suppose 5* et 18'; il ramène encore à ses hypothèses le calcul de celte correction , et prouve que les résultats sont en effet les mômes quand on lient compte de la différence de a5' sur la longitude du nœud.

Pour trouver la parallaxe, il indique un moyen peu connu, et qui ne peut être qu'approximatif. Dans les colonnes de l'anomalie égalée , prenez la différence de deux lignes voisines, ajoutez-y vous aurez la parallaxe; la demi-parallaxe augmentée de ce même soixantième, sera le diamètre.

J'ai démontré que

{(x — ajstangjcsinx— ~tang';<sinax-f-etc, £(x' — u')=tang±esinx' — ilang'{<sinax/, — x)— ;(u' — tt)=lang;É(sinx'— sinx) — ^tang^sinax' — sinax), ifôo'-r^— u)]=3langi«ini(x'— x)cosi(x'-r-x)

— tang*^isin(x/— x)cos(x/+x)-f-etc.

Parallaxe===~^==^(i^cosx4-e,cos,x)==c(i-sin£cosx-f-siniccos,x),

Soit e = sin 59 14', { t = a' Z7' ; vous aurez

Go' — (u'—u) = 4 tang ? a sin ^ (x' — x) cos £ (x' -f- x) — etc., u! — u s= 60 — 4 ,ang f < «in 3o' cos (x -f- 3o) -f- etc. , fi (u! — - u) = 61 (1 — 0,0914 cos x -f- 0,0020886 cos ax) , et <w = C (1 —0,091 5 1 cos x-f- 0,0028319 cos* x);

supposez C = 61 , le premier terme de correction sera sensiblement le même. Ce moyen au reste, quand il sèrait plus exact, ne conviendrait qu'aux Tables de Répler qui dépendent de l'anomalie excentrique. Il n'est qu'une remarque empirique dont la précision est subordonnée aux suppositions qu'on fait sur la parallaxe et le diamètre.

Dans les préceptes pour les parallaxes de longitude et de latitude , il rapporte l'observation suivante. Le 3o janvier i6a5, ou le 9 février nouveau 6tyle, le soir, à Erbach, Ulm, Tburinge et autres lieux, ou vil Vénus qui touchait à la Lune en croissant, ou selon d'autres comme attachée à la corne gauche, et de ce moment on la vit tourner le long de la partie convexe éclairée inférieure, d'où il parait, dit Répler, qu'entre le coucher du Soleil et celui de Vénus, la Lune a dû être en conjonction avec la planète. Vénus était un peu plus boréale. Il trouve

58o ASTRONOMIE MODERNE,

par le calent, qu'à l'instant de l'observation, Véntw était de ai' plus avancée en longitude et de 5' plus boréale que le bord obscur; que la corne avait 0*47' de latitude et Vénus o'53' plus forte de & ; ainsi la Lune a toujours été au-dessous de Vénus. Si l'on a cru que la planète tournait le long du disque éclairé, la cause en est, suivant Kepler, qu'à mesure que le jour diminuait , la lumière de la Lune devenant plus forte , son diamètre devait paraître augmenté et l'espace entre la Lune et Vénus diminué d'autant. Vénus ne fut point occultée.

11 est plus croyable que la corne paraissait d'abord plus conrte, et que la lumière du jour ayant diminué, on vit mieux la pointe; que la corne augmentant de longueur, Vénus a semblé descendre le long du disque.

La troisième partie traite des éclipses. Pour trouver la conjonction écliptique, Képler emploie une Table qui lui donne toutes les conjonctions moyennes de l'année, en supposant que la première arrive à l'un des 5o premiers jours successivement. En marge est un nombre d'or qui n'est pas placé exactement aux mêmes jours que dans le Calendrier grégorien , il s'en faut souvent d'un jour. Képler nous avertit que son type n'est ni civil ni ecclésiastique, et par là plus exact, puisqu'il est formé par l'addition continuelle du véritable mois lunaire. Il y joint les multiples de la grande période 76 ans 5*5o'; une Table des retours du Soleil au nœud dont la période est de 2828 années juliennes. Avec ces secours, il enseigne à trouver les deux mois de l'année où il peut y avoir des éclipses de Soleil et de Lune, le jour à peu près et les pays où le Soleil peut être éclipsé. II enseigne enfin, par les mouvemens vrais, à changer une syiygie moyenne en une syzygie vraie.

Je ne vois rien de particulier dans le calcul de l'éclipsé de Lune. Pour les éclipses du Soleil, il calcule de même l'éclipsé générale ; mais les problèmes soivans n'avaient été ni résolus, ni même proposés avant Képler.

11 enseigne d'abord à réduire en'arc de grand cercle de la Terre les portions du disque de la Terre comptées du centre de ce disque. Le disque de la Terre est la différence des deux parallaxes horizontales. Il suppose d'abord que l'arc à transformer est la plus courte distance 53' 49", et que le disque ou son demi-diamètre est de 60' 21"; nous dirions

Si?", = sin 5465'i8"j Képler par sa Table aurait dû trouver 34» 4' 40":

il dit 34-5'.

RÉPLER. 58i Il cherche ensuite la partie de la Terre que couvre l'ombre de la Lune. H faut pour qu'il y ait ombre que le diamètre de la Lune surpasse celui du Soleil. Prenez la différence des demi-diamètres; Kepler la suppose de 54", la plus courte dislance esl 53' 49"

somme 34-43

différence 3a. 55

somme convertie en arc. . . = 35* 7' 3" différence = Sa. 58. 56

ombre de la Lune = a. 8.27.

K épier trouve a* 5' ou Si milles d'Allemagne, et il ajoute que si l'atmosphère au-dessus de nos têtes est privée de la lumière dans un rayon de 3i milles, on pourra voir des étoiles, parce que ces 5i milles sont plus que la partie visible de l'atmosphère.

La largeur du cône d'ombre couvrira donc a°8'a7", en supposant que l'éclipsé soit centrale, pour le lieu qui a le Soleil au zénil; partout ailleurs la section du cône par la sphère sera moins régulière.

Supposons le Soleil éclipsé cenlralemeut au nonagésime ; l'arc trouvé ci-dessus 34*5' sera la distance zénilale du Soleil et du nonagésime, et par conséquent le complément de la hauteur du nonagésime.

Mais supposons que le Soleil au nonagésime soit en simple contact ou éclipsé d'une quantité donnée; la quantité de l'éclipsé donnera la distance des centres; cette distance combinée avec la plus courte dislance des centres, donnera la distance du Soleil au centre du disque; vous aurez de même la hauteur du nonagésime égal au complément de l'arc de distance réduit en arc de grand cercle de la Terre.

Les problèmes suivans ont pour objet de trouver la hauteur du nonagésime.

i*. Dans le lieu où l'éclipsé centrale a lieu au nonagésime.

Ici Képler parait confondre l'instant de la conjonction avec le milieu de l'éclipsé générale. Â l'instant de la conjonction, il faut que la parai» laxe de hauteur soit égale à la latitude de la Lune; alors en effet le centre de la Lune sera sur le Soleil ,1a verticale se confondra avec le cercle de latitude, la parallaxe de hauteur = — -jr) sin dist. zéuil. = lalil. C ;

sin dist.zco.=1-^^e ? = cos hauteur du nonagésime.

58a ASTRONOMIE MODERNE.

Mais au milieu de la durée , pour que le centre de la Lune arrive sur celui du Soleil , il faut que la parallaxe de hauteur soit égale à la plus courte distaoce-des centres A cos 1 — <jr)sin dist. zénit. du O ,

et sindist. Z.© = ~~ =compI. hauteur du Soleil. Mais la hauteur

du Soleil n'est pas celle du nonagésime, car la parallaxe de hauteur, qui est la plus courte distance des centres, fait alors avec le cercle de latitude un angle égal à l'inclinaison de l'orbite relative ; le cercle de latitude fait avec le vertical du Soleil un angle égal a cette inclinaison; le Soleil n'est donc pas au nonagésime. Voulez-vous avoir sa distance au nonagésime, faites

tang dist. au nonag. = tang dist. © au zénit sin inclin, de l'orbite relative. Kepler trouve la dist. du Soleil au zénit 34* 4' • • • • ,ang 9,85oo3

sin inclinaison 5.i8 $,g6555

tang distance 0 au nonagésime = 5.54.37" 8,79561