C. sinus dist. O au point orient = 86.a

sin hauteur O = 55.56. o 9>9»8a5

sin hauteur nonagésime = 56. 5.5o 9>9'9°7

différ. entre la haut. O et la haut, du nonag. g.5o

Kepler a pu négliger ces 10' de différence entre les deux hauteurs.

Si la distance du Soleil au zénit était de 8o°, la distance du Soleil au noaagésime serait de 27» 38' 5a", et la différence des deux hauteurs serait i* i5' 19".

Pour avoir la dislance du Soleil au nonagésime ( fig. 81 ), il est évident qu'il faut abaisser du zénit un arc perpendiculaire ZN sur l'écliptique; dans le triangle SZN rectangle, formé par l'écliptique, la dislance du Soleil au zénit et l'arc perpendiculaire, on aura , outre la distance zénitale do Soleil , l'angle ZSN que celte dislance fait avec l'écliptique , d'où tang dist. au nonag. = lang disl. zén.Q sin inclin. = col haut. G sin inclin. , ensuite dans le triangle rectangle formé par la hauteur du Soleil et la

distance du Soleil au point orient de Técliplique , on aura

l'hypoténuse =90° — dist. nonagés. et la hauteur du Soleil, d'où

sin haut nona? = ain haut. 0 cos diat.zén. 0

* °' siudist.© au point orient cos dist. au nonagésime*

a*. Dans le lieu où l'éclipsé au nonagésime est d'un nombre donné de

KÉPLER. 563 doigts, ou même n'est qu'un simple contact, le précepte est le même, la dislance des centres est seule changée selon la quantité de l'éclipsé.

3". Dans le lieu qui voit l'éclipsé centrale à l'horizon le soir ou le matin , c'est-à-dire au commencement ou à la fin de l'éclipsé centrale.

Cherchez la hauteur du nonagésime pour le milieu de la durée; voyez si la Lune s'approche ou s'éloigne de son nœud; si elle s'approche , de la hauteur pour le milieu, retranchez 5* 18' pour le commencement, ajoutez-les pour la fin; si elle s'éloigne, ajoutez 5° 18' pour le commencement, retranchez-les pour la fin.

Pour sentir la raison de ce précepte que Kepler ne démontre pas, soit (fig. 81 ) EC l'écliptique, LV l'orbite apparente de la Lune, SM la plus courte distance, SI la latitude en conjonction; pour que le centre L de la Lune arrive sur le centre S du Soleil à l'horizon , il faut que la parallaxe de hauteur qui sera la parallaxe horizontale , soit égale à SL ou plutôt SL à la parallaxe horizontale. Prolongez SL jusqu'à 90% en Z' , Z'S sera le vertical du Soleil ; ce vertical fait avec l'écliptique l'angle Z'SE; l'horizon est perpendiculaire à Z'S; l'écliptique fera avec l'horizon un angle = 90e— Z'SE=Z'SZ=Z'SM-f-MS/=LSM+MSZ = LSM-r-Ij il s'agit donc de trouver LSM; or, LSM=90'— SLM,

cos LSM= sin SLM = f£ = -3L = ^L!;

mais

~w__r = sin SZ = sin dist. Q au zénil au milieu de l'éclipsé ~ cos haut. O au milieu de l'éclipsé ;

donc

sin SLM = cos haut. G au milieu de l'éclipsé = cos LSM ;

donc

LSM = haut, du O au milieu de l'éclipsé pour le lieu qui la voitcentrale.

A cet angle LSM, ajoutez l'inclinaison I, vous aurez l'angle de l'écliptique avec l'horizon pour le lieu qui voit l'éclipsé centrale à l'horizon. Cet angle est la hauteur du nonagésime.

Pour la fin, le vertical fera avec l'écliptique l'angle Z"SC.

L'écliptique fera avec l'horizon l'angle

9P° — Z"SC = Z"S/ = VSl = VSM — MS/ = LSM — I;

tels sont les deux préceptes de Kepler pour le cas où la Lune s'éloigne du nœud comme dans la fig. 81. Si la Lune approchait du nœud, V

serait le commencement. L la fin, et le précepte serait encore celui de Kepler qui est aiti*i démontré. Seulement on pourrait lui reprocher d'appeler bailleur du nonagésime pour I instant do milieu, ce qui n'est que la hauteur du Soleil. Il est vrai que la différence est légère et que pépier, dans l'explication de sa méthode, dit lui-même, p. 104 (ut sim/ilictus agarnus quant accuratiùs ), si nous préférons la simplicité a t exactitude ; 00 voit qu'en effet il suppose l'inclinaison de l'orbite re- Jalive de 5*18'.

4*. Pour les lieux qui voient un simple contact au lever ou au coucher du Soleil.

Soient I. et V les points de commencement el de fin de l'éclipsé générale ; l'angle cherché sera LSM=fcI, comme dans le problème précédent; mais LSM aura changé de valeur,

* LM corde de la demi-dorée générale »n LSM = w =

corde de la demi-durée générale

diffi-r. des parallaxes -f- somme dei demi-dianiètres '

c'est le précepte de Kepler.

5*. Pour le lieu dans lequel l'éclipsé finit par le bord inférieur et oriental au lever du Soleil, ou commence par le bord inférieur et occidental, quand le Soleil se couche, en sorte que ce lieu soit le plus occidental de tous les lieux de la Terre qui ont vu une petite éclipse au lever, et plus oriental que tous ceux qui ont vu le Soleil coucher avant la fin de l'éclipsé.

Ce problème ne concerne qne les éclipses dans lesquelles au milieu, l'arc de latitude est moindre que la différence des demi-diamètres du disque et de la pénombre; c'est-à-dire dans les éclipses qui peuvent être totales pour des latitudes terrestres de dénominations contraires, ou australes pour les latitudes septentrionales, el septentrionales pour les latitudes australes.

Le précepte est le même et la démonstration pareillement.

On voit que Képler ne considère qne le commencement et la fin de l'éclipsé, soit générale , soit centrale, et l'instant du milieu qu'il parait confondre avec la conjonction. Il nous dit, par exemple, l'arc de latitude au milieu de l'éclipsé; la plus courte distance n'est pas un arc de latitude, cela n'est vrai que de la distance des centres, à l'instant de la conjonction. Sa méthode n'est donc pas absolument rigoureuse en un point ; elle

est encore incomplète , puisqu'il ne parle pas des instant intermédiaires.

Le nonagésime est inutile pour ces problèmes, et il ne fiait qu'obscurcir la question et allonger les calculs ; mais Kepler a pris ce détour pour avoir la facilité de mettre une partie de la solution en tables. Du moins je le suppose, car il n'explique et ne démontre rien. J'ai résolu tous ces problèmes de la manière la plus simple et la plus directe, sans y faire entrer ni le nonagésime , ni aucune considération étrangère ; il y a cependant quelque ressemblance dans le fond de notre idée principale (voyez mon Astronomie, chap. XXIV, p. 1 17). Suivons Képler, et voyons ce qu'il va faire de la hauteur du nonagésime.

Quand on a la hauteur NO du nonagésime (fîg. 83), on a Z/?=dist. zénit. du pôle p de l'écliplique , car Zp = NO; on a Vp qui est l'obliquité de l'écliptique; on a zJ»P=:NS = dist. du Soleil au tropique du Cancer; car on suppose le Soleil au nonagésime, du moins à l'instant de la conjonction, ou, si l'on veut, du milieu de la durée, le triangle ZpP donne sin lat. = cos PZ = cos p sin Pp sin Zp cos Pp cos Zp

=cos(<)o'— O )sin » sin A-f-cos et cos fc=sin O si n u sin A-f-cos a cos A;

on a donc la hauteur du pôle du lieu qui voit le phénomène.

sin PZ,.sin/>..sinPA>.8inZ,P/> -^pz- — ^„ ~ cos il

= sin(i8o°— MP69) = sin(i8o«— MS);

on a donc l'ascension droite du milieu du ciel, pour le lieu du phénomène; on la compare à celle qui a lieu sous le méridien des tables, et l'on a la différence des méridiens.

Ou bien, pour le milieu, on a nonagésime = ©; point orient =0+go*j on cherche dans les tables sa différence ascensionnelle, son ascension droite, son ascension oblique, le point de Téquateur au méridien, ou l'ascension droite du milieu du ciel , et la différence des méridiens.

Cette méthode de Képler a donc les mêmes fondemens que la mienne, mais elle est beaucoup moins claire, d'autant plus qu'il ne démontre rien; en sorte qu'ayant voulu la lire, il y a long-tems, je n'y avais presque rien compris, et c'est seulement depuis que j'ai trouvé ma méthode tri— gonomé trique pour les éclipses, que j'ai pu trouver la démonstration de ses préceptes. Remarquez qu'il fait l'inclinaison de l'orbite relative à une quantité constante 5° 18'. Ainsi, la méthode n'était qu'approximative, mais bien suffisante alors sur-tout, vu le peu de certitude dont ces an- Hist. de l'Jstr. mod. Tom, I. 7 \

nonces étaient et sont encore susceptibles. En effet, le rayon du disqne, ou la différence des parallaxes, n'est guère que de environ, et elle répond sur la Terre à un arc de go".

Au commencement et à la fin, le Soleil n'est point au nonagésime, mais il est à l'orient; on a donc le point oriental de l'écliptique, et, par conséquent, le nonagésime dont on a aussi la hauteur; le reste du calcul est le même. Nous avons supposé la latitude en conjonction boréale; si elle était australe, on aurait les mêmes préceptes, sauf quelques changemens de signe.

Il rassemble ensuite, en une demi-page, quelques remarques générales sur Tordre des phénomènes, et la marche de l'ombre sur la Terre ; il n'en démontre aucuue. Ce chapitre aurait besoin de développemehs assez longs. Voyez mon Astronomie ou celle de Lalande, le Traité de Duséjour, et le Mémoire de M. Monteiro, sur le calcul des éclipses.

Il donne très brièvement les règles et deux exemples de calculs d'éclipses solaires pour un lieu déterminé; je n'y vois rien de neuf.

Pour -terminer ce chapitre, il parle d'une dernière et mensuelle équation du tems dans les éclipses. «Malgré tous les soins qu'on a pris pour déterminer les inégalités de la Lune, cet astre rebelle rejetant toutes les lois qu'on lui veut imposer, s'écarte encore des calculs. On a reconnu que vers l'équinoxe du printems, il entre plus tard dans l'ombre, et qu'à 1 equinoxe d'automne il y entre plus tôt. Celte inégalité n'a été remarquée que dans les éclipses. Qu'arrive-t-il à la Lune quand elle passe par les points équinoxiaux hors des syzygies? personne n'y a fait attention, que je sache; ce n'est ici ni le tems ni le lieu d'en chercher les causes. En attendant qu'elles soient connues, tout ce que nous pouvons faire est d'établir une règle tirée de l'expérience. »

Ces causes étaient sans doute le nombre des équations négligées dans la théorie de la Lune; mais voici la règle empirique de Kepler.

Prenez dans les tables de la Lune l'équation physique (esinx), multipliez-la par 8, et vous aurez des minutes qu'il faudra retrancher du tems apparent de la syzygie; si l'argument (Q — ap.(£) surpasse 180% vous ajouterez ces minutes au lieu de les retrancher.

Vous changerez les signes, si vous voulez corriger les tems observés d'une éclipse; celte équation est importante, sur-tout pour les éclipses de Soleil ; il en donne pour exemple une éclipse dont les lems avaient été marqués d'après l'horloge de la ville. L'équation csin x peut aller à a°£, qui feront ao' de tems. En ao' la Lune avance de it' environ. Ce serait

KLPLER. 587 une équation de n'sin(0 — ap.(C), ce qui ressemblerait fort, pour la quantité, à l'équation annuelle qui est n'sin(0 — ap.Q).

Kepler cherche ensuite le point du disque où l'éclipsé doit commencer ; il calcule l'angle que le cercle de latitude fait avec le vertical, au moyen

de l'équation «» = sio a"Sle de r"Hpûqae avec le vertical

= cos angle du cercle de latitude avec le vertical.

Il cherche le lieu vrai de la Lune par l'observalion de la fin ou du commencement de l'éclipsé. La distance des centres est donnée, c'est la demi-somme des diamètres; il calcule la latitude apparente (X — t);

~~^™^ = cos diflër. appar. de longitude; différ. appar. — parall. longit.

= diQer. vraie de longitude. Il en conclut la longitude vraie, le lems de la conjonction vraie, et la différence des méridiens.

C'est, dit Kepler, le meilleur et le plus beau moyen pour connaître L&yJ^* JU

la différence des méridiens. Voilà encore un service important rendu par I cit+u *ytten . Kepler, qu'on peut regarder avec justice comme le fondateur du Calcul ' astronomique moderne.

On pourrait dire que ces trois cosinus ne donnent pas la différence apparente de longitude avec une grande précision ; mais ce n'est là qu'une difficulté trigonomé trique à laquelle on peut remédier en faisant

, - cos dL =: a sin idL = i - S2i£±j) = ™

» COS (A — ») „CM(A.- tr)

aainj (/+</ — a -f *) sinU^-M-t-A — *)