sin À tanff x = "° = - mgin A

l'auteur, qui n'avait pas de tangentes, faisait

tinx sin A sin' x sin» A .

cosx n-l-coaA i— sin'x (n -f- cos A)* '

(n H- cos A)* sin'x = sin' A — sin* A sin' x, (n+ cos A)' sin' x -f- sin' A sin' x = sin* A,

sîn' x = »in'A = «£A

(» -+- cos A)* -f- sin" A x» -f- an cos A + cos' A -f- sin* A __ sin» A sin* A

» + «* -f- an cos A i+sn+n' — fa gin* \ A = «in» A 4jtin'f A cos* \ A

(» -f »)' — fa i A ~~ (i ■+■ n)' — fa »Î^J 4*'"' î A — /fcin* y A

(i -+-")' — 4nsin»i A»

ce n'est pas ainsi qu'il procède; il suit la méthode de Ptolémée : voilk donc la méthode astronomique.

Pour la manière géométrique, on ne se sert point de sinus, mais simplement de la raison des côtés. 11 n'en dit pas davantage et nous renvoie à la 3« proposition du VIe livre d'Euclide, qui dit que si une droite partage en deux l'angle au sommet d'un triangle, les segmens de la base seront entre eux comme les deux côtés qui comprennent l'angle; théorème employé par Arislarque; mais Euclide pourrait bien être un peu plus ancien qu'Aristarque : par ce moyen, ou ne partagerait un angle qu'en deux parties égales.

Ce qu'il a dit delà méthode arithmétique serait intéressant, s'il avait daigné s'expliquer un peu plus clairement , voici ses expressions :

u La méthode arithmétique partage un angle en raison donnée, eo un

URSUS DITHMARSUS. 289 nombre quelconque de parties ; elle se fait par la recherche des raisons qu'ont entre eux les segmens d'une droite perpendiculaire à l'un des côtés de l'angle; on cherche les raisons des segmens de la perpendiculaire, si Ton veut diviser l'angle en parties égales , par des sécantes. Cette section se fait d'abord dans l'angle droit; et ensuite, au moyen de l'angle droit, dans un angle quelconque aigu ou obtus.»

(On sait aujourd'hui que Ung A' — UngA = "n (A'

° ° CM A cos A

Si l'on fait A' — A = i* ou i', ou une quanlUé constante, les sections de la tangente seront — -j-~^__t variables par conséquent; si l'on

veut que tang (A -h a) — lang A = C0,A^"gL+<>) soit une quantité constante, a sera variable ; soit

» = taitg (A + fl) — Ung A =

cos A cos A cos a — cos A sin A sin a lang a tang a(t -f- tang* A)

— sin A cos A tang a i — taug A taug a 9 m — m tang A tang a = tang a -f- tang' A tang a, m = tang a m tang A Ung a -f- tang* A Ung at

tanc a = - — -

° i+m tang A taog" A

m m cos* A

sec* A + m tang A i -f m sin A cos A5

ainsi pour une augmentation m dans la tangente, on aura

Une « = m cm' A >(i -f- cos a A)

au moyen de ces formules, on aura m par a ou « par m.)

Dithmarsus coutioue : cette invention est de Byrge, et je l'ai exposée dans la règle suivante : choisissez arbitrairement le nombre de parties dans lesquelles vous voulez diviser l'angle droit; prenez la différence entre la dernière portion et l'avant dernière; cette même différence, ajoutée au nombre précédent le plus voisin, sera la différence entre la pénultième et l'antépénultième, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous arriviez au premier des nombres posés.

Vous répéterez la même opération précisément de la même manière, la dernière sera la dernière différence première ou la dernière portion de Hist. de l'Astv. mod. Tom. J. 3;

29o ASTRONOMIE MODERNE,

l'angle partagé ; et celte même portion , ajoutée à la différence suivante la plus prochaine , sera la seconde portion , et ainsi de suite jusqu'à la différence la plus basse; et plus vous répéterez l'opération et plus l'angle sera exactement divise, jusqu'à ce qu'enfin la raison des portions restera presque absolument invariable.

Pour éclaircir celte règle, qui en a grand besoin, il ajoute une figure qu'il dédie à Juste Bvrge, son maître; c'est un quart de cercle divisé de 1 5 en s 5% avec les 6inus de ces différens arcs.

A côté de cette figure, il place le tableau suivant :

Ce tableau parait indiquer des différences de plusieurs ordres, qui vont toujours en diminuant, jusqu'à devenir presque constantes. L'auteur aurait bien dû ajouter un exemple numérique.

11 dit enfin : par cet artifice inappréciable, le canon des sinus sera construit avec une extrême facilité en deux ou trois jours, ou quatre, ou huit au plus; ce qu'on ne ferait par les cordes, avec beaucoup de peine, qu'en plusieurs années. Jusqu'ici, nous n'avons parlé que de la table en nombres, nous nous réservons de traiter de la construction en nombres , soit vulgaires, par l'inscription, soit logistiques, parla section de l'angle; nous parlerons tant de ce que nous avons déjà dit, que de ce qui nous reste à dire; nous en donnerons les causes et les démonstrations dans notre grande et royale Astronomie (à moins que l'argent ne nous manque pour les frais de l'impression); en attendant, nous allons exposer une méthode plus facile à comprendre; elle est fondée 6ur la quadrature du cercle.

Je ne sais si ces nombres logistiques de Byrge, pour remplacer les nombres naturels, sont ceux dont parle Kepler, quand il nous dit que

URSUS DITHMÂRSUS. 2.,, Byrge avait prévenu Néper. Mais, si la table n'exigeait que quatre jours de travail, Byrge et Dilhmarsus ont mérité le reproche de paresse ou d'indifférence, pour ne nous avoir pas mieux fait connaître cette invention si précieuse.

Remarquons que l'impression du livre de Dilhmarsus a précédé de 36 ans celle du livre de Néper, qui par conséquent aurait pu profiter de l'idée de Byrge, laquelle en effet a la plus grande analogie avec celle qui sert de fondement au Mirijicus Canon. {V ojr. ci-après l'article Néper),

La méthode de quadrature dont il va parler, est de Simon Duchesne de Bourgogne, citoyen de DelfL Dilhmarsus la qualifie de découverte divioe.

Soit AB le diamètre d'un cercle, BO la tangente à l'extrémité B (fig. 5i); soit BC un arc quelconque, la corde BC sera perpendiculaire sur la corde AC ; vous aurez

corde BC%= asin f BC =3 asin A, corde AÇ = asin (90* — A) = acos A, BD = atang A,

AC .= BC lang B'x= asin A, cot A = acos A, AD = AC + CD = AD = a-^£ = * +'"n' A = -^r.

cos A cos A • cos A

Maintenant, soi* A tel que

AC = BD ou acos A = atang A et cos A = tang A, cos* A = sin A , 1 — sin* A = sin A , 1 = sin* A sin A , 1 -f- i = l = sin*.A -f- sin A -f- ^ = (sin A +

= sin A4- i, ^ = sin A

= corde 36 = a. sin 18*.

L'auteur prétend que AB.BD = a. atang A = 4'ang A est la surface du

cercle; mais 4,ang A = 3,14460,57

et la surface = 3,i4i5g,a7

erreur de cette quadrature divine , =: o,oo3oi,3o.

tang A = ^ = ^|^t= V,wnTA",4Ung A=4N/smÂ==.

L'auteur en donne une longue démonstration qui n'est pas bien claire; mais il ne dit pas quelle est cette tangente BD = AC. Pour l'usage qu'on en peut faire, il renvoyé à son Astronomie; il annonce, qu'au moyen de celle invention ingénieuse on pourra se passer de sinus; mais en attendant, il va montrer comment par les sinus, on pourra résoudre tons les triangles possibles; et ce qui est assez bizarre, il commence par les triangles spbériques.

Pour les triangles rectangles, il emploie le théorème de Céber. .. cos A"= cos C sin A; il se sert des deux triangles complémentaires ajoutés successivement à un triangle rectangle donné.

Pour les triangles dans lesquels on connaît les trois côtés, il donne, d'après

Juste Byrge, une construction de la formule cos A" = co*c ~~ C0-C (;0, C r

par la projection orthographique du triangle : cette solution est simple en théorie, le calcul en est long. On a vu dans Albatégnius une solution fort ressemblante.

Pour le cas d'un angle entre deux côtés, tous connus, il y a peu de chose à changer au calcul et rien à la construction. Après ces deux casr qu'il appelle ordinaires, voyez, nous dit -il, voyez amis de la science,, pesez et admirez l'habileté de Juste Byrge; comparez cette route facile, aux labyrinthes des autres auteurs; voyez de quelles peines, de quels ennuis nous avons été délivrés par ce grand artiste , et partagez ma reconnaissance.

Pour les autres cas, il partage le triangle en deux rectangles, en abaissant un arc perpendiculaire, ou bien il prolonge les côtés jusqu'à go* ou 180°, il prend les supplémens on les complémens des angles. Quand il abaisse une perpendiculaire, il commence par la calculer ainsi que les segraens* soit de la base , soit de l'angle vertical ; quand il prolonge les côtés, il trouve que l'explication serait trop longue, et présente huit figures qui pourront guider le calculateur dans tous les cas possibles. 11 passe aux cas ambigus qui admettent deux solutions, à moins que quelque circonstance du problème ne donne l'exclusion à Tune des deux valeurs; pour reconnaître ces circonstances il renvoie à son Astronomie. Il arrive au sixième cas, qui exige une perpendiculaire et les prolongemens de tous les côtés ; il commence par exposer d'une manière assez obscure la méthode qui sert à partager un angle en deux parties, quand on connaît le rapport des sinus des deux segmens de l'angle; alors il chante victoire, il s'écrie : Délie io Pcean et io eiiie Pœan; puis il procède à la

URSUS DITHMARSUS. 59»

solution qui donne les trois côtés quand on connaît les trois angles. Il n'y avait pas de quoi tant triompher ; sa solution ressemble beaucoup à celle de Copernic; elle est seulement nn peu moins claire : comme Copernic, il n'emploie que les sinus.

Pour les triangles rectilignes , on ne voit rien de nouveau ; dans le ca» des trois côtés donnés, il emploie le théorème

, j i v somme des cAtw difler. des eétés

differ. des segm. de la base = g— - ;

il se fonde sur deax théorèmes d'Eudide. En effet, il peut se déduire de plusieurs propositions différentes du a* et du 5* livre , mais il a été employé par Ptolémee dans le calcul des éclipses, et démontré par Théou.

Il donne enfin un petit Traité d'Astronomie assez superficiel , mats toujours un peu obscur ; il finit par exposer son système, qui donne à la Terre le mouvement diurne; il laisse le mouvement annuel au Soleil , qui entraîne avec loi toutes les planètes. A la rotation de la> Terre près, c'est le système de Tycho qu'il revendique } il prétend l'avoir communiqué a Rolhman qui l'a fait connaître à Tycho. Noua avons vu dans les Lettres de Tycho, que quand il eut fait part de se» idées à Rothman, celui-ci répondit que le landgrave possédait depuis long-tems une machine de Byrge, qui représentait uni système assez semblable. Dans cette circonstance, connue en beaucoup d'autres , il n'est pas nécessaire qu'il y ait un plagiaire ; l'idée du système de Dithniarsus on de celai de Tycho, n'était pas bien difficile après Copernic etPtolémée; ce n'est qu'un mélange de deux hypothèses, et ce .système ne valait guère la peine qu'on se le disputât avec chaleur et avec amertume. Tycho nous dit dans sea Lettres-, que Dftbmaraus avait vu chez lui , dans son lie, le système représenté par une figure, tel qu'il l'avait d'abord conçu , avec une faute qu'il a corrigée depuis et que Dithmarsus a conservée. Voyez les Lettres de Tycho, page j4<); la lettre est de lévrier i58g, après la lecture du livre de Dithmarsus. La visite de Dithr xnarsus à Tycho est de i584> Il resterait à savoir l'année où J. Byrge composa le Planétaire; c'est ce qu/Ursus nôus dira lui-même.

Ces inculpations de Tycho, les représentations d'Ursus , qui était ou "voulait se faire passer pour le premier auteur du système auquel est resté le nom de Tycho, avaient aigri les deux prétendans. Nous avons vu avec quel mépris Tycho traite son compétiteur ; nous allons voir comment Ursus s'en vengea, par l'Ouvrage dont voici le titre :

itf ASTRONOMIE MODERNE.

Nicotai Raintàri Vrsi Dithmàrsi , de Astronomicis hypothesibus seu Sjslcmate Mundano, Iractdtus astronomicus et cosmographicus, scitu cum jucundus tant utilisilhUis;itemaslronomicarumh)polhesiunt à se invenlarum, ohlatarum et editarum , contra quosdam eas sibi temerario seu potius nefario ausu arrogantes , vendicatio et defensio, e que sacris démons (ratio earumdemque usus... cum quibusdam novis subtilissinisque compendiis e{ artificiis, in plane nova doc tri nâ sinuurn et triait guloruin, iterum jamque altéra vice exhibitâ : nec non aliquibus exercititiis mathematicis jucundissimis ad sobendwn omnibus ac prœsertlm suis Zoïlis et suggillatoribus, ob palmam magisteriumque mathemaUcum, mathematicique exercitii gratiâ propositis; ac denique problemata totius processus Astronomie** observationis scu rationis observandi t« Qourôfier*. Oseœ chap. 1 3, wTrxrritJCfjuu àurotç uç afxroe. (Occurram eis quasi Vrsa raptis oatulis.) Prngte, i397 » in~4* de 80 page*, dont six de figures.

Ce tilfe fastueux, que nous avons encore abrégé, nous annonce un ouvrage bien curieux, ou la production d'une tète peu saine. Weidler n'en dit rien autre chose, sinon que Tycbo y est indignement déchiré; niais notre curiosité étant vivement excitée par l'annonce d'une nouvelle et très subtile ' Trigonométrie »[ pour le lire et' l'extraire, nous nous sommes adressé, à M. Halma, traducteur de Ptolémée^qui nous a trouvé cet ouvrage à la Bibliothèque de Sainte-Geneviève, dont il est un des conservateurs. .... •,;

L'auteur, dans son épi Ire dédicatoire^ nous idifc que c'est le ,»«r oc» tobre 1 585 qu'il imagina ses hypothèses, un an après sa visite à Tycho; et que le i<r de.mai.j686, il les exposa au landgrave de Hesse, qui en fut si charmé, qu'il donna tout aussitôt l'ordre «1 son artiste Juste Byrge, helvétten, d'exécuter ce nouveau- système en, lai ton; il en appelle au témoignage de Byrge; il ajoute que Rotbman ^ mathématicien du prince, envieux de sa gloire, se conduisit comme un traître et un iscariote, eu communiquant la découverte à Tychd. Nous avons vu dans les Lettres de Tycbo, que Rolhman, au contraire, lorsque Tycho lui expliqua pour la première fois son syième, fit la remarque qu'il avait vu chez le landgrave une machine exécutée d'après un système tout semblable ; et nous ne voyons pas quel intérêt si grand Rolhman pouvait avoir à dépouiller Ursus pour enrichir un tiers. Nous avons. vu comment Tycho explique la remarque de Rothman ; il parait constant que la machine existait à Cassel avant que Tycho eût expliqué son système à Rothman; au reste, Lrsus prétend qu'Apollonius de Perge avait eu la même idée > et même

URSUS D1THMARSUS. a95 qu'elle est suffisamment exposée dans le livre des Révolutions, de Copernic, liv. 111 , chap. xxv, etliv. V, cbap. m et xxxv. Tychoadû HreCopernic, il ne Ta donc pas entendu, nous dit Ursus, ou -bien il a cru que d'autres ue l'en tend raient pas; il objecte à Tycho, que toute la sagesse n'est pas renfermée dans sa petite cervelle danoise , et qu'elle n'y est pas entrée par les larges ouvertures de son nez coupé; il se répand contre lui en injures, dans une épllre dont np,us citerops les vers suivans, parce qu'ils contiennent des problèmes qu'il le défie de résoudre.

1. Zoile si poteris, tu quœque triangula solvas, Perqtte sinus sofas absquè opérante manu?

Ce premier problème était complètement résolu dans l'ouvrage posthume de Réeiomoutan : mais il ajoute :

• • "'/'I ' . J !*'•.. - « -.'J/li' /

Ut divisio nec neque muUiplicaùo ftat, SU quoeumque loco maximus ipie sinus.

On pourrait soupçonner qu'il indique ici les logarithmes, mais nous verrons qu'il ne parle que de sa proslaphérèse.

■ :. H. Zoile si poteris, notis sinibusve duobus, Per divisum omnes inventas reliquot ?

11 donnera plus loin la solution de ce second problème.

IH. Noto unove siau per singula scrupuia tunrlos ,

Proximè et inventes arte sinus altos. TV. Zoile si potèris, quantum perpendiculi omnis,

Triquetri inventas , per canonem que trtum ? V. DU ubi in orbe facus repedat quo corporis umbra,

Quâ vel in quovis ftat id arte loco? .

Ce dernier problème n'est ni difficile ni nouveau.

Il attribue les homocentriques à Eudqxe, et les excentriques aux pythagoriciens; selon lui, Aristarquc est le premier auteur du système de Copernic. Je le veux bien, mais personne n'a dit quels développement Arislarque avait donnés à celle idée, ni de quelles preuves il l'avait appuyée; enfin, on ne voit pas quelle conséquence utile il en a pu tirer. S'il eût aperçu que ce système liait toutes" les parties de l'univers, et déterminait les distances des planètes qui sont arbitraires dans l'ancien système; il serait plus que singulier qu'Arcbimèdc n'eût pas été frappé de cet avantage singulier, et que Ptolémée eût dédaigné d'en parler. Il

reste donc infiniment probable qu'Aristarque et tons ceux qni ont fait mouvoir la Terre, avant Copernic, n'ont eu que des idées vagues, et rien d'arrêté ou qui méritât quelque attention.

Il répète que Copernic a lui-même indiqué le système d'Apollonius, et qu'il l'avait trouvé dans Martianus Capella. Qu'enfin, Hélisœus Roslin a pillé Apollonius ou Tycho et s'est déclaré l'auteur de celte découverte. Tout cela peut être, et plus d'une fois nous avons témoigné notre surprise qu'une chose si facile ait échappé a l'attention de ceux qui avaient tant de répugnauce à croire au mouvement de la Terre.

Voici l'un des passages de Copernic, liv. III, chap. xxv.

« Nous n'ignorons pas que si Ton plaçait la Terre immobile au centre » du monde et de la révolution annuelle, et qu'on donnât au Soleil » mobile les deux mouvemens que nous donnons au centre de l'excena trique, on aurait les mêmes phénomènes et les mêmes nombres pour » les calculer; il ne resterait a la Terre que le mouvement diurne autour » de son axe; on resterait dans le doute sur le vrai centre du monde, » on ne saurait s'il est dans le Soleil ou hors du Soleil. Nous en dirons » davantage à l'article des planètes. »

Ou ne voit là ni le système de Tycho, ni celui de Ptolémée-tout pur; on ne voit pas quel est le centre des mouvemens planétaires. Ursus ne prouve pas mieux, qu'Apollonius ait eu la même idée que Tycho; voici ce qui regarde Apollonius.

4f Ce sujet a été traité par plusieurs mathématiciens, et notamment par » Apollonius; mais ce dernier ne considérait qu'une seule inégalité, et » celle par laquelle les planètes se meuvent relativement au Soleil mobile, » et que nous appelons commutation, à cause du mouvement du grand » orbe de la Terre. » Et plus loin, « Pour ces démonstrations, ApoU » lonius pose un petit lemme, dont nous ferons )e même usage pour la » Terre nubile. »

Ce mouvement de commutation est le mouvement relatif de la planète sur son épicycle, dans le système de Ptolémée. Je ne puis rien y voir qui suppose l'idée de Tycho , qui (ait tourner le Soleil et son cortège de planètes autour de la Terre. Si Apollonius en était le premier auteur, Ursus n'aurait rien inventé non plus que Tycho ; mais Ursus , qui se défie de ses droits, veut du moins dépouiller Tycho, par esprit de vengeance. Au reste, l'idée n'était ni assez bonne , ni assez difficile à trouver, pour justifier ni l'aigreur de Tycho, ni les invectives dont les deux conteudans se montrent si prodigues. Ursus n'est guère moins irrité

URSUS DITHMARSUS. 297 contre Rothman, qu'il traite avec une virulence qui suffirait pour ôter toute confiance à ses allégations.

En comparant les trois systèmes, il trouve des absurdités dans tous, et c'est ce qui le détermine à donner à la Terre le mouvement diurne autour de son axe; ce qu'il prétend prouver par les passages mêmes de l'Écriture; et pour prouver ce mouvement et l'immobilité de la sphère éioilée, il cite ce vers de saint Ambroise, qui probablement lui donnait un autre sens ;

la terrâ irrequies , in cœlo grata quies est.

En réfutant ce que Tycho avait imprimé contre lui, il assure que jamais il n'a mal parlé de Tycho, si ce n'est peut-être au sujet de son nez coupé. Nous citerons ses propres expressions.

JVisi forte. . . de amputât o ipsius naso jocatus : de quo eum me in mensa quœritabanl feslivi ac faceti mei socii, pictores, aurijabri, horologiarii et id genus hominum, ego illis indicavi, Tjrchoni non totum nasunt, sed superiorem duntaxat ejus partem esse abscissam ; inferiorem vero portionem, ipsas que oras narium instar perspicilli ei esse relictas. Hanc meain seriam quidem et minime jocosam, mullo minus scommatricam (hoc enitn Deus avertat) responsionem , salso quodam risu excipiens quidam pictor, ipsumque Tj chonem graphice et ad vivum, suisque nativis ac genuinis coloribus dm ingens , in hujusmodi verba in que hanc sententiam erumpens dicebat : ergo Tycho est naturalis astronomus, adque observationis ojîcium accommodatissimus ; habet enim pinnacidia vel dioptrica foramina in ipso naso, itaque neque aliis ullis instrumentis indigebit. Car itaque démens tôt sumptus in alla atquc alia instrumenta impendit? cur non poiius contentas abit cum rmtà><> ac naturali, ab ipsâ provida matre naturâ tant benigniler clemenierque ç* concesso instrumenta aplissimo.

Kamque supervacaum Jïefi per plura quod œque, Tarn facilè fteri per breviora potest ,

atque hœc Me : aller vero bonus socius aurifaber addebat dicens ; si ego essem apud Tjchonem, ego vellem ei imponere aureum vel argenteum nasum. Tertius omnium maxime festivus addebat, se aliquando in Saxonuî audtisse, quando olim Roslochii Tjchoni nasus noctu inque tenebris esset amputatus , eum non potuisse inveniri ante malutinum tempus, et tum in nescio quâ tain nobili naso minus conveniente malcrid esse repeMum, idque à sue nifallor. Aljiw. ehis/nodt fuerunt mensales nostrœ inter nos confabulationes, quos quideWkon in tgnominiam Tjchonis ejusve nasi refero, Uist. de tJtlr. môd. Tom. ï. ~ 38

at>8 ASTRONOMIE MODERNE.

sed ut sciât ipse nostri dissidii occasionem alque origineni, ftdelUer profero.

Nous ne traduirons pas ce passage, dont Kœstner a déjà réimprimé la majeure partie. Si le témoignage d'Ursus était unique, nous ne pourrions y ajouter une foi bien entière, mais tous les portraits de Tycho déposent en faveur de l'anecdote du nez coupé par le bout, dans un duel noclnrne. L'historien de sa vie ne la révoque pas en doute, et un danois l'a insérée dans mon article de Tycho, dans la Biographie universelle Quand Tycho eut le nez coupé (nous dit Kœstner au tome II de son Histoire de l'Astronomie, page a83), il voulut revoir son thème de nativité; il trouva que la direction de son horoscope vers Mars lui pré' sageait une difformité dans la Ggure. (Il est probable que Tycho n'avait pas attendu ce moment pour examiner son thème; mais ce pronostic d'une difformité dans la figure, produite par Mars, était une de ces annonces qui ne se comprennent qu'après l'«vènement. Tycho, qui nesuivait pas la carrière des armes, devait être bien persuadé qu'il n'avait rien à redouter de Mars.) Il se frl un nez d'une composition d'or et d'argent, qui ressemblait assez à un nez naturel.

Sur son premier ouvrage, on demandait à Ursus quelques explications en ces termes : « Parmi plusieurs passages inextricables, et que je relis souvent, je citerai particulièrement celui de la feuille 8, face B, sur la section de Pangle en raison donnée ; il est tellement obscur, que je n'en puis trouver le sensj écrivez-moi, s'il vous plall, pareillement ce que votre ami a composé et découvert sur je ne sais quelles proportionnelles; je voudrais en connaître la démonstration. Rome, i5 jaov. i5g3. (U semble qu'il est ici question des Logadlhmes de Byrge.) *

Un autre savant lui écrivait : « Toute la difficulté consiste à chercher quelle partie du cercle est l'arc proposé, ce que je trouve au moyen d'une petite table; mais comment Ursus y parvient-il? c'est ce que je ne puis deviner. Jé ne comprends pas davantage la figure de la page 9, de la section de l'angle, suivant l'invention de Byrge. m

Nous verrons plus loin les réponses assez peu satisfaisantes qu'Ursus fait à ces questions.

II reproche à Tycho l'inexactitude de ses transversales entre des arcs concentriques de divers rayons. Avant d'avoir lu son livre, j'avais fait la même objection, et je m'étais convaincu de son peu d'importance, par le calcul suivant (fig. 5a).

On trace sur le limbe deux cercles concentriques A A' et D'D, qu'on

URSUS DITIIMARSUS. a?o divise de dix en dix minutes; soit donc AÀ' = io'= DD; pour avoir les miuules , on mène une ligne transversale AD qu'on divise par des arcs concentriques, tels que at a', qui ne doivent pas être à des intervalles égaux; CD, CD', sont des lignes droites.

Soit x l'angle qu'on veut retrancher de ACA' = io'j

sin i: CD:: sin D:C*

CD ain D CD sin D

sin b *~" sin (D+x)»

W = «'D = (CD — C») = CD - gfâ =

aCD ain jxcos (D-t-jx)

~" sin(D+ï"x + ix) tmi a CD tang { x cot (D + j x)

aCDjinjxcoa(D -f jx) sin(D + ^x)cosJx + coa (D+ix)sinix

i tang ix cot (D + ;x)»

CA sin C

tang D

CD— CAcosC