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0,6098 o,5ioi o,4oq8

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o,53 0,40 o,aa

Ursus assure de plus, que l'invention des transversales est pins ancienne qu'Homélius et que Cbansler, car il l'a vue décrite et gravée dans un livre allemand de Christophe Ptdcher, hongrois, imprimé en i5Gi,à Lauging «or le Danube , in-4'.

Venons enfin à la construction de la table des sinus.

« On construit la table des sinus, ou arilhmétiquement et par les

3oo ASTRONOMIE MODERNE.

» nombres seuls, en partageant l'angle droit en autant de parties «gales; » c'est l'invention de Juste Byrge , helvélien; ou géométriquement par » l'inscription des polygones au cercle; ou par de simples proportions, » et cette invention est en grande partie de moi.

» La section de l'angle droit, en autant de parties qu'on voudra, se » trouve dans mon .Fondement astronomique, feuillet 8, à la fin. Mais « elle y est enveloppée dans une double énigme assex obscure; et cela » in pauculis illis insertis litterulis antiquatis (ut vacant tjrpographi) , » verbis que illis (obversum ç) ; ce cinq renversé représente la moitié n gauche et antérieure de la dernière lettre de l'alphabet grec. Or, on » sait que l'oméga indique une dernière chose , la fin d'une chose quel- » conque : ce demi-oméga est la première énigme; il désigne la moitié » d'uue dernière quantité. Voici maintenant la seconde énigme ; effacez » ce cinq renversé e* mettez a la place la moitié du dernier nombre >» posé ; suivez alors le précepte de la feuille S du Fondement astrono- » mique; après avoir plusieurs fois répété l'opération, voua trouverez » des choses dignes d'admiration. »

11 aurait pu dire ici, et voila une troisième énigme; H ajoute : .

« Tycho n'est pas digne que je lui apprenne cet artifice ; mais j'ai" » imaginé depuis une démonstration , ignorée de tous jusqu'aujourd'hui, » bien plus belle que cet artifice même, et que j'avais d'abord eu l'envie » de consigner ici , si ce n'csl que j'ai craint que Tycho et Rothroan ne » disent que je la leur ai dérobée ; j'ai donc imaginé une autre démonstra- » tion, mécanique pour ainsi dire, moins complète à la vérité, et qui m n'est nullement comparable avec ma nouvelle démonstration , fondée » sur une progression arithmétique particulière, et je l'ai communiquée » gratis à quelques-uns de mes disciples ; mais comme elle est longue et » compliquée, je ne juge pas à propos de la joindre ici.. . . Voilà tout » ce que je puis dire de la construction arithmétique de Byrge , pour la » table des sinus; ceux qui voudront en faire l'essai, trouveront facile- » ment qu'elle est très exacte; ce qu'on ne pourra cependant savoir bien w sûrement, qu'en la comparant à une table construite géométriquement. » J'ai dit pourquoi il ne me convient pas de publier ici la démonstration » que j'ai nouvellement imaginée; ainsi, j'en vais exposer une autre qui » est géométrique, qui sera peut-être encore plus agréable au lecteur, » et qui lui semblera digne de son approbation, »

Nous n'avons donc plus aucune espérance de savoir par lui quel élaît le secret de Byrge. Quand nous aurons analysé Kepler, qui est moin»

URSUS DITHMARSUS. Sot mystérieux, nous pourrons revenir, s'il y a lieu, sur les énigmes d'Ursus.

« La seconde manière de construire la table des sinus n'emploie que » la seule règle de trois, ou la proportion géométrique; on est dispensé » du soin ennuyeux d'élever des nombres au carré, on peut ne faire aucun » usage du théorème du carré de l'hypoténuse; on n'emploie que celui » des côtés homologues des triangles semblables (dont on peut dire qu'il m renferme la science mathématique ioute entière); elle consiste dans m les procédés sut vans, qui sont en grande partie de mon invention. »

Dans tout triangle rectangle KFT, on a (fig. 53)

TK •+■ FT FT î: i?T : TK— ÏT?

c'est, quoi qu'il en dise, le théorème de l'hypoténdse. •■/<,'..

Soit le quart de cercle ACB; sur le rayon ÀC décrivez le triangle équilatéral ACD, vous aurez ACD = AD=?6o*; abaisse* la perpendiculaire DM, qui partagera le triangle équilatéral en deux triangles rectangles égaux; on aura donc AM = CM; or,

CM = Dx = sin (go« — 6oD) = sin 3o° =

Abaissez l'autre perpendiculaire COF, AO=DO=i = sin 3o°=FK, arc AF = arc FD = 3o° j preaez MY se FK et menez FY , et sur F Y prenez FT = £ FK = £ et menez KT,

KT'= FrV Ff~ = re et KT = £ y/5.

Du centre T et du rayon TF décrivez l'arc FS, vous aurez TS a j,

KS = KT-TS=i v^i-£(i V5-i> = i corde décagone = ± corde 36" = sin i8*.

Du centre K et du rayon KS décrivez l'arc SN , vous aurez KS = KN =5 sin i8°; menez la perpendiculaire KG et abaissez la perpendiculaire GV, ou prenez KV = RG et joignez GV, vous aurez GV=siu i8°=sinAG; doncAG= i8*;donc GF = ia° = GH; donc AH= i8° — ia° = 6°j prenez FE = AG = i88; AE =a AF FE = 3o° -f- i8° = 48' et DE = ia*; menez CPG, vous aurez

HP = PF = sin i HF = sin ia% GV =' sin i8« = EQ = sin FE, AH = 6% Hu = sin 6% Cu = cos 6% PF = sin 1 a°, CP s co» 1 2% GV = sin 18% CV = cos 18% FJÎ = sin 3o' CK = cos 5o° = sin 6o° = DM, Rp = H« et joignez H<pj abaissez les perpendiculaires PZ it PR, et Et = QO.

3oî ASTRONOMIE MODERNE.

Menez TX perpendiculaire sur KT, et qui aille roncoatrer en X la droite CF prolongé; enfin, menez la corde AE.

Cette construction peut appartenir a Ursus, voyons ce qu'il en saura

tirer. Jusqu'ici, il n'a déterminé que sîn s8° = ~ V5 — il n'« point de carré à former, mais une racine carrée à extraire; ce qui est moins facile; cette formule est de Ptolémée.

Il fait

KF : FT :: FT : FX ou :FX= £ =

il pourrait en conclure

KX = KF-f-FX = i-H = $+i = f; il ne donne pas les valeurs numériques; alors KX : KT :: KT : KF, d'où KT = KX.KF=|.i = ^ et KT = \ V5 ;

celle construction lui donne l'hypoténuse KT par les deux côtés KF et FT,

KT*= KF .KX = F (KF H g ) = KF 4- FT,

Tel est le moyen qu'il emploie généralement pour trouver l'hypoténuse; mais il n'évite pas l'élévation de FT au carré; il évite celle de KF, qu'il remplace par la multiplication de KF par KX; or, KX est un nombre plus considérable que KF; l'opération est donc moins simple, elle est plus obscure ; il la vante comme une de ses découvertes.

KT — ■ TS = KT — TF = KS = ± \/5 — i = sût i8»

= ï(ïV^ — î) = t corde de 36';

celle formule était dans Ptolémée, ainsi que sin 5o* = Avec ces deux sinus, connus de tout tems, il se propose de trouver tous les autres au moyen de 8 règles.

La première, qu'il appelle règle du complément, n'est rien autre chose que cos' A = i — - sin» A = (i -f- sin A) (i — sin A); sous cette forme, l'opération serait moins simple ; il ne dit pas celle qu'il préfère.

La secoude est la règle de r intersegment, terme nouveau qu'il ne définit pas. Mais supposez que vous ayez FK=sin AF et Ha = sin AH; vous en conclurez CK = cos AF et C«= cos AH ; menez la perpendiculaire Hfl), vous aurez K<p =Hu, F? = FK — Hu; vous aurez donc les deux côtés F?

URSUS D1TIIMÀRSUS. 3o3 et pH, et par conséquent,

FH = f> + H?T= (sin A — sin B)' -+- (cos B — cos A)'

=s sin* A — asinA sinB-f-sin'B-f-cos'B — acos AcosB-f-cos'B = a — a (cos A cos B + sin A sin B) = a — acos (A — B) = a[i — cos (A — B)] = a[asin» { (A — B)] = 4^ r ( A — B) = 4sin» i FH = 4sîn» FG = 4sinl GH.

Au lieu de cette méthode bien connue, il élèverait sur FH au point H, une perpendiculaire qui irait couper <pK., et déterminerait FH comme il a déterminé ci-dessus KT; il parait que V intersegment des arcs A et B est £ (A — B) ou la demi-différence. 11 n'a donc gagné par celte règle que d'obscurcir ce qui était clair et facile, afin de se van 1er d'une découverte.

La troisième est la règle de la moitié; elle sertà trouver sin \ A par sin A;

on fait sin \ A= A)'. U nous dit, si vous avez EL = sin AE,

vous aurez CL = cos AE; vous élèverez en A sur EA une perpendiculaire qui ira couper EL prolongée; vous en déduirez, comme ci-dessus, AE = asin-j arc AE j c'est toujours la même charlatanerie. La quatrième est la règle du double; elle donne

sin a A = asio A cos A = asin A (i — sin» A)»;

il fait

c'est donc la règle ordinaire.

La cinquième est celle de taggrêgat. Connaissant sin A et sin B, et par conséquent cos AetcosB, trouver sin (A H- B) = sin A cos B+ cos A sin B; ce n'est pas ainsi qu'il procède.

Si sa manière n'est pas la plus courte elle est du moins nouvelle.

Vous connaissez AO ~ sin AF et EQ = sin EFj vous aurez donc CO = cos AF et CQ = cos FE. Prenez Oe=EQ et menez Ee; vous aurez

Ae = AO -f- EQ et Ee = OQ = CQ — CO.

Les triangles AcE, AOr et EQr sont semblables,

Ae : Ee :: AO : OT :: EQ : Qr;

vous connaissez donc les segmens Or et Qr de la différence OQ des deux cosinus. Dans chacun des triangles AOr, EQr vous avez les deux côtés, vous aurez les deux hypoténuses par la règle de l'auteur; ou, par

5o4 ASTRONOMIE MODERNE,

le théorème de l'hypoténuse, vous aurez AE = Ar + TE = asm f AE , vous aurez i AE; d'où vous conclurez sin AE, par 1. reg e precedeute. On pourrait ici rappeller à Ursus le distique lattn quil appliquait a Tycho, ci-dessus page 397;» sent apparemment lui -même, que sa méthode est pénible et détournée, car il ajoute les analog.es suivantes :

CR : FR :: CL : LO = £k-CL = tang AP cos AE, avec CL et LO vous aurez CO , par U règle commune ou par celle de l'auteur.